高考模拟复习试卷试题模拟卷 三角函数与三角形3

高考模拟复习试卷试题模拟卷 三角函数与三角形
一．基础题组
1.(镇安中学高三月考、文、6）,3)4
tan(-=+
π
θ若，则
sin 21cos 2θ
θ
=+(
)
A. 1
B ．1
C. 2
D ．2
【答案】D 【解析】
试题分析：∵tan()34
π
θ+
=-，∴
tan 1
31tan θθ
+=--，∴tan 2θ=，
∴2sin 22sin cos tan 21cos 22cos θθθθθθ
===+. 考点：两角和的正切公式、二倍角公式.
2.(云南师大附中高考适应性考试、文、3）若12
cos 13
x =，且x 为第四象限的角，则tanx=（ ） A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512
【答案】D 【解析】
试题分析：∵x 为第四象限的角，25
sin 1cos 13
x x =--=-∴，于是5
513tan 121213
x -
==-，故选D ．
考点：商数关系.
3.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、6）若函数cos 2y x =与函数sin()y x ϕ=+在[0,
]2
π
上的单调性相同，则ϕ的一个值为( )
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【答案】D 【解析】
考点：三角函数的单调性.
4.（广州六中等六校高三第一次联考、文、3）已知cos cos 2tan sin sin α
αααα
+=
+
,则的值为 （ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．1
2
D ．2 【答案】D 【解析】
试题分析：∵sin cos 2αα+=，∴2(sin cos )2αα+=，∴1sin cos 2
αα=
， ∴cos sin cos 1
tan 2sin cos sin sin cos ααααααααα
+
=+==. 考点：平方关系、商数关系.
5.（重庆巴蜀中学高级高三第二次月考、文、4）在ΔABC 中，若(tanB+tanC)=tanBtanC−1，则sin2A=
（） A 、−
32 B 、32 C 、−12 D 、12
【答案】B 【解析】
考点：三角恒等变换.
6.（惠州市高三调研、文、5）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若
7,3,2,a b c A ===∠则＝（ ）．
（A ）O
30（B ）O
45（C ）O
60（D ）O
90 【答案】C 【解析】
试题分析：由余弦定理2229471cos 22322b c a A bc +-+-=
==⨯⨯，又由(0,)A π∈，得603
A π
==︒，故选C ．
考点：余弦定理.
7.(嘉积中学高三下学期测试、文、5）若tan 3α=，则2
sin 2cos α
α
的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】D 【解析】 试题分析：原式=
6tan 2cos cos sin 22
==αα
α
α 考点：三角函数的化简
名师点睛：对于这类分式形式，上下是关于正弦和余弦的齐次形式，考虑上下同时除以x n
cos ，转化为
x tan 的形式求值.
8.（重庆巴蜀中学高级高三第二次月考、文、7）要得到函数y=sin(x+6
π
)的图像，只需要将函数y=cosx 的图像（ ） A 、向左平移
3π个单位 B 、向左平移6π
个单位 C 、向右平移3π个单位 D 、向右平移6
π
个单位
【答案】C
考点：函数图象的平移变换.
9.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、4）角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于() A.
5
5
B.55 C ．55- D ．255-
【答案】B 【解析】
试题分析：∵角α的终边过点(1,2)P -，∴||5r OP ==，∴25
sin 5
α=
=
考点：任意角的三角函数的定义.
10.（广州市荔湾区高三调研测试、文、13）已知(0,)απ∈，4
cos 5
α=，则sin()πα-=． 【答案】
35
【解析】
考点：同角三角函数关系式，诱导公式. 11.（惠州市高三调研、文、13）若3
sin()25
π
α+=，则cos2α=． 【答案】7
25
- 【解析】 试题分析：33
sin(
)cos 2
55
π
αα+=
⇒=，则cos2α=272cos 125α-=-．
考点：诱导公式、倍角公式与同角三角函数关系.
12.（实验中学高三上学期第一次模拟、文、17）四边形ABCD 的内角A 与内角C 互补，
132AB ,BC ,CD AD .
（Ⅰ）求角C 的大小及线段BD 长；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）0
60C =，7BD =；（2）23
【解析】
试题分析：本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，连结BD ，在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式
2222cos BD BC CD BC CD C =+-••和2222cos BD AB DA AB DA A =+-••，且cos cos C A =-，
代入数据得1312cos 54cos C C -=+，求cos C 的值，进而求C 和BD 的值；第二问，由第一问知
ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形ABCD 等于ABD ∆和CBD ∆的面积.
试题解析：（1）由题设及余弦定理得：2
2
2
2cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-••=-，①，
2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-••=+，②，
由①②得：1cos 2
C =
，故0
60C =，7BD =
（2）四边形ABCD 的面积11
sin sin 22
S AB DA A BC CD C =
••+•， 011
(1232)sin 602322
S =⨯⨯+⨯⨯=.
考点：余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积.
13.（宁夏银川一中高三模拟考试、文、17）如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．
(1)
求
船
的
航
行
速
度
是
每
小
时
多
少
千
米
？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 【答案】（1）302；（2）13
3
9+ 【解析】
试题解析：(1)在Rt △PAB 中，∠APB=60° PA=1，∴AB=3 (千米)
在Rt △PAC 中，∠APC=30°，∴AC=3
3
(千米)…………3分 在△ACB 中，∠CAB=30°+60°=90°
…….6分
(2)∠DAC=90°－60°=30°，sin ∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin ∠ACB=
1010
3
3
303=
=BC
AB
sin ∠CDA=sin(∠ACB －30°)=sin ∠ACB ·cos30°－cos ∠ACB ·sin30°1010
3
=
. 2010)133()10103(121232-=-⋅-，在△ACD 中，据正弦定理得CDA
AC DCA AD sin sin =， ∴答：此时船距岛A 为13
3
9+千米…………..12分 考点：三角函数实际应用 二．能力题组
1.（合肥市第八中学高三阶段考试、文、4）把函数sin()3
y x π
=+图象上所有点向右平移
3
π
个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得图象的解析式是sin()(0,)y x ωϕωϕπ=+><，则()
1.,23A πωϕ=
=-.2,3B πωϕ==.2,0C ωϕ==2.2,3
D πωϕ== 【答案】C 【解析】
考点：图像变换，左右平移和伸缩变换。

2.（长春市普通高中高三质监、文、8）在ABC ∆中,2,3AB AC ==,BC 边上的中线2AD =,则ABC ∆的面积为( )
A.
6
15 315
36
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意，设CD BD x ==，根据余弦定理可得，2294944
cos 23232x x C x x
+-+-==
⋅⋅⋅⋅，可得102x =
且10cos 4C =，6
sin 4
C =，故1315
sin 24
ABC
S
AC BC C =
⋅⋅=
，故选C. 考点：解三角形.
3.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、4）已知)sin(2)(ϕω+=x x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的表达式为( )
A ．)4
2
3
sin(2)(π
+
=x x f B ．)4523sin(2)(π
+=x x f
C ．)9234
sin(2)(π+
=x x f D ．)8
2534sin(2)(π+=x x f 【答案】B 【解析】
考点：三角函数的图象与性质.
【名师点睛】已知图象求解析式()B x A y ++=ϕωsin (0,0>>ωA )的方法： （1）求B A ,，由图象，得到函数的最大值M 和最小值m ，则2
,2m
M B m M A +=-=； （2）求ω，由图象得到函数的周期T ,则T
π
ω2=； （3）求ϕ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时B A ,,ω已知），或代入图象与直线B y =的交点求解（要注意交点处是上升趋势还是下降趋势）；
②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,ωϕ（上升趋势）作为突破口，第二个点为2
π
ϕω=
+x ，第三个点为πϕω=+x ，第四个点为2
3π
ϕω=
+x ，第五个点为πϕω2=+x . 4.（玉溪市第一中学高三月考、文、6）将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8
π
个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ）
A ．
43π B ．0 C ．4π
D ．4
π- 【答案】C 【解析】
考点：三角函数的图象平移、函数的奇偶性.
5.（实验中学高三上学期第一次模拟、文、6）将函数3sin(2)3
y x π
=+的图象向右平移
2
π
个单位长度，所得图象对应的函数（ ） （A ）在区间7[
,
]1212ππ上单调递减 （B ）在区间7[,]1212
ππ
上单调递增
（C ）在区间[,]63ππ
-上单调递减 （D ）在区间[,]63
ππ
-上单调递增 【答案】B 【解析】
试题分析：将函数3sin(2)3
y x π
=+
的图象向右平移
2
π
个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233
y x x πππ
=-+=-，
∵71212x ππ≤≤，∴22632
x πππ
-≤-
≤，∴函数3sin(2)3y x π=+为增函数. 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性.
6.（广州六中等六校高三第一次联考、文、7）函数）0)(3
sin()(>+=ωπ
ωx x f 相邻两个对称中心的距离
为
2
π
，以下哪个区间是函数)(x f 的单调减区间（ ）
A ．]0,3[π
-
B ．]3,0[π
C ．]2
,12[ππD ．]65,2[π
π
【答案】C 【解析】
试题分析：∵函数）
0)(3
sin()(>+
=ωπ
ωx x f 相邻两个对称中心的距离为2π
，∴T π=，∴2ω=， ∴()sin(2)3f x x π=+，∴3222232
k x k πππ
ππ+≤+≤+，∴71212k x k ππππ+≤≤
+. 考点：三角函数的单调性.
7.（石家庄市高三复习教学质检、文、7）已知1
tan ,3
x =则sin 2x = A ．
310B ．10
5
C ．310
D ．35
【答案】D . 【解析】
考点：1、同角三角函数的基本关系；2、倍角公式；
8.（广州六中等六校高三第一次联考、文、15）∆ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且
,,a b c 成等比数列，若sin B =
513，cos B =12ac
，则a c +的值为． 【答案】37【解析】
试题分析：∵,,a b c 成等比数列，∴2
b a
c =，∵sin B =513，cos B =12ac
，∴13ac =，
∴222
2cos b a c ac B =+-，∴2237a c +=，∴2()63a c +=，∴37a c +=
考点：等比中项、平方关系、余弦定理.
9.(示范高中高三第一次联考、文、18）已知函数
()3(cos sin )(cos sin )2sin cos 222222
x x x x x x
f x =-++。

⑴求()f x 的最小正周期
⑵若将()f x 的图像向右平移6
π
个单位，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 的单调递增区间。

【答案】（1）π2；（2）2[2,2]()33
k k k Z ππ
ππ-+∈.
【解析】
考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数图象的平移、三角函数的单调区间. 10.（合肥市第八中学高三阶段考试、文、17）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4
x π
+
的值．
【答案】（1）()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2
x x k k Z π
π=-+∈．
（2）tan()24
x π
+=
【解析】
考点：求导数、三角函数的最值及利用两角和的正切公式求值。

11.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、17）已知ABC ∆中, 角C B A ,,对边分别为c b a ,,,已知
3
,2π
=
=C c .(1)若ABC ∆的面积等于3,求b a ,
(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求ABC ∆的面积.
【答案】（1）2,2a b ==；（2）23
S = 【解析】
试题分析：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，根据余弦定理222
2cos c a b ab C =+-的式子，代入题中的数据化简得2
2
4ab a b =+-，而ABC ∆的面积等于
1
sin 32
ab C =4ab =，两式联立解方程组得出a 和b 的值；第二问，先利用两角和与差的正弦公式将已知表达式展开，合并同类项，得出
cos (sin 2sin )0A B A -=，得到cos 0A =或sin 2sin 0B A -=，分别解方程得出边长和角的值，再求三
角形的面积.
考点：余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式. 三．拔高题组
1.(示范高中高三第一次联考、文、11）若()2015sin 2016cos f x x x =-的一个对称中心为(),0a ，则a 的值所在区间可以是（ ） A.(0,)4π
B.,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.3,
24
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】
试题分析：22()2015sin 2016cos 20152016)f x x x x ϕ=-=±+-，其中
2016tan 2015ϕ=
，且02
π
ϕ<<，因为()f x 一个对称中心为(,0)a ，所以()sin 0a ϕ-=，∴ ()a k k Z ϕπ-=∈，即()a k k Z πϕ=+∈.由2016tan 2015ϕ=
，可知1tan 3ϕ<<，而02π
ϕ<<，所以4
3
π
π
ϕ<<
，于是可得()4
3
k a k k Z π
π
ππ+
<<+
∈，故当0k =时，
4
3
a π
π
<<
，选B.
考点：函数的对称性.
2.（长春市普通高中高三质监、文、11）函数()sin()cos()66f x x x ππ
=+
+，给出下列结论:
①()f x 的最小正周期为 π②()f x 的一条对称轴为6
x π
=
③()f x 的一个对称中心为(
,0)6π④()6
f x π
-是奇函数， 其中正确结论的个数是( ) A. 1B. 2C. 3
D. 4
【答案】B
考点：三角变换.
3.(镇安中学高三月考、文、8）函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)2
2
π
π
ωϕ>-<<
的部分图像如图所示，则
ω，φ的值分别是( )
A ．2，6π-
B ．2，3π-
C ．4，6π-
D ．4，3
π
【答案】B 【解析】
试题分析：∵在同一周期内，函数在512x π=
时取得最大值，1112
x π
=时取得最小值，∴函数的周期满足115212122
T πππ
=-=，由此可得2T ππω==，解得：2ω=，得函数表达式为()2sin(2)f x x ϕ=+，又
∵当512x π=时取得最大值2，∴52sin(2)212
π
ϕ⨯
+=，可得5)262k ππϕπ+=+，k Z ∈，∵2
2
π
π
ϕ-
<<
，∴取0k =，得3
π
ϕ=-
.
考点：三角函数的图象及其性质
4.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、5）已知函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA m x A y 的最大值为
4，最小值为0，最小正周期为
2π，直线3
π
=x 是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 A. )64sin(4π+=x y B. 2)3
2sin(2++=π
x y
C. 2
)3
4sin(2++=π
x y D. 2)
6
4sin(2++
=π
x y
【答案】D 【解析】
试题分析： 由已知有420224
2A m A A m m ππωω
⎧
⎪+==⎧⎪⎪
-+=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎩，可排除A ，B ；对于C ，其对称轴为
4,()3
2
424
k x k x k z π
π
ππ
π+
=+
⇒=
+∈与已知不符；排除C ，故选D. 考点：三角函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA m x A y 的图象和性质.
5.（宁夏银川一中高三模拟考试、文、9）若m x x f ++=) cos(2)(ϕω，对任意实数t 都有)()4
(t f t f -=+
π
，且1)8(-=π
f ，则实数m 的值等于（ ）
A ．±1
B ．±3
C ．－1或3
D ．－3或1 【答案】D
考点：三角函数的性质
6.（石家庄市高三复习教学质检、文、7）函数sin()y x ωϕ=+的部分图像如图，则()2
f π
=
A ．12-
B ．12
C ．3-
D ．3
【答案】D . 【解析】
考点：1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像及其性质； 7.（云南师范大学附属中学月考、文、7）已知3sin()65
π
α-=，则sin(2)6π
α+=（ ）
A 、
45 B 、725 C 、925 D 、16
25
【答案】B 【解析】
试题分析：由2
2πππππ37sin 2sin 2cos 212sin 1262
666525αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=--=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选
B ．
考点：诱导公式.
8.（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、实验中学）高三联、文、16）已知函数
sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线x=1对称，则sin 2ϕ=．
【答案】4
5
- 【解析】
试题分析：sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+5sin()x πϕα+-，其中sin 5α=
cos 5
α=． ∵函数的图象关于直线x=1对称，∴2
k π
πϕαπ+-=+，即2
k π
ϕαπ=-
+，
则sin 2sin 2()sin(22)2
k k π
ϕαπαππ=-
+=-+sin(2)sin 22sin cos απααα=-=-=-
4
2555
=-=-，故答案为：45-.
考点：两角和与差的正弦函数．
9.（文昌中学高三模拟考试、文、17）已知函数2()2cos(2)3sin 23
f x x x π
=+. （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；
（2）设△ABC 的三内角分别是A 、B 、C ．若1
()22
C f =-，且AC ＝1，BC ＝3，
求sin A 的值．
【答案】（1）,1,π（2）
【解析】
∴由正弦定理：
可得：sinA ＝＝＝．………………………………12分
考点：两角和的余弦公式，余弦定理
【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的ωϕ=+cos()y A x 形式，借助余弦函数的性质去求函数的周期、最值. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 10.(嘉积中学高三下学期测试、文、17）在梯形ABCD 中，
57
//,2,120,cos.
14
AB CD CD ADC CAD
=∠=∠=
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）若4
AB=，求梯形ABCD的面积．
B
A
C
D
【答案】（Ⅰ）7
2；（Ⅱ）3
6.
【解析】
试题解析：解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．
（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，
整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．
11
()62363
22
ABCD
S AB CD DE
=+⋅=⨯⨯=
梯形
即梯形的面积为63．
考点：1.正弦定理；2.余弦定理.
名师点睛：对于解斜三角形的问题，一般把所求的角或边放在一个三角形内进行求解，在三角形内一般采用正余弦定理，当知道两角一边，一般用正弦定理，当知道两边及其夹角，或三边，一边用余弦定理，当知道两边和一边所对角时，正余弦定理都可以使用，然后结合三角形的性质，比如π
=
+
+C
B
A,大边对大角和三角形的面积公式进行求解.
11.（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、实验中学）高三联、文、17）已知△ABC的面积为2，且满足04
AB AC
<•≤，设AB和AC的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；（2）求函数2
()2sin ()3cos 24
f π
θθθ=+-的取值范围．
【答案】（1）[,)42
ππ
；（2）1
[,2]2.
【解析】
∵由（1）知[
,)42ππ
θ∈，∴22[,)363πππθ-∈-，∴1
sin(2)[,1]32
πθ-∈-， ∴1
1sin(2)[,2]32
πθ+-∈，∴()f θ的取值范围为：1[,2]2
考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．
12.（合肥市第八中学高三阶段考试、文、18）在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为
a 、
b 、
c ，向量2(2sin(),3),cos 2,2cos 12B m A C n B ⎛⎫
=+=-⎪ ⎭⎝
，且向量m ,n 共线．
（1）求角B 的大小；（2）如果1b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．
【答案】（1）6
B π
=；（2）ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值为1(23)4+。

【解析】
考点：向量共线的充要条件、倍角公式、余弦定理、均值不等。

13.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、17）在锐角ABC ∆中，3sin(),sin()5
A B A B +=-
1
,3,5
AB CD AB ==⊥于点D . （1）求证：B A tan 2tan =; （2）求CD 的长. 【答案】（Ⅰ）证明祥见解析；（Ⅱ）.62+=CD
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由条件，利用和角、差角的正弦公式展开后相加减，再利用弦化切，即可得出结论； （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论结合条件
3
,sin()25
A B A B π
π<+<+=，可得3tan()4A B +=-，进而得到
43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，从而可求得tan ,tan A B 的值，再由tan tan CD CD
AB AD DB A B
=+=+
及已知条件可求CD 的长；
考点：1. 两角和与差的正弦函数；2. 同角三角函数间的基本关系.
14.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、17)在ABC ∆中，D 是BC 中点，已知90BAD C ∠+∠=.
（1）判断ABC ∆的形状；
（2）若ADC ∆的三边长是连续三个正整数，求BAC ∠的余弦值。

【答案】（1）ABC ∆是等腰三角形或直角三角形；（2).257cos =∠BAC 或7.25
- 【解析】
试题分析：(1)已知角的关系及正弦定理可以推出角C 、角B 的关系sin 2sin 2,C B =从而知三角形的形状。

（2）由（1）知，三角形有两种可能性，因此分两种情况分别求解。

当为直角三角形时，推出矛盾；当为等腰三角形时，可求出三角形的三边，从而求出BAC ∠的余弦值。

试题解析：（I ）设,,BAD DAC αβ∠=∠=则由90C α+=︒︒=+∴90B β
ABD ∆中，由正弦定理得
sin ,.sin sin sin BD AD B AD
B BD
αα==即 同理得
sin ,sin C AD
DC
β=…………2分 ,BD DC =,sin sin sin sin β
αC
B =∴B
C sin sin sin sin βα=∴
90,90,C B αβ+=︒+=︒sin cos sin cos C C B B ∴=…………4分 即sin 2sin 2,C B =因为()0,B C π∈、
90B C B C ∴=+=︒或………………6分 ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形。

………………7分
考点：正弦定理、余弦定理的应用。

高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
（4）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法
的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
（5）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
= 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
，1122
NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，=AC
则MQ =
MQP △
中，MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
P
D C
B
A
∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
2
3324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22
ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△
为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．
设MM a '=，
CM '=
，
1OM '=．∴100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭
，
，．
BM a a '==⇒
=
．∴11OM
'==． ∴100M ⎛⎫'
⎪ ⎪⎝
⎭，，10M ⎛ ⎝⎭
2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
（6）⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3
l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+， ∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
（7）⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，
2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016
cos 4ρρρθθθ
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大
max 1
||||2
S AO HB =⋅ ()1
||||||2
AO HC BC =
+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()
()
2
2
5533
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()2
32a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴()()
3
23a b ab
a b +-=+
由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；
2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；
3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．
【重点知识梳理】
1．函数单调性的定义
增函数减函数
定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就
称函数y＝f(x)在区间M
上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就
称函数y＝f(x)在区间M
上是减函数
图象
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．
【特别提醒】
1．函数的单调性是局部性质
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．
2．函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；
如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．
3．单调区间的表示
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号
“∪”联结，也不能用“或”联结．【高频考点突破】
考点一函数单调性的判断
例1、试讨论函数f(x)＝ax
x－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【变式探究】
(1)已知a>0，函数f(x)＝x＋a
x (x>0)，证明函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数；
(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．
考点二 利用函数单调性求参数范围
例2、若函数f(x)＝ax －1
x ＋1
在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围．
【拓展提高】
已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a ，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
【变式探究】 (1)若函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________． (2)函数y ＝x －5
x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是()
A ．a ＝－3
B ．a<3
C ．a≤－3
D ．a≥－3
【答案】(1)⎝⎛⎭
⎫－∞，12(2)C
考点三 利用函数的单调性求最值
例3、已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2
3. (1)求证：f(x)在R 上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
【拓展提高】
对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或f
x1
f
x2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变
形：如x1＝x2·x1
x2或x1＝x2＋x1－x2等；利用函数单调性可以求函数最值．
【变式探究】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ⎝⎛⎭
⎫x1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
【真题感悟】
1.【高考四川，文15】已知函数f(x)＝2x ，g(x)＝x2＋ax(其中a ∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m ＝
1212()()f x f x x x --，n ＝1212
()()
g x g x x x --，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m ＞0；
②对于任意的a 及任意不相等的实数x1
，x2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x1，x2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x1，x2，使得m ＝－n. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 【答案】①④。