辽宁省大连市中山区2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析

辽宁省大连市中山区2019-2020八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若分式1
有意义，则x的取值范围是()
x+5
A. x>−5
B. x<−5
C. x≠5
D. x≠−5
2.下列汽车标志中，不是轴对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()
A. x2+2x−1=(x−1)2
B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2+4x+4=(x+2)2
D. ax−a+1=a(x−1)+1
4.下列运算中，正确的是()
A. (−1
3
)−1=−3 B. a3⋅a6=a18
C. 6a6÷3a2=2a3
D. (−2ab2)2=2a2b4
5.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个不
经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，
连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED.，若量出DE=58米，则A、
B间的距离为()
A. 29米
B. 58米
C. 60米
D. 116米
6.下列各式不能用平方差公式计算的是()
A. (3a+2b)(3a−2b)
B. (3a+2b)(2b−3a)
C. (3a−2b)(2b−3a)
D. (3a−2b)(−3a−2b)
7.下列计算正确的是()
A. √52=±5
B. 3√5−2√5=√5
C. (−√5)2=−5
D. √8÷√2=4
8.如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是()
A. PE=PF
B. AE=AF
C. △APE≌△APF
D. AP=PE+PF
9.下列各式从左到右变形正确的是()
A. a
b =a2
b2
B. a
b
=ab
a+b
C. a
b
=a+c
b+c
D. a
b
=ab
b2
10. 如图，△ABC 中，AB =5，AC =8，BD 、CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，
过点D 作直线平行于BC ，分别交AB 、AC 于E 、F ，则△AEF 的周长
为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 18
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若二次根式√x −1有意义，则x 的取值范围是____________．
12. 分解因式：4x 2−144=________．
13. 化简：(√5+2)(√5−2)=______．
14. 如图，三角形纸片中，AB =8cm ，BC =7cm ，AC =5cm ，沿过点A 的
直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD.则△BDE
的周长是______cm ．
15. 若x 2+mx +9是一个完全平方式，则m 的值是_______．
16. 已知：a +b =9，a 2+b 2=21，则ab = ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）
17. 计算：
(1)√17
×√28+√700 (2)(√3−1)2−(3+√5)(3−√5)
18. 解方程：1x−2+2=1−x
2−x ．
19. 已知：如图，点E 、A 、C 在一条直线上，AB//CD ，∠B =∠E ，AC =CD.求证：BC =ED ．
20. 先化简，再求值：(a +2−
5a−2)÷2a 2−6a a−2，其中a =−3
2．
21. 如图，点B 、C 、D 在同一直线上，AB =AD =CD ，∠C =36°.求∠BAD 的度数．
22.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成(x−1)(x−9)，
另一位同学因看错了常数项而分解成(x−2)(x−4)，求原来的二次三项式．
23.如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，
与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF．
(1)求证：△FBD≌△ACD；
(2)延长BF交AC于E，求证：BF=2CE．
24.为落实“文明江阴”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队
倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的3
2
路少用3天．求甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
25.如图，已知AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．
(1)求∠DBC的度数；
(2)若△DBC的周长为14cm，BC=5cm，求AB的长．
26.如图，在等腰Rt△ABC中，角ACB=90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)连接AP，
延长BC至点Q，使CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
(1)∠PAC=α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；
(2)在(1)的条件下，过点M作ME⊥QB于点E，试证明PC与ME之间的数量关系，并证明．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
解：由题意得，x+5≠0，
解得x≠−5．
故选：D．
2.答案：C
解析：
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的定义求解．
解：A.属于轴对称图形；
B.属于轴对称图形；
C.中心对称图形；
D.属于轴对称图形．
故选C．
3.答案：C
解析：解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式
的积的形式，叫因式分解．
4.答案：A
解析：
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算
法则是解题关键．
解：A、(−1
3
)−1=−3，正确；
B、a3⋅a6=a9，故此选项错误；
C、6a6÷3a2=2a4，故此选项错误；
D、(−2ab2)2=4a2b4，故此选项错误；
故选：A．
5.答案：B
解析：
本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的判定与性质.利用全等三角形的判定与性质是解题关键，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
解：在△ABC和△DEC中，
{AC=DC
∠ACB=∠DCE
BC=EC
,∴△ABC≌△DEC(SAS)，
∴AB=DE ∵DE=58米，
∴A、B间的距离为AB为58米．
故选B．
6.答案：C
解析：解：(3a+2b)(3a−2b)能用平方差公式计算；
(3a+2b)(2b−3a)能用平方差公式计算；
(3a−2b)(2b−3a)不能用平方差公式计算；
(3a−2b)(−3a−2b)能用平方差公式计算．
故选：C．
根据平方差公式对各选项进行判断．
本题考查了平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2.熟练掌握公式是解题的关键．
7.答案：B
解析：解：A、原式=5，所以A选项错误；
B、原式=√5，所以B选项正确；
C、原式=5，所以C选项错误；
D、原式=√8÷2=2，所以D选项错误．
故选：B．
根据二次根式的性质对A、C进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8.答案：D
解析：
本题的已知条件比较充分，满足了角平分线的性质要求的条件，可直接应用性质得到的证据，与各选项进行比对，得出答案。

解：∠P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE=PF，又有
AP=
AP∴△APE≌△APF(HL)
∴AE=AF
故选D。

考点：三角形
9.答案：D
解析：
本题考查了分式的基本性质的运用.分式的基本性质是指分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变，解答此题的关键是确定同时乘以或除以的式子不为0，解题时，根据分式的基本性质对各选项进行逐一判断即可得出答案．
解：A．a
b =a2
b2
，不符合分式的基本性质，故A选项错误；
B.a
b =ab
a+b
，不符合分式的基本性质，故B选项错误；
C.a
b =a+c
b+c
，分式的分子分母都加c，不符合分式的基本性质，故C选项错误；
D.a
b =ab
b2
，由左边a
b
隐藏着条件b≠0，故在a
b
的分子分母都同时乘以一个不等于0的字母b，分式的值
不变，故D选项正确．
故选D．
10.答案：B
解析：
此题考查了等腰三角形的判定和平行线的性质.此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED= EB，FD=FC，即可得到结果．
解：∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，
∴ED=EB，FD=FC，
∵AB=5，AC=8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=5+ 8=13．
故选B．
11.答案：x≥1
解析：
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，解答此题根据二次根式的被开方数为非负数可得关于x的不等式，然后解之即可．
解：由题意可得：x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为x≥1．
12.答案：4(x+6)(x−6)
解析：
本题主要考查提公因式法和运用公式法分解因式，先提出公因式4，再运用平方差公式分解因式即可．
解：4x2−144=4(x2−36)=4(x+6)(x−6)．
故答案为4(x+6)(x−6)．
13.答案：1
解析：解：原式=(√5)2−22
=5−4
=1．
故答案为1．
根据平方差公式计算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然
后合并同类二次根式．
14.答案：10
解析：
本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、找准对应关系是解题的关键．
根据翻折的性质得出AE=AC，CD=DE，进而利用三角形的周长解答即可．
解：由翻折可得：AE=AC=5cm，CD=DE，
△BDE的周长=DB+DE+BE=BC−CD+CD+AB−AE=BC+AB−AC=7+8−5=10cm．故答案为10．
15.答案：±6
解析：
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
解：∵x2+mx+9=x2+mx+32，
∴mx=±2⋅x⋅3，
解得m=±6．
故答案为±6．
16.答案：30
解析：解：∵(a+b)2=a2+b2+2ab
∴92=21+2ab，
∴ab=30．
故答案为30．
利用完全平方公式得到(a+b)2=a2+b2+2ab，然后把a+b=9，a2+b2=21代入可求出ab的值．
本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
17.答案：解：(1)原式=√1
7
×28+10√7
=2+10√7；
(2)原式=4−2√3−(9−5)=−2√3．
解析：(1)直接利用二次根式的混合运算法则结合二次根式的性质化简得出答案；
(2)直接利用乘法公式化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
18.答案：解：(1)去分母得：1+2(x−2)=x−1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根.方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
19.答案：证明：∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ECD，
在△BAC和△ECD中，
{∠B=∠E
∠BAC=∠ECD AC=CD
，
∴△BAC≌△ECD(AAS)，
∴BC=ED．
解析：本题考查全等三角形的判定与性质有关知识，首先由AB//CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件∠B=∠E，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出BC=ED．
20.答案：解：原式=(a+2)(a−2)−5
a−2⋅a−2
2a(a−3)
=(a+3)(a−3)
a−2
⋅a−2
2a(a−3)
=a+3
2a
，
当a=−3
2时，原式=−1
2
．
解析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
21.答案：解：∵AD=DC
∴∠DAC=∠C，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=36°，
∴∠BDA=∠C+∠DAC═72°，
∵AB=AD
∴∠BDA=∠B=72°，
∴∠BAD=180°−∠BDA−∠B=36°．
解析：首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得∠BAD的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.答案：
解：设原多项式为ax2+bx+c(其中a、b、c均为常数，且abc≠0).
∵(x−1)(x−9)=x2−10x+9，
∴a=1，c=9；
又∵(x−2)(x−4)=x2−6x+8，
∴b=−6.
∴原多项式为x2−6x+9．
解析：本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．由于含字母x的
二次三项式的一般形式为ax 2+bx +c(其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0)，所以可设原多项式为ax 2+bx +c.看错了一次项系数即b 值看错而a 与c 的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将(x −1)(x −9)运用多项式的乘法法则展开求出a 与c 的值；同样，看错了常数项即c 值看错而a 与b 的值正确，可将(x −2)(x −4)用多项式的乘法法则展开求出b 的值，进而得出答案． 23.答案：证明：(1)∵△DBC 是等腰直角三角形，
∴DB =DC ，∠BDF =∠CDA =90°，
在△FBD 和△ACD 中，
{BD =DC ∠BDF =∠CDA DF =AD
, ∴△FBD≌△ACD(SAS)，
(2)∵△FBD≌△ACD ，
∴∠ACD =∠FBD ，AC =BF ，
∵∠BDF =90°，
∴∠FBD +∠DFB =90°，
∵∠CFE =∠BFD ，
∴∠EFC +∠ACD =90°，
∴∠CEF =180°−90°=90°=∠BEA ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE =∠CBE ，
在△ABE 和△CBE 中，
{∠ABE =∠CBE BE =BE ∠BEA =∠BEC
, ∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE =EC ，
∵BF =AC ，
∴BF =2CE ．
解析：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
(1)根据等腰三角形性质得出DB =DC ，∠BDF =∠CDA =90°，根据SAS 推出全等即可；
(2)根据全等推出∠ACD =∠FBD ，AC =BF ，求出∠ACD +∠CFE =90°，推出∠BEC =∠BEA =90°，
证出△ABE≌△CBE 即可．
24.答案：
解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x 米， 根据题意得：360x −360
32x =3，
解得：x =40，
经检验，x =40是原分式方程的解，且符合题意，
∴32x =32×40=60．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
解析：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程．设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x 米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 25.答案：解：(1)∵AB =AC ，
∴∠ABC =∠ACB ，
∵∠A =40°，
∴∠ABC =∠ACB =70°，
∵MN 是AB 的垂直平分线，
∴DA =DB ，
∴∠A =∠ABD =40°，
∴∠DBC =∠ABC −∠ABD =70−40°=30°；
(2)∵MN 是AB 的垂直平分线，
∴BD =AD ，
∵△DBC 的周长为14cm ，
∴BD +BC +CD =14cm ，
∵BC =5cm ，
∴BD +CD =AD +CD =AC =9cm ，
∵AB =AC ，
∴AB=9cm．
解析：(1)根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质计算即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
26.答案：解：(1)∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°−α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°−∠AHM−∠PAB=45°+α；
(2)结论：PC=ME．
理由：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在△APC和△QME中，
{∠PAC=∠MQE ∠ACP=∠QEM AP=QM
,
∴△APC≌△QME(AAS)，
∴PC=ME，
解析：(1)由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°−α，由直角三角形的性质即可得出结论；
(2)由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直
角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．。