第3章 8 圆内接正多边形

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解：(1)连接圆心 O 和 T1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形．所以 r∶ a＝1∶1；连接圆心 O 和 T2 相邻的两个顶点，得以⊙O 半径为高的正三角 形，所以 r∶b＝ 3∶2. (2)T1∶T2 的边长比是 3∶2，所以 S1∶S2＝(a∶b)2 ＝3∶4.
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21．如图，M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、 正五边形 ABCDE、…、正 n 边形 ABCDE…的边 AB，BC 上的点，且 BM ＝CN，连接 OM，ON.
三边作三角形，则该三角形的面积是
(D )
A．
3 8
B．
3 4
C．
2 4
D．
2 8
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14．如图，AD，AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，
写 出 两 个 正 确 的 结 论 ： (1)_____四__边__形__A_B__C_D__是__等__腰__梯__形___ ； (2)__△__A__E_F__是__等__腰__三__角__形_____.
正六边形，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△OAB 是等边三角形．∵⊙O 的周长为 12πcm，∴2πr＝12π.∴r＝6cm，∴AB＝6cm.∵OOMB ＝ 23，∴OM ＝3 3cm.∴S△OAB＝12×6×3 3＝9 3(cm2)．∴正六边形 ABCDEF 的面积为 S 正六边形 ABCDEF＝9 3×6＝54 3(cm2)．
第三章 圆
8 圆内接正多边形
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正多边形与圆的关系
同步考点手册 P43
1．正六边形的边长等于 2，则这个正六边形的面积等于
(B )
A．4 3
B．6 3
C．7 3
D．8 3
2．从一个正五边形的一个顶点出发的两条对角线的夹角为 ( B )
A．30°
B．36°
C．50°
D．72°
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3．若一个正多边形的外角大于它的一个内角，则它的边数为 ( A )
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19．如图，AB，PA 是⊙O 内接正 n 边形的相邻两边，切线 PM 与 BA 的延长线相交于点 M，∠PMB＝112.5°，求边数 n.
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解：连接 OP，OA，则 OP⊥PM，∠OAP＝∠OPA＝12∠PAB，又∠PAB ＝∠PMA＋∠MPA，所以∠PAB＝112.5°＋90°－12∠PAB，得∠PAB＝135°， 所以 135°n＝(n－2)×180°，解得 n＝8.
解：设这两个正多边形的边数为 2x，x，根据题意，得 180(2x－2)∶180(x －2)＝8∶3，所以 x＝5,2x＝10.即这两个正多边形的边数为 10,5.
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18．如图，已知⊙O 的周长等于 12πcm，求以它的半径为边长的正六 边形 ABCDEF 的面积．
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解：连接 OA，OB．过点 O 作 OM⊥AB 于点 M.∵六边形 ABCDEF 是
(C )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
11．边长与外接圆半径相等的正多边形是
A．正三角形
B．正方形
C．正六边形
D．正八边形
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(C )
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12．(2019·河池)如图，在正六边形 ABCDEF 中，AC＝2 3，则它的边
长是
(D )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
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13．以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为
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(1)求图①中∠MON 的度数；
(2) 图 ② 中 ∠ MON 的 度 数 是 ___9_0_°___ ， 图 ③ 中 ∠ MON 的 度 数 是 ___7_2_°___；
(3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 之间的关系(直接写出答 案)．
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解：(1)连接 OB，OC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OC＝OB，
A．3
B．4
C．5
D．6
4．一个外角等于它的一个内角的正多边形是__正__方__形____.
5．正多边形中，当中心角为 15°时，边数为___2_4__条．
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圆内接正多边形的有关概念及计算 6．下列说法正确的是 A．各边相等的多边形是正多边形 B．圆内接菱形是正方形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形都是中心对称图形
G，H，I，J. (4)顺次连接各分点．多边形 ABCDEFGHIJ 就是所求的正十
边形．如图所示．
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︵︵
10．已知四边形 ABCD 内接于⊙O，给出下列三个条件：①AB ＝BC
︵︵ ＝CD ＝DA ；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D．则在这
些条件中，能够判定四边形 ABCD 是正方形的条件共有
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20．如图，有一个圆 O 和两个正六边形 T1，T2.T1 的 6 个顶点都在圆周上，T2 的 6 条边都和⊙O 相切(我们称 T1， T2 分别为圆 O 的内接正六边形和外切正六边形)．
(1)设 T1，T2 的边长分别为 a，b，⊙O 的半径为 r，求 r∶a 及 r∶b 的值；
(2)求正六边形 T1，T2 的面积比 S1∶S2 的值．
同步考点手册 P44
9．求作一个正十边形．
解：作法：(1)如图，画⊙O，作半径 OA． (2)以 O 为
顶点，OA 为一边作∠AOB＝36°，边 OB 交⊙O 于点 B． (3)
以 B 为圆心，AB 为半径画弧，交⊙O 于点 C，以 C 为圆心，
AB 为半径画弧，交⊙O 于点 D；顺次画弧，得到分点 E，F，
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15．将一个边长为 1 的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形 的边长等于____2_＋__1__(结果保留根号)．
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16．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，其边长为 4，则⊙O 的内接正三 角形 EFG 的边长为__2__6___.
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17．已知两个正多边形的边数之比为 2∶1，而它们的内角和之比为 8∶ 3.求这两个正多边形的边数．
同步考点手册 P43
(B )
-4-AC，BD 相交
于点 P，∠APB 等于
(C )
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
8．如果要画一个正十二边形，那么用量角器将圆__十__二____等分，每一
份的圆心角是__3_0___°.
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圆内接正多边形的画法