(同步课堂)高中数学 2.4 二次函数性质的再研究名师考点精讲 北师大版必修1

（同步课堂）2013-2014学年高中数学 2.4 二次函数性质的再研究名师考点精讲北师大版必修1
[读教材·填要点]
二次函数图像间的变换
(1)y＝x2与y＝ax2(a≠0)图像间的变换：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的|a|倍得到．
(2)y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)图像间的变换：
函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由函数y＝ax2(a≠0)的图像变换得到．其中a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h 负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
(3)y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像间的变换．
一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通过配方可以得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而知道，由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．
[小问题·大思维]
1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的顶点坐标与对称轴分别是什么？
提示：顶点坐标为(－h，k)，对称轴是x＝－h.
2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的参数a对其图像的开口大小与方向有什么影响？
提示：当a>0时，图像开口向上，a值越大，开口越小；
当a<0时，图像开口向下，a值越大，开口越大．
3．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数图像的变换有何影响？
提示：h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．
[研一题]
[例1] 在同一坐标系中作出下列函数的图像．
(1)y＝x2; (2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
[自主解答] (1)列表：
(2)描点、连线即得相应函数的图像，如图所示． 由图像可知由y ＝x 2
到y ＝2x 2
－4x 的变化过程如下．
法一：先把y ＝x 2
的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2
的图像，然后把y ＝(x －1)2
的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2
的图像，最后把y ＝2(x －1)2
的图像向下平移2个单位长度便可得到y ＝2x 2
－4x 的图像．
法二：先把y ＝x 2
的图像向下平移1个单位长度得到y ＝x 2
－1的图像，然后再把y ＝x
2
－1的图像向右平移一个单位长度得到y ＝(x －1)2
－1的图像，最后把y ＝(x －1)2
－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y ＝2(x －1)2
－2，即y ＝2x 2
－4x 的图像．
本例中如何把y ＝2x 2
－4x 的图像变换成y ＝x 2
的图像？ 解：∵y ＝2x 2
－4x ＝2(x －1)2
－2，
故可先把y ＝2x 2
－4x 的图像向上平移2个单位长度得到y ＝2(x －1)2
的图像，然后再把
y ＝2(x －1)2的图像向左平移1个单位长度，得到y ＝2x 2的图像，最后把y ＝2x 2的图像纵坐
标变为原来的12
，便可得到y ＝x 2
的图像．
[悟一法]
二次函数图像的作法 (1)描点法：
在利用描点法时，通过配方直接选出关键点，即顶点．再依据对称性选点，可减少选点的盲目性．二次函数图像的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用，作图时应关注这些几何要素．
(2)图像变换法：
所有二次函数的图像均可以由函数f (x )＝x 2
的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．
[通一类]
1．画出y ＝12x 2－6x ＋21的图像，并说明由y ＝x 2
的图像如何变换得到y ＝12
x 2－6x ＋21
的图像？
解：y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x －6)2
＋3，
顶点坐标为(6，3)，对称轴为x ＝6. 利用二次函数的对称性列表：
描点连线得到函数y ＝12x 2
－6x ＋21的图像如右图．
平移过程如下：先把函数y ＝x 2
图像上的所有点的纵坐标缩小为原来的1/2倍，得到函数y ＝12x 2的图像，再把y ＝12
x 2
的图像向
右平移6个单位，得到函数y ＝12(x －6)2的图像，最后把y ＝12(x －6)2
的图像上的所有点向
上平移3个单位，即得到函数y ＝12
x 2
－6x ＋21的图像．
[研一题]
[例2] (1)已知一个二次函数y ＝f (x )，f (0)＝3，又知当x ＝－3和x ＝－5时，函数的值为零，求这个二次函数的解析式；
(2)已知二次函数f (x )图像的对称轴是直线x ＝－1，并且经过点(1，13)和(2，28)，求二次函数f (x )的解析式．
[自主解答] (1)由题意可知－3和－5为二次函数图像与x 轴交点的横坐标， ∴设y ＝f (x )＝a (x ＋3)(x ＋5)． 又∵f (0)＝3，∴f (0)＝15a ＝3，即a ＝1
5.
∴f (x )＝15(x ＋3)(x ＋5)＝15(x 2
＋8x ＋15)
＝15x 2＋8
5
x ＋3； (2)设f (x )＝a (x ＋1)2
＋k ， 由题意得f (1)＝13，f (2)＝28，
∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝13，9a ＋k ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，k ＝1.
故f (x )＝3(x ＋1)2＋1＝3x 2
＋6x ＋4.
[悟一法]
求二次函数解析式一般利用待定系数法，但应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，一般规律：
(1)已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．
(2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，y ＝a (x －h )2
＋k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)．
(3)当已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式，y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ，x 1，x 2是常数，a ≠0)．
[通一类]
2．已知二次函数y ＝f (x )分别满足下列条件， (1)图像过A (0，1)，B (1，2)，C (2，－1)三点； (2)图像顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)． 求对应函数的解析式．
解：(1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)
由已知函数的图像过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点，
得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，c ＝1.
∴函数的解析式为f (x )＝－2x 2
＋3x ＋1； (2)∵抛物线的顶点为(－2，3)， ∴可设f (x )＝a (x ＋2)2
＋3(a ≠0)．
∵图像过点(－1，5)，∴5＝a (－1＋2)2
＋3.∴a ＝2. ∴函数的解析式为f (x )＝2(x ＋2)2
＋3， 即f (x )＝2x 2
＋8x ＋11.
若方程x 2
－2x －3＝a 有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围．
[巧思] 令f (x )＝x 2
－2x －3，g (x )＝a 将方程有两个不相等的实数解转化为两个函数的图像有两个不同的交点．
[妙解] 令f (x )＝x 2－2x －3，g (x )＝a . 作出f (x )的图像如图所示．
∵f (x )与g (x )图像的交点个数即为方程x 2
－2x －3＝a 解的个数． 由图可知①当a ＜－4时，f (x )与g (x )无交点，即方程x 2
－2x －3
＝a 无实根；②当a ＝－4时，f (x )与g (x )有一个公共点，即方程x 2
－
2x －3＝a 有一个实根；③当a ＞－4时，f (x )与g (x )有两个公共点，即方程x 2
－2x －3＝a 有两个实根．
综上所述，当方程x 2
－2x －3＝a 有两个实数解时，实数a 的取值范围是(－4，＋∞)．
1．二次函数y ＝x 2
的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )
A ．y ＝x 2
＋2 B ．y ＝2x 2
C ．y ＝12
x 2
D ．y ＝x 2
－2
解析：将二次函数y ＝x 2
的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像对应的解析式为y ＝2x 2
.
答案：B
2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，则点M (a ，bc )在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D. 第四象限
解析：由图可知a ＞0，－b
2a ＞0，c ＜0，∴bc ＞0.
答案：A
3．已知抛物线与x 轴交于点(－1，0)，(1，0)，并且与y 轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为( )
A. y ＝－x 2
＋1 B ．y ＝x 2
＋1 C ．y ＝－x 2－1
D ．y ＝x 2
－1
解析：由题意抛物线对称轴是y 轴且开口向下，顶点为(0，1)，故抛物线为y ＝－x 2
＋1.
答案：A
4．将函数y ＝2(x ＋1)2
－2向______平移______个单位，再向______平移______个单位可得到函数y ＝2x 2
的图像．
解析：通过y ＝2x 2
→y ＝2(x ＋1)2
－2反向分析，也可借助顶点分析． 答案：右 1 上 2
5．抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)、(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x
2
相同，则y ＝ax 2
＋bx ＋c 的解析式为________________．
解析：由题意，得y ＝－2(x ＋1)(x －3)＝－2x 2
＋4x ＋6. 答案：y ＝－2x 2
＋4x ＋6
6．对于二次函数y ＝－x 2
＋4x ＋3，
(1)指出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标．
(2)说明其图像是由y ＝－x 2的图像经过怎样的平移得来． 解析：∵y ＝－(x －2)2
＋7，
∴(1)开口向下；对称轴为x ＝2；顶点坐标为(2，7)；
(2)先将y ＝－x 2
的图像向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y ＝－
x 2＋4x ＋3的图像．
一、选择题
1．如何平移抛物线y ＝2x 2
可得到抛物线y ＝2(x －4)2
－1( ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
解析：要得到y ＝2(x －4)2
－1的图像，只需将y ＝2x 2
的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．
答案：D
2．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图像可能是( )
解析：由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0，∵abc ＞0，∴ab ＜0，
∴对称轴x ＝－b
2a ＞0，知A 、C 错；D 符合要求，由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝
－b
2a
＜0，B 错误． 答案：D
3．(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x
，g (x )＝－x 2
＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )
的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )
A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0
B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0
C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0
D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0
解析：由于函数y ＝f (x )的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y ＝g (x )的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A ，B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x 1x 2<0，由于y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2
x 1x 2
，故x 1＋x 2，y 1＋y 2一定异号．
问题即为方程－x 2＋bx ＝1x
仅有两个不同的实根，即方程x 3－bx 2
＋1＝0有一个二重根、
一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A 的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x 1是方程x 3
－bx 2
＋1＝0的二重根，x 2为一个单根，则
x 3－bx 2＋1＝(x －x 1)2(x －x 2)＝x 3－(2x 1＋x 2)x 2＋(x 21＋2x 1x 2)x －x 2
1x 2，这个等式对任意x
恒成立，比较等式两端x 的系数可得x 2
1＋2x 1x 2＝0，即x 1＋2x 2＝0，即x 1＋x 2＝－x 2>0，所以
x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.
答案：B
4．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋a 2
－1的图像为下列之一，则a 的值为( )
A ．1
B ．－1 C.
－1－5
2
D.－1＋5
2
解析：由第一个图与第二个图中与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知
x 1＋x 2＝－b
a ≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x 1＋
x 2＝－b
a ＞0，又
b ＞0，故a ＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0，0)，即
a 2－1＝0，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．
答案：B 二、填空题
5．将抛物线y ＝－x 2
＋2x －1向左平移1个单位后，得到的解析式是________． 解析：∵y ＝－x 2
＋2x －1＝－(x －1)2
， ∴函数y ＝－x 2＋2x －1向左平移一个单位后， 所得函数解析式为y ＝－[(x ＋1)－1]2
＝－x 2
. 答案：y ＝－x 2
6．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位，得到函数y ＝x 2
－1的图像，则实数m ＝ ______．
解析：y ＝x 2
－1的图像向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2
＋1的图像，则m ＝1. 答案：1
7．已知二次函数f (x )的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2，4)，则f (x )＝________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2
－2， 因为过点(2，4)，
所以有a (2－1)2
－2＝4，得a ＝6. 所以f (x )＝6(x －1)2
－2＝6x 2
－12x ＋4. 答案：6x 2
－12x ＋4
8．已知方程x 2
－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，则实数m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2
－4|x |＋5，
则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.
即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧（x －2）2
＋1，x ≥0，
（x ＋2）2
＋1，x <0，
作出f (x )的图像，如图：
要使方程x 2
－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，需使函数f (x )与
y ＝m 的图像有四个不同的交点，由图像可知，1<m <5.
答案：(1，5) 三、解答题
9．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1，0)，B (x 2，0)且x 2
1
＋x 2
2＝
269
，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2
的图像向上平移几个单位得到的？ 解：由题意可设所求抛物线的解析式为
y ＝－3(x －1)2＋k ，
展开得y ＝－3x 2
＋6x －3＋k . 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝
3－k
3， ∴x 2
1＋x 2
2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269
， 即4－2（3－k ）3＝269.
解得k ＝4
3
.
∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2
的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－
3(x －1)2
＋43
，
即y ＝－3x 2
＋6x －53
.
10．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相
反，与直线y ＝x －2的交点坐标为(1，n )和(m ，1)，求这个二次函数的解析式．
解：∵y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反．
∴a ＝12，则y ＝12
x 2
＋bx ＋c .
又(1，n )，(m ，1)两点均在y ＝x －2上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1－2，1＝m －2
⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝3，
n ＝－1，即点(1，－1)和(3，1)均在所求的抛物线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1
2＋b ＋c ，1＝92＋3b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪
⎧b ＝－1，c ＝－12.
∴这个二次函数的解析式为y ＝12x 2－x －1
2.
4．2 二次函数的性质
[读教材·填要点]
二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的性质：
注：记y max 、y min 分别表示函数y ＝f (x )的最大值、最小值．
[小问题·大思维]
1．二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？
提示：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，在其对称轴的两侧单调性一定相反，可以借助于二次函数的图像进行说明．
2．二次函数的最值一定在顶点取得吗？
提示：不一定，对于二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)当x ∈R 时可以，但当x 属于某局部闭区间时，不一定．
3．对二次函数y ＝f (x )，若满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则其对称轴方程是什么？ 提示：x ＝a .
[研一题]
[例1] 已知函数f (x )＝12x 2－3x －3
4
.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴，并指出它的单调区间； (2)已知f (72)＝－418，不计算函数值，试求f (5
2)；
(3)不直接计算函数值，比较f (－14)与f (－15
4)的大小．
[自主解答] (1)∵f (x )＝12x 2－3x －34＝12(x －3)2
－214
.
∴f (x )图像的顶点坐标为(3，－21
4)，对称轴为x ＝3.
单调增区间为[3，＋∞)，减区间为(－∞，3]； (2)法一：∵f (72)＝－418，又|52－3|＝|72－3|＝1
2，
∴结合二次函数的对称性可知，
f (52)＝f (72)＝－418
；
法二：∵函数f (x )的图像关于x ＝3对称． ∴f (3＋x )＝f (3－x )．
∴f (52)＝f (3－12)＝f (3＋12)＝f (72)＝－41
8；
(3)∵f (x )在(－∞，3]上是单调递减函数， 又－154<－1
4<3，
所以f (－154)>f (－1
4
)．
[悟一法]
(1)“配方法”是研究二次函数图像和性质的基本方法，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y ＝a (x ＋h )2
＋k ，进而确定顶点坐标为(－h ，k )，对称轴为x ＝－h 等其它性质．
(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．
[通一类]
1．函数f (x )＝4x 2
－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，求f (1)的取值范围． 解：∵二次函数f (x )＝4x 2
－mx －5在区间[－2，＋∞)上是增函数，且对称轴是x ＝m
8，
∴m
8
≤－2，即m ≤－16. ∴f (1)＝4－m ＋5＝－m ＋9≥25，∴f (1)≥25.
[研一题]
[例2] 已知二次函数f (x )＝x 2
－2x ＋3， (1)当x ∈[－2，0]时，求f (x )的最值； (2)当x ∈[－2，3]时，求f (x )的最值；
(3)当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )．
[自主解答] ∵f (x )＝x 2
－2x ＋3＝(x －1)2
＋2，其对称轴为x ＝1，开口向上． (1)当x ∈[－2，0]时，f (x )在[－2，0)上是单调递减的，故当x ＝－2时，f (x )有最大值f (－2)＝11; 当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝3；
(2)当x ∈[－2，3]时，f (x )在 [－2，3]上是先减后增的，故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝2，
又|－2－1|＞|3－1|，
∴f (x )的最大值为f (－2)＝11；
(3)①当t ＞1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，所以当x ＝t 时，f (x )取得取小值， 此时g (t )＝f (t )＝t 2
－2t ＋3.
②当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上先减再增， 故当x ＝1时，f (x )取得最小值， 此时g (t )＝f (1)＝2.
③当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (t )在[t ，t ＋1]上单调递减，所以当x ＝t ＋1时，f (x )取得最小值，
此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋2，
综上得g (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧t 2
－2t ＋3 （t ＞1），2 （0≤t ≤1），t 2＋2 （t ＜0）.
[悟一法]
(1)二次函数在给定区间[m ，n ]上的最值求解有以下三种情况： ①对称轴与区间[m ，n ]都是确定的；
②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m ，n ]是确定的； ③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m ，n ]不确定．
对于以上三种情况，①采用数形结合，较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三类．
(2)求函数的值域应注意函数的定义域，可直接根据函数的单调性求解，也可先求其最大(小)值，再由最大(小)值确定．
[通一类]
2．已知函数f (x )＝x 2
－(2a －4)x ＋2在[－1，1]内的最小值为g (a )，求g (a )的解析式． 解：f (x )＝[x －(a －2)]2
－(a －2)2
＋2，x ∈[－1，1]． 其图像的对称轴为x ＝a －2.
①当a －2<－1即a <1时，函数f (x )在[－1，1]上单调递增， ∴函数f (x )的最小值g (a )＝f (－1)，即g (a )＝2a －1；
②当－1≤a －2≤1即1≤a ≤3时，函数f (x )的最小值为g (a )＝f (a －2)＝－(a －2)2
＋2； ③当a －2>1即a >3时，函数f (x )在[－1，1]上单调递减， ∴函数f (x )的最小值g (a )＝f (1)＝－2a ＋7. 综上：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －1 a <1，－（a －2）2
＋2 1≤a ≤3，－2a ＋7 a >3.
[研一题]
[例3] 渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨与实际养殖量x 吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．
(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 所应满足的条件． [自主解答] (1)由题意，知空闲率为1－x
m
， ∴y ＝kx (1－x m
)(0＜x ＜m )；
(2)y ＝－k
m x 2
＋kx ＝－k m (x －m
2)2
＋km
4， ∵－k m
＜0且0＜x ＜m ， ∴当x ＝m 2时，y max ＝km
4
； (3)∵当x ＝m 2时，y max ＝km
4，又实际养殖量不能达到最大养殖量， ∴此时，需要m 2＋km
4＜m ，解得k ＜2. 又∵k ＞0，∴0＜k ＜2.
[悟一法]
二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值问题．
[通一类]
3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将客房日租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
解：设客房日租金每间提高2x 元，则每天客房出租数为300－10x ，由x ＞0，且300－10x ＞0，得0＜x ＜30.
设客房租金总收入为y 元，
则有y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20(x －10)2
＋8 000(0＜x ＜30)． 由二次函数的性质可知，当x ＝10时，y max ＝8 000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.
已知f (x )＝x 2
＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2，2]，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围． [巧思] 要使f (x )＞0恒成立，只需f (x )min ＞0，即可将问题转化为求f (x )的最小值问题．
[妙解] 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )＞0. (1)当－a
2
＜－2，即a ＞4时，
g (a )＝f (－2)＝7－3a ＞0，
得a ＜7
3，又a ＞4，故此时a 不存在．
(2)当－a
2
∈[－2，2]，即a ∈[－4，4]时，
g (a )＝f (－a 2
)＝3－a －a 2
4
＞0，得－6＜a ＜2.
又－4≤a ≤4，∴－4≤a ＜2. (3)当－a
2
＞2，即a ＜－4时，
g (a )＝f (2)＝7＋a ＞0，得a ＞－7，
又a ＜－4，∴－7＜a ＜－4.
综上知，a 的取值范围是：－7＜a ＜2.
1．函数f (x )＝4－x (x －2)的顶点坐标和对称轴方程分别是( ) A ．(2，4)，x ＝2 B ．(1，5)，x ＝1 C ．(5，1)，x ＝1
D ．(1，5)，x ＝5
解析：f (x )＝4－x (x －2)＝－x 2＋2x ＋4＝－(x －1)2
＋5. ∴函数f (x )的图像的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x ＝1. 答案：B
2．二次函数y ＝a 2x 2
－4x ＋1有最小值－1，则a 的值为( ) A. 2
B ．－ 2
C ．± 2
D ．±2
解析：由题意4a 2－164a 2
＝－1，∴a 2
＝2，∴a ＝± 2. 答案：C
3．已知二次函数y ＝f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，在区间[5，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是( )
A ．f (－2)<f (6)<f (11)
B ．f (11)<f (6)<f (－2)
C ．f (6)<f (11)<f (－2)
D ．f (11)<f (－2)<f (6)
解析：法一：由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为x ＝5，离对称轴越近函数值越小．
法二：由题意知，该二次函数图像的对称轴为x ＝5. ∴f (5＋x )＝f (5－x )．
∴f (－2)＝f (5－7)＝f (5＋7)＝f (12)． ∵f (x )在[5，＋∞)上单调递增，
∴f (6)<f (11)<f (12)．∴f (6)<f (11)<f (－2)． 答案：C
4．函数y ＝－x 2
＋4x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝－x 2
＋4x ＝－(x －2)2
＋4，
∴函数y ＝－x 2＋4x 的单调递增区间为(－∞，2]． 答案：(－∞，2]
5．函数y ＝3x 2－6x ＋1，x ∈[0，3]的最大值是________，最小值是________． 解析：y ＝3(x －1)2
－2，该函数的图像如下．
从图像易知：f (x )max ＝f (3)＝10，f (x )min ＝f (1)＝－2.
答案：10 －2
6．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋2，x ∈[－5，5] . (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使函数y ＝f (x )在[－5，5]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－1时，
f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，
∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2
＋2－a 2
的图像的对称轴为x ＝－a . ∵f (x )在[－5，5]上是单调函数， ∴－a ≤－5，或－a ≥5，
故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.
一、选择题
1．下列区间中，使函数y ＝－2x 2
＋x 是增函数的是( ) A ．R B ．[2，＋∞) C ．[1
4
，＋∞)
D ．(－∞，1
4
]
解析：函数y ＝－2x 2
＋x ＝－2(x －14)2＋18的图像的对称轴是直线x ＝14，图像的开口向下，
所以函数在对称轴x ＝1
4
的左边是增加的．
答案：D
2．如果函数y ＝4x 2
－kx －8在[5，20]上是单调函数，则实数k 的取值范围为( ) A ．k ≤40
B ．k ≥160
C ．40<k <160
D ．k ≤40或k ≥160
解析：抛物线y ＝4x 2－kx －8的对称轴为x ＝k
8，
若函数y ＝4x 2
－kx －8在[5，20]上是单调函数， 则k 8≤5或k
8≥20. ∴k ≤40或k ≥160. 答案：D
3．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254
，－4]，则m 的取值范围是( )
A ．(0，4]
B ．[3
2，4]
C ．[3
2
，3]
D ．[3
2
，＋∞)
解析：y ＝x 2
－3x －4＝(x －3
2)2－254，∴图像的对称轴为x ＝32，
顶点为(32，－25
4)，结合图像可知，
3
2≤m ≤3. 答案：C
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x
2
和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A ．45.606万元
B ．45.56万元
C ．45.6万元
D ．45.51万元
解析：设公司获得的利润为y ，在甲地销售了x 辆，则在乙地销售了(15－x )辆． 则y ＝5.06x －0.15x 2
＋2(15－x )＝－0.15x 2
＋3.06x ＋30(0≤x ≤15，x ∈N )， 此二次函数的对称轴为x ＝10.2，
∴当x ＝10时，y 有最大值为45.6(万元)． 答案：C 二、填空题
5．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数，则f (－1)＝________．
解析：∵
a ＋1
8
＝－1，∴a ＝－9，
则f (x )＝4x 2
＋8x ＋5.
∴f (－1)＝4×(－1)2
＋8×(－1)＋5＝1. 答案：1
6．已知二次函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R )的图像关于y 轴对称，其值域为(－∞，4]，则a ＝________，b ＝________．
解析：f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )＝bx 2
＋a (b ＋1)x ＋a 2
.
f (x )图像的对称轴为x ＝－
a （
b ＋1）
2b
＝0，∴b ＝－1. ∴f (x )＝－x 2
＋a 2
，顶点为(0，a 2
)． ∵f (x )的值域为(－∞，4]，
∴a 2
＝4，∴a ＝±2. 答案：±2 －1
7．已知二次函数y ＝－x 2
＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2
＋2x ＋m ＝0的根为 ________．
解析：由图知抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标是(3，0)，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1，0)．
所以关于x 的一元二次方程－x 2
＋2x ＋m ＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3. 答案：－1，3
8．已知关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：设f (x )＝(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4， 法一：当a ＝2时，f (x )＝－4<0恒成立；
当a ≠2时，f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立， 即f (x )有最大值且最大值小于零．
即⎩
⎪⎨⎪⎧a －2<0，f （x ）max ＝－a －2<0， 解得－2<a <2.
综上知，a 的取值范围是(－2，2]． 法二：a ＝2时不等式显然成立，
a ≠2时，若不等式成立，
即f (x )＝(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立， 必有a －2<0，且Δ＝4(a －2)2
＋4(a －2)×4<0， 解得－2<a <2. 综上得－2<a ≤2.
∴a 的取值范围是(－2，2]． 答案：(－2，2] 三、解答题
9．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋2x ＋c (a ≠0)的图像与y 轴交于点(0，1)，且满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知函数在(t －1，＋∞)上为增加的，求实数t 的取值范围． 解：(1)由函数f (x )的图像与y 轴交于点(0，1)，知c ＝1. 又f (－2＋x )＝f (－2－x )，
∴函数f (x )的对称轴为x ＝－22a ＝－1
a ＝－2.
∴a ＝1
2
.
∴f (x )＝12
x 2
＋2x ＋1.
(2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上为增函数， ∴t －1≥－2.∴t ≥－1.
10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，
每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R )与销售量(t )的关系可用抛物线表示如图．
(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入(R )与销售量(t )之间的函数关系R ＝f (t )；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．
解：(1)由图可知：R ＝a (t －5)2
＋252，
由t ＝0时，R ＝0，得a ＝－1
2.
∴R ＝－12(t －5)2
＋252(0≤t ≤5)；
(2)年纯收益
y ＝－12t 2＋5t －0.5－14t ＝－12t 2＋194
t －0.5，
当t ＝19
4＝4.75时，y 取得最大值10.78万元．
故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．。