6.向量的数量积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册精品课件

1．对于向量的学习，关键是用好类比，
1．理解平面向量的数量积的定 即类比数的运算以及类比物理中矢量的
义.(数学抽象)
运算.
2．了解投影向量的概念.(直观 2．物理中功的模型有助于我们更好地理
想象)
解向量的数量积运算.
3．了解向量的数量积与实数的 3．在研究向量的数量积运算时，类似于
乘法的区别.(数学运算)
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第六章
平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[知识解读] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它 的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值 决定，而向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❶ (1)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a
－b)＝
(B )
A．4
B．3
C．2
D．0
(2)在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝BC＝4，则A→B·B→C＝__0__，B→C·C→A
＝__－__1_6__，C→A·A→B＝__－__1_6__.
___－__|_a_|_|_b_|_.特别地，a·a＝__|_a_|_2 __或|a|＝_a_·_a__.
(4)|a·b|≤__|_a_|_|b_|___. a·b
(5)cos θ＝_|_a_||_b_| .
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第六章
平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
2．向量的数量积
条件
非零向量a与b，它们的夹角为θ
结论 记法 规定
数量___|_a_|_|_b_|_c_o_s_θ__叫做向量a与b的数量积(或内积) 向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝___|_a_|_|_b_|_co_s__θ__
零向量与任一向量的数量积为_0___
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[ 解析] (1)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a||2b|cos 60°＋(2|b|)2＝22＋
2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝ 12＝2 3.
(2)因为|2a＋b|＝ 10，所以(2a＋b)2＝10，
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第六章
平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
2．数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝__b_·_a___(交换律). (2)(λa)·b＝__λ_(_a_·b__) ___＝____a_·_(λ_b_)__(结合律). (3)(a＋b)·c＝___a__·c_＋__b_·c____(分配律).
第六章
向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
素养目标·定方向
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
素养目标
学法指导
所以 4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且|a|＝1，
所以 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去).
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要 掌握此类问题的处理方法：
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第六章
平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
(2)在平面内任取一点 O，作O→M＝a，O→N＝b，过点 M 作直线 ON 的 垂线，垂足为 M1，则O→M1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量，且O→M1＝ __|_a_|_c_o_s_θ_e___.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. ∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3． 故选 B． (2)由题意，得|A→B|＝4，|B→C|＝4，|C→A|＝4 2，所以A→B·B→C＝4×4×cos 90°＝0，B→C·C→A＝4×4 2×cos 135°＝－16，C→A·A→B＝4 2×4×cos 135° ＝－16．
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第六章
平面向量及其应用
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关键能力·攻重难
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第六章
平面向量及其应用
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[知识解读] 向量数量积的性质及其应用 性质(1)表明任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量 e上的投影向量的长度. 性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题. 性质(3)表明，当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量的 模的平方，因此可用于求向量的模. 性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题. 性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角， 也称为夹角公式.
考虑如下的变换：过A→B的起点 A 和终点 B，分别作C→D所
在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A→1B1，我们称
上述变换为向量
a
向向量
b
投
影
，
→ A1B1
叫
做
__向__量__a_在__向__量__b_上___的投影向量.
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数的乘法运算中经常要关注0一样，要特
4．掌握向量数量积的性质及其 别重视零向量的特殊性.
运算律.(逻辑推理)
4．向量的投影是高维空间到低维空间的
一种线性变换，得到的是低维空间向量.

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第六章
平面向量及其应用
O→B＝b，则∠AOB＝θ(__0__≤θ≤__π__)叫做向量 a 与 b 的夹角.
(2)性质：当
θ＝_0___时，a
与
b
同向；当 π
θ＝_π___时，a
与
b
反向.
(3)向量垂直：如果 a 与 b 的夹角是___2__，我们说 a 与 b 垂直，记作
_a_⊥__b___.
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(1)a＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. (2)|a±b|＝ a±b2＝ a2＋b2±2a·b. 2．向量夹角公式 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|的计算中涉及了向量运算和数 量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结 果准确无误.
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
题型二 利用数量积解决求模问题
典例 2
＝__2__3__.
(1)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|
(2)已知向量 a 与 b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，求|b|.
[分析] 灵活应用a2＝|a|2求向量的模.
向量线性运算 的几何意义
→
将A→D，B→E用A→B， A→C表示出来
→
将A→D·B→E转化为 A→B，A→C间的运算
[解析] (1)①a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－12)＝－3．
②(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．
③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4
第六章
平面向量及其应用
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知识点2 向量的数量积的性质及运算律 1．数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位
向量，则
(1)a·e＝e·a＝__|_a_|_c_o_s_θ___. (2)a⊥b⇔__a_·b_＝__0____.
(3) 当 a ， b 同 向 时 ， a·b ＝ __|_a_|_|_b_|__ ； 当 a ， b 反 向 时 ， a·b ＝
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必备知识·探新知
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知识点1 向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量 a，b，O 是平面上任意一点，作O→A＝a，
＝12(
A→B＋
→ AC
)·(32
→ AC
－A→B
)
＝12×(
2 3
→ |AC
|2－
→ |AB
|2－13
→→ AB·AC
)
＝21
×(23－1－13cos 60°)＝－14.
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第六章 平面向量及其应用
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[归纳提升] 求平面向量数量积的两个方法 (1) 定 义 法 ： 若 已 知 向 量 的 模 及 其 夹 角 ， 则 直 接 利 用 公 式 a·b ＝ |a||b|cos θ. 注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条 件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投 影向量，可利用数量积的几何意义求a·b.
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【对点练习】❷ (1)已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cosα＝31， 若向量 a＝3e1－2e2，则|a|＝__3__.
－5×3－3×9＝－34．
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(2)由已知得A→D＝12(A→B＋A→C)，A→E＝23A→C，B→E＝B→A＋A→E＝32A→C－A→B，
所
以A→D·B→E
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数 的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆.
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平面向量及其应用
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题型探究 题型一 平面向量的数量积
典例 1 (1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求： ①a·b； ②(a＋b)·(a－b)； ③(2a－b)·(a＋3b). (2)(2020·福建省龙岩一中月考)在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设B→C ＝2B→D，C→A＝3C→E，则A→D·B→E＝__－__14___.
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第六章
平面向量及其应用
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3．向量 a 在 b 上的投影向量
(1)设 a，b 是两个非零向量，A→B＝a，C→D＝b，我们
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平面向量及其应用
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[分析] (1)根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可.
(2)