第7讲函数的图象 (1)

第7讲 函数的图象
一、选择题
1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( )
A.向右平行移动2个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动2个单位长度
D.向左平行移动1个单位长度
解析 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象.
答案 B
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除
A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除
B.故选
C.
答案 C
3.(2015·浙江卷)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 解析 (1)因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π－1πcos π<0，排除C ，故选D.
答案 D
4.(2017·桂林一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )
解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称.当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0.
排除选项A ，C ，D ，选B.
答案 B
5.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( )
A.(－1，0)
B.[－1，0)
C.(－2，0)
D.[－2，0)
解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义
域是________.
解析 当f (x )>0时，
函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2，8]. 答案 (2，8]
7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________.
解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0).
则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，
∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0).
∵图象过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14.
答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14
（x －2）2－1，x >0 8.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.
解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观
察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式
f (x )≥
g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞).
答案 [－1，＋∞)
三、解答题
9.已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；
(2)写出f (x )的单调递增区间；
(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值.
解 (1)函数f (x )的图象如图所示.
(2)由图象可知，
函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2，5].
(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，
当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.
10.已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.
(1)作出函数f (x )的图象；
(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.
解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，
∴f (x )＝⎩
⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象为：
(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，
(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.
(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}.
11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，
则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )
A.f (x 1)＋f (x 2)<0
B.f (x 1)＋f (x 2)>0
C.f (x 1)－f (x 2)>0
D.f (x 1)－f (x 2)<0
解析 函数f (x )的图象如图所示： 且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函
数.
又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.
答案 D
12.(2015·安徽卷)函数f (x )＝
ax ＋b （x ＋c ）2
的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.a >0，b >0，c <0
B.a <0，b >0，c >0
C.a <0，b >0，c <0
D.a <0，b <0，c <0 解析 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，
∴c <0.
令x ＝0，得f (0)＝b c 2，又由图象知f (0)>0，∴b >0.
令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a >0，∴a <0.
答案 C
13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13
x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________.
解析 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.
因为f (x )的草图如图所示，
观察f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≤1，
log 13x ，x >1
的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14， 所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.
答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫54，＋∞ 14.已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0，1)对称.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a x
，g (x )在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围. 解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，
∵点(x ，y )关于点A (0，1)的对称点(－x ，2－y )在h (x )的图象上，
∴2－y ＝－x ＋1－x
＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x . (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ，
且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0，2].
∵x ∈(0，2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.
令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0，2]，
q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，
∴当x ∈(0，2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7.
故实数a 的取值范围是[7，＋∞).。