平面向量基本定理及坐标表示导学案
2022年精品 《平面向量基本定理及坐标表示》优秀教案
平面向量的根本定理及坐标表示平面向量根本定理及坐标表示一、教学目标〔一〕核心素养通过这节课学习，了解平面向量根本定理及意义，掌握正交分解下向量的坐标表示．认识平面向量根本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法．〔二〕学习目标1了解平面向量的根本定理及意义，能正确地运用平面向量根本定理2了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直3掌握平面向量的正交分解及坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为用坐标进行向量的运算奠定根底〔三〕学习重点平面向量的根本定理，正交分解下向量的坐标表示〔四〕学习难点平面向量的根本定理的理解与应用二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务：阅读教材第93页至第95页，填空：〔1〕平面向量根本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有．．．．一对实数，，使a＝我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底〔2〕向量夹角：两个非零向量a和b，作＝a，＝b，那么∠AOB＝叫作向量a与b的夹角同向时，夹角＝；当a与b反向时，夹角＝如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直记作a⊥b 〔3〕把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解在平面直角坐标系中，分别取轴、轴方向相同的两个单位向量i，，由平面向量根本定理可知，有且只有一对实数、使得那么把有序数对〔，〕叫做向量a的坐标，记作a＝〔，〕2．预习自测〔1〕只有不共线的两个向量可以作为基底〔〕【答案】√．〔2〕平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一的〔〕【答案】√．〔3〕假设，是同一平面内的两个不共线向量，那么〔，为实数〕可以表示该平面内所有向量〔〕【答案】√〔4〕向量a与b的夹角为，那么向量2a与－3b的夹角为〔〕A B C D【答案】C．〔5〕基向量i＝〔1,0〕，＝〔0,1〕，m＝4i－，那么m的坐标是〔〕A4,1 B－4,1 C4,－1 D－4,－1【答案】C二课堂设计1．知识回忆〔1〕实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：①；②时与a方向相同；时与a方向相反；时＝0〔2〕运算定律：①结合律：；②分配律：，〔3〕共线向量根本定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使2．问题探究探究一平面向量根本定理●活动①感性体会如图，，是平面内两个不平行的向量，请用，表示、、、我们容易得到：，，，【设计意图】让学生从计算特例入手，感性体会●活动②升华理解给定平面内任意两个向量，，平面内任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？如图〔1〕，设，是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量，请通过作图探究a 与，之间的关系如图〔2〕，在平面内任取一点O，作，，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得，由于，所以a＝也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式．由此可得：平面向量根本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，，使a＝【设计意图】从特殊到一般●活动③唯一性及普遍性思考：1假设上述向量，，a都为定向量，且，不共线，那么实数，是否存在？是否唯一？2假设向量a与或共线，a还能用表示吗？3平面向量根本定理中，不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？【设计意图】体会感知唯一性及普遍性，并进一步探究几个关键点：1我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2基底不惟一，关键是不共线；3由定理可将任一向量a在给出基底，的条件下进行分解；4基底给定时，分解形式惟一，是被a，，唯一确定的数量．●活动④稳固根底，检查反应例1 如果，是平面内两个不共线向量，那么以下说法中不正确的选项是①可以表示平面内的所有向量；②对于平面内任一向量a，使的实数对有无穷多个；③假设向量与共线，那么；④假设实数使得＝0，那么．A．①②B．②③C．③④D．②【知识点】平面向量根本定理．【解题过程】根据平面向量根本定理知：①是真命题，②是假命题；对于③，当或时不一定成立，应为；对于④，假设有一个不为0，不妨设，那么：；所以，共线，矛盾．【思路点拨】抓住基向量，不共线和平面向量a用基底，表示的唯一性．【答案】B同类训练下面说法中，正确的选项是①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内由无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底，，使成立的实数对一定是唯一的．A．②④B．②③④C．①③D．①③④【知识点】平面向量根本定理．【解题过程】根据平面向量根本定理知：①错；②正确；③正确；④正确．【思路点拨】由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【答案】B例2 ，且a与b的夹角为60°，那么a＋b与a的夹角是_________，a－b与a的夹角是_________．【知识点】向量夹角、向量加减的几何意义．【解题过程】如图，作，，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，那么，，，因为，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角为60°；因为，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC⊥AB，∠COA＝，即a b与a的夹角为30°．【思路点拨】根据向量的平行四边形法那么，以向量a和向量b做平行四边形，再根据向量加减几何意义进行求解．【答案】30°，60°．同类训练如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为12021与的夹角为30°，且，，假设，那么的值为_______．【知识点】向量的夹角、线性运算性质及意义．【解题过程】过C作与的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形．由∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，，可得平行四边形的边长为2和4，所以＝2＋4＝6．【思路点拨】过C作与的平行线与它们的延长线相交，得平行四边形，然后将用向量与表示即可．【答案】6●活动⑤强化提升，灵活应用例3 如图，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相较于点E，设，，试用基底，表示向量．【知识点】平面向量线性运算、根本定理及三点共线定理．【解题过程】由题知：，．由N，E，B三点共线，知存在实数m满足．由C，E，M三点共线，知存在实数n满足．由于，作为一组基底，所以，解得，所以．【思路点拨】利用N，E，B三点共线与C，E，M三点共线分别表示．再结合点M是AB的中点，且求解．【答案】．同类训练如图，在△OAB中，，，M、N分别是边OA、OB上的点，且，，设与相交于点，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB＝BE:EC＝2:1，求△A，n使得，所以①正确．只有当时，，所以②错，③正确．【思路点拨】根据平面向量根本定理．【答案】①③．4．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设，，那么m＋n＝________．【知识点】平行向量与共线向量．【解题过程】连接AO，那么，因为M，O，N三点共线，所以，所以．【思路点拨】三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．【答案】25．如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，AD与EF相交于点G，CD＝2DB，AF＝4FB，AG＝mAD，AE＝tAC．〔1〕试用、表示；〔2〕假设，求t的值．【知识点】平面向量根本定理、向量共线及线性运算．．【解题过程】〔1〕因为CD＝2DB，所以，所以．〔2〕因为AF＝4FB，AE＝tAC，所以，，所以．因为E，F，G三点共线，所以，得．【思路点拨】〔1〕依据图象得到，将用、表示即得；〔2〕通过线性运算表示向量，再利用E，F，G三点共线．【答案】〔1〕；〔2〕．。
3.2 平面向量基本定理 导学案(学生)
【例3】课本P84【例5】
【我的收获】
【学习笔记】
三、课后知能检测
课本84面第1.第2题
课本85面第5，6，7题
1．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.，B.，C.，D.，
2．下列关于基底的说法正确的序号是()
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
如果e1和e2(如图2－3－7①)是同一平面内的的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在一对实数λ1，λ2，使(如图2－3－7②)，其中的向量e1和e2叫作表示这个平面内所有向量的一组．
【预习自测】1.设e1,e2是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是().
A.e1+e2和e1-e2B.3e1-2e2和4e2-6e1
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．
【思路探究】 根据平面向量基本定理和基底的概念加以判断．
变式：设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_______．(写出所有满足条件的序号)
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
10．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．
平面向量的基本定理及坐标学案
图1 图2 图3 图4 2.3.1 平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示学习目标 2. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示。
学习过程课前准备：（预习教材P 93~ P 96，找出疑惑之处）※ 预习探究探究任务： 1. 给定平面内任意两个向量21,e e ，请你作出向量21212,23e e e e -+。
思考：平面内的任一向量是否都可以用形如2211e e λλ+的向量表示呢？2.我们知道，在平面直角坐标系中，毎一个点都可用一对有序实数表示。
对直角坐标平面．．．．．．内的每一个向量，如何表示呢？如图3：a 怎样用向量j i ,表示？※ 预习检测1. 如上图2向量a ，作图，用图1中21,e e 表示a 。
2.平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ，有 实数21λλ，，使=a 。
我们把这两个 向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 。
3.向量a 与b 的夹角：已知两个 向量a 与b ，如图4：作b OB a OA ==,，则 叫做 夹角。
4.向量a 与b 的夹角为θ，（1）当=θ时，a 与b 同向；（2）当=θ时，a 与b 反向； （3）当=θ时，a 与b 垂直，记作 ；把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．5．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数y x ,使j y i x a +=，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．对于本节预习，你还有其他的疑问或问题吗？请写下来。
2e 1ea a b※ 典型例题 例1 已知向量21,e e ，求作向量2135.2e e +-。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的分解。
2. 学会用坐标表示平面向量，理解向量坐标与向量运算之间的关系。
3. 能够运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理：任何一个平面向量都可以唯一地表示为两个不共线向量的线性组合。
2. 向量的分解：将一个向量表示为两个不共线向量的线性组合。
3. 向量的坐标表示：用坐标表示向量，掌握向量坐标的运算规则。
4. 向量运算与坐标表示：理解向量加法、减法、数乘在坐标表示下的具体运算。
三、教学重点与难点1. 重点：平面向量的基本定理，向量的分解，向量的坐标表示。
2. 难点：理解向量坐标与向量运算之间的关系，熟练运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解平面向量的基本定理及其坐标表示。
2. 利用多媒体演示，直观地展示向量的分解和坐标表示。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量基本定理及其坐标表示解决问题。
4. 开展小组讨论，加强学生之间的互动交流。
五、教学安排1. 课时：2课时2. 教学过程：第一课时：1. 导入新课，介绍平面向量的基本定理。
2. 讲解向量的分解，引导学生理解平面向量基本定理。
3. 介绍向量的坐标表示，讲解坐标运算规则。
4. 课堂练习，巩固所学知识。
第二课时：1. 复习上节课的内容，回顾平面向量基本定理及其坐标表示。
2. 讲解向量加法、减法、数乘在坐标表示下的运算。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
4. 课堂练习，提高学生运用知识解决问题的能力。
5. 总结本节课的内容，布置课后作业。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关平面向量基本定理及其坐标表示的练习题，巩固所学知识。
2. 课堂练习：评价学生在课堂上运用平面向量基本定理及其坐标表示解决问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
平面向量的基本定理及坐标表示教学设计
《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计（5）
是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么
这个共线向量定理如何用坐标来表示？
问题1 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，
y
2
)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请你写出证明过程．
问题2 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
b≠0，如果x
1y
2
－x2y1＝0，那么a∥b.请你写
出证明过程．
探究点二共线向量与中点坐标公式
问题1 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标．
问题2 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标．
问题3 已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x
1
，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．求△ABC的重心G的坐标．
探究点三共线向量与线段分点坐标
在平面直角坐标系中，我们可以利用共线向量坐标之间的关系求解坐标．如图所
示，设P点是直线P1P2上的一点，且P
1
P
→
PP
2
→
＝λ.
问题2 设P1(x1，y1)，P
2
(x2，y2)，试用λ及P1，P2点的坐标表示P(x，y)点的坐标．。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。
（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。
2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。
（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。
（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。
三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。
2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。
3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。
4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会用坐标表示平面向量；3. 掌握平面向量的坐标运算。
教学重点：1. 平面向量的基本定理；2. 坐标表示平面向量；3. 平面向量的坐标运算。
教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解；2. 坐标表示平面向量的推导；3. 平面向量的坐标运算的熟练运用。
教学准备：1. 教材或教案；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教鞭。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学习的向量知识，如向量的定义、向量的加法、减法等；2. 提问：向量是否可以只有大小没有方向？为什么？二、平面向量的基本定理（15分钟）1. 介绍平面向量的基本定理：任意两个平面向量都可以唯一地分解为两个互垂直的向量的和；2. 用图形和实例来说明基本定理的意义；3. 引导学生理解基本定理的重要性。
三、坐标表示平面向量（15分钟）1. 介绍坐标系的概念，如直角坐标系、平面极坐标系等；2. 推导平面向量的坐标表示方法，即用坐标表示向量的位置；3. 举例说明如何用坐标表示平面向量。
四、平面向量的坐标运算（15分钟）1. 介绍平面向量的坐标运算，如坐标加法、减法、数乘等；2. 用公式和实例来说明坐标运算的规则；3. 引导学生熟练掌握坐标运算的方法。
五、巩固练习（10分钟）1. 给出一些关于平面向量的练习题，让学生独立完成；2. 针对学生的疑问进行解答和讲解；3. 强调平面向量基本定理及其坐标表示的重要性。
教学反思：在教学过程中，要注意通过实例和图形来帮助学生理解平面向量的基本定理及其坐标表示，以及坐标运算的规则。
要鼓励学生积极参与课堂讨论，提出疑问，以提高他们的学习兴趣和动力。
六、向量加法的平行四边形法则（15分钟）1. 介绍平行四边形法则，即以两个向量首尾相接所构成的平行四边形的对角线所代表的向量等于这两个向量的和；2. 用图形和实例来说明平行四边形法则的应用；3. 引导学生理解并掌握平行四边形法则。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会将平面向量用坐标表示；3. 掌握平面向量的坐标运算。
教学内容：1. 平面向量的基本定理；2. 向量的坐标表示；3. 向量的坐标运算。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 通过复习预备知识，引导学生回顾向量的定义及基本性质。
2. 提问：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算有什么应用？二、平面向量的基本定理（10分钟）1. 介绍平面向量的基本定理的内容。
2. 通过示例，解释平面向量的基本定理的应用。
3. 引导学生通过图形直观地理解平面向量的基本定理。
三、向量的坐标表示（10分钟）1. 介绍向量的坐标表示方法。
2. 通过示例，解释如何用坐标表示一个向量。
3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标表示。
四、向量的坐标运算（10分钟）1. 介绍向量的坐标运算规则。
2. 通过示例，解释如何进行向量的坐标运算。
3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标运算。
五、巩固练习（10分钟）1. 提供一些有关平面向量的基本定理及其坐标表示的练习题。
2. 引导学生独立完成练习题，巩固所学知识。
3. 对学生的练习结果进行点评和指导。
教学评价：1. 通过课堂讲解和示例，评价学生对平面向量的基本定理及其坐标表示的理解程度；2. 通过练习题，评价学生对平面向量的坐标运算的掌握程度；3. 通过学生的提问和参与程度，评价学生的学习兴趣和积极性。
教学资源：1. 教学PPT或黑板；2. 练习题。
教学建议：1. 在讲解平面向量的基本定理时，可以通过图形和实际例子来说明定理的意义和应用；2. 在讲解向量的坐标表示时，可以借助坐标系，直观地展示向量的坐标表示方法；3. 在讲解向量的坐标运算时，可以通过示例和练习题，让学生熟练掌握运算规则；4. 在巩固练习环节，可以提供不同难度的练习题，以满足不同学生的学习需求；5. 在教学过程中，鼓励学生提问和参与讨论，以提高学生的学习兴趣和积极性。
2.3.2平面向量基本定理-导学案
3.2平面向量基本定理使用说明：认真阅读课本83~84页，并完成下列预习案内容。
【学习目标】1.通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法。
能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达【重点难点】重点:平面向量基本定理.难点:平面向量基本定理的运用.一、知识链接1.对于向量a,b 可以在平面内任取一点o ，利用三角形法则或平行四边形法则（两向量）求出向量a,b 的和向量a+b.向量的加法运算满足交换律，结合律2.实数与实数的运算法则，先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的，在根据去括号原则去掉括号 二、教材助读1.给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?2.如图,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们如何通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.3.平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？4.对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？三、预习自测1.如图，已知向量e 1与e 2不共线，求作向量2e 1-3e2.2.如图。
已知E,F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交与点G ，若AB =a ，AD =b ，用a ，b 向量表示AG预习案 e 1 e 2ABCDGa b5.如图,ABCD 中,AB =a .,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a .,b 为基底分解向量AM与HF当堂检测：1.如图;D 是∆ABC 中BC 的中点，AB =a ，AC =b,(1)试用a ，b 表示AD(2)若点G 是∆ABC 的重心，能否用a ，b 表示AG(3)若点G 是∆ABC 的重心，那么GA +GB +GC2.如图，在 ABCD 中，设对角线AC =a ，BD =b,试用a ，b 表示AB ,BC .我的收获探究案AB CDA BC DO。
导学案026平面向量基本定理及其坐标表示
平面向量的基本定理及其坐标表示考纲要求1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定 理解决简单问题．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情分析1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档. 教学过程基础梳理一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理：如果e 21与e 是同一平面内的两个（ ）向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 21与e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝xi ＋yj ，把有序数对 （ ） 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ （ ） ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设向量OA ＝xi ＋yj ，则向量OA 的坐标(x ，y)就是 的坐标，即向量OA ＝(x ，y)，则A 点坐标为 ( ) ，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝ ( ， ) a －b ＝( ， ) λa ＝ ( ， )．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB ＝（ ）| AB |＝ .三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔双基自测1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③2．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－23．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－354．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝ma ＋nb ，则nm＝________.典例分析考点一 平面向量基本定理[例1] (2012·南京模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.变式1．(2012·舟山模拟)如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设OP ＝m OP1＋n op2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二、平面向量的坐标运算[例2] (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝ ( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(－3，－5)D ．(－2，－4)变式2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． 提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.考点三、平面向量共线的坐标表示[例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )A.14 B.12 C ．1D ．2变式3．(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB ∥a ，则实数y 的值为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是：a ∥b(b ≠0)⇔a ＝λb ，或x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未知数的值．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化． 两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.本节检测1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB.12－32C ．－32a －12bD ．－32＋12b4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b是不共线的向量，A B＝λa ＋b ，A C＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若A C ＝a ，B D ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23＋13C.12a ＋14bD.13＋236．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a的坐标为________．7．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.自我反思。
平面向量的基本定理及坐标表示+导学案.doc
课题平面向量的基本定理及坐标表示一、学习目标1.通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理，理解正交分解下向量的坐标表示，了解向量的夹角与垂直的概念；2.综合运用基底知识形成用基地表示未知向量的基本策略，进而解决相关问题的思想。
3.让学生积极参与教学活动中，去寻求相关知识的来龙去脉，认识其价值和作用，培养学生的探究能力和科学精神。
二、预习思考1.平面向量基本定理条件：e]f e2是平面内的两个 .结论：对于这一平面内的任意向量刁，有且只有一对实数入1、入2,使刁=・2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个i ,j作为基底, 对于平面内的任意一个向量刁，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得2 = xi+yj .这样，平面内的任一向量U都可由x> y唯--确定，因此把叫做向量S的坐标，记作,其中x叫做刁在x轴上的坐标,y叫做刁在y轴上的坐标.三、合作.探究探究一、平面向量的基本定理1.给定平面内任意两个不共线的非零向量邵弓，清作出向量片=3百+ 2弓、c = e,-2e2.2.可以用平面内任意两个不共线的非零向量环弓来表示向量。
，C,那么平面内的任一向量是否都可以用形如L云+ M云的向量表示呢？（小组讨论）平面向量的基本定理：如果4、遏是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量。
，有旦只有一对实数入】、入2,使。
二入皿+入2勺・向量的夹角：平面向量的基本定理的实质:探究二、平面向量的正交分解及坐标表示1.在物理学中，如何把图中木块所受的重力分解为沿斜面方向的力4和垂直于斜面方向的力灼?正交分解：2.如图,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量：打作为基底，将平面内的一个向量刁做正交分解.3.若正交分解向量得到5 = xi+yj请你在图中标识出x,y的位置。
数学高中必修第二册《6.3 平面向量基本定理及坐标表示》获奖导学案
6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示1.掌握平面向量加、减运算的坐标表示；2.会用坐标求两向量的和、差；1.教学重点：平面向量加、减运算的坐标表示；2.教学难点：根据平面向量加、减运算的坐标表示求点的坐标。
1.已知),(),,(2211y x y x ==，则=+-=2.已知),(),,(2211y x B y x A ，则AB = 。
一、探索新知思考：已知),(),,(2211y x y x ==，你能得到-+,的坐标吗？这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 . 例1.已知b a b a b a -+-==,),4,3(),1,2(求的坐标。
探究：如图，已知),(),,(2211y x B y x A ，你能得出AB 的坐标吗？结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标. 平面向量（两个）加减运算的坐标表示：已知),(),,(2211y x b y x a ==，则=+b a b a -=例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标.平面向量起始坐标的表示：已知),(),,(2211y x B y x A ，则AB = 。
1．点A (1，－3)，AB →的坐标为(3，7)，则点B 的坐标为( )A ．(4，4)B ．(－2，4)C ．(2，10)D ．(－2，－10)2.若向量AB →＝(1，2)，BC →＝(3，4)，则AC →等于( )A ．(4，6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2，2)3.已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标.这节课你的收获是什么？参考答案： 思考：y y x x y x y x )()()()(21212211+++=+++=+ 即)(2121y y x x ++=+， 同理可得)(2121y y x x --=-，。
第6课时 平面向量基本定理导学案
6.知向量 ，其中 是不共线的向量，向量 问是否存在这样的实数 ，使向量 共线
【课后延伸】：
1、果 是平面 内所有向量的一组基底，那么（）
A．对平面内任一向量 ，使 得实数 有无数对
B． 为实数， ，则 不会为零向量。
C对空间内任一向量 可表示为 ，其中 为实数
D．若实数 ，使 ，则
用 ，表示 。
的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 。两个不共线的向量 叫做
表示这一平面所有向量的一组基底，记为 ， 叫做 的
分解式，或线性表示。
三、探究应用：
探究点一：用基底表示平面内的向量
例1、如图，在 中，M,N分别为DC,BC的中点，已知 ，
试用 表示向量
变式1：如图，在 中，M,N分别为DC,BC的中点，已知 ，
试用 表示向量
探究点二：平面向量基本定理和三点共线
例2、如图，已知A,B是l上， 、 不共线，
① ，用 、 表示 ．
②已知 ，则A、B、P是否共线。
③ ，用 、 表示 ．
。
四、当堂达标：
1、设 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）
A． B．
C． D．
2、直线上三点A、B、P满足 ，O是平面上的任一点，则（ ）
第六课时平面向量基本定理
【学习目标】1、体验平面向量基本定理的形成过程；
2、了解平面向量基本定理及其意义；
3、利用平面向量基本定理解决平面向量的分解问题及三点共线问题。
【重点难点】重点：平面向量基本定理
难点：平面向量基本定理的应用【学来自过程】一、复习 引入：
平行（共线）向量基本定理？
该定理的用途：______________。
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平面向量的基本定理及坐标表示
主备人：王桂香 复核人：王月珍 时间：2014-12-18
【学习目标】 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.
2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量 解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能 够用基底来表达.
3.了解向量的夹角与垂直的概念。
【教学重点】平面向量基本定理；
【教学难点】平面向量基本定理的运用。
一、【复习回顾】
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？
2．怎样理解向量的数乘运算λa
？（1）模：|λa |=|λ||a
|；（2）方向：λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=0
3. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
.二、【自主预习】
在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.
探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e
.
探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e
来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e
的向量表示呢?
结 论：由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量1e 、2e
表示出来.当1e 、2e
确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化。
平面向量的基本定理：
如果1e 、2e
是同一平面内的两个__________向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,___________一
对实数λ1、λ2,使a =____________________.其中，不共线的向量1e 、2e
叫做表示这一平面内所有向
量的一组_______
注意：1.1e 、2e
必须是 的向量，叫做 。
2、λ
1、λ2
是被a 、1e 、2e 的数量 3.基底不唯一,关键是不共线;4.由定理可将任一向量在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;
5.基底给定时,分解形式唯一.
6.λ 1 =0时 ；λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时
这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。
例题讲解：
例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e
.
变式：如图平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b
表示，，
和
探究（二）：平面向量的夹角
探究3： 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？
1、非零向量a .b 的夹角的定义： 。
当θ=0o
时，a 、b 当θ=90o 时，a 、b 记做 当θ=180o
时，a 、b
2、两非零向量的夹角的范围：在区间[0°,180°]内.
三、【自我检测】
1.设1e 、2e
是同一平面内的两个向量，则有( )
A.1e 、2e 一定平行 B .1e 、2e
的模相等
C.同一平面内的任一向量a 都有a =λ1e +μ2e
(λ、μ∈R )
D.若1e 、2e 不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λ1e +u 2e
(λ、u ∈R )
2.已知向量a = 1e -22e ，b =21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c =61e -22e
的关系（ ）
A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )1e +(2x -3y )2e =61e +32e
，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2
4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a
+λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0。
λ2＞01e 、2e 是一组基底，且a =λ11e +λ22e
，则a 与1e _____，a 与2e _____(填共
线或不共线
6、用向量证明三角形中位线定理
7、已知|a |=|b |=2，且a 与b 的夹角为60
，设b a -与a 的夹角为α，b a +与a 的夹角是β，
求α＋β
【课后反思】。