全国中考数学试题分类解析汇编专题7探索规律型问题(图形类)

C1B1 交 x 轴于点 A2 ，作正方形 A2B2C2C1,,,, 按这样的规律进行下去，第 的面积为 【】
2012 个正方形
A.5 ()3
22010 B.5 ()9
42010
C.5 ()9
42012 D.5 ()3
24022 【答案】 D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）
，坐标与图形性质，正方形的性质，相似三角形的判定
则第⑥个图形中五角星的个数为【
】
A ． 50 B．64 C． 68 D． 72 【答案】 D。
【考点】分类归纳（图形的变化类） 。
【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的，
第①个图形一共有 2＝ 2×1 个五角星，
第②个图形一共有 8＝ 2×（ 1+3）＝ 2×2 个五角星，
第③个图形一共有 18＝ 2×（ 1+3+5）＝ 2×3 个五角星，
OA1=l ，则△ A6B6A7 的边长为【
】
o222
A ． 6 B ．12 C． 32 D ．64 【答案】 C。 【考点】分类归纳（图形的变化类） ，等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定 和性质，含 30 度角的直角三角形的性质。 第 1 页 共 52 页
20XX 年全国中考数学试题分类解析汇 【分析】如图，∵△ A1B1A2 是等边三角形， ∴A1B1=A2B1 ，∠ 3=∠ 4=∠ 12=60°。∴∠ 2=120°。 ∵∠ MON=3°0 ，∴∠ 1=180°－120°－ 30°=30°。 又∵∠ 3=60°，∴∠ 5=180°－ 60°－ 30°=90°。
∴AP2012=670 （3 ） +2+ 3 。故选 B。
7. （ 2012 江苏镇江 3 分）边长为 a 的等边三角形，记为第 1 个等边三角形。取其各边的三 第 4 页 共 52 页
20XX 年全国中考数学试题分类解析汇 等分点， 顺次连接得到一个正六边形， 记为第 1 个正六边形。 取这个正六边形不相邻的三边
2012 个图形中直角三角形的个数有
【】
A ． 8048 个 【答案】 B。
B． 4024 个
【考点】分类归纳（图形的变化类） 。
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C． 2012 个
D． 1066 个
20XX 年全国中考数学试题分类解析汇 【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律： 第 1 个图形，有 4 个直角三角形，第 2 个图形，有 4 个直角三角形， 第 3 个图形，有 8 个直角三角形，第 4 个图形，有 8 个直角三角形，
BA1 OA1
。
ABOD2 22 3 =5
。 ∴第 2 个正方形 A1B1C1C 的边长 A1C=A1
2 3 同理第 3 个正方形的边长
是 22
2 323
=5
。2
2 22，面积是
： 第 7 页 共 52 页
20XX 年全国中考数学试题分类解析汇 3 第4
个正方形的边长是
2
,
第 20122 3 3 3 3
和性质，勾股定理。 【分析】∵正方形 ABCD ，∴ AD=AB ，∠ DAB= ∠ ABC= ∠ ABA1=90° =∠DOA 。 ∴∠ ADO+ ∠ DAO=9°0 ，∠ DAO+ ∠ BAA1=90° 。∴∠ ADO= ∠ BAA1 。 ∵∠ DOA= ∠ ABA1 ，∴△ DOA ∽△ ABA1 。∴∵ AB=AD=1
30 550，解得 13 由 510 40n﹣ 11 n 14，∴ n=14。 22 当 n=14 时， 40n﹣ 30=530 米处是灯，
则 510 米、 520 米、 540 米处均是树。
∴从此路牌起向右 510m～ 550m 之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、
树。故选 B 。
5. （2012 浙江绍兴 4 分）如图，直角三角形纸片 ABC 中， AB=3 ，AC=4 ，D 为斜边 BC 中 点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交与点 P1；设 P1D 的中点为 D1 ，
则 AP6 的长为【
】
5 35
A ． 12 2 【答案】 A 。 36B． 95 25 3637C．14
D． 1125 2
【考点】分类归纳（图形的变化类） ，翻折变换（折叠问题） 。
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20XX 年全国中考数学试题分类解析汇
15155 325 335 3n 【分析】 由题意得， AD=BC= ，AD1=AD ﹣ DD1= ，AD2=5 ，AD3=7 ，, ∴ ADn=2n 1。 228222
A ． (1，－ 1)
B． (－ 1， 1)
C． (－ 1，－ 2)
D． (1，－
2)
9. （ 2012 湖北荆门 3 分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺 次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，
得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第
5566
11
231616
56
5656161612
12
11
同理，第 3 个等边三角形的边长为
a，第 4 个等边三角形的边长为
a，
2211
第 5 个等边三角形的边长为
a，第 6 个等边三角形的边长为
a。
22 又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的，
4
5
23
1
3
11 ∴第 6 个正六边形的边长是
a。故选 A 。
5155 325 3n 1 故 AP1= ， AP2= ， AP3=6,APn= 。 2n41622
5 35 ∴当 n=14 时， AP6=12 。故选 A 。 2
6. （ 2012 江苏南通 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90o，∠ B＝ 30o，AC ＝ 1，AC 在直 线
l 上．将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置①，可得到点
3. （ 2012 浙江丽水、金华 3 分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图
1 中棋子围城三
角形，其棵数 3，6，9，12，, 称为三角形数．类似地，图 2 中的 4， 8，12， 16， , 称为正方
形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【
】
A ． 2010 B． 2012 C． 2014 D． 2016
20XX 年全国中考数学试题分类解析汇编专题 57 探索规律型问题 (图形类 )
20XX 年全国中考数学试题分类解析汇 专题 57 探索规律型问题 (图形类） 一、选择题
1. （ 2012 重庆市 4 分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个 图形一共有 2 个五角星， 第②个图形一共有 8 个五角星， 第③个图形一共有 18 个五角星， , ，
【答案】 D。
【考点】分类归纳（图形的变化类） 。
【分析】观察发现， 三角数都是 3 的倍数，正方形数都是 4 的倍数，所以既是三角形数又是
正方形数的一定是 12 的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：
∵2010÷12＝ 167,6 ，2012÷12＝ 167,8 ， 2014÷12＝ 167,10 ， 2016÷12＝ 168，
,， 依次类推，当 n 为奇数时，三角形的个数是 2（n+1 ），当 n 为偶数时，三角形的个数是 2n 个， 所以，第 2012 个图形中直角三角形的个数是 2×2012=4024。故选 B。
10. （ 2012 湖北鄂州 3 分）在平面坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标 为（ 1， 0），点 D 的坐标为（ 0， 2），延长 CB 交 x 轴于点 A1 ，作正方形 A1B1C1C ，延长
P1，此时 AP1 ＝ 2；将位置①的三角形绕点 P1 顺时
针旋转到位置②，
可得到点 P2，此时 AP2 ＝23；将位置②的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置③，可得到点 P3，此时 AP3 ＝3＋ 3； , ，按此规律继续旋转，直到得到点 P2012 为止，则 AP2012 ＝【 】
A ． 2011＋ 6713 【答案】 B。
B． 2012 ＋6713
C． 2013＋ 3
D． 2014＋ 6713

【考点】分类归纳（图形的变化类） ，旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】寻找规律，发现将 Rt△ ABC 绕点 A ，P1， P2， ···顺时针旋转，每旋转一次， APi
（i=1,2,3, ··） 的长度依次增加 2， 3 ， 1，且三次一循环，按此规律即可求解：
【分
析】如图，双向延长 EF 分别交 AB 、AC 于点 G、 H。
根据三角形中位线定理，得 GE=FH= a=a， GB=CH=a 。
∴ AG=AH=a 。
又∵△ ABC 中，∠ A=60 ，∴△ AGH 是等边三角形。
∴ GH=AG=AH=a 。 EF= GH
－GE－ FH=a a a=a。
∴第 2 个等边三角形的边长为 a。
中点顺次连接， 又得到一个等边三角形， 记为第 2 个等边三角形。 取其各边的三等分点，顺
次连接又得到一个正六边形，记为第 2 个正六边形（如图） , ，按此方式依次操作。则第 6
个正六边形的边长是【
】
1 1 1 1 1 1 1 1 A.
a
B.
a
C.
a
D.
a
32233223 【答案】 A 。
【考点】分类归纳（图形的变化类） ，等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。
∵Rt △ ABC 中，∠ ACB=90° ，∠ B=30°， AC=1 ，∴ AB=2 ， BC=3 。
根据旋转的性质， 将 Rt △ ABC 绕点 A ，P1，P2，···顺时针旋转， 每旋转一次， AP（i i=1,2,3, ··）
的长度依次增加 2， 3 ， 1，且三次一循环。
∵2012÷3==670,2 ，
∵∠ MON= ∠ 1=30°，∴ OA1=A1B1=1 。∴ A2B1=1 。 ∵△ A2B2A3 、△ A3B3A4 是等边三角形，∴∠ 11=∠ 10=60°，∠ 13=60°。 ∵∠ 4=∠ 12=60°，∴ A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3 ， B1A2 ∥B2A3 。
∴∠ 1=∠ 6=∠ 7=30°，∠ 5=∠ 8=90°。∴ A2B2=2B1A2 ， B3A3=2B2A3 。 ∴A3B3=4B1A2=4 ， A4B4=8B1A2=8 ， A5B5=16B1A2=16 。 以此类推： A6B6=32B1A2=32 ，即△ A6B6A7 的边长为 32。故选 C。
】
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20XX 年全国中考数学试题分类解析汇 A．
【答案】 B。 B． C． D．
【考点】分类归纳（图形的变化类） ，解一元一次不等式。
【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为
10 米，
第二个灯的里程数为 50，
第三个灯的里程数为 90 米
, 第 n 个灯的里程数为 10+40 （ n﹣ 1） =（40n﹣ 30）米，
第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点 D1 重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1 的中点为 D2 ，
第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2 重合，折痕与 AD 交于点 P3；, ；设 Pn﹣1Dn ﹣2 的中
点为 Dn﹣ 1，第 n 次将纸片折叠，使点 A 与点 Dn﹣ 1 重合，折痕与 AD 交于点 Pn（ n＞ 2），
,， 则第⑥个图形中五角星的个数为
2×6=72。故选 D。
2. （ 2012 广东深圳 3 分）如图，已知：∠ MON=30 ，点 A1 、A2 、A3 在射线 ON 上，点
B1 、B2 、B3, ．．在射线 OM 上，△ A1B1A2. △ A2B2A3 、△ A3B3A4,, 均为等边三角形，若
32
8. （ 2012 福建莆田 4 分）如图，在平面直角坐标系中， A(1 ， 1)， B( － 1， 1)， C(－1
，－ 第 5 页 共 52 页 5
20XX 年全国中考数学试题分类解析汇 2)， D(1 ，－ 2) ． 把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线 (线的粗细忽略不计 ) 的一端固定在点 A 处， 并按 A —B —C －D — A 一 , 的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 【 】
∴2016 既是三角形数又是正方形数。故选 D。
4. （ 2012 浙江绍兴 4 分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有
3 棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是 10cm，如图，第一棵树左边 5cm 处有一个路牌，
则从此路牌起向右 510m～ 550m 之间树与灯的排列顺序是【