兴县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

兴县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ）
A ．[1，+∞）
B ．[0.2}
C ．[1，2]
D ．（﹣∞，2]
2． 过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，
则线段|AF|=（ ）A ．1B ．2
C ．3
D ．4
3． 已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，2
4y x =F (1,0)A -P ||
||
PF PA PAF ∆的
面积为（ ）
B. C.
D. 2
4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.4． 函数f （x ）=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为（ ）
A ．，π
B ．，
C ．，π
D ．，
5． 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=
被称为狄利克雷
函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数f （x ）有如下四个命题：①f （f （x ））=1；②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x=R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数有（ ）A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在7． 为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=
sin （3x+
）的图象（
）
A ．向右平移
个单位B ．向右平移
个单位
C ．向左平移个单位
D ．向左平移个单位
8． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 已知向量，，若，则实数（ ）
(,1)a t =r (2,1)b t =+r ||||a b a b +=-r r r r
t =A.
B. C. D. 2-1
-1
2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．
10．某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（
）
A ．20+2π
B ．20+3π
C ．24+3π
D ．24+3π
11．函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（
）
A ．e x+1
B ．e x ﹣1
C ．e ﹣x+1
D ．e ﹣x ﹣1
12．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
（A ）150种
（ B ） 180 种
（C ） 240 种
（D ） 540 种
二、填空题
13．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运
动员是 ．
14．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数
（为自然对数的底数），若
，则实数 的取值范围为______．
15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．　
16．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两
()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->个零点，则正实数的值为______．
a 17．计算：×5﹣1= ．
18．复数z=
（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
三、解答题
19．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ（sin θ+cos θ）=1，曲线C 2的参数方程为
（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；
（Ⅱ）试判断曲线C 1与C 2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．
20．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ．（Ⅰ）求证：AB ⊥SC ；
（Ⅱ）设D ，F 分别是AC ，SA 的中点，点G 是△ABD 的重心，求证：FG ∥平面SBC ；（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A ﹣FD ﹣G 的余弦值．
21．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是BC 边上的中线．（1）求证：AD ＝；
12
2b 2＋2c 2－a 2（2）若A ＝120°，AD ＝，＝，求△ABC 的面积．
192sin B sin C 35
22．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
23．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA1的长；
（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．
24．
19．已知函数f（x）=ln．
兴县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：f （x ）=x 2﹣2x+3=（x ﹣1）2+2，对称轴为x=1．所以当x=1时，函数的最小值为2．当x=0时，f （0）=3．
由f （x ）=3得x 2﹣2x+3=3，即x 2﹣2x=0，解得x=0或x=2．
∴要使函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a ≤2．故选C ．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次 函数的基本方法．　
2． 【答案】A
【解析】解：∵x 2=2y ，∴y ′=x ，∴抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B （1，），
∵x 2=2y 的焦点F （0，），准线方程为y=﹣，∴直线l 的方程为y=，∴|AF|=1．故选：A ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．　
3． 【答案】B
【解析】设，则
.
又设，则，，所以2
(,)4
y P y 2
|
|||
PF PA
=2
14
y t +=244y t =-1t …，当且仅当，即时，等号成立，此时点，
||||PF PA ==2t =2y =±(1,2)P ±的面积为，故选B.
PAF ∆11
||||22222
AF y ⋅=⨯⨯=4． 【答案】B
【解析】解：y=cos 2x ﹣cos 4x=cos 2x （1﹣cos 2x ）=cos 2x •sin 2x=sin 22x=，
故它的周期为=
，最大值为=．
故选：B ．
5．【答案】D
【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；
当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0
∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
故选：D．
【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
6．【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论．
【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，
则tanθ=﹣2，
则θ为钝角．
故选：C．
7．【答案】A
【解析】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，
即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】解：p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，
则￢p：∃n∈N*，a n+2﹣a n+1≠d；￢q：数列{a n}不是公差为d的等差数列，
由￢p⇒￢q，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列{a n}就不是等差数列，
若数列{a n}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得a n+2﹣a n+1≠d，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，
即后者可以推不出前者，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．　
9． 【答案】B 【解析】由知，，∴，解得，故选B.
||||a b a b +=-r r r r a b ⊥r r (2)110a b t t ⋅=++⨯=r r
1t =-10．【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），其底面面积S=2×2+=4+
，
底面周长C=2×3+
=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π，故柱体的全面积为：12+2π+2（4+）=20+3π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．　
11．【答案】D
【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x ，
而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 的图象关于y 轴对称，所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．故选D ．　
12．【答案】A
【解析】人可以分为和两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
51,1,31,2,2种,故选A ．22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=二、填空题
13．【答案】　甲　．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是
= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；∵
＜
，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；所以甲的成绩相对稳定些．故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．　
14．【答案】【解析】令，则
所以为奇函数且单调递增，因此
即
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性
去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与
的取值应在外层函数的定义域内
15．【答案】　（﹣∞，]∪[
，+∞）　．
【解析】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，∴数列{a n }是以1为首项，以为公比的等比数列，
S n ==2﹣（）n ﹣1，
对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，∴x 2+tx+1≥2，x 2+tx ﹣1≥0，令f （t ）=tx+x 2﹣1，∴，
解得：x ≥
或x ≤
，
∴实数x 的取值范围（﹣∞，]∪[
，+∞）．
16．【答案】e
【解析】考查函数，其余条件均不变，则：
()()
20{x x x f x ax lnx
+≤=-当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有有且只有一个实根。

ln x
a x =
令，()()2
ln 1ln ,'x x
g x g x x x
-==当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减;当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
，1
e
如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象
只有一个交点时,则.1a e
=
回归原问题，则原问题中.
a e =
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．17．【答案】　9　．
【解析】解：
×5﹣1=
×=
×=（﹣5）×（﹣9）×=9，
∴
×5﹣1=9，
故答案为：9．　
18．【答案】 ．
【解析】解：复数z==﹣i （1+i ）=1﹣i ，
复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：
．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C 1的极坐标方程为ρ（sin θ+cos θ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，
根据曲线C2的参数方程为（θ为参数），可得它的普通方程为+y2=1．
（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组，化简可得5x2﹣8x=0，显然△=64＞0，
故曲线C1与C2是相交于两个点．
解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，
连结AH，DM，GF，FM，
∵D，F分别是AC，SA的中点，
点G是△ABD的重心，
∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，
由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1），
=（0，2，﹣1），=（），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，2），
又平面AFD的法向量=（1，0，0），
cos＜，＞==．
∴二面角A﹣FD﹣G的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：
（1）证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝.a 2
法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得
c 2＝AD 2＋－2AD ·a 24cos ∠ADB ，①
a 2
b 2＝AD 2＋－2AD ··cos ∠ADC ，②a 24a 2①＋②得
c 2＋b 2＝2AD 2＋，a 22即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2，
∴AD ＝.122b 2＋2c 2－a 2法二：在△ABD 中，由余弦定理得
AD 2＝c 2＋－2c ·cos B a 24a 2＝c 2＋－ac ·a 24a 2＋c 2－b 22ac ＝，2b 2＋2c 2－a 24
∴AD ＝.12
2b 2＋2c 2－a 2（2）∵A ＝120°，AD ＝，＝，1219sin B sin C 35
由余弦定理和正弦定理与（1）可得
a 2＝
b 2＋
c 2＋bc ，①
2b 2＋2c 2－a 2＝19，②
＝，③b c 35联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，
∴△ABC 的面积为S ＝bc sin A ＝×3×5×sin 120°＝.1212
1534即△ABC 的面积为.154322．【答案】【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当 ，即， 时，（Ⅱ)
当时，递增即
，令，且注意到函数的递增区间为
23．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）设AA 1=h ，
由题设
=﹣=10，
∴
即
，解得h=3．故A 1A 的长为3．
（Ⅱ）∵在长方体中，A 1D 1∥BC ，
∴∠O 1BC 为异面直线BO 1与A 1D 1所成的角（或其补角）．
在△O 1BC 中，AB=BC=2，A 1A=3，
∴AA 1=BC 1=， =，∴
，
则cos ∠O 1BC===．
∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为．
【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．　
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣mx=﹣f（x）=﹣（﹣x2+2x）
从而m=2．
（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，
则﹣1≤a﹣2≤1
∴1≤a≤3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．。