2020年南京三校联合考试高一期中考试卷(数学)答案

2020－2021学年×××中学高一第一学期期中考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定的位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝ ( C ) A ． B ．{2} C ．{1，2，3，4，5} D ．(1，5）
2．“x ∈(1，2)”是“x ∈(0，3)”的 ( A ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．集合{1，2}的子集的个数为 ( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
4．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题是真命题的是 ( D )
A ．若a 2＞b 2，则a ＞b
B ．若1a ＜1
b ，则a ＞b
C ．若a ＜c ，b ≤c ，则a ≤b
D ．若a ＋c ≥b ＋c ，则a ≥b
5．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家。

可恨法身无坐位，当时行动念头差。

”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶。

若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是 ( A )
A ．y ＝10x ，x ＞0
B ．y ＝1
10x ，x ＞0
C ．y ＝x ＋10，x ＞0
D ．y ＝x ＋9，x ＞0
6．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，函数y ＝f (x )的图象是如图所示的射线，则当x ＜0时，函数y ＝f (x )的解析式是
A ．f (x )＝x －1
B ．f (x )＝x ＋1
C ．f (x )＝－x ＋1
D ．f (x )＝－x －1 7．下列说法正确的是 ( B ) A ．因为12＝1，所以log 11＝2 B ．因为32＝9，所以log 39＝2 C ．因为(－3)2＝9，所以log (－3)9＝2 D ．因为32＝9，所以log 92＝3
(第6题)
8．已知x ，y 满足x ＋y ＝2，则下列结论中正确的是 ( B )
A ．xy 的最小值为1
B ．x 2＋y 2的最小值为2
C ．x ＋4
x
的最小值为4
D ．1x ＋1
y
的最小值为2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．设集合M ＝{x |a ＜x ＜3＋a }，N ＝{x |x ＜2或x ＞4}，则下列结论中正确的是 (ABC) A ．若a ＜－1，则M ⊆N B ．若a ＞4，则M ⊆N C ．若M ∪N ＝R ，则1＜a ＜2 D ．若M ∩N ≠∅，则1＜a ＜2
10．设a ，b ，c ∈R ，则下列说法中正确的是 (AD) A ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b B ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 C ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd
D ．若a ＞b ，则a ＞b
11．设a ∈R ，n ，m ∈N *，且n ≥2，则下列等式中一定正确的是
(ACD)
A ．a m ·a n ＝a m ＋n
B ．(a n )m ＝a m ＋
n
C ．n
a n ＝a
D ．(n
a )n ＝a
12．下列说法中正确的是 (BD) A ．“a 2＞b 2”的充分条件是“a ＞b ＞0”
B ．若“对任意的x ∈R ，1－x 2≤m ”是真命题，则实数m 的取值范围是[1，＋∞)
C ．“函数f (x )在R 上是增函数”的含义是“存在x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)”
D ．对于非空集合M ，N ，“M ⊆N ”的充要条件是“对任意的x ∈M ，都有x ∈N ”
三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．
13．函数y ＝x －1＋1
x －2的定义域为[1，2）∪(2，＋∞)___________________ ．
14．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，
x 2＋1，x ≤0
的值域为(－1，＋∞)___________________．
15．“存在x ∈R ，x 2＝x ”的否定是：任意x ∈R ，x 2≠x ___________________．
16．若定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在区间（0，＋∞）是增函数，且f (2)＝0，则满足不等式
f (x )＜0的实数x 的取值范围是(－∞，－2)∪(0，2)___________________．
四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分10分，每小题5分)计算：
(1) (
2)0＋2×(
94
)0.5－0.001－1
3
； (2) 2lg5＋log 21
8
＋lg4．
解 (1) (2)0＋2×(
94
)0.5－0.001－13
＝1＋2×((32)2)0.5
－(103)1
3
………3分 ＝1＋2×(32
)2×0.5
－103×13
………4分 ＝1＋2×3
2－10＝－6．
………5分
(2) 2lg5＋log 21
8
＋lg4
＝2lg5＋log 22－
3＋lg22 ………2分 ＝2(lg5＋lg2)－3 ………3分 ＝2lg10－3 ………4分 ＝－1．
………5分
18．(本题满分12分)解下列不等式：
(1) 2x 2－5x ＋3＜0； (2)－3x 2＋x ＋4≤0． 解 (1)因为方程2x 2－5x ＋3＝0的解为x 1＝1，x 2＝3
2，
(2)
分
又因为函数y ＝2x 2－5x ＋3的图象是开口向上的抛物线， ………4分 所以不等式2x 2－5x ＋3＜0的解集是区间(1，3
2)．
………6分 (2)将原不等式的两边同乘以－1，得3x 2－x －4≥0． ………2分 因为方程3x 2－x －4＝0的解为x 1＝－1，x 2＝4
3，
………4分
又因为函数y ＝2x 2－5x ＋3的图象是开口向上的抛物线， 所以原不等式－3x 2＋x ＋4≤0的解集是(－∞，－1)∪(4
3
，＋∞)．
………6分
19．(本题满分12分)设函数f (x )＝(k 2＋4k －5)x 2＋2(1－k )x ＋1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )
＞0，求实数k 的取值范围．
解 ①若k 2＋4k －5＝0，则k ＝－5或1． ………2分
当k ＝－5时，f (x )＝12x ＋1．由于f (－1)＝－23＜0，与题意不符， 所以k ＝－5不满足条件； 当k ＝1时，f (x )＝1＞0， 所以k ＝1满足条件． ………4分 ②若k 2＋4k －5≠0，即k ≠－5且k ≠1，则由二次函数的图象可知，“对任意的x ∈R ，都有f (x )＞0”等价于“函数f (x )的图象是开口向上且与x 轴无公共点的抛物线”，……6分
即 ⎩⎨⎧k 2＋4k －5＞0，△＝[2(1－k )]2－4(k 2＋4k －5)×1＜0，
………8分
即 ⎩⎨⎧k ＜－5或k ＞1，
k ＞1，
解得 k ＞1．
………10分 综上可知k 的取值范围是区间[1，＋∞)．
………12分
20．(本题满分12分)
实验表明：A 品牌的60瓦白炽灯和B 品牌的10瓦节能灯照明亮度相同，一只A 品牌的60瓦白炽灯的平均使用寿命为2000小时，售价3元；一只B 品牌的节能灯平均使用寿命为4000小时，售价15元．已知电的价格是0.5元/千瓦小时，用灯费用＝购灯费用＋用电费用．设用灯时间t (单位：小时)不超过4000小时，用一只白炽灯的费用与用一只节能灯的费用的差为y (元)．
(1)试写出y 关于t 的函数关系式y ＝f (t )；
(2)需用灯多少小时，节能灯才能显现费用节约的效果？
(3)如果用灯4000小时，那么用一只节能灯比用一只白炽灯节约多少费用？ 解 (1)当t ∈[0，2000]时，
y ＝(3＋0.5×601000t )－(15＋0.5×101000t )＝1
40t －12；
………2分
当t ∈(2000，4000]时，
y ＝(3×2＋0.5×601000t )－(15＋0.5×101000t )＝1
40
t －9．
………4分 综上 f (t )＝⎩⎨⎧1
40t －12，t ∈[0，2000]，
1
40t －9，t ∈（2000，4000]．
………6分
(2)当t ∈[0，2000]时，令1
40
t －12＞0，得t ＞480，从而t ∈(480，2000]； ………8分
当t ∈（2000，4000]时，显然1
40
t －12＞0．
答：当需用灯480小时以上时，节能灯才能显现节约费用的效果． ………9分 (3)当t ＝4000时，y ＝f (4000)＝1
40
×4000－9＝91．
………11分
答：如果用灯4000小时，那么用一只节能灯比用一只白炽灯节约91元．
…12分
21．(本题满分12分)设a ∈R ，解下列关于x 的不等式：ax 2＋(a －1)x －1＞0． 解 (1)若a ＝0，则原不等式为－x －1＞0，解得x ＜－1，
从而原不等式的解集为区间(－∞，－1)． ………2分
(2)若a ≠0，则方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的解为x 1＝1
a ，x 2＝－1．
………4分
①若a ＞0，则原不等式可化为x 2＋(1－1a )x －1
a
＞0．
因为函数y ＝x 2＋(1－1a )x －1a 的图象是开口向上的抛物线，且1
a ＞－1．
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1
a ，＋∞)．
………6分 ②若a ＜0，则原不等式可化为x 2＋(1－1a )x －1
a
＜0．
………8分 因为函数y ＝x 2＋(1－1a )x －1
a
的图象是开口向上的抛物线，所以
当－1＜a ＜0时，1a ＜－1，从而原不等式的解集为区间(1
a ，－1)；
当a ＝－1时，1
a
＝－1，从而原不等式的解集为∅；
当a ＜－1时，－1＜1a ＜－0，从而原不等式的解集为区间(－1，1
a
)．
………11分
综上，若a ＜－1，则原不等式的解集为区间(－1，1
a )；若a ＝－1，则原不等式的解集
为∅；若－1＜a ＜0，则原不等式的解集为区间(1
a ，－1)；若a ＝0，则原不等式的解集为区
间(－∞，－1)；若a ＞0，则原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1
a
，＋∞)．
………12分
22．(本题满分12分)设函数f (x )＝x －1
x
．
(1)证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)设函数g (x )＝x 2－ax ，其中a ∈R ，若对任意的m ∈[2，4]，n ∈[1，5]，都有f (m )≥g (n )，试求实数a 的取值范围．
解：(1)方法一：对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)， ………2分
当x 1＜x 2时，1x 1＞1x 2，即－1x 1＜－1
x 2
，
………4分 所以 x 1－1x 1＜x 2－1
x 2
，即f (x 1)＜f (x 2)，
因此，函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．
………6分 方法二：对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，
………2分 f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－1x 1)－(x 2－1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 2－1
x 1
)
＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)(1＋1
x 1x 2
)．
………4分 当0＜x 1＜x 2时， x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而(x 1－x 2)(1＋1
x 1x 2
)＜0， 即f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，
因此，函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数． ………6分 (2)由(1)知，f (x )在区间[2，4]上是增函数，所以， 当m ∈[2，4]时，f (m )的最小值是f (2)＝3
2
．
………8分
所以，对任意的m ∈[2，4]，n ∈[1，5]，都有f (m )≥g (n )，等价于 方法一：
函数g (n )＝n 2－an 在区间[1，5]上的最大值不大于3
2
．
………10分
因为g (n )＝(n －a 2)2－a 24在区间(－∞，a 2]上单调减，在区间[a
2，＋∞)上单调增，所以g (n )
＝n 2－an 在区间[1，5]上的最大值为max{g (1)，g (5)}．
由⎩⎨⎧
g (1)＝1－a ≤32，g (5)＝25－5a ≤32，得⎩
⎨⎧a ≥－1
2，
a ≥4710
，即a ≥47
10．
所以，实数a 的取值范围是区间[47
10，＋∞)．
………12分
方法二：
即函数g (x )＝x 2－ax 在区间[1，5]上的最大值不大于3
2
．
………10分
因为g (x )＝(x －a 2)2－a 24满足：对任意的x ∈R ，都有g (a 2－x )＝g (a
2＋x )，且g (x )在区间(－
∞，a 2]上单调减，在区间[a
2
，＋∞)上单调增，所以
①若a 2≤1＋52，即a ≤6，则g (x )在区间[1，5]上的最大值为g (5)＝25－5a ．
由25－5a ≤32，得a ≥4710，从而 47
10
≤a ≤6．
②若a 2＞1＋5
2，即a ＞6，则g (x )在区间[1，5]上的最大值为g (1)＝1－a ．
由1－a ≤3
2
，得a ≥－12，从而a ＞6．
综合①②得，实数a 的取值范围是区间[47
10，＋∞)．
………12分
方法三：
对任意的n ∈[1，5]，都有g (n )≤3
2，
………10分 即n 2－an ≤32，即a ≥n －3
2n
．
同(1)可证函数h (n )＝n －3
2n
在区间[1，5]上单调递增，从而当n ＝5时，h (n )取得最大值
h (5)＝5－32×5＝47
10
．
所以a 的取值范围是区间[47
10
，＋∞)．
………12分。