中考数学数学全等三角形角平分线辅助的专项培优练习题(含答案

中考数学数学全等三角形角平分线辅助的专项培优练习题(含答案
一、全等三角形角平分线辅助
1．在ABC 中，60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，且BD ，CE 交于点F ．
（1）如图1，用等式表示BE ，BC ，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
小东通过观察、实验，提出猜想：BE CD BC +=．他发现先在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，再利用三角形全等的判定和性质证明CM CD =即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：
ⅰ）在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，则可以证明BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ；
ⅱ）由60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，可以得出EFB ∠= °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE CD BC +=的过程． （2）如图2，若40ABC ∠=︒ ，求证：BF CA =．
2．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．
请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：
（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD BC =+，DAB ∠的平分线和ABC ∠的平分线交于CD 边上点P ．求证：PC PD =；
（2）在（1）的条件下，如图③，若10AB =，1tan 2
PAB ∠=．当PBC 有一个内角是
45︒时，PAD △的面积是 ．
3．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=900，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F
（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．
①AE=EF 是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上，求此时点F 的坐标．
4．阅读资料，解决问题．
人教版《数学九年级（下册）》的30页有这样一个思考问题：
问题：如图，在ABC △中，DE BC ∥交AB ，AC 于点D ，E ，如果通过“相似的定义”证明ADE ABC △△∽？
分析：根据“两直线平行，同位角相等”容易得出三对对应角分别相等，再根据“平行线分线段成比例”的基本事实，容易得出
AD AE AB AC
=，所以这个问题的核心时如何证明“DE AE BC AC =”． 证明思路：过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ，构造平行四边形BDEF ，得到DE BF =，
从而将比例式中的DE ，BC 转化为共线的两条线段BF ，BC ，同时也构造了基本图形“”，得到BF AE BC AC
=，从而得证．
解决问题：
（1）①类比资料中的证明思路，请你证明“三角形内角平分线定理”．
三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图1，ABC △中，AD 是角平分线． 求证：AB BD AC DC
=．
②运用“三角形内角平分线定理”填空：
已知：如图2，ABC △中，AD 是角平分线，7AB =，4AC =，6BC =，则BD =__________．
（2）我们知道，如果两个三角形有相同的高或者相等的高，那么它们面积的比就等于底的比．
请你通过研究ABD △和ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理．
已知：如图3，ABC △中，AD 是角平分线． 求证：AB BD AC DC
=．
5．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．
（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．
（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数． （3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）
6．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数．
7．如图，已知BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，M 为⊙O 上一点．
（1）若AB 是⊙O 的切线，求∠BMC ；
（2）在（1）的条件下，若E ，F 分别是AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF =120︒，⊙O 的半径为2，试问BE +CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 8．如图所示，90B C ∠=∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠．
（1）求证：AE 是DAB ∠的平分线；（2）若2cm,BAD=60CD =∠，求AD 的长．
9．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：
180B D ∠+∠=．
10．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，AD BE ⊥于D ，求证：2AC BD =.
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一、全等三角形角平分线辅助
1．（1）①ⅰ）△BMF ，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）先得出结论；
①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；
②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF ，进而得出△BEF ≌△BMF ，求出∠BFM ，即可判断出∠CFM=∠CFD ，即可判断出△FCM ≌△FCD ，即可得出结论；
（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE ，进而判断出△BGF ≌△CEA ，即可得出结论．
【详解】
（1）BC CD BE =+
①如图1，在BC 上取一点M ，使BM BE =，
ⅰ）BD 是ABC ∠的平分线，
EBF MBF ∴∠=∠， 在BEF ∆和BMF ∆中，BE BM EBF MBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BEF BMF SAS ∴∆≅∆；
ⅱ）BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线， 12FBC
ABC ∴∠=∠，12
BCF ACB ∠=∠， 在ABC ∆中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，
60A ∠=︒，
180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，
1180()180()1202
BFC CBF BCF ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒， 18012060EFB ∴∠=︒-︒=︒；
故答案为：ⅰ）ΔBMF ，SAS ；ⅱ）60；
②由①知，60BFE ∠=︒，BEF BMF ∆≅∆，
60CFD BFE ∴∠=∠=︒，
∵BEF BMF ∆≅∆，
60BFE BFM ∴∠=∠=︒，
60CFM BFC BFM ∴∠=∠-∠=︒，
60CFM CFD ∴∠=∠=︒， CE 是ACB ∠的平分线，
FCM FCD ∴∠=∠，
在FCM ∆和FCD ∆中，CFM CFD CF CF FCM FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()FCM FCD ASA ∴∆≅∆，
CM CD ∴=，
BC CM BM CD BE ∴=+=+；
（2）如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，40ABC ∠=︒，
80ACB ∴∠=︒， BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线， 1
202ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=︒，1402
BCE ACE ACB ∠=∠=∠=︒， 80AEC ABC BCE ∴∠=∠+∠=︒，ABC BCE ∠=∠，
BE CE ∴=，
在ABC ∆的边AB 左侧作20ABG ∠=︒，交CE 的延长线于G ，
40FBG ABD ABG ACE ∴∠=∠+∠=︒=∠．
80AEC ∠=︒，
80BEG ∴∠=︒，
18080G ABG BEG BEG AEC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠=∠，
BG BE ∴=，
BG CE ∴=，
在BGF ∆和CEA ∆中，4080FBG ACE BG CE BGF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
BGF CEA ∴∆≅∆，
BF AC ∴=．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判
定和性质，解本题的关键是（1）判断出CFM CFD ∠=∠，（2）作出辅助线，判断出BG CE =．
2．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2
）403
或8 【分析】
问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；
结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证
△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．
【详解】
问题呈现：
证明：∵OC 平分AOB ∠，
∴AOC BOC ∠=∠．
在POM 和PON △中， OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
．
∴POM PON △≌△．
结论应用：
在AB 上截取AE AD =，
∵AP 平分DAB ∠，
∴DAP BAP ∠=∠，
∵AP AP =，
∴ADP AEP △≌△．
∴PE PD =．
∵AB AD BC =+，
∴BE BC =，
∵BP 平分ABC ∠，
∴ABP CBP ∠=∠．
∵BP BP =．
∴PBE PBC △≌△．
∴PE PC =．
∴PC PD =．
（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，
∴∠PCB+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∵AB＝10，tan∠PAB＝PB
PA
＝
1
2
，
∴PA＝2PB，
∵PA2+PB2＝AB2，
∴PB＝25，PA＝45，
如图③，延长AP，BC交于点H，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠H，
∴∠H＝∠BAP，
∴AB＝BH＝10，
又∵PB平分∠ABC，
∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，
∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，
∴△ADP≌△HCP（ASA），
∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，
若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，
∴PB＝PH（不合题意舍去），
若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，
如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，
∴CM＝CN，
∵S△PBH＝1
2×BP×PH＝
1
2
×BP×CN+
1
2
×PH×CM，
∴CM ＝CN ＝453， ∴S △PCH ＝12×45×45＝403＝S △ADP ； 若∠PCB ＝45°时，
如图⑤，过点P 作PF ⊥BC 于F ，
∵∠PAB ＝∠H ，
∴tan H ＝tan ∠PAB ＝12
， ∴
12
PF FH =， ∴FH ＝2PF ， ∵PF 2+FH 2＝PH 2＝80，
∴PF ＝4，FH ＝8，
∵PF ⊥BC ，∠BCP ＝45°，
∴∠PCB ＝∠FPC ＝45°，
∴CF ＝PF ＝4，
∴CH ＝4，
∴S △ADP ＝S △CPH ＝
12×4×4＝8， 故答案为：8或
403． 【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
3．（1）△AGE 与△ECF （2）①成立②
)
2?21， 【分析】
（1）取AB 的中点G ，连接EG ，利用ASA 能得到△AGE 与△ECF 全等．
（2）①在AB 上截取AG=EC ，由ASA 证得△AGE ≌△ECF 即可证得AE=EF ．
②过点F 作FH ⊥x 轴于H ，根据FH=BE=CH 设BH=a ，则FH=a －1，然后表示出点F 的坐
标，根据点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上得到有关a 的方程求得a 值即可求得点F 的坐标．
解：（1）如图，取AB的中点G，连接EG，则△AGE与△ECF全等．
（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．证明如下：如图，
在AB上截取AG=EC，
∵AB=BC，
∴BG=BE．
∴△GBE是等腰直角三角形．
∴∠AGE=180°－45°=135°．
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°．
∴∠AGE=∠ECF．
又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AGE≌△ECF（ASA）．
∴AE=EF．
②过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a－1．
∴点F的坐标为F（a，a－1）．
∵点F恰好落在抛物线2
y x x1
=-++上，
∴2
a1a a1
-=-++．
∴a2=2．∴a2
=（负值不合题意，舍去）．
∴a121
-=．∴点F的坐标为2,21)．
4．（1）①证明见解析②42
11
（2）证明见解析
【解析】
（1）①如图过点C 作AB 的平行线交AD 的延长线于点E ，然后说明ADB EDC △∽△，利用相似三角形的性质即可完成证明;②设BD x =,然后利用（1）的结论和已知条件即可完成解答; （2）过点D 作AB ，AC 的垂线，垂足为M 、N ，
过点A 作BC 的垂线，垂足为H ;先利用角平分线定理说明DM DN =，然后再利用等面积法得到11:::22
ABD ADC S S AB MD AC DN AB AC =⋅⨯=△△和11:::22
ABD ADC S S BD AH OC AH BD DC =⋅⋅=△△，从而得到::AB AC BD DC =，即AB BD AC DC =. 【详解】
（1）①证明：过点C 作AB 的平行线交AD 的延长线于点E ，
∴1E ∠=∠， 又∵AD 平分BAC ∠，
∵12∠=∠，
∴2E ∠=∠，
∴AC CE =，
又∵34∠=∠，
∴ADB EDC △∽△，
∴
AB BD CE DC =， ∴AB BD AC DC
=． ②设BD x =，
∴6DC x =-，
又∵
AB BD AC DC =， ∴746x x
=-， ∴4427x x =-，
∴1142x =， 42x 11
=．
（2）过点D 作AB ，AC 的垂线，垂足为M 、N ，
过点A 作BC 的垂线，垂足为H ，
∵AD 为BAC ∠的角分线， ∴DM DN =，
11:::22
ABD ADC S S AB MD AC DN AB AC =⋅⨯=△△， 又∵11:::22
ABD ADC S S BD AH OC AH BD DC =⋅⋅=△△， ∴::AB AC BD DC =，
∴
AB BD AC DC
=． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的知识，其中运用等面积法、相似三角形的性质和证明、做辅助线均是解答本题的关键.
5．（1）不发生变化，∠AEB =135°；（2）不发生变化，∠CED =67.5°；（3）60°或45°
【分析】
（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB =90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出∠BAE =
12∠OAB ，∠ABE =12∠ABO ，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长A D 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB =90°，进而得出∠OAB +∠OBA =90°，故∠PAB +∠MBA =270°，再由A D 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知∠BAD =12∠BAP ，∠ABC =12
∠ABM ，由三角形内角和定理可知∠F =45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知∠CDE +∠DCE =112.5°，进而得出结论；
（3）由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知∠EAO =12∠BAO ，∠EOQ =12
∠BOQ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF =90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【详解】
解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=1
2∠OAB，∠ABE=1
2
∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=1
2
（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长A D、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=1
2∠BAP，∠ABC=1
2
∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=1
2
（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠CED =67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=1
2∠BAO，∠EOQ=1
2
∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=1
2（∠BOQ-∠BAO）=
1
2
∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF =90°．
在△AEF 中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF =3∠E ，∠E =30°，∠ABO =60°；
②∠EAF =3∠F ，∠E =60°，∠ABO =120°（舍弃）；
③∠F =3∠E ，∠E =22.5°，∠ABO =45°；
④∠E =3∠F ，∠E =67.5°，∠ABO =135°（舍弃）．
∴∠ABO 为60°或45°．
故答案为：60°或45°．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．40°
【分析】
在BC 上截取BF AB =，连接DF ，通过证明()ABD FBD SAS ≌，可得
18080DFC A ︒∠=-∠=︒，再通过证明()DCE DCF SAS ≌，即可求得
40ECA DCB ∠=∠=︒
【详解】
解：如图，在BC 上截取BF AB =，连接DF ， BD 是ABC ∠的平分线，
ABD FBD ∴∠=∠，
在ABD △和FBD 中，
,,,AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABD FBD SAS ∴△≌△，
BFD A ∴∠=∠，AD DF =，
∴DE=DF ，
18080DFC A ∴∠=︒-∠=︒，
又40ABC ACB ∠=∠=︒，60FDC ∴∠=︒，
18060EDC ADB ABD A ∠=∠=︒-∠-∠=︒，
EDC FDC ∴∠=∠，
在DCE 和DCF 中，
,,,DE DF EDC FDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()DCE DCF SAS ∴△≌△，
故40ECA DCB ∠=∠=︒．
【点睛】
本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 7．（1）60°；（2）BE+CF 的值是定值，BE+CF=3. 【分析】
（1）连接BO ，由AB 是切线可以得到∠ABO 的度数，由△ABC 为等边三角形，得到∠OBC 的度数，然后得到∠BOC ，根据圆心角与圆周角的关系得到∠BMC 的度数.
（2）作DH ⊥AB 于H ，DN ⊥AC 于N ，连结AD ，OD ，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD 平分∠BAC ，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DH=DN ，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF ，接着证明△DHE ≌△DNF 得到
HE=NF ，于是BE+CF=BH+CN ，再计算出BH=
12BD ，CN=12DC ，则BE+CF=12
BC ，于是可判断BE+CF 的值是定值，为等边△ABC 边长的一半，再计算BC 的长即可．
【详解】
（1）解：如图，连接BO ，
∵AB 是圆的切线，
∴∠ABO=90°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBO=90°-60°=30°，
∵BO=CO ，
∴∠BCO=∠CBO=30°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BMC=1BOC 602
∠=︒
（2）解：BE+CF的值是为定值．
理由：作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，OD，如图2，
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴DH=DN，∠HDN=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠HDE=∠NDF，
在△DHE和△DNF中，
∴
DHE DNF
DH DN
HDE NDF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△DHE≌△DNF，
∴HE=NF，
∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，
∴BH=1
2
BD，
同理可得CN=1
2 OC，
∴BE+CF=1
2DB+
1
2
DC=
1
2
BC，
∵3
∴BC=23
∴3
∴BE+CF3
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．
8．（1）详见解析；（2）8cm.
【解析】
【分析】
（1）过点E 分别作EF AD ⊥于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得AEB AEF ∆∆≌，即可得出结论；
（2）根据角平分线和平行线的性质求出30CED DAE ∠=∠=︒ ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.
【详解】
（1）证明：过点E 分别作EF AD ⊥于F ，
∴∠DFE=∠AFE=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．
∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ．
∵DE 平分∠ADC ．
∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ．
∵E 是BC 的中点，
∴CE=BE ，
∴BE=EF ．
在Rt △AEB 和Rt △AEF 中，
EB=EF AE=AE ⎧⎨⎩
， ∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），
∴∠EAB=∠EAF ，
∴AE 是∠DAB 的平分线；
（2）解：∵∠B=∠C=90°，
∴AB ∥CD ，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=60°，DE 平分ADC ∠，AE 是∠DAB 的平分线，
60ADE CDE ∠=∠=︒∴ ，30DAE ∠=︒ ，A 90DE =︒∠，
∵∠C=90°
∴ A 30D E =︒∠，C 30DE =︒∠ ，
248AD DE CD cm ∴===.
故答案为（1）详见解析；（2）8cm.
【点睛】
本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．
9．详见解析
【解析】
【分析】
过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．
【详解】
证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，
∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，
∴CF=CE ，
在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB
⎧⎨
⎩ ∴CBE CDF ∆∆≌， CBE CDF ∴∠=∠，
180ADC CDF ∠+∠=︒，
A C 180
B D ∴∠+∠=︒ .
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．
10．详见解析
【解析】
【分析】
延长BD 至N ，使DN=BD ，易得AD 垂直平分BN ，继而证得AE=EN ，则可证得结论．
【详解】
延长BD 至N ，使DN=BD ，连接AN ．
∵AD ⊥BE ，
∴AD 垂直平分BN ，
∴AB=AN ，
∴∠N=∠ABN ，
又∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=2∠C ，
∴∠ABN=∠NBC=∠C ，
∴∠NBC=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠C=∠NAC，
∴∠NAC=∠N，
∴AE=EN，
∵BE=EC，
∴AC=BN=2BD．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．。