(好题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(有答案解析)

一、选择题
1．直线3y x
与曲线2||
194
y x x -=的公共点的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知点()P m n ,是抛物线2
14
y x =-
上一动点，则
A
．4
B ．5
C D ．6
3．设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点为F ，直线20x y -=过点F 且与双
曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ）
A B
C ．2
D 4．抛物线：24y x =的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ） A ．21y x =-
B ．2
1
2
y x =-
C ．22(1)y x =-
D ．221y x =-
5．过抛物线26y x =的焦点作一条直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若
123x x +=，则这样的直线（ ）
A ．有且只有一条
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有且只有四条
6．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线
:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．设1F 、2F 是双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上
一点.若126PF PF a +=，且122
PF F S =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）
A 0y ±=
B ．0x ±=
C 20y ±=
D ．20x =
8．已知1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线
的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A ．
B
C ．
D ．
9．已知抛物线2:4C y x =，过点()1,0A -作C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则过点A 、B 、D 的圆截y 轴所得弦长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线
22
2:126
x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）
A ．23
y x =
B ．23
y x =
C ．28x y =
D ．216x y =
11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，M 是x 轴正半轴上的一点，线段FM 交抛物线于点A ，过A 作l 的垂线，垂足为B .若BF BM ⊥，则FM =（ ） A ．
52
B ．3
C ．
72
D ．4
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、
B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆上，则双曲线的离心率的值为（ ）
A ．1B
C ．1+
D 二、填空题
13．已知双曲线()22210y x a a -=>的离心率2
e =12,F F 分别是它的下焦点和上焦
点，若Р为该双曲线上支上的一个动点，则1PF 与P 到一条渐近线的距离之和的最小值为_________．
14．已知双曲线22
:143
x y C -=的左､右焦点分别12,F F ，P 为双曲线上异于顶点的点，以
1PF ，2PF 为直径的圆与直线l 分别相切于A ，B 两点，则12cos ,AB F F <>=___________.
15．设1A 、2A 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右顶点，若在椭圆上存在异于1A 、2
A 的点P ，使得10PO PA ⋅=，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是
_____. 16．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M
是12PF F △内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2c A PA a
=（c
为半焦距），若
1
2
2PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____． 17．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为A ，上顶点为B ，8AB =分米，在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯
泡，球心C 在轴AB 上，且2AC =分米．已知球形灯泡的球心C 到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点A 处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为
2(0)y ax a =>，则实数a 的取值范围是_______
18．已知椭圆22
2:1(06)6x y G b b
+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点
分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：
①点P 的轨迹关于y 轴对称；
②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；
③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．
19．如图，两个离心率相等的椭圆1Γ与椭圆2Γ，焦点均在x 轴上A ，B 分别为椭圆2Γ的右顶点和上顶点，过A ，B 分别作椭圆1Γ的切线AC ，BD ，若AC 与BD 的斜率之积为5
7
-，则
椭圆1Γ的离心率为__________.
20．倾斜角为45的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，则AB 的长为__________________.
三、解答题
21．已知点22,M ⎭
在椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>上，且点M 到C 的左，右焦点
的距离之和为4． （1）求C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点,O M ）上，求
OA OB ⋅的取值范围．
22．已知P 是圆224x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，点M 满足
1
2
DM DP =
．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）设()2,0A -，()2,0B ，Q 是曲线Γ上不同于A 、B 的任意一点．求证：直线
QA 、QB 的斜率之积为定值．
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()1,0M -，()1,0N ，动点Q 到点M 的距离为
，线段NQ 的垂直平分线交线段MQ 于点K ，设点K 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；
（2）已知点()2,0P ，设直线l ：10x my +-=与曲线E 交于A ，B 两点，求证：
OPA OPB ∠=∠.
24．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右顶点分别为,A B ，离心率e =E 上任意一点M 到两个焦点1F ，2F 的距离之积的最大值为4.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知点P 为直线l ：4x =上的任意一点，直线PA 、PB 与椭圆E 分别交于两点
C 、
D （不同于A 、B 两点），求证：直线CD 经过定点，并求出该定点的坐标，
25．椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为1F 、
2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当1F AB 的面积为
11
时，求直线l 的斜率. 26．已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E (PQD 三点可重合). （1）求曲线E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M ､N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k ､k ､2k 成等比数列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，试探究12S S +是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由于已知曲线函数中含有绝对值符号， 将x 以0为分界进行分类讨论，当x ≥0时，曲线为焦点在y 轴上的双曲线，当x <0时，曲线为焦点在y 轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数. 【详解】
当0x ≥时，曲线2194x x
y -=的方程为22194y x -=
当0x <时，曲线2194
x x
y -=的方程为22194y x +=，
∴曲线2194
x x
y -=的图象如图，
在同一坐标系中作出直线3y x
的图象，
可得直线与曲线交点个数为3个．
故选：C 【点晴】
本题讨论曲线类型再利用数形结合法求交点个数是解题的关键．
2．D
解析：D 【分析】 先把抛物线2
14
y x =-
化为标准方程，求出焦点F (0,-1),运用抛物线的定义，找到2222(1)(4)(5)m n m n ++-++.
【详解】
由2
14
y x =-，得24x y =-． 则2
14
y x =-
的焦点为()0,1F -．准线为:1l y =． 2222(1)(4)(5)m n m n +++-++几何意义是
点()P m n ,到()0,1F
-与点()4,5A -的距离之和，如图示：
根据抛物线的定义点()P m n ,到()0,1F -的距离等于点()P m n ,到l 的距离，
2222(1)(4)(5)m n m n ++-++|PF |+|PA |=|PP 1|+|PA |,
所以当P 运动到Q 时，能够取得最小值. 最小值为：|AQ 1|=()156--=． 故选：D. 【点睛】
解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
3．D
解析：D 【分析】
焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】
直线250x y -+=过点F ，可得()
5,0F - 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .
因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.
1PF PF ⊥，故OH PF ⊥
由点到直线距离公式有
1OH =
=
故12PF =，12PF PF a -=
，(2
2
2
2
112PF PF F F +==
故()2
222220a ++=. 可得1a
=
c
e a =
= 故选：D 【点睛】 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．
4．C
解析：C 【分析】
设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】
由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：1x my =+，
设直线与抛物线的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 的中点(,)P x y ， 联立直线与抛物线的方程可得：
2440y my --=，124y y m +=，21212()242x x m y y m +=++=+，
所以可得2212x m y m
⎧=+⎨=⎩，消去m 可得P 的轨迹方程：2
22y x =-，
故选：C ． 【点睛】
方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等.
5．A
解析：A 【分析】
由抛物线方程求得焦点F 的坐标，分直线AB 斜率不存在和直线斜率存在，存在时设直线AB 方程与抛物线方程联立，由韦达定理表示出A 、B 两点的横坐标之和，求得k ，即可得结论. 【详解】
抛物线2
6y x =的焦点为3,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当过焦点的直线斜率不存在时，即为32
x =
， 123
2
x x ==
，符合123x x +=， 当过焦点的直线斜率存在时设为32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，
由2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛
⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩
得()222293604k k x k x -++=， 所以2122
363k x x k
++==，即22363k k +=，所以无解， 则这样的直线有且只有一条. 故选：A. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏，是中档题.
6．B
解析：B 【分析】
作出图形，过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点
B 、A ，由抛物线的定义得出1d MB MF ==，可得出12d d MF MA +=+，利用
FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值，然后计算出点F 到直线
3490x y ++=的距离，即为所求.
【详解】 如下图所示：
过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ， 由抛物线的定义可得1d MB MF ==，则12d d MF MA +=+， 当且仅当FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值， 点F 到直线3490x y ++=的距离为22
1
3049
4
2
34d ⨯+⨯+=
=+，
因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】
关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.
7．A
解析：A 【分析】
利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123
F PF π
∠=
，利用双曲线的
定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出b
a
的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】
设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2
22
1212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，
即
()
()
()
2
2
212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，
所以，222
122221cos 1cos c a b PF PF θθ
-⋅==
--，
12
22
221222sin cos
1sin 22sin 21cos tan
112sin 22PF F b b b S PF PF θθ
θθθθθ⋅=⋅====-⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭△
，
tan
2
3
θ
∴=
， 0θπ<<，可得02
2
θ
π
<
<
，2
6
θπ∴
=
，所以，3
πθ=
，
由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得12
42PF a
PF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
由余弦定理可得2
22
12
12122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，
即2
2
2
2
21
416416122
c a a a a =+-⨯
=，则223c a =，即2223a b a +=
，b ∴=， 因此，双曲线C
的渐近线方程为b
y x a
=±=
0y ±=. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：
（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；
（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得
b
a
的值，则渐近线方程可求. 8．C
解析：C 【分析】
利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得
c
a
的值，利用公
式=b a . 【详解】
2ABF 为等边三角形，
22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，
由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，
212AF AF a -=，
24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，
由余弦定理可得22
12121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==
+-⋅︒=，
即7c a =，所以2
2222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭
． 因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±． 故选：C.
【点睛】
思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：
（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线b
y x a
=±，焦点在y 轴时渐近线a
y x b
=±
； （2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建c
a
的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.
9．A
解析：A 【分析】
设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B 、D 两点的坐标，进而得出过点A 、B 、D 的圆的方程，求出弦长即可． 【详解】
设过点()1,0A -的直线方程为1x my =-，
联立214x my y x
=-⎧⎨=⎩，可得2
440y my -+=，由216160m ∆=-=，解得1m =±
即2
440y y ±+=，2y =±，
不妨设()()1,2,1,2B D -，则BD 的中垂线方程为0y =，即圆心在x 轴上
又()1,0A -，且点()1,0到点A 、B 、D 的距离都相等，则圆心坐标为()1,0，半径为2
圆的方程为()2
214x y -+=，令0x =，解得y =
即圆被y 轴所截得的弦长为故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
10．D
解析：D 【分析】
先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】
双曲线2C 的渐近线方程是22
026
x y -=，即y =.
因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
0y -=的距离为2，
2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，
故选：D ． 【点睛】
方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：
已知双曲线方程22221x y a b
-=或22
221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为
“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 11．B
解析：B 【分析】
先利用方程得求得焦点坐标和准线方程，设点(,0)M m ，()00,A x y ，再利用点()00,A x y 在抛物线与直线上列方程，解出0,x m ，最后利用距离公式计算FM 即可. 【详解】
如图所示，抛物线2
4x y =中，()0,1F ，:1l y =-，
依题意设(,0)M m ，()00,A x y ，00x >，则2
004x y =，故200,4x A x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()0,1B x -，
因为BF BM ⊥，即BF BM ⊥，而()()00,2,,1BF x BM m x =-=-， 所以()0020BF BM x m x ⋅=-+=，
直线:11x y FM m +=，A 在直线上，故2
00:14
x x FM m +=，即
02044x m x =-，代入上式即得000
024420x x x x ⎛⎫
-+= ⎪⎝
-⎭，化简整理得4200280x x +-=，即()()2200240x x -+=， 故2
02x =，而00x >，故02x =422242m =
=-
(22,0)M ，
所以FM =(
)
()2
2
220013-+-=.
故选：B. 【点睛】
本题解题关键在于利用点()00,A x y 既在抛物线上，又在直线上，构建关系式，求解出点
M 即突破难点.
12．A
解析：A 【分析】
先由题意求出以AB 为直径的圆的半径为2
b r a
=和圆心坐标得到圆的方程，然后代入左焦
点坐标，利用222c a b =+化简后可得答案. 【详解】
将x c =代入22221x y a b
-=可得2b
y a =±，
所以以AB 为直径的圆的半径为2
b r a
=，圆心为(),0c ，
圆的方程为()4
2
2
2a
b x
c y -+=，左焦点为(),0c -，
因为双曲线的左焦点在圆上，
所以()2
24
0b c a
c +--=，整理得242460a c c c +=-，即42610e e -+=，
解得23e =+
23e =-
所以1e = 故选：A . 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线和双曲线的位置关系、点和圆的位置关系，关键点是先求出以
AB 为直径的圆的半径，再根据双曲线的左焦点在圆上，得到所要求的,,a b c 等量关系即可，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力． 二、填空题
13．【分析】根据离心率先求出双曲线的方程得出渐近线方程根据双曲线的定义可得：所以设点到一条渐进线的距离为则从而得出答案【详解】双曲线的离心率所以解得所以双曲线由的双曲线的渐进线方程为由为该双曲线上支上的 解析：5
【分析】
根据离心率先求出双曲线的方程，得出渐近线方程，根据双曲线的定义可得：
1224PF PF a -==，所以124PF PF =+，设点Р到一条渐进线的距离为d ，则124PF d PF d +=++，从而得出答案.
【详解】
双曲线()22210y x a a -=>
的离心率2
e =
所以2
215
14
e a =+
=，解得2a =
，所以(
(120,,F F 双曲线22
14
y x -=，由2204y x -=，的双曲线的渐进线方程为2y x =±
由Р为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -== 所以124PF PF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d
则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，垂足为M ,如图.
所以21F M =
=
所以122445PF d PF d F M +=++≥+=
同理1PF 与P 到渐近线2y x =-的距离之和的最小值为5
故答案为：5
【点睛】
关键点睛：本题考查利用双曲线的定义解决距离之和的最值问题，解答本题的关键是根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PF
PF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d ，则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，属于中
档题.
14．【分析】求得双曲线的设运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得由相切的性质判断四边形为直角梯形过作垂足为运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义计算可得所求值【详解】解 21
【分析】
求得双曲线的a ， c ，设1PF m =，2PF n =，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理可得MN ，由相切的性质判断四边形ABNM 为直角梯形，过N 作NQ AM ⊥，垂足为
Q ，运用直角三角形的勾股定理和向量的夹角的定义和直角三角形的余弦函数的定义，计
算可得所求值． 【详解】
解：因为双曲线22
:143
x y C -
=，所以2a =，227c a b =+=依题意画出如下图形，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，过点N 作NQ AM ⊥交
AM 于点Q ，连接MN ，所以121
72
MN F F =
=，设1PF m =，2PF n =，则24m n a -==所以11122AM PF m ==，211
22BN PF n ==，所以
()1
22
MQ AM BN m n =-=-=，在Rt MNQ 中223NQ MN MQ -=，
因为//NQ BA ，所以MNQ ∠为12,AB F F 的夹角，所以
12321
cos ,7
QN AB F F MN <>=
==
故答案为：
21
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和圆相切的性质，考查直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义、向量的夹角的概念，考查方程思想和化简运算能力和推理能力．
15．【分析】设点由可得出求出函数在区间上的零点为化简得出进而可解得的取值范围【详解】设点则可知点设则函数在区间上存在零点则为方程的一根设函数在区间内的零点为由韦达定理可得所以即整理可得即解得因此椭圆的离
解析：22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【分析】
设点(),P x y ，由10
PO PA ⋅=可得出2220e x ax b ++=，求出函数()f x 在区间(),0a -上的零点为2
2ab c
-，化简得出2201b c <<，进而可解得e 的取值范围.
【详解】
设点(),P x y ，则22
2
2
2b y b x a
=-，可知点()1,0A a -，(),PO x y =--，
()1,PA a x y =---，
()()
222
2
2
2
2
22
21220
b c PO PA x a x y x y ax x b x ax x ax b a a
⋅=---+-=++=+-+=++=，
设()22
2
f x e x ax b =++，则函数()f x 在区间(),0a -上存在零点，
()2220f a c a b -=-+=，则a -为方程2220e x ax b ++=的一根，
设函数()f x 在区间(),0a -内的零点为1x ，由韦达定理可得222
122b a b ax e c -==，
2
12ab x c
∴=-，
所以，220ab a c -<-<，即2
201b c
<<，整理可得2222a c b c -=<，222a c ∴<，即
221e >，
01e <<，解得
12
e <<.
因此，椭圆的离心率e 的取值范围是2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
故答案为：,12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出a 、c ，代入公式c
e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a 、b 、c 的齐次式，结合222b a c =-转化为a 、c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（或不等式），解方
程（或不等式）即可得e （e 的取值范围）．
16．【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与轴切于顶点再分别表示列出关于的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围【详解】设圆心设内切圆与相切于点如图：根据内切圆性质可知点是双曲线的顶点即整理
解析：1)． 【分析】
首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与x 轴切于顶点，再分别表示
12,PF PF ，列出关于,a c 的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围.
【详解】
设圆心(),M x y ，设内切圆与1212,,PF PF F F 相切于点,,A B C ， 如图：根据内切圆性质可知PA PB =，11
F A FC =，22F B F C =， 1212122PF PF PA AF PB BF CF CF a ∴-=+--=-=,
∴点C 是双曲线的顶点，
即11
F A FC c a ==+，22F
B F
C c a ==-，2
2c PA PB a
==， 2
12
2
222c c a PF a
c PF c a a
++=>-+
，整理为：22260c ac a +-<，两边同时除以2a ， 得2260e e +-<，解得：1717e --<<-+，且1e >， 所以离心率的取值范围是()
1,71-.
故答案为：()
71 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.公式法：22
2111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪
⎝⎭
3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
17．【分析】设出抛物线上任意一点的坐标根据两点间的距离公式求得球心到四周轮廓上的点的距离根据最短距离是在下顶点处取到结合二次函数的性质求得的取值范围【详解】建立如图所示直角坐标系其中为坐标原点得抛物线方
解析：10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
设出抛物线上任意一点的坐标，根据两点间的距离公式求得球心C 到四周轮廓上的点的距离，根据最短距离是在下顶点A 处取到，结合二次函数的性质，求得a 的取值范围. 【详解】
建立如图所示直角坐标系，其中A 为坐标原点，得抛物线方程2
(0)y ax
a =>，(0,2)C ，
设抛物线上任一点的坐标为2
00(,)x ax ，
由两点距离公式得()2
2224200002(14)4=
+-=+-+d x ax a x a x
令20(0)=≥t x t ，则22
(14)4(0)=+-+≥y a t a t t 的开口向上，对称轴为2
41
2-=
a t a ， 当对称轴2
41
02a a -≤时，在0t =处取得最小值，此时d 的最小值为4=2=d ， 当对称轴2
41
02a a ->时，最小值在对称轴处取得，即d 的最小值小于2，不符合题意. 故由
2
4102a a -≤，解得10,4a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. 故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
【点睛】
关于平面图形或者空间几何体中一些边长或者距离的最值计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值.
18．①③【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上分别画出两个椭圆的图形即可判断①正确；通过的变化可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时的值取得最小即可判断③【详解】解：椭圆的两个焦点分别为
解析：①③ 【分析】
运用椭圆的定义可得P 也在椭圆22
2
166y x b
+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，||OP 的值取得最小，即可判断③．
【详解】
解：椭圆22
2:1(06)6x y G b b
+=<<的两个焦点分别为
21(6F b -，0)和22(6F b --，0)，
短轴的两个端点分别为1(0,)B b -和2(0,)B b ，
设(,)P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212||||||||PB PB PF PF +=+， 由椭圆定义可得，12||||2262PB PB a b +==>，
即有P 在椭圆22
2
166y x b
+=-上． 对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称， 故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且06b <<，
则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，
不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；
对于③，点P 靠近坐标轴时(0b →或6)b →，||OP 越大，点P 远离坐标轴时，||OP 越
小，所以2
2
6b b -=，即2
3b =时，取得最小值，此时22
:163x y G +=，与22163
y x += 两方程相加得22
222222
x y x y +=⇒+=，即||OP 的最小值为 2，故③正确．
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．
19．【分析】由已知设圆的方程为椭圆的方程为再设出直线AC 的方程为直线BD 的方程为分别与椭圆的方程为联立整理由直线与椭圆相切的条件求得斜率再由已知得由此可求得椭圆的离心率【详解】因为两个椭圆与椭圆的离心率
解析：
7
【分析】
由已知设圆1Γ的方程为
()
()
2
2
2
2
+
1x y ma mb =，椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b
=，再设出直线AC 的方程为()1y k x ma =-，直线BD 的方程为2+y k x mb =，分别与椭圆2Γ的方程为
22
22
+1x y a b =联立整理，由直线与椭圆相切的条件0∆=，求得斜率，再由已知得225
7b a =，由此可求得椭圆的离心率. 【详解】
因为两个椭圆1Γ与椭圆2Γ的离心率相等，所以设椭圆1Γ的方程为
()
()
2
2
2
2
+
1x y ma mb =，
椭圆2Γ的方程为22
22+1x y a b
=，
设直线AC 的方程为()1y k x ma =-，与椭圆2Γ的方程为22
22+1x y a b
=联立整理得：
()()2
34222
1222221
1+2+0b mk a x a k x
m a a k b --=，
因为直线AC 与椭圆2Γ相切，则()
()()2
222222213
241142+0a k m m a a k b a b k --=-=∆，
整理化简得()
21
22
21k a m b =-，
设直线BD 的方程为2+y k x mb =，与椭圆2Γ的方程为22
22+1x y a b
=联立整理得：
()()2
22
22
22222
22+2+0b mk a b a k x
m a a x b b --=，
因为直线BD 与椭圆2Γ相切，则()
()()2
2222222222242+0a k mk a b m a a b b b -=--=∆，
整理化简得()222
2
21m k
a
b -=
，
又AC 与BD 的斜率之积为57-，所以()
()
2
2
22
122
2
2
2
2
1571
m
k k a b b a m -⎛⎫
⋅=⋅=- ⎪-⎝⎭
，整理得2257b a =，所以222
22
521177
c b e a a ==-=-=， 所以椭圆1Γ
的离心率为
7
，
故答案为：7
. 【点睛】
关键点点睛：解决直线与椭圆的位置关系的问题，关键在于联立直线与椭圆的方程，运用方程的根的判别式的正负，满足直线与椭圆相交，相切，相离.
20．【分析】直线的方程为与抛物线方程联立可得从而可得再根据抛物线的定义即可求出的长【详解】抛物线的焦点的坐标为所以直线的方程为即由得所以由抛物线的定义可知所以的长为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与抛 解析：8
【分析】
直线l 的方程为1y x =-，与抛物线方程联立可得2610x x -+=，从而可得
6A B x x +=，再根据抛物线的定义即可求出AB 的长.
【详解】
抛物线2
4y x =的焦点F 的坐标为(1,0)，所以直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=-，即
1y x =-，
由214y x y x
=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，所以6A B x x +=， 由抛物线的定义可知628A B AB x x p =++=+=，所以AB 的长为8. 故答案为：8 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线焦点弦长的求法，属于中档题.
三、解答题
21．（1）2
214
x y +=；（2）861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭．
【分析】
（1）本小题根据已知条件直接求出2a =，1b =，再求出椭圆方程即可.
（2）本小题先设A 、B 两点，再将OA OB ⋅转化为只含m 的表达式，最后根据m 的范围确定OA OB ⋅的范围，即可解题. 【详解】
解：（1）∵点2M ⎭
在椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）上，
∴
22
21
12a b +=，又∵24a =， ∴ 2a =，1b =.
∴椭圆C 的方程：2
214
x y +=；
（2）设点A 、B 的坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
在线段OM 上，且1
2
OM k =
，则12122()x x y y +=+， 又22
1112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202
x x x x y y y y -++-+=， 易知120x x -≠，120y y +≠，所以
()
1212
121212y y x x x x y y -+=-=--+，则1AB k =-. 设AB 方程为y x m =-+，代入2214
x
y +=并整理得2258440x mx m -+-=.
由2
16(5)0m ∆=->解得25m <，又由
(12425x x m +=∈，则04
m <<. 由韦达定理得1285m x x +=，2124(1)
5
m x x -⋅=，
故OA OB ⋅
1212x x y y =+
()()1212x x x m x m =+-+-+ ()212122x x m x x m =-++ ()22
281855m m m -=-+
285
m =-
又∵. 04
m <<
∴OA OB ⋅的取值范围是861,540⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．（1）2
214
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1）令()00,P x y ，(),M x y ，则()0,0D x ，由已知条件，结合向量的坐标表示有
002x x y y
=⎧⎨
=⎩，由P 是圆22
4x y +=上一点，即可求Γ的方程； （2）由（1）知Q 是曲线Γ上不同于A 、B 的任意一点，则存在QA k 、QB k ，令()11,Q x y 即可得21214
QA QB y k k x ⋅=-，即可证斜率之积为定值． 【详解】
解：（1）设()00,P x y ，(),M x y ，则()0,0D x ，
由1
2DM DP =得：00
2x x y y =⎧⎨=⎩．
由题意，22004x y +=，得22
44x y +=．
所以，曲线的方程为2
214x y +=．
（2）证明：设()11,Q x y ，则2
21114
x y +=．
由题意知：QA k 、QB k 存在. ∴112QA y k x =
+，1
12
QB y k x =-． ∴2121144
QA QB
y k k x ⋅==--， ∴直线QA 、QB 的斜率之积为定值1
4
-． 【点睛】 关键点点睛：
（1）应用向量的坐标表示，找到M 点坐标与点P 的坐标间的数量关系，由P 是圆
224x y +=上求M 的轨迹方程.
（2）由已知，根据直线斜率的坐标表示可得QA QB k k ⋅关于Q 坐标的数量关系，进而可证结论.
23．（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用中垂线的性质可得KN KQ =
，从而得到2KM KN QM MN +==>=，利用椭圆的定义进行分析求解即可；
（2）根据点P 的位置，确定OPA ∠，OPB ∠都是锐角，然后联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，再将问题转化为求证两个角的正切值相等，代入化简求解，即可证明．。