2023年高考数学一轮复习精讲精练第21练 空间几何体(解析版)

第21练 空间几何体
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．5π 【答案】C
【详解】
设圆锥的母线长为l ，则223
l ππ⋅
=，解得3l =，则该圆锥的表面积为23114πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C.
2．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（ ）
A
B ．2
C ．
D 【答案】C
【详解】
设球的半径为R ，则24π=20πR ，解得2=5R
设四棱柱的高为h ，则22114h R ++= ，解得h =
故选：C
3．如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ） A ．△ABC 是钝角三角形 B ．△ABC 是等边三
角形
C ．△ABC 是等腰直角三角形
D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形 【答案】C
【详解】
解：将其还原成原图，如图，
设2A C ''=，则可得21OB O B ''==，2AC A C ''==，
从而AB BC ==222AB BC AC +=，即AB BC ⊥，
故ABC 是等腰直角三角形.
故选：C.
4．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是
（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π 【答案】B
【详解】
因为圆柱的底面半径和高都是2，所以圆柱的侧面积2228S ππ=⨯⨯⨯=.
故选：B.
5．圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O 的体积为（ ）
A ．32π3
B ．64π3
C ．16π
D ．12π
【答案】A
【详解】
设球O 的半径为R ，则圆柱的底面圆的半径为R ，高为2R ，
所以2π216πR R ⋅=，解得：2R =，
则球O 的体积为3432ππ33
R =
故选：A
6．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ） A ．32cm B ．1cm C ．3cm D ．332
cm 【答案】D
【详解】
由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r ，()R r R <， 则21r π=π⨯，24R π=π⨯，解得12
r =，2R =． 所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1cm 和4cm ，腰长为3cm ， 即1,4,3AD BC AB ===,过点A 作AH BC ⊥,H 为垂足，
所以32BH =，AH =
， 故选：D ．
7．在矩形ABCD 中，212AB AD ==，点E ，F 分
别是AB ，CD 的中点，沿EF 将四边形AEFD 折起，使60AEB ∠=︒，若折起后点A ，B ，C ，D ，E ，F 都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．64π
B ．72π
C ．84π
D ．96π 【答案】C
【详解】
因为矩形ABCD 中，212AB AD ==，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，
所以四边形AEFD 和四边形EFCB 是正方形，
又沿EF 将四边形AEFD 折起，使60AEB ∠=︒，
所以几何体AEB DFC -是正三棱柱，6AD =，
设球O 的球心O 在底面DFC 的射影为G ，因此116322
GO AD =
=⨯=， 显然G 是等边三角形DFC 的中心，
2233FG FH ===⨯=OFG 中，
OF =
所以球O 的表面积为24π84πOF ⋅=，
故选：C
8．在ABC 中，4AB BC ==，150ABC ∠=︒，若将ABC 绕直
线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）
A ．3π
B ．163π
C ．9π
D ．103
π 【答案】B
【详解】
旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
作出简图： 所以2OA =，23OB =，
所以旋转体的体积：()2116233
OC OB ππ⨯⨯⨯-=.故选：B.
9．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB △BC ，SA AB ==，
BC =O 的表面积等于（ ）
A ．9π
B ．8π
C ．12π
D ．10π
【答案】A
【详解】
因为S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，
所以OA OB OC OS ===
又SA ⊥平面ABC ，,,AB BC AC ⊂平面ABC ，
所以SA AB ⊥，SA AC ⊥，SA BC ⊥，
因为AB BC ⊥，,SA AB ⊂平面SAB ，SA AB A ⋂=，
所以BC ⊥平面SAB ，而BS ⊂平面SAB ，
所以BC BS ⊥，
所以可得O 为SC 的中点，SA AB ==BC = 所以7,3AC SC ==，
所以球O 的半径径为322
SC R ==， 所以球O 表面积为249R ππ=．
故选：A ．
10．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
3l ≤≤ ）
A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27]
【答案】C 【详解】△ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,
设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，
则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,
所以26h l =，2222a l h =-
所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭
， 所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
当3l ≤≤0V '>，当l ≤0V '<，
所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为
643，
又3l =时，274
V =，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为
274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，. 故选：C.
二、多选题
11．在边长为2的菱形ABCD 中，3BAD π
∠=，DE AB ⊥，垂足为点E ，以DE 所在的直线
为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A ．该几何体为圆台
B
C ．该几何体的表面积为7π+
D 【答案】BCD
【详解】
解：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，
该几何体的高为DE = 该几何体的表面积为
()()
222111111211221222722222
πππππ=⋅⋅+⋅++⋅+++⨯⨯=+S
体积为()11111422323ππ=⨯⨯⨯⨯++=V 故选：BCD
12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi -regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形
的一种半正多面体，已知AB （ ）
A ．该半正多面体的体积为203
B ．该半正多面体过A ，B ，
C 三点的截面面积为C ．该半正多面体外接球的表面积为12π
D ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数
E 满足关系式2V
F E +-=
【答案】ABD
【详解】
如图，
该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8
个三棱锥所得到的.
对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：
1120222811323
V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故正确；
对于B ，过A ，B ，C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以26S ==，故
正确.
对于C 2
的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积22448S R πππ==⨯
=，故错误；
对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确. 故选：ABD
13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则（ ）
A 3π
B ．正方体的内切球表面积为24πa
C ．与1AA 异面的棱共有4条
D ．三棱锥1A ABD -与三棱锥111A B D D -体积相等
【答案】ACD
【详解】
△正方体外接球的半径R =,内切球的半径12r a =
△正方体的外接球体积为334ππ3V R =
=，内切球表面积为224ππS r a == A 正确，B 不正确；
与1AA 异面的棱有1111,,,BC CD B C C D ，共有4条，C 正确； △111111A B D D D A B D V V --=，则三棱锥1A ABD -与三棱锥111D A B D -的高11AA DD =，底面积111ABD A B D S S =，故体积相等，D 正确；
故选：ACD ．
三、填空题
14的正四面体放入一个正方体的玻璃容器，若要求该正四面体能在正方体容器中自由旋转，则该正方体容器的棱长的最小值为___________.
【答案】2
【详解】
由题若正四面体能在正方体容器中自由旋转，
的正四面体的外接
球半径1r ==， 此时正方体的棱长为2.
故答案为：2.
15．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为5003
π的球面上，圆柱底面半径为4，则该
圆柱的表面积为__________．
【答案】80π
【详解】
设圆柱外接球半径为：R ，圆柱的母线长为：h ，
由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处， 所以外接球球心到底面的距离为圆柱母线的一半：2
h ， 所以22242h R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又3
450033R ππ=，解得5R =，6h =， 所以圆柱的表面积为：24224680πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：80π.
四、解答题
16．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，其中13AB AA ==，
(1)若点P 是棱1AA 上的动点，求三棱锥1B PBC -的
体积．
(2)求点1D 到平面1ACB 的距离
【答案】(1)【解析】(1)
实际上需求三棱锥1P B BC -的体积．由正四棱柱，
1113,3BB AA BC AB A B AB ======
角形1B BC 的面积为1111322
B B
C S BC BB =⋅⋅=⨯⨯=△ 因为P 是棱1AA 上的动点且1AA 与平面11BCC B 平行，则只需写出1AA 与平面11BCC B 间的距离即可．
由于1A B ⊥平面11BCC B ，不妨记三棱锥的高为1A B
则三棱锥1P B BC -
的体积11111333
P B BC B BC V S A B -=⋅⋅=⨯=△(2)
以D 为原点，如图建立空间直角坐标系． 则11(3,0,0),
(3,3,23),(0,3,0),(0,0,23)A B C D
可知111(3,3,0),(3,3,0),D B CA CB ==-= 设平面1ACB 的法向量为(,,)n x y z =
则13300030y x x y n CA n CB x z ⎧⎧=⎧-=⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩
不妨设(2,2,n =，同时设点1D 到平面1ACB 的距离为d 则11
12||11n D B d n ⋅===故点1D 到平面1ACB 17．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥1A A BD -，求：
(1)截去的三棱锥1A A BD -的体积；
(2)剩余的几何体的表面积．
【答案】(1)16【解析】(1)
△正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，
三棱锥1A A BD -的体积11111111113326
--==⋅=⨯⨯⨯⨯=A A BD A ABD ABD V V S AA (2)
1A BD 1123A BD S π== △111112
===CBD A D D A B B S S S ， 111111111BCB C CDD C A B C D S S S ===，
13312⨯+⨯= 18．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm ，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm ．
(1)求这种“笼具”的体积；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
【答案】(1)33552πcm (2)
1104π25
元 【解析】(1)
设圆柱的底面半径r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为h 1，
则2π24πr =，则112,16r h === 22223111ππ1230π1216π3552πcm 33
V r h r h =-=⨯-⨯⨯=； (2)
圆柱的侧面积2
12π720πcm S rh ==，
圆柱的底面积222π144πcm S r ==，
圆锥的侧面积23π240πcm S rl ==， 所以：＂笼具＂表面积2
1231104πcm S S S S =++=表，
故：50个＂笼具＂的总造价为：41104π5081104π1025
⨯⨯=． 答：现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”共需1104π
25元．。