高三数学平面向量的几何运算试题

高三数学平面向量的几何运算试题
1.已知向量＝（1，－1），＝（2，x），若（＋）∥（－2），则实数x的值为（）A．－2B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】因为＋＝（3，x－1），＝（－3，－1－2x）
由（＋）∥（－2），得3（-1-2x）=-3（x-1），解得x=-2，选A
【考点】平面向量的坐标运算
2.已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.
【答案】
【解析】设向量的夹角为，则，构造函数
，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.
【考点】1.向量；2.二次函数.
3.已知向量=（sinα，cosα），=（3，4），且∥，则tanα等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
【答案】A
【解析】∵
∴4sinα=3cosα
∴
故选A
4.设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【解析】∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．
∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），
∴|2﹣|==．
故选D．
5.已知向量=（x，1），=（4，x），若向量和方向相同，则实数x的值是（）
A．﹣2B．2C．0D．
【答案】B
【解析】∵，∴x2﹣4=0，解得x=±2．
当x=﹣2时，，满足向量和方向相反，应舍去．
当x=2时，，满足向量和方向相同．
因此，实数x的值是2．
故选B．
6.在中，，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】设过点D作DE平行AC于E点，则由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE上（不含端点）.又时，时，，所以.
【考点】向量加法的几何意义
7.已知e
1与e
2
是两个不共线向量，＝3e
1
＋2e
2
，＝2e
1
－5e
2
，＝λe
1
－e
2
.若三点A、B、
D共线，则λ＝________．
【答案】8
【解析】∵ A、B、D共线，∴与共线，∴存在实数μ，使＝μ.∵＝－
＝(λ－2)e
1＋4e
2
，∴ 3e
1
＋2e
2
＝μ(λ－2)e
1
＋4μe
2
，
∴
8.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，且3a ＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________．
【答案】20∶15∶12.
【解析】∵ 3a ＋4b＋5c＝0，∴ 3a(＋)＋4b＋5c＝0，∴ (3a－5c)
＋(3a－4b) ＝0.
∵在△ABC中，
∴、不共线，∴解得
∴ a∶b∶c＝a∶a∶a＝20∶15∶12.
9.△ABC中AB＝2，AC＝3，点D是△ABC的重心，则·＝________．
【答案】
【解析】设E为边BC的中点，因为点D是△ABC的重心，所以＝＝× (＋)＝(＋)，又＝－，所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝
10.关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b=a·c，则b=c；
②若a=（1，k），b=（-2，6），a∥b，则k=-3;
③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a－b|，则a与a+b的夹角为30o．
（参若a-（1，k），b=（-2，6），a
其中真命题的序号为（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】C
【解析】①当时，不一定相等，故①不正确；②若a∥b，则有，解得，故②正确；③令,则,因为|a|=|b|=|a－b|，所以为正三角形。

设以为临边的平行四边形为,因为为正三角形，所以为菱形且。

由向量加法的平行四边形法则可知。

所以。

故③正确。

【考点】平面向量的加减法、平行及数量积的计算。

11.已知=（2,0），，的夹角为60°，则．
【答案】
【解析】.
【考点】向量的基本运算.
12.已知，且与的夹角为，，则等于 .
【答案】
【解析】∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴
∴.
【考点】1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.
13.
（1）求
（2）.
【答案】（1）；. (2).
【解析】（1）直接由向量的运算法则即可得.
(2)将（1）小题的结果代入得：.这是一个关于的二次式，所以通过配方利用二次函数的图象来求其最小值.
将配方得. ，所以.
令，作出抛物线，它的对称轴为，结合图象可知，需分、、三种情况讨论.
试题解析：（1）.
.
，所以.
(2).
，所以.
①当时，当且仅当时，取最小值 1，这与题设矛盾.
②当时，当且仅当时，取最小值.由得.
③当时，当且仅当时，取最小值.由得，故舍去..
综上得：.
【考点】1、向量的模及数量积；2、三角恒等变换；3、函数的最值.
14.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有
，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，
则是在上的投影，即，
即在上的投影，，
令，，
，
，
故需要，
，即，
为的中点，又是边上的高，
是等腰三角形，故有,选C.
【考点】共线向量，向量的数量积.
15.已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部，则的取值范围是．
【答案】．
【解析】如图，取靠近的三等分点，过作的平行线交于，过作的平行线交于，由平行线等分线段定理得因此，若则从而与，在边上；若则在的延长线上，即落在外．故
要使点落在的内部，则．
【考点】平面向量的几何意义．
16.半圆O的直径AB=6,O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的
动点，则的最小值是（）
A. B. C.2 D.-2
【答案】A
【解析】∵圆心O是直径AB的中点，,,共线且
方向相反∴当大小相等时点乘积最小．由条件知当PO=PC时，最小值为．选A.【考点】向量在几何中的应用
17.设向量满足：．以的模为边长构成三角形，则它的边与半径为
的圆的公共点个数最多为 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】试题分析:因为所以以的模为边长构成的三角形为直角三角形，且三条边长度分别为所以其内切圆半径为，稍微移动内切圆可得交点最多为个.
【考点】本小题主要考查向量加减法的几何意义.
点评：对于此类问题，学生要重视数形结合思想的运用，学会运用图形处理向量的有关问题，同
时要重视向量的有关概念.
18.已知向量满足则（）
A．0B．C． 4D．8
【答案】B
【解析】解：
19.设向量，且∥，则锐角为______.
【答案】
【解析】略
20.设，，O为坐标原点，动点满足，，则
的最大值是（）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】本题考查向量的坐标,向量的数量积,不等式的性质和运算及分析解决问题的能力.
根据条件得：设，（是待定的常数）；则，于是
，所以则由（1），（2）得，（3）+（4）得
；当且仅当，即时，所以的最大值是故选D
21.设向量，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】本题考查向量的数量积
由得；
所以
故正确答案为A
22. 4如图，正六边形ABCDEF中，="( " )
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】略
23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
（Ⅰ）求证：A＝B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若求△ABC的面积．
【答案】解：（Ⅰ）∵∴bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB．
由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB, ∴sin(A－B)＝0．
∵－π＜A－B＜π, ∴A－B＝0，∴A＝B. --------------------（4分）
（Ⅱ）∵∴bccosA＝1. 由余弦定理得，即b2＋c2－a2＝2.
∵由（Ⅰ）得a＝b，∴c2＝2，∴. --------------------（8分）
（Ⅲ）∵＝，∴即c2＋b2＋2＝6,
∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2, ∴b2＝2，即b＝. ∴△ABC为正三角形.
∴ ----------------------（12分）
【解析】略
24.若等边的边长为，平面内一点满足，则=_________．
【答案】-2
【解析】略
25.已知非零向量与满足且
则为 ( )
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】略
26.已知，若，则k=" "
【答案】8
【解析】略
27.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=
【答案】-1
【解析】略
28.已知两点为坐标原点，点C在第一象限，且设
等于（）
A．1B．—1C．—2D．2
【答案】A
【解析】略
29.设P是ABC所在平面内的一点，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为,所以点P为AC的中点,即有,选B.
【考点】本小题考查本题考查了平面向量的基本知识,,熟练平面向量的基本运算是解答好本题的
关键.
30.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（）
A．（－2，－4）B．（－3，－5）C．（3，5）D．（2，4）
【答案】B
【解析】因为，选B。

31.设向量满足：．以的模为边长构成三角形，则它的边与半径为
的圆的公共点个数最多为 ( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】试题分析:因为所以以的模为边长构成的三角形为直角三角形，且三条边长度分别为所以其内切圆半径为，稍微移动内切圆可得交点最多为个.
【考点】本小题主要考查向量加减法的几何意义.
点评：对于此类问题，学生要重视数形结合思想的运用，学会运用图形处理向量的有关问题，同时要重视向量的有关概念.
32.已知向量若存在使得则m=（） .
A．0B．2C．0或2D．0或-2
【答案】C
【解析】根据向量的坐标运算和题意求出，利用向量相等的条件列出方程组，求出m的值即
可；
，故选C．
【考点】平面向量坐标运算
33.如图为互相垂直的两个单位向量，则（）
A．20B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设知：
所以，
所以，
,故选C.
【考点】1、平面向量基本定理；2、平面向量的数量积.
34.若是的重心，，，分别是角的对边，若，则角
（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于是的重心，，，代入得
，整理得，
，因此，故答案为D.
【考点】1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.
35.已知，则向量与向量的夹角为（）.
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由，则，向量与向量的夹角
为，选 .
【考点】平面向量的数量积和向量夹角；
36.已知菱形的边长为，,点分别在边上，.若
，则
【答案】
【解析】
，
因为，所以
【考点】向量数量积
37.已知菱形的边长为，,点分别在边上，.若
，则
【答案】
【解析】
，
因为，所以
【考点】向量数量积
38.已知单位向量和的夹角为,记 , , 则向量与的夹角为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】与夹角的余弦值为：，所以两向量夹角为：.
【考点】1.向量的点积；2.向量夹角的余弦值.
39.设函数，点为函数图象上横坐标为（∈N*）的点，O为坐标
原点，向量＝（1，0）.记为向量与的夹角，则
【答案】2
【解析】由题意可得则因为为向量与的夹角,所以，
.【考点】极限的求法.
40.已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）的充要条件是,不共线,即,故选D.
【考点】平面向量的基底及向量共线。