数学建模模版之背包问题及应用实例
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问旅行者应如何选择携带物品，使总价值最大.
解：
设决策变量
1, xj 0,
A j 携带; Aj不携带;
j 1,2, m
背包问题的数学模型为：
max z c j x j
j 1
m
m
s.t.
a x
j 1 j
j
b
x j 0 or 1.
j 1,2, m
许多经济活动都可归纳为背包问题.如物资采购问题.例7(p91) 例 8. (仓库租用问题) 某决策者(企业)拟在n个仓库A1 , A2 ,, An
x
i 1
m
n
ij
bj ,
j 1,2,, m.
仓库 Ai 的最大供应量 d i xij d i yi , i 1,2,, n.
j 1
租仓模型为以下混合整数规划：
m min z g i yi cij xij i 1 j 1 n
s.t.
x
i 1 m
j 1
n
ij
bj ,
j 1,2,, m,
x
ij
di yi , i 1,2,, n,
xij 0, yi 0 or 1.
例9 （航班分派问题的建模）p93,自学.n =15的指派问题 进入第四章
中租用几个以满足m个销售点B1 , B2 ,, Bm 对货物的需要 , ,
问题： 租用哪些仓库，以及各仓库到销售点的调运量如何， 企 业最省钱. 与运输问题不同点在于：运输问题是产地、销地固定 而仓库不定
解：
应知道的资料数据 ：
di
cij
仓库A j的租用成本
Ai到B j的单位运价, g j
决策变量
1 , Ai yi 0 , Ai
被租用， 不被租用，
i 1,2,, n.
xij 为从仓库 Ai 到 B j 的运量 ，满足
n xij 0 yi 0 j 1 x 0 ij
c x
j 1
n
ij ij
0
仓库
36应用实例jc例6背包问题一位旅行者出发前准备在自己的背包装一可供选择的物品共些用品21jjmaaaaa的体积为?其给旅行者产生的价值效益为背包最大容量为b
3.6 应用实例
例 6 (背包问题) 一位旅行者出发前准备在自己的背包装一
些用品 可供选择的物品共 1, A2 ,, Am , Aj的体积为 j , , A a 其给旅行者产生的价值(效益)为c j , 背包最大容量为b.
Ai 的总耗费（租金+运费）为
m j 1
f i ( x, y) g i yi cij xij , i 1,2,, n.
全部费用：
m z f i ( x, y) gi yi cij xij i 1 i 1 j 1 n n
约束： 销售点 Bi 满足需求
解：
设决策变量
1, xj 0,
A j 携带; Aj不携带;
j 1,2, m
背包问题的数学模型为：
max z c j x j
j 1
m
m
s.t.
a x
j 1 j
j
b
x j 0 or 1.
j 1,2, m
许多经济活动都可归纳为背包问题.如物资采购问题.例7(p91) 例 8. (仓库租用问题) 某决策者(企业)拟在n个仓库A1 , A2 ,, An
x
i 1
m
n
ij
bj ,
j 1,2,, m.
仓库 Ai 的最大供应量 d i xij d i yi , i 1,2,, n.
j 1
租仓模型为以下混合整数规划：
m min z g i yi cij xij i 1 j 1 n
s.t.
x
i 1 m
j 1
n
ij
bj ,
j 1,2,, m,
x
ij
di yi , i 1,2,, n,
xij 0, yi 0 or 1.
例9 （航班分派问题的建模）p93,自学.n =15的指派问题 进入第四章
中租用几个以满足m个销售点B1 , B2 ,, Bm 对货物的需要 , ,
问题： 租用哪些仓库，以及各仓库到销售点的调运量如何， 企 业最省钱. 与运输问题不同点在于：运输问题是产地、销地固定 而仓库不定
解：
应知道的资料数据 ：
di
cij
仓库A j的租用成本
Ai到B j的单位运价, g j
决策变量
1 , Ai yi 0 , Ai
被租用， 不被租用，
i 1,2,, n.
xij 为从仓库 Ai 到 B j 的运量 ，满足
n xij 0 yi 0 j 1 x 0 ij
c x
j 1
n
ij ij
0
仓库
36应用实例jc例6背包问题一位旅行者出发前准备在自己的背包装一可供选择的物品共些用品21jjmaaaaa的体积为?其给旅行者产生的价值效益为背包最大容量为b
3.6 应用实例
例 6 (背包问题) 一位旅行者出发前准备在自己的背包装一
些用品 可供选择的物品共 1, A2 ,, Am , Aj的体积为 j , , A a 其给旅行者产生的价值(效益)为c j , 背包最大容量为b.
Ai 的总耗费（租金+运费）为
m j 1
f i ( x, y) g i yi cij xij , i 1,2,, n.
全部费用：
m z f i ( x, y) gi yi cij xij i 1 i 1 j 1 n n
约束： 销售点 Bi 满足需求