【精品】2019年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县区高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

得z
1i (1 i )2
1i 2i
(1 i )( i ) 2i 2
1 1i， 22
11
z
i，
22
z 的虚部为 1 ． 2
故选： A ．
【解答】 解：设 2015 年高考考生人数为 x ，则 2018 年高考考生人数为 1.5 线，
由 24% 1.5x 28% x 8% x 0 ，故选项 A 不正确；
4．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题： “九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年
龄从大到小的顺序依次分绵， 年龄小的比年龄大的多 17 斤绵， 那么第 8 个儿子分到的绵
是(
)
A ．174 斤
B ．184 斤
Z
6
6
)
5
1
B． [
2k, 2k ], k Z ．
6
6
D． [ 1
7 2k,
2k], k
Z
6
6
12 ． 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x a( a 0) 对 称 ， 且 当 x…a 时 ，
f (x ) ex 2a ．若 A ， B 是函数 f ( x) 图象上的两个动点，点 P(a,0) ，则当 PA PB 的最小
i1
n
( ti
n
t ) 2 ( yi
，
2
y)
i1
i1
在回归方程 y? b?t a? 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
a? y b?t ．
n
( ti t )( yi y )
b?
i1 n
，
(t i t )2
i1
19．如图所示的几何体中， ABC A1 B1C1 为三棱柱，且 AA1 平面 ABC ， AA1 AC ，四边
B．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．如图在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，且 AE 2 EO ，则 ED (
)
1
2
A ． AD AB
3
3
2
1
B ． AD AB
3
3
2
1
C． AD AB
3
3
1
2
D． AD AB
3
3
8．在矩形 ABCD 中， AB 8 ， AD 6 ，若向该矩形内随机投一点 P ，那么使 ABP 与 ADP
11 4m
1 4
2 ，解得 m 8 ，
2
故选： D ．
【解答】 解： l ， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“ l m ”可能“ l / / ”也可
能l ，
反之，“ l / / ”一定有“ l m ”，
所以 l ， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“ l m ”是“ l / / ”的必要而不充分
由 (40% 1.5 x
32% x)
Байду номын сангаас
32% x
7 ，故选项 B 不正确；
8
由 8% 1.5x 8% x 4% x 0 ，故选项 C 不正确；
由 28% 1.5x 32% x 42% x 0 ，故选项 D 正确．
故选： D ．
【解答】 解：由题意可知，数列为等差数列，
公差为 d 17 ， n 8 ， S8 996 ，以第 8 个儿子为首项，
2019 年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县区高考数学模拟试卷
一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集 U
R， M
2
{x|x
2 x, 0} ，则 eU M
(
)
A ． { x | 2 x 0} B ． { x | 2剟x 0}
a sin (a 0) ．
（Ⅰ）求圆 C 的直角坐标系方程与直线 l 的普通方程；
（Ⅱ）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．
[选修 4-5：不等式选讲 ] 23．已知关于 x 的不等式 | x 3| | x 5| , m 的解集不是空集，记 m 的最小值为 t ．
f ( x) 的定义域是
1 [
，
2]
，则函数
y
f (log 2 x ) 的定义域为
．
2
15．已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ， a1 1 ．当 n…2 时， an 2Sn 1 n ，则 S2019
16．如图， 在三棱锥 P ABC 中， PA 、 PB 、 PC 两两垂直， 且 PA 3 ． PB 2 ， PC 1 ．设
C． 191 斤
D． 201 斤
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5．已知椭圆 mx2 4 y 2 1 的离心率为
A ．2
8 B．2 或
3
2 ，则实数 m 等于 ( 2
C． 2 或 6
) D．2 或 8
6．若 l ， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“ l m ”是“ l / / ”的 (
)
A ．充分而不必要条件
M 是底面 ABC 内一点，定义 f (M ) (m ，n ，p ) ，其中 m 、n 、p 分别是三棱锥 M PAB 、
三棱锥 M
PBC 、三棱锥 M
PCA 的体积． 若 f (M )
1
1
( ， x ， y) ，且
a …8 恒成立，
2
xy
则正实数 a 的最小值为
．
三、解答题： （本大题共 5 小题，满分 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
图． 注：年份代码 1~ 7 分别表示对应年份 2012 ~ 2018 ． （1）由折线图看出， 可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系， 请用相关系数 r (| r | 0.75 线性相
关较强）加以说明； （2）建立 y 与 t 的回归方程（系数精确到 0.01) ，预测 2019 年该地区生活垃圾无害化处理量．
考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是 (
)
A ．与 2015 年相比， 2018 年一本达线人数减少
B ．与 2015 年相比， 2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍
C． 2015 年与 2018 年艺体达线人数相同
D ．与 2015 年相比， 2018 年不上线的人数有所增加
一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每个小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 【解答】 解： 全集 U R ， M { x | x 2 2 x剟0} { x | 2 x? 0} ，
eU M { x | x 2 或 x 0} ．
故选： C ．
【解答】 解：由 z(1 i ) 1 i ， 1i
B． 1
C． 2
D． 2
11．已知函数 f (x) sin( x ) ( 0,0
1
) ， f (x1 ) 1 ， f (x2 ) 2
0 ，若 | x1
x2 |min
， 2
且
1 f( )
1 ，则 f ( x) 的单调递增区间为
(
22
1
5
A．[
2k, 2k], k Z
6
6
C． [ 5
1 2k ,
2k ], k
的面积都小于 4 的概率为 (
)
1 A．
36
1 B．
12
1 C．
9
4 D．
9
9．已知集合 A {1 ， 2，3，4，5， 6， 7，8， 9) ，在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个
三位数的个位数， 十位数和百位数， 记这个三位数为 a ，现将组成 a 的三个数字按从小到
大排成的三位数记为 I（ a），按从大到小排成的三位数记为 D（ a）（例如 a 219 ，则 I（ a）
1 AD
2
d
3d
4，
P 点到 AD 的距离要小于 4 ，满足条件的 P 的区域如图， 3
其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是
44
1
．
33
使得
ABP 与 ADP 的面积都小于
4 概率为： p
4 3 86
1． 36
故选： A ．
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【解答】 解： A ，如果输出 b 的值为 792，则 a 792 ， I （ a） 279 ， D （ a） 972 ， b D （ a） I （ a） 972 279 693 ，不满足题意． B ，如果输出 b 的值为 693，则 a 693 ， I （ a） 369 ， D （ a） 963 ， b D （ a） I （ a） 963 369 594 ，不满足题意． C ，如果输出 b 的值为 594，则 a 594 ， I （ a） 459 ， D （ a） 954 ， b D （ a） I （ a） 954 459 495 ，不满足题意． D ，如果输出 b 的值为 495，则 a 495 ， I （ a） 459 ， D （ a） 954 ， b D （ a） I （ a） 954 459 495 ，满足题意． 故选： D ．
8 (8 1)
8a1
17 996 ，
2
解得 a1 184 ，
故选： B ． 【解答】 解：椭圆 mx2 4y 2 1 ，显然 m 0 且 m 4 ．
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当 0 m 4 时，椭圆长轴在 x 轴上，则
11 m4
1 m
2 ，解得 m 2 ； 2
当 m 4 时，椭圆长轴在 y 轴上，则
129 ， D （ a） 921) ，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个
a，
则输出 b 的值为 (
)
A ．792
B ．693
C． 594
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D． 495
10．过点 (0,1) 的直线 l 被圆 ( x
2
1)
2
y
4 所截得的弦长最短时，直线
l 的斜率为 (
)
A ．1
条件．
故选： B ．
【解答】 解： ED
AD
AE
1 AD AC
1 AD ( AD
AB)
2
1
AD AB ，
3
3
3
3
故选： C ．
【解答】 解：由题意知本题是一个几何概型的概率，
以 AB 为底边，要使面积都小于 4，
1
由于 S ABP
AB h 4h 4 ，
2
则点 P 到 AB 的距离 h 1 ，
同样， S ABP
存在定点 N （异于点 M ) ，使得 QNM PNM ？若存在，求点 N 的坐标；若不存
在，说明理由．
ex
21．已知 f ( x)
alnx ax ．
x
（1）若 a 0 ，讨论函数 f ( x) 的单调性；
（2）当 a 围．
1 时，若不等式 f ( x) (bx b 1 )ex x…0 在 [1 ， x
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（一）必考题：共 60 分 17．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 3a cos C c sin A ． （1）求 C ； （2）若 c 3 2 ， ABC 的面积为 3 ，求 ABC 的周长． 18 ．如图是某地区 2012 年至 2018 年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线
7
7
参考数 据：
yi 9.32 ，
(t i t )( yi y) 2.89 ，
i1
i1
7
( yi
i1
y) 2 0.55 ，
7
7
(t i t )2 2 2.646 ， (ti t )2 28 ，
2.89
0.99 ， 2.89 0.103 ．
i1
i1
2 2.646 0.55
28
参考公式：相关系数 r
n
(ti t )( yi y )
C． { x | x 2 或 x 0} D． { x | x, 2 或
x…0}
2．已知 i 是虚数单位， z 是 z 的共轭复数， z(1 i ) 1 i ，则 z 的虚部为 (
)
1i
1 A．
2
1 B．
2
1 C． i
2
1 D． i
2
3．某中学 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校
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（Ⅰ）求 t ；
（Ⅱ）已知 a
0，b
0，c
1 a2 max{ ，
b2 } ，求证： c…1 ．注： maxA 表示数集 A 中的
a
tb
最大数．
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2019 年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县区高考数学模 拟试卷（文科） （3 月份）
参考答案与试题解析
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形 ABCD 为平行四边形， AD 2CD 4 ， ADC 60 ． （Ⅰ）求证： AC1 平面 A1B1CD ； （Ⅱ）求三棱锥 C1 A1CD 的体积．
20．已知动圆 C 过定点 F (1,0) ，且与定直线 x 1 相切．
（1）求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程； （ 2）过点 M ( 2,0) 的任一条直线 l 与轨迹 E 交于不同的两点 P ， Q ，试探究在 x 轴上是否
) 上恒成立，求 b 的取值范
（二）选考题：共 10 分，考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分 .[选修 4-4：坐标系与参数方程 ]
22．（ 10 分）在平面直角坐标系中， 直线 l 的参数方程为
3
x
t2
5
(t 为参数），以原点 O 为
4
yt
5
极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
值为 0 时，函数 f ( x) 的最小值为 (
)
1
A．e 2
B． e 1
3
C． e 2
二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
D． e 2
x 3y 5…0
13．已知实数 x ， y 满足不等式组 2 x y 4, 0 则 z x y 的最小值为
．
y 2…0
14．若函数 y