2020上海普陀区初三一模数学试题及答案
上海市普陀区2020届九年级上学期期末(一模)质量调研数学试卷(简答版)
15. 如图 5，在 Rt△ABC 中， C 90 ， AD 是三角形的角平分线，如果 AB 3 5 ， AC 2 5 ，那么点 D 到直线 AB 的距离等于___________. 16. 如图 6，斜坡 AB 长为 100 米，坡角 ABC 30 ，现因“改小坡度”工程的需要，将斜 坡 AB 改造成坡度 i 1: 5 的斜坡 BD （ A 、 D 、 C 三点在地面的同一条垂线上），那么由 点 A 到点 D 下降了_________米（结果保留根号）
将 P 1 t, 2t 代入 y 4 x2 4x 2
3
得 t1
13
129 4
， t2
13 129 4
（舍），
∴
P2
9
129 4
,13
129 2
综上所述：
P1
3 2
, 5
，
P2
9
129 4
,13 129 2
【总结】直角三角形讨论，构造三直角相似
25.【解析】
（1）作高，构建直角三角形，利用三角比来求解， BE 2 ；
13.【答案】 1 3
【解析】三角形的重心及平行线的应用.
14.【答案】 E C
【解析】三角形相似的判定.
15.【答案】2
【解析】勾股定理与角平分线的综合.
16.【答案】 50 10 3
【解析】锐角三角比的应用.
17.【答案】 15 4
【解析】直角三角形的斜边中线与锐角三角比.
18.【答案】 20 13
∴ AP2 AD AC 13 3
∴ AP 3
22.【解析】易得
3 k
k
2
.整理得
k2
2k
3
0
上海市普陀区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市普陀区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．73．比1小2的数是（）A．3-B．2-C．1-D．14．实数a在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a2按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣a＜a＜a2B．a＜﹣a＜a2C．﹣a＜a2＜a D．a＜a2＜﹣a5．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①12AFFD=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③6．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次．3.82亿用科学记数法可以表示为（）A．3.82×107B．3.82×108C．3.82×109D．0.382×10107．下列图标中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8．光年天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km ，用科学记数法表示为( ) A ．1095010km ⨯B ．129510km ⨯C ．129.510km ⨯D ．130.9510km ⨯9．最小的正整数是（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．不存在10．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（ ） A ．2.18×106 B ．2.18×105 C ．21.8×106 D ．21.8×10511．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞12．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为倒数的点是（ ）A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点B 与点DD ．点B 与点C二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．空气质量指数，简称AQI ，如果AQI 在0～50空气质量类别为优，在51～100空气质量类别为良，在101～150空气质量类别为轻度污染，按照某市最近一段时间的AQI 画出的频数分布直方图如图所示．已知每天的AQI 都是整数，那么空气质量类别为优和良的天数共占总天数的百分比为______%．14．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．15．如图，为了解全校300名男生的身高情况，随机抽取若干男生进行身高测量，将所得数据（精确到1cm）整理画出频数分布直方图（每组数据含最低值，不含最高值），估计该校男生的身高在170cm﹣175cm 之间的人数约有_____人．16．函数y＝的自变量x的取值范围是_____．17．某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m1)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是_____m1．18．因式分解：9x﹣x2=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，4），B（2，0），C（-2，0）三点．（1）求二次函数的表达式；（2）在x轴上有一点D（-4，0），将二次函数的图象沿射线DA方向平移，使图象再次经过点B．①求平移后图象顶点E的坐标；②直接写出此二次函数的图象在A，B两点之间（含A，B两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积．20．（6分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：员工管理人员普通工作人员人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数（名） 1 3 2 3 24 1每人月工资（元）21000 8400 2025 2200 1800 1600 950请你根据上述内容，解答下列问题：该公司“高级技工”有名；所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为元，众数为元；小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资y（结果保留整数），并判断y能否反映该公司员工的月工资实际水平．21．（6分）已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（5，0）和点B（﹣3，﹣4），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE，点P是折线EB﹣BC上的一个动点，①当点P在线段BC上时，连接EP，若EP⊥BC，请直接写出线段BP与线段AE的关系；②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M，当点M不与点C重合时，点M关于直线PC 的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．22．（8分）先化简，再求值：22111mm m⎛⎫⋅-⎪-⎝⎭，其中m＝2.23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF.(1)求证：FH＝ED；(2)当AE为何值时，△AEF的面积最大？24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．25．（10分）图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．26．（12分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．该班共有名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为；将条形统计图补充完整；已知该校共有2400名学生，现学校打算对D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？27．（12分）如图，二次函数y ＝﹣212x +mx+4﹣m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与），轴交于点C ．抛物线的对称轴是直线x ＝﹣2，D 是抛物线的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）当﹣12＜x ＜1时，请求出y 的取值范围； （3）连接AD ，线段OC 上有一点E ，点E 关于直线x ＝﹣2的对称点E'恰好在线段AD 上，求点E 的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．A 【解析】试题分析：主视图是从正面看到的图形，只有选项A 符合要求，故选A ． 考点：简单几何体的三视图． 2．B 【解析】试题解析：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C′，使OC′=OC ，连接DC′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=41°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC ，∠BCC′=∠BC′C=41°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得．故选B ． 3．C 【解析】 1-2=-1,故选C 4．D 【解析】 【分析】根据实数a 在数轴上的位置，判断a ，﹣a ，a 2在数轴上的相对位置，根据数轴上右边的数大于左边的数进行判断. 【详解】由数轴上的位置可得，a<0,-a>0, 0<a 2<a, 所以，a ＜a 2＜﹣a. 故选D 【点睛】本题考核知识点：考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是根据数轴判断出a ，﹣a ，a 2的位置. 5．D 【解析】 【详解】∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴AF AE BC CE ==13， ∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4，AEF BCE S S V V =（AF BC ）2=19，∴S △BCE =36；故②正确； ∵EF AE BE CE = =13， ∴AEF ABE S S V V =13， ∴S △ABE =12，故③正确； ∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ． 6．B 【解析】 【分析】根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决． 【详解】解：3.82亿=3.82×108， 故选B ． 【点睛】本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法． 7．B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A 、不是中心对称图形，故本选项错误； B 、是中心对称图形，故本选项正确； C 、不是中心对称图形，故本选项错误； D 、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选B ． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 8．C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】解：将9500000000000km 用科学记数法表示为129.510⨯． 故选C ． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 9．B 【解析】 【分析】根据最小的正整数是1解答即可． 【详解】最小的正整数是1． 故选B ． 【点睛】本题考查了有理数的认识，关键是根据最小的正整数是1解答． 10．A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106， 故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 11．C 【解析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2ba-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞． 故选C ．点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象性质．12．A 【解析】 【详解】试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 根据倒数定义可知，-2的倒数是-12，有数轴可知A 对应的数为-2，B 对应的数为-12，所以A 与B 是互为倒数． 故选A ．考点：1．倒数的定义；2．数轴．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．80 【解析】【分析】先求出AQI 在0～50的频数，再根据101410010146+⨯++%，求出百分比.【详解】由图可知AQI 在0～50的频数为10，所以，空气质量类别为优和良的天数共占总天数的百分比为：101410010146+⨯++%=80%．．故答案为80【点睛】本题考核知识点：数据的分析.解题关键点：从统计图获取信息，熟记百分比计算方法. 14．3 【解析】试题分析：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣30）（30﹣x ）=﹣（x ﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．考点：3．二次函数的应用；3．销售问题． 15．1 【解析】 【分析】用总人数300乘以样本中身高在170cm-175cm 之间的人数占被调查人数的比例． 【详解】估计该校男生的身高在170cm-175cm 之间的人数约为300×1261016126++++=1（人），故答案为1．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．16．x≠﹣1【解析】【分析】根据分母不等于2列式计算即可得解．【详解】解：根据题意得x+1≠2，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点睛】考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．17．150【解析】 设绿化面积与工作时间的函数解析式为，因为函数图象经过，两点，将两点坐标代入函数解析式得得，将其代入得，解得，∴一次函数解析式为，将代入得，故提高工作效率前每小时完成的绿化面积为． 18．x （9﹣x ）【解析】试题解析：()299x x x x -=-． 故答案为()9x x -．点睛：常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y ＝﹣x 2+4；（2）①E （5，9）；②1.【解析】【分析】（1）待定系数法即可解题,（2）①求出直线DA 的解析式,根据顶点E 在直线DA 上，设出E 的坐标,带入即可求解；②AB 扫过的面积是平行四边形ABGE,根据S 四边形ABGE ＝S 矩形IOKH ﹣S △AOB ﹣S △AEI ﹣S △EHG ﹣S △GBK ,求出点B （2，0）,G（7，5），A（0，4），E（5，9），根据坐标几何含义即可解题. 【详解】解：（1）∵A（0，4），B（2，0），C（﹣2，0）∴二次函数的图象的顶点为A（0，4），∴设二次函数表达式为y＝ax2+4，将B（2，0）代入，得4a+4＝0，解得，a＝﹣1，∴二次函数表达式y＝﹣x2+4；（2）①设直线DA：y＝kx+b（k≠0），将A（0，4），D（﹣4，0）代入，得440bk b=⎧⎨-+=⎩，解得，14kb=⎧⎨=⎩，∴直线DA：y＝x+4，由题意可知，平移后的抛物线的顶点E在直线DA上，∴设顶点E（m，m+4），∴平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣m）2+m+4，又∵平移后的抛物线过点B（2，0），∴将其代入得，﹣（2﹣m）2+m+4＝0，解得，m1＝5，m2＝0（不合题意，舍去），∴顶点E（5，9），②如图，连接AB，过点B作BL∥AD交平移后的抛物线于点G，连结EG，∴四边形ABGE的面积就是图象A，B两点间的部分扫过的面积，过点G作GK⊥x轴于点K，过点E作EI⊥y轴于点I，直线EI，GK交于点H．由点A（0，4）平移至点E（5，9），可知点B先向右平移5个单位，再向上平移5个单位至点G．∵B（2，0），∴点G（7，5），∴GK＝5，OB＝2，OK＝7，∴BK＝OK﹣OB＝7﹣2＝5，∵A（0，4），E（5，9），∴AI＝9﹣4＝5，EI＝5，∴EH＝7﹣5＝2，HG＝9﹣5＝4，∴S四边形ABGE＝S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK＝7×9﹣12×2×4﹣12×5×5﹣12×2×4﹣12×5×5＝63﹣8﹣25＝1答：图象A，B两点间的部分扫过的面积为1．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数的图形和性质,二次函数的实际应用,难度较大,建立面积之间的等量关系是解题关键.20．（1）16人；（2）工中位数是1700元；众数是1600元；（3）用1700元或1600元来介绍更合理些．（4）y能反映该公司员工的月工资实际水平．【解析】【分析】（1）用总人数50减去其它部门的人数；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）由平均数、众数、中位数的特征可知，平均数易受极端数据的影响，用众数和中位数映该公司员工的月工资实际水平更合适些；（4）去掉极端数据后平均数可以反映该公司员工的月工资实际水平.【详解】（1）该公司“高级技工”的人数=50﹣1﹣3﹣2﹣3﹣24﹣1=16（人）；（2）工资数从小到大排列，第25和第26分别是：1600元和1800元，因而中位数是1700元；在这些数中1600元出现的次数最多，因而众数是1600元；（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．用1700元或1600元来介绍更合理些．（4）2500502100084003171346y⨯--⨯=≈（元）．y能反映该公司员工的月工资实际水平．21．（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=2x+2；（3）①线段BP与线段AE的关系是相互垂直；②点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．【解析】【分析】（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，即可求解；（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b即可求解；（3）①AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2即可求解；②考虑当P点在线段BC上时和在线段BE上时两种情况，利用PM′=PM即可求解．【详解】（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，解得：a=﹣，b=，故函数的表达式为y=﹣x2+x+2；（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b，解得：k=2，b=2，故：直线BC的函数表达式为y=2x+2，（3）①E是点B关于y轴的对称点，E坐标为（3，﹣4），则AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2，∴AE∥BC，而EP⊥BC，∴BP⊥AE而BP=AE，∴线段BP与线段AE的关系是相互垂直；②设点P的横坐标为m，当P点在线段BC上时，P坐标为（m，2m+2），M坐标为（m，2），则PM=2m，直线MM′⊥BC，∴k MM′=﹣，直线MM′的方程为：y=﹣x+（2+m），则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），由题意得：PM′=PM=2m，PM′2=42+m2=（2m）2，此式不成立，或PM′2=m2+（2m+2）2=（2m）2，解得：m=﹣4±2，故点P的坐标为（﹣4±2，﹣8±4）；当P点在线段BE上时，点P 坐标为（m ，﹣4），点M 坐标为（m ，2），则PM=6，直线MM′的方程不变，为y=﹣x+（2+m ），则M′坐标为（0，2+m ）或（4+m ，0），PM′2=m 2+（6+m ）2=（2m ）2，解得：m=0，或﹣；或PM′2=42+42=（6）2，无解；故点P 的坐标为（0，﹣4）或（﹣，﹣4）； 综上所述：点P 的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．22．1m m-+，原式23=-. 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值.【详解】原式()()21111m m m m m mm -⋅=-+-+， 当m ＝2时，原式23=-. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.23．（1）证明见解析；（2）AE ＝2时，△AEF 的面积最大．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得EF=CE ，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE ，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH ≌△ECD ，由全等三角形的性质可得FH=ED ； （2）设AE=a ，用含a 的函数表示△AEF 的面积，再利用函数的最值求面积最大值即可．【详解】(1)证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF.∵∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°，∴∠FEH＝∠DCE.在△FEH和△ECD中，,∴△FEH≌△ECD，∴FH＝ED.(2)解：设AE＝a，则ED＝FH＝4－a，∴S△AEF＝AE·FH＝a(4－a)＝－(a－2)2＋2，∴当AE＝2时，△AEF的面积最大．【点睛】本题考查了正方形性质、矩形性质以及全等三角形的判断和性质和三角形面积有关的知识点，熟记全等三角形的各种判断方法是解题的关键．24．（1）作图见解析（2）∠BDC=72°【解析】解：（1）作图如下：（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°．∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°．∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D．（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可．25．（1）（1）如图所示见解析；（3）4π+1．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形；（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形；（3）根据△ABC扫过的面积等于扇形BCC1的面积与△A1BC1的面积和，列式进行计算即可．【详解】（1）如图所示，△A1BC1即为所求；（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）由题可得，△ABC扫过的面积=29041413602π⨯⨯+⨯⨯=4π+1．【点睛】考查了利用旋转变换依据平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．26．（1）10，144；（2）详见解析；（3）96【解析】【分析】（1）依据C类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据B类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；（2）依据D类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整；（3）依据D类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益．【详解】解：（1）2÷20%＝10（人），410×100%×360°＝144°，故答案为10，144；（2）10﹣2﹣4﹣2＝2（人），如图所示：（3）2400×210×20%＝96（人）， 答：估计该校将有96名留守学生在此关爱活动中受益．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．27．（1）y=﹣12x 1﹣1x+6；（1）72＜y ＜558；（3）（0，4）． 【解析】【分析】（1）利用对称轴公式求出m 的值，即可确定出解析式；（1）根据x 的范围，利用二次函数的增减性确定出y 的范围即可；（3）根据题意确定出D 与A 坐标，进而求出直线AD 解析式，设出E 坐标，利用对称性确定出E 坐标即可．【详解】（1）∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，∴﹣122m ⨯-（）=﹣1，即m=﹣1，则二次函数解析式为y=﹣12x 1﹣1x+6；（1）当x=﹣12时，y=558；当x=1时，y=72． ∵﹣12＜x ＜1位于对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，∴72＜y ＜558； （3）当x=﹣1时，y=8，∴顶点D 的坐标是（﹣1，8），令y=0，得到：﹣12x 1﹣1x+6=0，解得：x=﹣6或x=1．∵点A 在点B 的左侧，∴点A 坐标为（﹣6，0）．设直线AD 解析式为y=kx+b ，可得：2860k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：212k b =⎧⎨=⎩，即直线AD 解析式为y=1x+11． 设E （0，n ），则有E′（﹣4，n ），代入y=1x+11中得：n=4，则点E 坐标为（0，4）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．。
【精品】2020年上海普陀区初三数学一模试卷及答案
78 分）
19．解：原式
2 ( 3)2 1
2
2 ···································································（ 4 分）
( 3) 2 4 2
2
31
2 2 ······················································································（ 3 分） 3 22
．
y y5
2．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是
y 轴，那么这个函数是（ ▲ ）
（ A ） y x2 2x ； （B ） y x2 2 x 1； （C） y x2 2 ； （D ） y ( x 1)2 ．
1 3．已知在 Rt△ ABC 中， C 90 ， sin A ，那么下列说法中正确的是（
3
A
A
A
D
D
B
图6
C
C
17．如图 7，在四边形 ABCD 中， ABC
O B 图8
B 图7
90 ，对角线 AC 、 BD 交于点 O ， AO
C
CO ，
CD BD ，如果 CD 3 ， BC 5 ，那么 AB
▲．
18．如图 8，在 Rt△ ABC 中， C 90 ， AC 5 ，sin B 5 ，点 P 为边 BC 上一点， PC 3 ， 13
∵ DE 5 ，∴ BF 5 ． ·····································································（ 1 分）
∵ DE // BC ，
2020届上海市普陀区中考数学一模试卷(有答案)
上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（）A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BC C．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC2．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．123．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A．B．C．D．4．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）A．B．C．D．5．下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心6．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣﹣二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．8．计算：2（+）+（﹣）=．9．计算：sin245°+cot30°•tan60°=．10．已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB 的值等于．11．在函数①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y关于x的二次函数是．（填写序号）12．二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最点．（填：“高”或“低”）13．如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于．14．如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF的长是．15．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．16．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC 相似，那么AP的长等于．17．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是米．18．已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x 轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，点M是边BC的中点=，=（1）填空：=，=（结果用、表示）（2）直接在图中画出向量2+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）20．将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．21．如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O 的半径长和sin∠BAD的值．22．已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm （底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC=AB•DE．24．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．25．如图，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN的边BN上，点P在∠MBN内，PD=3，BD=9，直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设=x（1）求x=2时，点A到BN的距离；（2）设△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（）A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BC C．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据比例式看看能不能推出△ABC∽△ADE即可．【解答】解：A、∵AE：EC=AD：DB，∴=，∴都减去1得：=，∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴∠D=∠B，∴DE∥BC，故本选项正确；B、根据AD：AB=DE：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；C、根据AD：DE=AB：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；D、根据BD：AB=AC：EC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能理解平行线分线段成比例定理的内容是解此题的关键．2．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】由平行可知△ADE∽△ABC，且=，再利用三角形的面积比等于相似比的平方可求得△ABC的面积．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是AB的中点，∴=，∴=（）2=，且S△ADE=3，∴=，∴S△ABC=12，故选D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余角的性质，可得∠=∠BCD，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：A、在Rt△ABD中，cosA=，故A正确；B、在Rt△ABC中，cosA=，故B正确C、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=，故C错误；D、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点情况分析判断即可得解．【解答】解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，D选项符合．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．5．下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心【考点】命题与定理．【分析】根据有关性质和定理分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B、不在一条直线上的三点确定一个圆，错误；C、平分弦的直径不一定垂直于弦，错误；D、弦的垂直平分线必经过圆心，正确；故选D【点评】此题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．6．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣﹣【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后连接BD，由三角形法则，求得，又由点M、N分别是边BC、CD 的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得答案．【解答】解：如图，连接BD，∵在平行四边形ABCD中，=，=，∴=﹣=﹣，∵点M、N分别是边BC、CD的中点，∴MN∥BD，MN=BD，∴==（﹣）=﹣+．故选B．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形的中位线的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例设x=2k，y=5k，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵=，∴设x=2k，y=5k，则===．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y可以使计算更加简便．8．计算：2（+）+（﹣）=3+．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：2（+）+（﹣）=2+2+﹣=3+．故答案为：3+．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握去括号法则．9．计算：sin245°+cot30°•tan60°=．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=sin245°+cot30°•tan60°=（）2+×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB 的值等于．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可．【解答】解：∵点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），AP是AB和PB的比例中项，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴AP：AB=，故答案为：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．11．在函数①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y关于x的二次函数是④．（填写序号）【考点】二次函数的定义．【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．【解答】解：①a=0时y=ax2+bx+c是一次函数，②y=（x﹣1）2﹣x2是一次函数；③y=5x2﹣不是整式，不是二次函数；④y=﹣x2+2是二次函数，故答案为：④．【点评】本题考查了二次函数，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零．12．二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．（填：“高”或“低”）【考点】二次函数的最值．【分析】直接利用二次函数的性质结合其开口方向得出答案．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3，a=1＞0，∴二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．故答案为：低．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，得出二次函数的开口方向是解题关键．13．如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于1．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），可知，从而可以得到m、n的值，进而可以得到m+n的值．【解答】解：∵抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），∴，解得m=﹣4，n=5，∴m+n=﹣4+5=1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的顶点坐标公式．14．如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF的长是2．【考点】三角形的重心．【分析】连接BD并延长交AC于H，根据重心的性质得到=，根据相似三角形的性质求出AC，根据平行四边形的判定和性质求出AF，计算即可．【解答】解：连接BD并延长交AC于H，∵点G为△ABC的重心，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴==，又DE=4，∴AC=6，∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF=DE=4，∴CF=AC﹣AF=2，故答案为：2．【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．15．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．【解答】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE==，折痕CD的长为2×=（cm）．【点评】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．16．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC 相似，那么AP的长等于或．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∠C=90°，∴AB==5，当△APQ∽△ABC时，=，即=，解得，AP=；当△APQ∽△ACB时，=，即，解得，AP=，故答案为：或．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．17．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是8米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD=45°，∴AD=BD，∵AB=4，∴AD=BD=ABsin45°=4×=4，∵坡度i=1：，∴==，则DC=4，故AC==8（m）．故答案为：8．【点评】此题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用等知识，正确得出DC，AD的长是解题关键．18．已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x 轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是（2，）．【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．【分析】如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG于E，于是得到∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，根据余角的性质得到∠DAE=∠FAB，推出△BCH∽△ABF，根据相似三角形的性质得到，求得BH=AF=1，CH=BF=，通过△BCH≌△ADE，得到AE=BH=1，DE=CH=，求得EG=3﹣1=2，于是得到结论．【解答】解：如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG于E，∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，∴∠GAF=90°，∴∠DAE=∠FAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABF，∴△BCH∽△ABF，∴，∵A（3，2），∴AF=2，AG=3，∵点C的横坐标是a，∴OH=﹣a，∵BC：AB=1：2，∴BH=AF=1，CH=BF=，∵△BCH∽△ABF，∴∠HBC=∠DAE，在△BCH与△ADE中，，∴△BCH≌△ADE，∴AE=BH=1，DE=CH=，∴EG=3﹣1=2，∴D（2，）．故答案为：（2，）．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的画出图形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，点M是边BC的中点=，=（1）填空：=，=﹣﹣（结果用、表示）（2）直接在图中画出向量2+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，可求得，然后由点M是边BC的中点，求得，再利用三角形法则求解即可求得；（2）首先过点A作AE∥CD，交BC于点E，易得四边形AECD是平行四边形，即可求得=2，即可知=2+．【解答】解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，=，∴=3=3，∵点M是边BC的中点，∴==；∴=﹣=﹣（+）=﹣﹣；故答案为：，﹣﹣；（2）过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴==，∴=﹣=2，∴=+=2+．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．20．将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用二次函数平移的性质得出平移后解析式，进而利用x=0时求出新抛物线与y轴交点的坐标．【解答】解：由题意可得：y=（x+m）2+2，代入（﹣1，4），解得：m1=3，m2=﹣1（舍去），故新抛物线的解析式为：y=（x+3）2+2，当x=0时，y=，即与y轴交点坐标为：（0，）．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确利用二次函数平移的性质得出解析式是解题关键．21．如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O 的半径长和sin∠BAD的值．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出BE=CE=BC=4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得出r2=42+（r﹣2）2，求出r．求出AE，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可．【解答】解：设⊙O的半径为r，∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC==4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r﹣2）2，解得：r=5，即⊙O的半径长为5，∴AE=5+3=8，∵在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB==4，∴sin∠BAD===．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的应用，能根据垂径定理求出BE是解此题的关键．22．已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm （底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．【考点】相似三角形的应用．【分析】作AM⊥BC于M，交DG于N，设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得出方程组求出BC和AM，再由平行线得出△ADG∽△ABC，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．【解答】解：作AM⊥BC于M，交DG于N，如图所示：设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得：，解得：，或（不合题意，舍去），∴BC=60cm，AM=h=40cm，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得：x=24，即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm．【点评】本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC=AB•DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到，等量代换得到，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，∴∠BDE=∠ACE，∴△ACE∽△BDE；（2）∵△ACE∽△BDE，∴，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EAB，∴，∴，∴BE•DC=AB•DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值；（2）由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；（3）根据相似三角形的对应角相等进行解答．【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得，解得，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x+8．把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．综上所述，该二次函数解析式为y=x2﹣x+8，m的值是5；（2）由（1）知，点C的坐标为：（9，5），又由点A的坐标为（0，8），所以直线AC的解析式为：y=﹣x+8，令y=0，则0=﹣x+8，解得x=24，即OD=24，所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；（3）在△APQ与△MDQ中，∠AQP=∠MQD．要使△APQ与△MDQ相似，则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根据题意，这种情况不可能），∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．作BH⊥y轴于点H，在直角△PBH中，cot∠P==3，∴PH=18，OP=20，∴点P的坐标是（0，20）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．25．如图，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN的边BN上，点P 在∠MBN内，PD=3，BD=9，直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设=x（1）求x=2时，点A到BN的距离；（2）设△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由PD∥AH得到=2，即可；（2）由PD∥AH得到，再由tan∠MBN=3，比例式表示出BC，CD，即可；（3）△ABC为等腰三角形时，分三种情况①AB=AC，②CB=CA，③BC=BA利用tan∠MBN=3，建立方程即可．【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC，∵PD⊥BC，∴PD∥AH，∴=2，∴AH=2PD=6，（2）∵PD∥AH，∴=x，∴AH=PD×x=3x，∵tan∠MBN=3，∴BH=3，∵，∴，∴CD=，∴BC=BD+CD=9+=，∴S△ABC=AH×BC=×3x×=，∴y=（1＜x≤9），（3）①当AB=AC时，∵tan∠PCB=tan∠MBC=3，∴=3，∴CD=1，∴BC=BD+CD=10，∴=10，∴x=5，②当CB=CA时，如图2，过点C作CE⊥AB，BE=AB=x，∵tan∠MBN=3，∴cos∠MBN=，∴=，∴，∴x=；③当BA=BC时，x=，∴x=1+，∴△ABC为等腰三角形时，x=5或或1+．【点评】此题是几何变换的综合题，主要考查平行线分线段成比例定理和锐角三角函数，由平行线分线段成比例定理建立方程是解本题的关键．。
2020年上海市普陀区初三中考一模数学试卷及答案 Word含解析
2020年上海市普陀区初三一模数学试卷一、选择题1. 已知35x y =，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A . 53x y =B . 8x y +=C .85x y y += D .35x x y y +=+ 2. 下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y 轴，那么这个函数是（ ） A . 22y x x =+B . 221y x x =++C . 22y x =+D . ()21y x =-3. 已知在Rt ABC V 中，∠C =90°，1sin 3A =，那么下列说法中正确的是（ ） A . 1cos 3B =B . 1cot 3A =C. tan 3A =D. cot 3B =4. 下列说法中，正确的是（ ）A . 如果k =0，a r 是非零向量，那么0ka =rB . 如果e r 是单位向量，那么1e =rC . 如果b a =r r，那么b a =r r 或b a =-r rD . 已知非零向量a r ，如果向量5b a =-r r ，那么a r //b r5. 如果二次函数()2y x m n =-+的图像如图1所示，那么一次函数y mx n =+的图像经过（ ） A . 第一、二、三象限 B . 第一、三、四象限 C . 第一、二、四象限D . 第二、三、四象限6. 如图2，在Rt ABC V 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C =V V ，AD =9，那么BC 的长是（ ） A . 4B . 6C.D.二、填空题7. 化简：()122a b a b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭r r r r____________8. 抛物线()22y a x =-在对称轴左侧的部分是上升的，那么a 的取值范围是____________9. 已知函数()2321f x x x =--，如果2x =，那么()f x =____________10. 如果抛物线22y ax ax c =++与x 轴的一个交点的坐标是（1,0），那么与x 轴的另一个交点的坐标是____________11. 将二次函数222y x x =-+的图像向下平移m (m >0)个单位后，它的顶点恰好落在x 轴上，那么m 的值等于____________12. 已知在Rt ABC V 中，∠C =90°，1cot 3B =，BC =2，那么AC =____________ 13. 如图3，ABC V 的中线AD 、CE 交于点G ，点F 在边AC 上，GF //BC ，那么GFBC的值是____________ 14. 如图4，在ABC V 与AED V 中，AB BCAE ED=，要使ABC V 与AED V 相似，还需添加一个条件，这个条件可以是____________（只需填一个条件）15. 如图5，在Rt ABC V 中，∠C =90°，AD是三角形的角平分线，如果AB AC ==D 到直线AB 的距离等于____________16. 如图6，斜坡AB 长为100米，坡角∠ABC =30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB 改造成坡度i =1:5的斜坡BD （A 、D 、C 三点在地面的同一条垂线上），那么由点A 到点D 下降了____________米（结果保留根号）17. 如图7，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，对角线AC 、BD 交于点O ，AO =CO ，CD ⊥BD ，如果CD =3，BC =5，那么AB =____________ 18. 如图8，在Rt ABC V 中，∠C =90°，AC =5，5sin 13B =，点P 为边BC 上一点，PC =3，将ABC V 绕点P 旋转得到'''A B C V （点A 、B 、C 分别与点'A 、'B 、'C 对应），使''B C //AB ，边''A C 与边AB 交于点G ，那么'A G 的长等于____________三、解答题19. 计算：222sin 60cos 60tan 604cos 45︒-︒︒-︒20. 如图9，在ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE //BC ，EF //AB ，AD :AB =1:3. （1）当DE =5时，求FC 的长；（2）设,AD a CF b ==u u u r r u u u r r ，那么FE =u u u r ______，EA =u u u r______（用向量,a b r r 表示）.21. 如图10，在ABC V 中，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，P A ⊥AB ，垂足为点A ，DP ⊥BC ，垂足为点P ，AP BPPD CD=. （1）求证：∠APD =∠C ；（2）如果AB =3，DC =2，求AP 的长.22. 函数m y x =与函数xy k=（m 、k 为不等于零的常数）的图像有一个公共点()3,2A k -，其中正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，求这两个函数的解析式23. 已知：如图11，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOD BOC S S =V V . （1）求证：DO COOB OA=； （2）设OAB V 的面积为S ，CD k AB=，求证：()21ABCD S k S =+四边形.24. 在平面直角坐标系xOy 中（如图12），已知抛物线()2803y ax a x c a ⎛⎫=+++≠ ⎪⎝⎭经过点()3,2A --，与y 轴交于点()0,2B -，抛物线的顶点为点C ，对称轴与x 轴交于点D .（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）点E 是x 轴正半轴上的一点，如果∠AED =∠BCD ，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P 是位于y 轴左侧抛物线上的一点，如果PAE V 是以AE 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标.25. 如图13，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠C =90°，AD =2，BC =5，DC =3，点E 在边BC 上，tan ∠AEC =3，点M 是射线DC 上一个动点（不与点D 、C 重合），联结BM 交射线AE 于点N ，设,DM x AN y ==. （1）求BE 的长；（2）当动点M 在线段DC 上时，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当动点M 运动时，直线BM 与直线AE 的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM 的长.普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(B)； 2．(C)； 3．(A)； 4．(D)； 5．(B)； 6．(C)．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式212⨯-= ··································································· （4分）31-=······················································································· （3分）3=+． ······················································································ （3分）20．解：（1）∵DE //BC ，EF //AB ，∵DE BF =． ···················································································· （1分） ∵5DE =，∵5BF =． ······································································· （1分） ∵DE //BC ，∵AD DEAB BC =． ·················································································· （1分） ∵13AD AB =，∵513BC =． ····································································· （1分） 解得 15BC =， ················································································ （1分） 10FC =． ························································································ （1分）（2）FE =u u u r 2a -r ，EA =u u u r 12a b -+r r． ······················································· （2分+2分）21．解：（1）∵PA AB ⊥，DP PC ⊥，7． 2a b →→+； 8． 2a <； 9． 7； 10．30-(,) ； 11．1； 12．6；13． 13； 14．B E ∠=∠（AB ACAE AD=等）； 15．2 ； 16．50-； 17．154； 18．2013．∵90BAP CPD ∠=∠=︒． ···································································· （1分） 在Rt △ABP 与Rt △PCD 中，AP BPPD CD=， ∵Rt △ABP ∵Rt △PCD ． ···································································· （1分） ∵APB PDC ∠=∠． ············································································ （1分） ∵DPB APB APD ∠=∠+∠，DPB PDC C ∠=∠+∠，得APD C ∠=∠． ··············································································· （2分） （2）∵Rt △ABP ∵Rt △PCD ． ∵B C ∠=∠．∵AB AC =． ···················································································· （1分） ∵3AB =，2DC =，∵1AD =． ··························································· （1分） ∵APD C ∠=∠，PAD CAP ∠=∠，∵△APD ∵△ACP ． ········································································· （1分） ∵AD APAP AC=． ················································································· （1分）得AP = ···················································································· （1分）22．解：由点A ()3,2k -在函数xy k=的图像上，可得 32k k-=． ················································································ （1分） 整理，得2230k k --=． ·································································· （1分） 解得 13k =，21k =-． ····································································· （2分） ∵正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，∵1k =-． ························································································ （2分） 得 y x =-，点A ()3,3-． ································································· （2分） 由点A ()3,3-在函数my x=的图像上，可得 9m =-．··················································································· （1分） ∵9y x=-． ······················································································ （1分） 两个函数的解析式分别为y x =-，9y x=-．23．证明：（1）过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H . ···················································· （1分）∵S △AOD =AH DO ⋅⋅21, S △AOB =AH OB ⋅⋅21, ∴OB DOAH OB AHDO S S AOBAOD=⋅⋅⋅⋅=∆∆2121. ····························································· （2分） 同理，BOC AOB S COS OA∆∆=． ········································································· （1分） ∵AOD BOC S S =△△， ∵DO COOB OA=． ··············································································· （1分） （2）∵OACOOB DO =，AOB COD ∠=∠， ∵△OCD ∵△OAB ． ······································································ （1分） ∵CD DO COk AB BO AO===． ·································································· （1分） 22k AB CD S S OAB OCD =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆． ·································································· （1分） ∵△OAB 的面积为S ，∴S k S OCD ⋅=∆2. ············································ （1分） 又∵k OBDOS S OAB AOD ==∆∆，∵S k S AOD ⋅=∆． ············································· （1分） 同理，S k S BOC ⋅=∆. ······································································ （1分） ∴AOB BOC COD DOA ABCD S S S S S =+++△△△△四边形S k S k S k S ⋅+⋅+⋅+=2 S k k ⋅++=)12(2S k 2)1(+=． ································································ （1分）24．解：（1）由抛物线28()3y ax a x c =+++经过点A ()3,2--和点B ()0,2-，得2,893() 2.3c a a c =-⎧⎪⎨-++=-⎪⎩ 解得4,32.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ··············································· （2分） ∵抛物线的表达式是24423y x x =+-． ············································· （1分） 点C 的坐标是3(,5)2--． ··································································· （1分） （2）联结AB 交CD 于点F ，过点A 作AH OD ⊥，H 为垂足．∵A ()3,2--，B ()0,2-，∵3AB =． 由对称性可得 32BF =． ····································································· （1分） ∵5CD =，∵3CF =．在Rt △BCF 中，1tan 2BF BCF CF ∠==．················································· （1分） 在Rt △AEH 中，tan AHAEH EH∠=，∵AED BCD ∠=∠， ∵12AH EH =．∵4EH =． ····································································· （1分） ∵3OH =，∵1OE =．∵点E 的坐标是()1,0． ······································································· （1分） （3）∵△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形， ∵90PAE ∠=︒或90PEA ∠=︒．设点P 点的坐标为24(,42)3m m m +-． ①当90PAE ∠=︒时，点P 只能在AE 的下方． 过点P 作PG AH ⊥，G 为垂足．∵3PG m =+，2443AG m m =--．∵GAE AHE AEH ∠=∠+∠，GAE PAE PAG ∠=∠+∠，∵PAG AEH ∠=∠．∵tan tan PAG AEH ∠=∠．∵PG AHAG EH =．∵2314243m m m +=--． ···················································· （1分） 解得3m =-，32m =-．∵3m =-不合题意舍去，∵32m =-．∵点P 的坐标是3(,5)2--． ······························································· （1分）②当90PEA ∠=︒时． 同理可得点P的坐标是． ··································· （2分）25．解：（1）过点A 作AH BC ⊥，H 为垂足． ∵AH BC ⊥，∴90AHE ∠=︒．∵90C ∠=︒，∴AHE C ∠=∠．∴AH //DC ．∵AD //BC ，3DC =∴3AH DC ==． ······························································ （1分） 同理可得2HC AD ==． ··························································································· （1分） 在Rt △AEH 中，90AHE ∠=︒，tan 3AEH ∠=，∴3AHHE=． ∴1EH =． ················································································································ （1分） ∵5BC =，∴2BE =． ····························································································· （1分） （2）延长BM 、AD 交于点G ． ············································································· （1分） ∵DG //BC ，∴DG DMBC MC=． 由DM x =，3DC =，5BC =，得53DG x x =-，解得53xDG x=-． ·········································································· （1分） ∴633xAG x+=-． ········································································································· （1分）∵AG //BC ，∴AN AGBN BE=． 在Rt △AEH 中，90AHE ∠=︒，1EH =，3AH =，可得AE =········································································································· （1分）6332xx +-=，化简，得 y =（03x <<）．···························································· （2分）（3）①当点M 在线段DC 上时，12DM =． ························································· （2分）②当点M 在线段DC 的延长线上时，点N 在线段AE 的延长线上，13DM =．（2分）。
2020年上海普陀区初三数学一模试卷及答案
普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数学试卷（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．已知xy35，那么下列等式中，不一定正确的是（▲）（A）5x=3y；（B）x+y8；（C）x+y8y5；（D）x xyy35．2．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y轴，那么这个函数是（▲）（A）22yxx；（B）221yxx；（C）22yx；（D）2y(x1)．3．已知在Rt△ABC中，C90，sin1A，那么下列说法中正确的是（▲）3（A）1cosB；（B）3cot1A；（C）3tan22A；（D）3cot22B．34．下列说法中，正确的是（▲）（A）如果k0，a是非零向量，那么ka0；（B）如果e是单位向量，那么e1；（C）如果ba，那么ba或ba；（D）已知非零向量a，如果向量b5a，那么a∥b．5．如果二次函数2yxmn的图像如图1所示，y那么一次函数ymxn的图像经过（▲）（A）第一、二、三象限；（B）第一、三、四象限；xO （C）第一、二、四象限；（D）第二、三、四象限．图16．如图2，在Rt△ABC中，ACB90，CDAB，垂足为点D，如果C△ADCC△CDB32，CAD9，那么BC的长是（▲）（A）4；（B）6；（C）213；（D）310．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）AD图2B7．化简：12(ab)(ab)▲．28．抛物线2y(a2)x在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是▲．9．已知函数2f(x)3x2x1，如果x2，那么f(x)▲．10．如果抛物线22yaxaxc与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，那么与x轴的另一个交点的坐标是▲．11．将二次函数222yxx的图像向下平移m(m0)个单位后，它的顶点恰好落在x 轴上，那么m的值等于▲．12．已知在Rt△ABC中，C90，cot 1B，BC2，那么AC▲．313．如图3，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF//BC，那么G F BC的值是▲．14．如图4，在△ABC与△AED中，A BBCAEED，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是▲．（只需填一个条件）A AADGEBDC图3 BC图4CD图5B 215．如图5，在Rt△ABC中，C90，AD是三角形的角平分线，如果AB35，AC25，那么点D到直线AB的距离等于▲．16．如图6，斜坡AB长为100米，坡角ABC30，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡度i1:5的斜坡BD（A、D、C三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了▲米．（结果保留根号）ADAAADODB图6 C CB图7BC图817．如图7，在四边形ABCD中，ABC90，对角线AC、BD交于点O，AOCO，CDBD，如果CD3，BC5，那么AB▲．18．如图8，在Rt△ABC中，C90，AC5，sin5B，点P为边BC上一点，PC3，13将△ABC绕点P旋转得到△ABC（点A、B、C分别与点A、B、C对应），使BC //AB，边AC与边AB交于点G，那么AG的长等于▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：22sin60cos602tan604cos45．20.（本题满分10分）如图9，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE//BC，EF//AB，AD:AB1:3．（1）当DE5时，求FC的长；（2）设ADa，CFb，那么FE▲，EA▲（用向量a、b表示）．ADEBCF图9 3如图10，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PAAB，垂足为点A，DPBC，垂足为点P，A PBPPDCD．（1）求证：APDC；（2）如果AB3，DC2，求AP的长．ADBPC图10 22．（本题满分10分）y 函数mx与函数yxk（m、k为不等于零的常数）的图像有一个公共点A3,k2，其中正比例函数y的值随x的值增大而减小，求这两个函数的解析式．23．（本题满分12分）已知：如图11，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，SS△△．AODBOC（1）求证：D OOBC OOA；CD（2）设△OAB的面积为S，kAB ，求证：2S四边形(k1)S．ABCDDCOAB图11xOy在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线28yax(a)xc(a0)经3过点A3,2，与y轴交于点B0,2，抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果AEDBCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．y1O1 x图12如图13，在梯形ABCD中，AD//BC，C90，AD2，BC5，DC3，点E在边BC上，tanAEC3．点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DMx，ANy．（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45，请直接写出这时线段DM的长．ADMNBEC图13ADBCE6普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(B)；2．(C)；3．(A)；4．(D)；5．(B)；6．(C)．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．a2b；8．a2；9．7；10．(3,0)；11．1；12．6；13．13；14．BE（A BACAEAD等）；15．2；16．50103；17．154；18．2013．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式3122()222(3)422···································································（4分）3122 322 ······················································································（3分）322．·····················································································（3分）20．解：（1）∵DE//BC，EF//AB，∴DEBF．···················································································（1分）∵DE5，∴BF5．·····································································（1分）∵DE//BC，∴A DDEABBC．····································∵A DAB13，∴51BC3．···································································（1分）7解得BC15，·················································································（1分）FC10．·······················································································（1分）（2）FE2a，EA1ab．························································（2分+2分）221．解：（1）∵PAAB，DPPC，∴BAPCPD90．····································································（1分）在Rt△ABP与Rt△PCD中，APBPPDCD，∴Rt△ABP∽Rt△PCD．···································································（1分）∴APBPDC．··········································································（1分）∵DPBAPBAPD，DPBPDCC，得APDC．···············································································（2分）（2）∵Rt△ABP∽Rt△PCD．∴BC．∴ABAC．····················································································（1分）∵AB3，DC2，∴AD1．··························································（1分）∵APDC，PADCAP，∴△APD∽△ACP．········································································（1分）∴A DAPAPAC．···············································································（1分）得AP3．····················································································（1分）22．解：由点A3,k2在函数 y x k 的图像上，可得k2 3 k．················································································（1分）整理，得 2230kk ．···································································（1分）解得k 13，k 21．·····································································（2分） ∵正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，∴k1．························································································（2分）8得yx ，点A3,3．································································（2分）由点A3,3在函数ym x的图像上，可得m9．···················································································（1分）∴ y9 x ． ····················································································（1分）两个函数的解析式分别为yx ，y9 x． 23．证明：（1）过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H.···················································（1分）1∵S △AOD =DOAH 2 1 ,S△AOB =OBAH2,∴ S S AOD AOB 1 2 1 2DO OB AHAHDO OB .·····························································（2分）SCO同理，BOCSOA AOB．··········································································（1分）∵S S △△， AODBOC∴ D OCO OBOA ．···············································································（1分）（2）∵D OOBC O OA，CODAOB ， ∴△OCD ∽△OAB ．·····································································（1分）∴CDDOCOk ABBOAO．·································································（1分）S S2CDOCD 2．··································································（1分）kABOAB2.·············································（1分） ∵△OAB 的面积为S ，∴S OCD kSSDOAOD，∴SkS又∵kAOD．SOBOAB ···········································（1分）同理，S BOC kS.·····································································（1分）9∴S四边形S△S△S△S△ABCDAOBBOCCODDOAS2kSkS kS(2k2k1)S2(k1)S．·································································（1分）24．解：（1）由抛物线28yax(a)xc经过点A3,2和点B0,2，3c2,8 9a3(a)c2. 3 解得ac4,32.得··············································（2分）∴抛物线的表达式是42yx4x2．3············································（1分）点C的坐标是3(,5)2．··································································（1分）（2）联结AB交CD于点F，过点A作AHOD，H为垂足．∵A3,2，B0,2，∴AB3．由对称性可得3BF．2····································································（1分）∵CD5，∴CF3．在Rt△BCF中，tanBCFBFCF 12 ．·················································（1分）在Rt△AEH中，tan AEH A H EH，∵AEDBCD，∴A HEH12．∴EH4．···································································（1分）∵OH3，∴OE1．∴点E的坐标是1,0．·······································································（1分）（3）∵△PAE是以AE为直角边的直角三角形，∴PAE90或PEA90．设点P点的坐标为42 (m,m4m2)．3①当PAE90时，点P只能在AE的下方．过点P作PGAH，G为垂足．10∴PGm3，42 AGm4m．3∵GAEAHEAEH，GAEPAEPAG，∴PAGAEH．∴tanPAGtanAEH．∴P GAHAGEH．∴m31422m4m3．···················································（1分）解得m3，3 m．2∵m3不合题意舍去，∴3m．2∴点P的坐标是3(,5)2．······························································（1分）②当PEA90时．同理可得点P的坐标是912913129(,)42．··································（2分）25．解：（1）过点A作AHBC，H为垂足．∵AHBC，∴AHE90．∵C90，∴AHEC．∴AH//DC．∵AD//BC，DC3∴AHDC3．·······························································（1分）同理可得HCAD2．··························································································（1分）AH在Rt△AEH中，AHE90，tanAEH3，∴3HE．∴EH1．···············································································································（1分）∵BC5，∴BE2．·····························································································（1分）（2）延长BM、AD交于点G．············································································（1分）∵DG//BC，∴D GDMBCMC．由DMx，DC3，BC5，得D Gx53，解得DGx35xx．·········································································（1分）∴AG 63x3x．·········································································································（1分）∵AG//BC，∴A NAGBNBE．在Rt△AEH中，AHE90，EH1，AH3，11。
2020届上海市普陀区中考数学一模试卷((有答案))
上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；A ． tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键． 3. 如图，在△ABC中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A ．当时，能判断ED∥BC； B. 当时，能判断ED∥BC； C. 当时，不能判断ED∥BC； D. 当时，能判断ED∥BC；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡 AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB==．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y=（1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
普陀区2020学年度第一学期初三质量调研一模数学答案
普陀区2020学年度第一学期初三质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(C)； 2．(D)； 3．(C)； 4．(B)； 5．(B)； 6．(A)． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式22=⨯⎝⎭ ··················································· （4分）=- ················································································· （2分）1- ················································································· （2分）2=-． ····················································································· （2分）20．解：∵AB //DE ，∵AG BEGC EC=． ·························································· （2分） ∵12AG GC =，2BE =，∵ 4EC =． ······················································· （2分） 同理2CF =． ··················································································· （1分） ∵ 8BF =． ······················································································ （1分） （2）BF =4b ，DF =3+32a b -． ······················································· （2分+2分）7．73； 8．增大； 9． a ＞2； 10．()12-，- ； 11．>； 12．0→； 13． 4；14．2； 15．tan cot m αβ； 16．43；17．10；18．214．21．解：（1）∵反比例函数6y x=的图像经过点A ， ∵ 把3x =代入6y x=，可得2y =． ···················································· （1分） ∵ 点A 的坐标为()3,2． ····································································· （1分） 由一次函数1y kx =-的图像经过点A ()3,2，可得231k =-，解得1k =．···· （1分） 所以这个一次函数的解析式是1y x =-． ················································ （1分）（2）由题意可设点B 的坐标为(),1m m -0m ＞，点C 的坐标为,12m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ·· （2分） ∵点C 在反比例函数6y x =的图像上，∵ 把2m x =，1y m =-代入6y x=． 得121m m-=． ·················································································· （1分） 整理，得2120m m --=．解得 13m =-（舍），24m =． ···························································· （2分） ∵点B 的坐标为()4,3． ······································································ （1分）22．解：（1）∵ 2AB BD BC =⋅，∵AB BCBD AB=． ·········································· （1分） ∵B ∠为公共角，∵ ∵ABC ∵ ∵DBA ． ·················································· （1分） ∵ C BAD ∠=∠． ·············································································· （1分） ∵点D 在边AB 的垂直平分线上，∵ AD BD =．∵ B BAD ∠=∠． ·············································································· （1分） ∵ B C ∠=∠． ·················································································· （1分） （2）过点A 作AH ∵BC ，垂足为点H . ··············································· （1分）由2AB BD BC =⋅，AB =10BC =，可得4BD =．∵ 4AD BD ==． ·········································································· （1分） ∵ B C ∠=∠，∵ AB AC =． 又∵AH ∵BC ，∵ 152BH BC ==． ·················································· （1分） ∵ 1DH =． ·················································································· （1分） 在Rt∵ADH 中，1cos 4DH ADC AD ∠==． ············································ （1分）23．证明：（1）∵AD ∵BC ，∵ADB DBC ∠=∠. ··········································· （1分）∵ABD C ∠=∠，∵∵ADB ∵ ∵DBC . ····················································· （2分） ∵AE BD ⊥，∵AE 是∵ADB 的高，同理 DF 是∵DBC 的高， ································································· （2分） ∵AE BDDF BC=． ·················································································· （1分） （2）∵DF BC ⊥，∵90DFC ∠=︒． ∵AD ∵BC ，∵90ADF DFC ∠=∠=︒．∵，∵45ADB ∠=︒． ····················································· （1分） ∵AE BD ⊥，∵AE DE =． ································································· （1分）∵AE BDDF BC=，∵DE BD DF BC =． ∵DE DF BD BC=． ·················································································· （1分） 又∵EDF DBC ∠=∠，∵∵DEF ∵ ∵BDC ． ··········································· （1分） ∵EF DFDC BC=． ·················································································· （1分） ∵DF DC EF BC ⋅=⋅ ·········································································· （1分）24．解：（1）A (0，1) ． ·········································································· （1分）由抛物线21y ax bx =++的顶点B 的坐标为()2,1-，可设此抛物线的表达式为()221y a x =--． ············································ （1分） 由抛物线经过点A (0，1)，得141a =- 解得12a =···································································· （1分） ∵ 抛物线的表达式是()21212y x =--． ················································· （1分）即：21212y x x =-+．（2） 由B ()2,1-，A (0，1)，可得45BAO ∠=︒．由90CAB ∠=，可得45CAO ∠=︒，1CO =．∵ 点C 的坐标为()1,0-． ··································································· （1分）ADB BDF ∠=∠由直线AC 与抛物线的另一个交点为点D ，可设点D 的坐标为21,212m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．过点D 作DH AO ⊥，H 为垂足． 可得2122AH m m =-，DH m =． ∵ 45CAO ∠=︒，∵ 45HAD ∠=︒． ∵ AH DH =．∵2122m m m -=． ······················································· （1分） ∵ 0m ≠，解得6m =． ······································································ （1分） ∵ 点D 的坐标为()6,7． ····································································· （1分） 过点B 作BG CO ⊥，G 为垂足．在Rt∵CBG 中，1tan 3GCB ∠=，在Rt∵ADB 中，1tan 3AB ADB AD ∠==． ∵ GCB ADB ∠=∠．由平移可得AP //BD ， ∵ PAD ADB ∠=∠．∵ PAD GCB ∠=∠． ·········································································· （1分） 在∵CBQ 中，135BQC ∠=︒，又因为平移后顶点仍在线段BD 上，∵ ADP ∠最大等于90︒．如果∵ADP 与∵CBQ 相似，只能135APD ∠=︒． ··· （1分）由=CQ BC AP AD ，可得AP ·························································· （1分） ∵ 45QCB QBC ∠+∠=︒，45PAD PAH ∠+∠=︒，∵ ABC PAH ∠=∠． 过点P 作PM AH ⊥，M 为垂足．在Rt∵ABC 中，1tan 2ABC ∠=，∵ 在Rt∵APM 中，1tan 2PAM ∠=． 可得点P 的坐标为1229(,)55． ······························································· （1分）25．解：（1）∵矩形ABCD ，∵90BAD B C CDA ∠=∠=∠=∠=︒，3AD BC ==，1CD AB ==． ··········· （1分） 由90BAD ∠=︒，可得90BAE EAD ∠+∠=︒． 由AE AF ⊥，可得90DAF EAD ∠+∠=︒．∵BAE DAF ∠=∠． ··········································································· （1分） 由90CDA ∠=︒，可得90ADF ∠=︒．∵B ADF ∠=∠． ··············································································· （1分） ∵∵ABE ∵∵ADF ． ··········································································· （1分）∵AD DFAB BE=． ·················································································· （1分） （2）由AD DFAB BE=， 可得3DF x =． ···················································· （1分） 过点G 作GH DF ⊥，H 为垂足．可证GH //EC ，∵GH FH FGEC FC FE==． 由:1:2FG GE =，可得()113133GH x x =-=-，()113133FH x x =+=+． ···· （2分）∵113233DH x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭． ····························································· （1分）在Rt∵DGH 中，3cot 61GH xDGH DH x -∠==-． ········································· （1分） ∵GH //AD ，3cot cot 61xADG DGH x -∠=∠=-． ······································ （1分）（3）解法一：过点G 作GH DF ⊥，H 为垂足． 同第（2）小题方法可得，113GH x =-，123DH x =-． ∵FGD AFE ∠=∠，∵GD //AF ． ························································· （1分） ∵FAD ADG ∠=∠．又∵AD //GH ．∵DGH ADG ∠=∠．∵DGH FAD ∠=∠． ∵tan tan DGH FAD ∠=∠．得 12331313x x x -=-，解得 9772x -=． ··················································· （2分） 即 9772BE -=．解法二：过点G 作GM //AF ．∵FGD AFE ∠=∠，∵GD //AF ． ························································· （1分） 证90AEM ∠=︒，可得 BAE CEM ∠=∠． 得 1631x xx -=-，解得 9772x -=． ······················································ （2分）ABCDGF HEAB CDGF M E。
上海市普陀区2019-2020学年中考数学一模试卷(Word版,含答案解析)
2019-2020年上海市普陀区中考一模试卷数学一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（）A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C． D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故 AB=，故选项 A，B 错误；A ． tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3. 如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断 ED∥BC 的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A ．当时，能判断 ED∥BC； B. 当时，能判断 ED∥BC； C. 当时，不能判断 ED∥BC； D. 当时，能判断 ED∥BC；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A． B．与方向相同C． D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果，那么的值是（）A． B． C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知 AB 和 CD 是⊙O 的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC 的延长线交于点 P，联结 OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 = ，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设 a=2t，b=3t，然后把 a=2t，b=3t 代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段 a=4 厘米，b=9 厘米，线段 c 是线段 a 和线段 b 的比例中项，线段 c 的长度等于 6 厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以 c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简： = ﹣4 +7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数 y=（x﹣1）2﹣3 的图象与 y 轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为 0 时的函数值即可得到二次函数的图象与 y 轴的交点坐标．【解答】解：把 x=0 代入 y=（x﹣1）2﹣3 得 y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在 y 轴上的点的横坐标为 0．12.将抛物线 y=2x2 平移，使顶点移动到点 P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点 A（3，4），点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点 A（3，4），∴OA==5，∴cosα=．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在边BC、AB 上，且∠ADE=∠B，如果 DE：AD=2：5，BD=3，那么 AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD=6 米，坝高是 20 米，背水坡 AB 的坡角为 30°，迎水坡 CD 的坡度为 1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20 ）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线 AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解Rt△ABE、Rt△DCF求得线段 BE、CF 的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F，则四边形 ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20 米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底 BC 的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点 D，以点 D为圆心作⊙D，使得点 A 在⊙D外，且点 B 在⊙D内．设⊙D的半径为 r，那么 r 的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，进而得出 CD 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设 AD=x，BD=4﹣x．解得 x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r 的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点 D 在△ABC的边 BC 上，已知点 E、点 F 分别为△ABD和△ADC 的重心，如果 BC=12，那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 4 ．【分析】连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点 A 落到边 BC 上的点A′处，折痕分别交边 AB、AC 于点 E，点 F，如果A′F∥AB，那么 BE= ．【分析】设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到 BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即= ，解得 x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10 分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20 ．（10 分）已知一个二次函数的图象经过 A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点 C 的坐标．【分析】设一般式 y=ax2+bx+c，把 A、B、D 点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把 C（m，2m+3）代入得 2m2+m﹣3=2m+3，解得 m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10 分）如图，已知⊙O经过△ABC 的顶点 A、B，交边 BC 于点 D，点A 恰为的中点，且 BD=8，AC=9，sinC= ，求⊙O的半径．【分析】如图，连接 OA．交 BC 于 H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出 AH，设⊙O的半径为 r，在Rt△BOH中，根据 BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点 A 为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC== ，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10 分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段 a、b、c（如图），求作线段 x，使 a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点 O 为端点画射线 OM，ON．（2）、在 OM 上依次截取 OA=a，AB=b．（3）、在 ON 上截取 OC=c．（4）、联结 AC，过点 B 作BD∥AC，交 ON 于点D．所以：线段 CD 就是所求的线段 x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果 OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即 BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即= ，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12 分）已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12 分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+2ax+c（其中a、c 为常数，且 a＜0）与 x 轴交于点 A，它的坐标是（﹣3，0），与 y轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点 P 是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点 P 的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得 a 的值即可；（2）先求得 A、B、C 的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到 BC、AB、AC 的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D．先求得 D（1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO；当点 P 在 AB 的上时．过点 P 作PE∥AO，过点 B 作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设 BE=t，则 PE=3t，P（﹣3t，3+t），将 P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得 t 的值，从而可得到点 P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为 x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3 ，AC=2 ，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB== ．（3）如图 1 所示：记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图 2 所示：当点 P 在 AB 的上时．过点P 作PE∥AO，过点 B 作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设 BE=t，则 PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将 P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3 得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得 t=0（舍去）或 t=．∴P（﹣，）．综上所述，点 P 的坐标为 P（1，0）或 P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14 分）如图 1，∠BAC 的余切值为 2，AB=2，点 D 是线段 AB 上的一动点（点 D 不与点 A、B 重合），以点 D 为顶点的正方形 DEFG 的另两个顶点E、F 都在射线 AC 上，且点 F 在点 E 的右侧，联结 BG，并延长 BG，交射线 EC 于点 P．（1）点 D 在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为 x，线段 AP 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于 M，交 DG 于 N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设 BM=t，则 AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即 BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，则 AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断 PB 在变化，∠BPM在变化，PF 在变化；（2）易得四边形DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到 y 与 x 的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG 相似，且面积不相等，利用相似比得到 PF=x，讨论：当点 P 在点 F 点右侧时，则 AP=x，所以= x，当点 P 在点 F 点左侧时，则 AP= x，所以= x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作 BM⊥AC 于 M，交 DG 于 N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2 ）2，解得 t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF=== ，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而 PM 在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形 DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y=（1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG 相似，且面积不相等，∴=，即= ，∴PF=x，当点 P 在点 F 点右侧时，AP=x，∴=x，解得 x=，当点 P 在点 F 点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x= x，∴=x，解得 x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
2020年上海市普陀区中考数学一模试卷(附答案详解)
2020年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知xy =35，那么下列等式中，不一定正确的是()A. 5x=3yB. x+y=8C. x+yy =85D. xy=x+3y+52.下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是y轴，那么这个函数是()A. y=x2+2xB. y=x2+2x+1C. y=x2+2D. y=(x−1)223.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13，那么下列说法中正确的是()A. cosB=13B. cotA=13C. tanA=2√23D. cotB=2√234.下列说法中，正确的是()A. 如果k=0，a⃗是非零向量，那么k a⃗=0B. 如果e⃗是单位向量，那么e⃗=1C. 如果|b⃗ |=|a⃗|，那么b⃗ =a⃗或b⃗ =−a⃗D. 已知非零向量a⃗，如果向量b⃗ =−5a⃗，那么a⃗//b⃗5.如果二次函数y=(x−m)2+n的图象如图所示，那么一次函数y=mx+n的图象经过()A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果C△ADCC△CDB =32，AD=9，那么BC的长是()A. 4B. 6C. 2√13D. 3√10二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：2(a⃗+12b⃗ )−(a⃗−b⃗ )=______．8.抛物线y=(a−2)x2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是______．9.已知函数f(x)=3x2−2x−1，如果x=2，那么f(x)=______．10.如果抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，那么与x轴的另一个交点的坐标是______．11.将二次函数y=x2−2x+2的图象向下平移m(m>0)个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m的值等于______．12.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cotB=13，BC=2，那么AC=______．13.如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF//BC，那么GFBC的值是______．14.如图，在△ABC与△AED中，ABAE =BCED，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是______(只需填一个条件)．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是三角形的角平分线，如果AB=3√5，AC=2√5，那么点D到直线AB的距离等于______．16.如图，斜坡AB长为100米，坡角∠ABC=30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡度i=1：5的斜坡BD(A、D、C三点在地面的同一条垂线上)，那么由点A到点D下降了______米．(结果保留根号)17. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，对角线AC 、BD 交于点O ，AO =CO ，CD ⊥BD ，如果CD =3，BC =5，那么AB =______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，sinB =513，点P 为边BC 上一点，PC =3，将△ABC 绕点P 旋转得到△A′B′C′(点A 、B 、C 分别与点A′、B′、C′对应)，使B′C′//AB ，边A′C′与边AB 交于点G ，那么A′G 的长等于______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分） 19. 计算：2sin 260°−cos60°tan 260∘−4cos45∘．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE//BC ，EF//AB ，AD ：AB =1：3． (1)当DE =5时，求FC 的长；(2)设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用向量a ⃗ ，b ⃗ 表示)．21.如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，APPD =BPCD．(1)求证：∠APD=∠C；(2)如果AB=3，DC=2，求AP的长．22.函数y=mx 与函数y=xk(m、k为不等于零的常数)的图象有一个公共点A(3,k−2)，其中正比例函数y的值随x的值增大而减小，求这两个函数的解析式．23.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD=S△BOC．(1)求证：DOOB =COOA；(2)设△OAB的面积为S，CDAB=k，求证：S四边形ABCD=(k+1)2S.24.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=ax2+(a+83)x+c(a≠0)经过点A(−3,−2)，与y轴交于点B(0,−2)，抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED=∠BCD，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点(不与点D、C重合)，联结BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y．(1)求BE的长；(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、由比例的性质得到3y=5x，故本选项不符合题意．B、根据比例的性质得到x+y=8k(k是正整数)，故本选项符合题意．C、根据合比性质得到x+yy =85，故本选项不符合题意．D、根据等比性质得到xy =x+3y+5，故本选项不符合题意．故选：B．根据比例的性质作答．考查了比例的性质，需要掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．2.【答案】C【解析】解：二次函数的对称轴为y轴，则函数对称轴为x=0，即函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，故选：C．由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，由选项入手即可．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13，则cosA=√1−sin2A=√1−19=2√23A、cosB=sinA=13，故本选项符合题意．B、cotA=cosAsinA =2√2313=2√2.故本选项不符合题意．C、tanA=sinAcosA =132√23=√24.故本选项不符合题意．D、cotB=tanA=√24.故本选项不符合题意．故选：A．利用同角三角函数的关系解答．本题考查同角三角函数关系，(1)平方关系：sin2A+cos2A=1；(2)正余弦与正切之间的关系(积的关系)：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinA或sinA=tanA⋅cosA．cosA4.【答案】D【解析】解：A、如果k=0，a⃗是非零向量，那么k a⃗=0，错误，应该是k a⃗=0⃗．B、如果e⃗是单位向量，那么e⃗=1，错误．应该是|e⃗|=1．C、如果|b⃗ |=|a⃗|，那么b⃗ =a⃗或b⃗ =−a⃗，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量a⃗，如果向量b⃗ =−5a⃗，那么a⃗//b⃗ ，正确．故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】B【解析】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为(m,n)，且在第四象限，∴m>0，n<0，则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，又∠ADC=∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD =CDBD，C△ADCC△CDB=ADCD，∴ADCD =32，即9CD=32，解得，CD=6，∴96=6BD，解得，BD=4，∴BC=√CD2+BD2=√62+42=2√13，故选：C．证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7.【答案】a⃗+2b⃗【解析】解：2(a⃗+12b⃗ )−(a⃗−b⃗ )=2a⃗+b⃗ −a⃗+b⃗ =a⃗+2b⃗ ．故答案为：a⃗+2b⃗ ．直接利用向量加减运算法则去括号合并求出答案．此题主要考查了平面向量，正确掌握运算法则是解题关键．8.【答案】a<2【解析】解：∵抛物线y=(a−2)x2在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴a−2<0，解得a<2．故答案为a<2．利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a−2<0，然后解不等式即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口．9.【答案】7【解析】解：f(2)=3×22−2×2−1=7，故答案为7．把x=2代入函数关系式即可求得．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数图象上点的坐标适合解析式．10.【答案】(−3,0)【解析】解：∵抛物线y=ax2+2ax+c=a(x+1)2−a+c，∴该抛物线的对称轴是直线x=−1，∵抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(−3,0)，故答案为：(−3,0)．根据抛物线y=ax2+2ax+c，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点坐标．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】1【解析】解：y=x2−2x+2=(x−1)2+1，∴将抛物线y=x2−2x+2沿y轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，∴m=1，故答案为：1．利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y=0求出即可．此题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．12.【答案】6【解析】解：∵cotB=BCAC，∴AC=BCcotB =BC13=3BC=6．故答案是：6．根据三角函数的定义即可求解．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．13.【答案】13【解析】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G，∴G是△ABC的重心，∴AGGD =21，∵GF//BC，∴GFDC =AGAD=23，∵DC=12BC，∴GFBC =13，故答案为：13根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系．14.【答案】∠E=∠B(答案不唯一)【解析】解：添加条件：∠B=∠E；∵ABAE =BCED，∠B=∠E，∴△ABC∽△AED，故答案为：∠B=∠E(答案不唯一)．根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：∠B=∠E．此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．15.【答案】2【解析】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC=√(3√5)2−(2√5)2=5，∵AD是三角形的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，∴12×2√5×DC+12×DE×3√5=12×2√5×5，∴DE=2，即点D到直线AB的距离等于2．故答案为2．作DE⊥AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC=5，再根据角平分线的性质得DC=DE，然后利用面积法得到12×2√5×DC+12×DE×3√5=12×2√5×5，从而可求出DE．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．16.【答案】(50−10√3)【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=12AB=50米，BC=AB⋅cso∠ABC=50√3米，∵斜坡BD的坡度i=1：5，∴DC：BC=1：5，∴DC=10√3米，则AD=(50−10√3)米，故答案为：(50−10√3).根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．17.【答案】154【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形是本题的关键．过点A作AE⊥BD，由“AAS”可证△AOE≌△COD，可得CD=AE=3，由勾股定理可求BD=4，通过证明△ABE∽△BCD，可得AEBD =ABBC，即可求解．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD，∵CD⊥BD，AE⊥BD，∴∠CDB=∠AED=90°，且CO=AO，∠COD=∠AOE，∴△AOE≌△COD(AAS)∴CD=AE=3，∵∠CDB=90°，BC=5，CD=3，∴DB=√BC2−CD2=√25−9=4；∵∠ABC=∠AEB=90°，∴∠ABE+∠EAB=90°，∠CBD+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠CBD，且∠CDB=∠AED=90°，∴△ABE∽△BCD，∴AEBD =ABBC，∴34=AB5∴AB=154故答案为：154．18.【答案】2013【解析】解：如图，作PH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，sinB =513，∴AC AB =513，∴AB =13，BC =√AB 2−AC 2=√132−52=12，∵PC =3，∴PB =9，∵∠BPH∽△BAC ，∴PH AC =PB AB ， ∴PH 5=913，∴PH =4513，∵AB//B′C′，∴∠HGC′=∠C′=∠PHG =90°，∴四边形PHGC′是矩形，∴CG′=PH =4513， ∴A′G =5−4513=2013， 故答案为2013．如图，作PH ⊥AB 于H.利用相似三角形的性质求出PH ，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．本题考查旋转变换，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=2×(√32 )2−12(√3)2−4×√22=32−123−2√2=13−2√2 =3+2√2．【解析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．20.【答案】解：(1)∵DE//BC ，EF//AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE =BF =5，∵AD ：AB =DE ：BC =1：3，∴BC =15，∴CF =BC −BF =15−5=10；(2)−2a ⃗ ；12b ⃗−a ⃗ ．【解析】【分析】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)利用平行线分线段成比例定理求解即可．(2)利用三角形法则求解即可．【解答】解：(1)见答案；(2)∵AD ：AB =1：3，∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，∵EF =BD ，EF//BD ，∴FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ ，∵CF =2DE ， ∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ， ∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ −a ⃗ ， 故答案为−2a ⃗ ；12b ⃗ −a ⃗ ．21.【答案】证明：(1)∵PA⊥AB，DP⊥BC，∴∠BAP=∠DPC=90°，∵APPD=BPCD∴APBP =PDCD，∴Rt△ABP∽Rt△PCD，∴∠B=∠C，∠APB=∠CDP，∵∠DPB=∠C+∠CDP=∠APB+∠APD，∴∠APD=∠C；(2)∵∠B=∠C，∴AB=AC=3，且CD=2，∴AD=1，∵∠APD=∠C，∠CAP=∠PAD，∴△APC∽△ADP，∴APAC=ADAP∴AP2=1×3=3∴AP=√3．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．(1)通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B=∠C，∠APB=∠CDP，由外角性质可得结论；(2)通过证明△APC∽△ADP，可得APAC =ADAP，即可求解．22.【答案】解：根据题意可得3k=k−2，整理得k2−2k+3=0，解得k1=−1，k2=3，∵正比例函数y的值随x的值增大而减小，∴k=−1，∴点A的坐标为(3,−3)，∴反比例函数是解析式为：y=−9x；正比例函数的解析式为：y=−x．【解析】把点A(3,k−2)代入y=xk ，即可得出3k=k−2，据此求出k的值，再根据正比例函数y的值随x的值增大而减小，得出满足条件的k值即可求解．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将函数图象的交点与方程(组)的解结合起来是解此类题目常用的方法．23.【答案】证明：(1)∵S△AOD=S△BOC，∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即S△ADB=S△ACB，∴CD//AB，∴△DOC∽△BOA，∴DOOB =COOA；(2)∵△DOC∽△BOA∴CDAB =DOBO=COAO=k，S△CODS△AOB=(CDAB)2=k2，∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，∴S四边形ABCD=S+kS+kS+k2S=(k+1)2S.【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△DOC∽△BOA是本题的关键．(1)由S△AOD=S△BOC易得S△ADB=S△ACB，根据三角形面积公式得到点D和点C到AB的距离相等，则CD//AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；(2)利用相似三角形的性质可得结论．24.【答案】解：(1)将点A(−3,−2)、B(0,−2)代入抛物线y=ax2+(a+83)x+c，得，{−2=9a−3(a+83)+c −2=c，解得，a=43，c=−2，∴y=43x2+4x−2∴抛物线解析式为y=43x2+4x−2，顶点C的坐标为(−32,−5)；(2)如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N(−32,−2)，在Rt△BCN中，tan∠BCN=BNCN =323=12，∴tan∠AED=12，过点A作AH⊥DE于H，则tan∠AED=AHEH =2EH=12，∴EH=4，∴OE=1，∴E(1,0)；(3)①如图2，当∠EAP=90°时，∵∠HEA+∠HAE=90，∠HAE+∠MAP=90°，∴∠HEA=∠MAP，又∠AHE=∠PMA=90°，∴△AHE∽△PMA，则MPAM =AHHE，设PM=t，则AM=2t，将P(t−3,−2−2t)代入y=43x2+4x−2，得，t1=0(舍去)，t2=32，∴P1(−32,−5)；②如图3，当∠AEP=90°时，∵∠EAG+∠AEG=90°，∠AEG+∠PEN=90°，∴∠AEG=∠EPN，又∵∠N=∠G，∴△AEG∽△PEN，则PNEN =EGAG=12，设PN=t，则EN=2t，将P(1−t,2t)代入y=43x2+4x−2，得，t1=13+√1294，t2=13−√1294(舍)，∴P2(−9+√1294,13+√1292)；综上所述：P1(−32,−5)，P2(−9+√1294,13+√1292).【解析】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角形函数，直角三角形的存在性等，解题关键是能够作出适当的辅助线构造相似三角形，并注意分类讨论思想的运用．(1)将点A、B代入抛物线y=ax2+(a+83)x+c，即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可；(2)如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N(−32,−2)，利用相等角的正切值相等即可求出EH的长，OE的长，可写出点E的坐标；(3)分∠EAP=90°和∠AEP=90°两种情况讨论，通过相似的性质，用含t的代数式表示出点P的坐标，可分别求出点P的坐标．25.【答案】解：(1)如图1中，作AH⊥BC于H，∵AD//BC，∠C=90°，∴∠AHC=∠C=∠D=90°，∴四边形AHCD是矩形，∴AD=CH=2，AH=CD=3，∵tan∠AEC=3，∴AHEH=3，∴EH=1，CE=1+2=3，∴BE=BC−CE=5−3=2．(2)延长AD交BM的延长线于G．∵AG//BC，∴DGBC =DMCM，∴DG5=x3−x，∴DG=5x3−x ，AG=2+5x3−x=6+3x3−x，∵ANNE =AGBE，∴√10−y =6+3x3−x2，∴y=3√10x+6√10x+12(0<x<3)．(3)①如图3−1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°，∵△EBN∽△EAB，∴EB2=EN⋅AE，∴4=2√10(3−x)12+x⋅√10，解得x=12．②如图3−2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，∵△BNA∽△EBA，∴AB2=AE⋅AN，∴(3√2)2=√10⋅[√10+2√10(x−3) 12+x解得x=13，综上所述DM的长为12或13．【解析】本题考查四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．(1)如图1中，作AH⊥BC于H，解直角三角形求出EH，CH即可解决问题．(2)延长AD交BM的延长线于G.利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°.②如图3−2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，利用相似三角形的性质即可解决问题．第21页，共21页。
上海市普陀区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
上海市普陀区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是（ ）A ．16B ．13 C ．12D ．232．25-的倒数的绝对值是（ ）A ．25-B ．25C ．52-D ．523．已知a m =2，a n =3，则a 3m+2n 的值是（ ） A ．24B ．36C ．72D ．64．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc ＜0；② 2a ＋b ＝0; ③ b 2－4ac ＜0；④ 9a+3b+c ＞0; ⑤ c+8a ＜0.正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，AB CD ⊥，且AB CD =.E 、F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥.若CE a =，BF b =，EF c =，则AD 的长为（ ）A ．a c +B ．b c +C ．a b c -+D ．a b c +-6．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB=8，CD=2，则cos ∠ECB 为（ ）A ．35B ．31313C ．23D ．13137．在平面直角坐标系中，点，则点P不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的主视图可以是（）A．B．C．D．9．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（）A．150°B．140°C．130°D．120°10．甲乙两同学均从同一本书的第一页开始，按照顺序逐页依次在每页上写一个数，甲同学在第1页写1，第2页写3，第3页写1，……，每一页写的数均比前一页写的数多2；乙同学在第1页写1，第2页写6，第3页写11，……，每一页写的数均比前一页写的数多1．若甲同学在某一页写的数为49，则乙同学在这一页写的数为（）A．116 B．120 C．121 D．12611．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=13CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10 12．下列运算正确的是（）A．2a2+3a2=5a4B．（﹣12）﹣2=4C．（a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2D．8ab÷4ab=2ab 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B 、D 作BF a ⊥于点F 、DE a ⊥ 于点E ．若85DE BF ==，，则EF 的长为________．14．已知函数y=1x-1，给出一下结论： ①y 的值随x 的增大而减小②此函数的图形与x 轴的交点为（1，0） ③当x>0时，y 的值随x 的增大而越来越接近-1 ④当x≤12时，y 的取值范围是y≥1 以上结论正确的是_________（填序号）15．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A ．783230x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．782330x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．302378x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．303278x y x y +=⎧⎨+=⎩16．因式分解：3222x x y xy +=﹣__________．17．分解因式39a a -=________，221218x x -+=__________．18．同学们设计了一个重复抛掷的实验：全班48人分为8个小组，每组抛掷同一型号的一枚瓶盖300次，并记录盖面朝上的次数，下表是依次累计各小组的实验结果.1组1～2组1～3组1～4组1～5组1～6组1～7组1～8组盖面朝上次数 16533548363280194911221276盖面朝上频率0.5500.5580.5370.5270.5340.5270.5340.532根据实验，你认为这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为____，理由是：____.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x （万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？20．（6分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，在随机抽取1张，将卡片的数字即为n．（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．（2）求选出的（m，n）在二、四象限的概率．21．（6分）如图1，抛物线y1=ax1﹣12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y1．（1）求抛物线y1的解析式；（1）如图1，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y1于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，BD⊥CE于点D，连接DO交BC于点M.(1)求证：BC平分∠DBA；(2)若23EAAO，求DMMO的值．23．（8分）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)求A，B两种型号的电风扇的销售单价．若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．24．（10分）如图，已知点D在反比例函数y=mx的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC=25．（1）求反比例函数y=mx和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．25．（10分）如图，已知点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)直接写出图中所有相等的线段(AE＝CF除外)．26．（12分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．27．（12分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．(1)求证：∠DAC=∠DCE；(2)若AB=2，sin∠D=13，求AE的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】试题解析：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），∴他的爸爸妈妈相邻的概率是：4263，故选D．2．D【解析】【分析】直接利用倒数的定义结合绝对值的性质分析得出答案．【详解】解：−25的倒数为−52,则−52的绝对值是：52.故答案选：D.【点睛】本题考查了倒数的定义与绝对值的性质，解题的关键是熟练的掌握倒数的定义与绝对值的性质.3．C【解析】试题解析：∵a m=2，a n=3，∴a3m+2n=a3m•a2n=（a m）3•（a n）2=23×32=8×9=1．故选C.4．C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，得：a ＜0；抛物线的对称轴为x=-2ba=1，则b=-2a ，2a+b=0，b=-2a ，故b ＞0；抛物线交y 轴于正半轴，得：c ＞0. ∴abc ＜0, ①正确； 2a+b=0，②正确；由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac ＞0，故③错误；由对称性可知，抛物线与x 轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误； 观察图象得当x=-2时，y ＜0， 即4a-2b+c ＜0 ∵b=-2a ， ∴4a+4a+c ＜0 即8a+c ＜0，故⑤正确. 正确的结论有①②⑤， 故选:C 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 5．D 【解析】 分析： 详解：如图,∵AB ⊥CD,CE ⊥AD, ∴∠1=∠2, 又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3, 即∠A=∠C. ∵BF ⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故选:D.点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.6．D【解析】【分析】连接EB，设圆O半径为r，根据勾股定理可求出半径r=4，从而可求出EB的长度，最后勾股定理即可求出CE的长度．利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：连接EB，由圆周角定理可知：∠B=90°，设⊙O的半径为r，由垂径定理可知：AC=BC=4，∵CD=2，∴OC=r-2，∴由勾股定理可知：r2=（r-2）2+42，∴r=5，BCE中，由勾股定理可知：13∴cos∠ECB=CBCE213，故选D．【点睛】本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型．7．B【解析】【分析】根据坐标平面内点的坐标特征逐项分析即可.【详解】A. 若点在第一象限，则有：，解之得m>1，∴点P可能在第一象限；B. 若点在第二象限，则有：，解之得不等式组无解，∴点P不可能在第二象限；C. 若点在第三象限，则有：，解之得m<1，∴点P可能在第三象限；D. 若点在第四象限，则有：，解之得0<m<1，∴点P可能在第四象限；故选B.【点睛】本题考查了不等式组的解法，坐标平面内点的坐标特征，第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.8．B【解析】从几何体的正面看可得下图，故选B．9．A【解析】【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°．故选A．10．C【解析】【分析】根据题意确定出甲乙两同学所写的数字，设甲所写的第n个数为49，根据规律确定出n的值，即可确定出乙在该页写的数．【详解】甲所写的数为1，3，1，7，…，49，…；乙所写的数为1，6，11，16，…，设甲所写的第n个数为49，根据题意得：49＝1+（n﹣1）×2，整理得：2（n﹣1）＝48，即n﹣1＝24，解得：n＝21，则乙所写的第21个数为1+（21﹣1）×1＝1+24×1＝121，故选：C．【点睛】考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．11．C【解析】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=12AB=1．又CE=13 CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=2．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=3．故选C．12．B【解析】【分析】根据合并同类项的法则、平方差公式、幂的乘方与积的乘方运算法则对各选项依次进行判断即可解答．【详解】A. 2a2+3a2=5a2，故本选项错误；B. (−12)-2=4，正确；C. (a+b)(−a−b)=−a2−2ab−b2，故本选项错误；D. 8ab÷4ab=2，故本选项错误.故答案选B.【点睛】本题考查了合并同类项的法则、平方差公式、幂的乘方与积的乘方运算法则，解题的关键是熟练的掌握合并同类项的法则、平方差公式、幂的乘方与积的乘方运算法则.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．13【解析】【分析】根据正方形的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，根据垂直得出∠DEA=∠AFB=90°，求出∠EDA=∠FAB，根据AAS推出△AED≌△BFA，根据全等三角形的性质得出AE=BF=5，AF=DE=8，即可求出答案；【详解】∵ABCD是正方形(已知)，∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°；又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD(等量代换)；∵BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，∴在Rt △AFB 和Rt △AED 中，∵90{AFB DEA FBA EAD AB DA∠=∠=︒∠=∠=，∴△AFB ≌△AED(AAS)，∴AF=DE=8,BF=AE=5(全等三角形的对应边相等)，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.故答案为13.点睛：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，能求出△AED ≌△BFA 是解此题的关键．14．②③【解析】（1）因为函数11y x =-的图象有两个分支，在每个分支上y 随x 的增大而减小，所以结论①错误； （2）由110x -=解得：1x =， ∴11y x=-的图象与x 轴的交点为（1，0），故②中结论正确； （3）由11y x=-可知当x>0时，y 的值随x 的增大而越来越接近-1，故③中结论正确； （4）因为在11y x=-中，当=-1x 时，2y =-，故④中结论错误； 综上所述，正确的结论是②③.故答案为：②③.15．A【解析】【详解】该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意得：303278x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故选D ．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．16．()2x x y -【解析】【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式()()2222x x xy yx x y =-+=-， 故答案为：()2x x y -【点睛】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.17．(3)(3)a a a +- 22(3)x -【解析】此题考查因式分解 329(9)(3)(3),a a a a a a a -=-=+-222212182(69)2(3)x x x x x -+=-+=- 答案点评：利用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式18．0.532， 在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值.【解析】【分析】根据用频率估计概率解答即可.【详解】∵在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值，∴这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为0.532，故答案为：0.532，在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值.【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=110x 1．z=﹣110x+30（0≤x≤100）；（1）年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；（3）今年最多可获得毛利润1080万元【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（1）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w 与x 的函数关系式，再利用配方法求出最值即可；（3）首先求出x 的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可.【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax1（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a＝1 10，故y与x之间的关系式为y＝110x1．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，10），设z＝kx＋b，则1002030k bb+=⎧⎨=⎩，解得：1k10b30⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，故z与x之间的关系式为z＝﹣110x＋30（0≤x≤100）；（1）W＝zx﹣y＝﹣110x1＋30x﹣110x1＝﹣x1＋30x＝﹣15（x1﹣150x）＝﹣15（x﹣75）1＋1115，∵﹣15＜0，∴当x＝75时，W有最大值1115，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1115万元；（3）令y＝360，得110x1＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W＝﹣15（x﹣75）1＋1115的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，注意二次函数最值的求法，一般用配方法.20．（1）详见解析；（2）P=23．【解析】试题分析：（1）树状图列举所有结果.(2)用在第二四象限的点数除以所有结果.试题解析：(1)画树状图得：则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，-1），（2，﹣3），（2，4），（-1，2），（-1，﹣3），（1，4），（﹣3，2），（﹣3，-1），（﹣3，4），（﹣4，2），（4，-1），（4，﹣3）.（2）（m，n）在二、四象限的（2，-1），（2，﹣3），（-1，2），（﹣3，2），（﹣3，4），（﹣4，2），（4，-1），（4，﹣3），∴所选出的m，n在第二、三四象限的概率为：P=812=23点睛：（1）利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率（有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率）.(2)定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P()mAn=.(3)列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.(4)树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.21．（1）y1=-14x1+12x-14；（1）存在，T（1，3137+），（1，3137-，（1，﹣778）；（3）y=﹣12x+34或y=﹣11 24x-．【解析】【分析】（1）应用待定系数法求解析式；（1）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．【详解】解：（1）由已知，c=34，将B（1，0）代入，得：a﹣1324+=0，解得a=﹣14，抛物线解析式为y1=14x1-12x+34，∵抛物线y1平移后得到y1，且顶点为B（1，0），∴y1=﹣14（x﹣1）1，即y1=-14x1+12x-14；（1）存在，如图1：抛物线y1的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，34），过点T作TE⊥y轴于E，则TC1=TE1+CE1=11+（34）1=t1﹣32t+2516，TA1=TB1+AB1=（1+3）1+t1=t1+16，AC1=153 16，当TC=AC时，t1﹣32t+2516=15316，解得：t1=31374+，t1=31374；当TA=AC时，t1+16=15316，无解；当TA=TC时，t1﹣32t+2516=t1+16，解得t 3=﹣778； 当点T 坐标分别为（1，31374+），（1，31374-），（1，﹣778）时，△TAC 为等腰三角形； （3）如图1：设P （m ，2113424m m --+），则Q （m ，2111424m m -+-）， ∵Q 、R 关于x=1对称 ∴R （1﹣m ，2111424m m -+-）， ①当点P 在直线l 左侧时，PQ=1﹣m ，QR=1﹣1m ，∵△PQR 与△AMG 全等，∴当PQ=GM 且QR=AM 时，m=0，∴P （0，34），即点P 、C 重合， ∴R （1，﹣14）， 由此求直线PR 解析式为y=﹣12x+34， 当PQ=AM 且QR=GM 时，无解；②当点P 在直线l 右侧时，同理：PQ=m ﹣1，QR=1m ﹣1，则P （1，﹣54），R （0，﹣14）， PQ 解析式为：y=﹣1124x -； ∴PR 解析式为：y=﹣12x+34或y=﹣1124x -．【点睛】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，熟练掌握相关知识，应用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题是关键．22．(1)证明见解析；（2）8 5【解析】分析：（1）如下图，连接OC，由已知易得OC⊥DE，结合BD⊥DE可得OC∥BD，从而可得∠1=∠2，结合由OB=OC所得的∠1=∠3，即可得到∠2=∠3，从而可得BC平分∠DBA；（2）由OC∥BD可得△EBD∽△EOC和△DBM∽△OCM，由根据相似三角形的性质可得得EB DM EO MO=，由23EAAO=，设EA=2k，AO=3k可得OC=OA=OB=3k，由此即可得到85DM EBMO EO==.详解：(1)证明：连结OC，∵DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE.∵BD⊥DE，∴OC∥BD. .∴∠1=∠2，∵OB=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，即BC平分∠DBA. .(2)∵OC∥BD，∴△EBD∽△EOC，△DBM∽△OCM，.∴BD EB BD DM CO EO CO MO==，，∴EB DM EO MO=，∵23EAAO=，设EA=2k，AO=3k，∴OC=OA=OB=3k.∴85 DM EBMO EO==.点睛：（1）作出如图所示的辅助线，由“切线的性质”得到OC⊥DE结合BD⊥DE得到OC∥BD是解答第1小题的关键；（2）解答第2小题的关键是由OC∥BD得到△EBD∽△EOC和△DBM∽△OCM这样利用相似三角形的性质结合已知条件即可求得所求值了.23．(1) A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台；(2) A种型号的电风扇最多能采购10台；(3) 在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标．【解析】【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．【详解】(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台．依题意，得3518004103100x yx y+=⎧⎨+=⎩解得250210xy=⎧⎨=⎩答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台．(2)设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30－a)台．依题意，得200a＋170(30－a)≤5400，解得a≤10.答：A种型号的电风扇最多能采购10台．(3)依题意，有(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，解得a＝20.∵a≤10，∴在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．24．（1）6yx-=，2y x25=-（2）AC⊥CD（3）∠BMC=41°【解析】分析：（1）由A点坐标可求得OA的长，再利用三角函数的定义可求得OC的长，可求得C、D点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；（2）由条件可证明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可证得AC⊥CD；（3）连接AD，可证得四边形AEBD为平行四边形，可得出△ACD为等腰直角三角形，则可求得答案．本题解析：（1）∵A（1，0），∴OA=1．∵tan∠OAC=25，∴25OCOA=，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴y=﹣6x，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（1，0），C（0，﹣2），∴052k bb=+⎧⎨-=⎩，解得252kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y=25x﹣2；（2）∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=1=OA，在△OAC和△BCD中OA BCAOC DBCOC BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）∠BMC=41°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=41°．25．（1）见解析；（2）AD＝BC，EC＝AF，ED＝BF，AB＝DC.【解析】整体分析：（1）用ASA证明△ADE≌△CBF，得到AD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据△ADE≌△CBF，和平行四边形ABCD的性质及线段的和差关系找相等的线段.解：(1)证明：∵AD∥BC，DE∥BF，∴∠E＝∠F，∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF.在△ADE和△CBF中，E FAE CFDAE BCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)AD＝BC，EC＝AF，ED＝BF，AB＝DC. 理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，ED＝BF. ∵AE＝CF，∴EC＝AF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.26．（1）证明见解析；（1）【解析】【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．（1）解直角三角形求出BC=1．OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=12BC=1，求出OE=1OF=1，求出菱形的面积即可．【详解】()1证明：CE//ODQ，DE//OC，∴四边形OCED是平行四边形，Q矩形ABCD，AC BD∴=，1OC AC2=，1OD BD2=，OC OD∴=，∴四边形OCED是菱形；()2在矩形ABCD中，ABC90o∠=，BAC30∠=o，AC4=，BC2∴=，AB DC∴==连接OE，交CD于点F，Q 四边形OCED 为菱形，F ∴为CD 中点，O Q 为BD 中点，1OF BC 12∴==， OE 2OF 2∴==，OCED 11S OE CD 2232322∴=⨯⨯=⨯⨯=菱形 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．27．（1）证明见解析；（22．【解析】【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B ，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB ，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB ，故此可知∠DAC=∠DCE ；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2DAC=∠DCE ，∠D=∠D 可知△DEC ∽△DCA ，故此可得到DC 2=DE•AD ，故此可求得2，于是可求得2．【详解】解：（1）∵AD 是圆O 的切线，∴∠DAB=90°．∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B ．∵OC=OB ，∴∠B=∠OCB ．又∵∠DCE=∠OCB ，∴∠DAC=∠DCE ．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin ∠D=13，∴OD=3，DC=2． 在Rt △DAO 中，由勾股定理得22OD OA -=22∵∠DAC=∠DCE ，∠D=∠D ，∴△DEC ∽△DCA ，∴DC DE AD DC=222ED =．解得：，∴AE=AD﹣．。
2020年上海市普陀区中考数学一模试卷-解析版
2020年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知xy =35，那么下列等式中，不一定正确的是()A. 5x=3yB. x+y=8C. x+yy =85D. xy=x+3y+52.下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是y轴，那么这个函数是()A. y=x2+2xB. y=x2+2x+1C. y=x2+2D. y=(x−1)223.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13，那么下列说法中正确的是()A. cosB=13B. cotA=13C. tanA=2√23D. cotB=2√234.下列说法中，正确的是()A. 如果k=0，a⃗是非零向量，那么k a⃗=0B. 如果e⃗是单位向量，那么e⃗=1C. 如果|b⃗ |=|a⃗|，那么b⃗ =a⃗或b⃗ =−a⃗D. 已知非零向量a⃗，如果向量b⃗ =−5a⃗，那么a⃗//b⃗5.如果二次函数y=(x−m)2+n的图象如图所示，那么一次函数y=mx+n的图象经过()A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果C△ADCC△CDB =32，AD=9，那么BC的长是()A. 4B. 6C. 2√13D. 3√10二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：2(a⃗+12b⃗ )−(a⃗−b⃗ )=______．8.抛物线y=(a−2)x2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是______．9.已知函数f(x)=3x2−2x−1，如果x=2，那么f(x)=______．10.如果抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，那么与x轴的另一个交点的坐标是______．11.将二次函数y=x2−2x+2的图象向下平移m(m>0)个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m的值等于______．12.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cotB=13，BC=2，那么AC=______．13.如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF//BC，那么GFBC的值是______．14.如图，在△ABC与△AED中，ABAE =BCED，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是______(只需填一个条件)．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是三角形的角平分线，如果AB=3√5，AC=2√5，那么点D到直线AB的距离等于______．16.如图，斜坡AB长为100米，坡角∠ABC=30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡度i=1：5的斜坡BD(A、D、C三点在地面的同一条垂线上)，那么由点A到点D下降了______米．(结果保留根号)17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点O，AO=CO，CD⊥BD，如果CD=3，BC=5，那么AB=______．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P为边BC上一点，PC=3，将△ABC绕点P旋转得到△A′B′C′(点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应)，使B′C′//AB，边A′C′与边AB交于点G，那么A′G的长等于______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分） 19. 计算：2sin 260°−cos60°tan 260∘−4cos45∘．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE//BC ，EF//AB ，AD ：AB =1：3． (1)当DE =5时，求FC 的长；(2)设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用向量a ⃗ ，b ⃗ 表示)．21. 如图，在△ABC 中，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，PA ⊥AB ，垂足为点A ，DP ⊥BC ，垂足为点P ，APPD =BPCD ．(1)求证：∠APD =∠C ；(2)如果AB =3，DC =2，求AP 的长．22.函数y=mx 与函数y=xk(m、k为不等于零的常数)的图象有一个公共点A(3,k−2)，其中正比例函数y的值随x的值增大而减小，求这两个函数的解析式．23.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD=S△BOC．(1)求证：DOOB =COOA；(2)设△OAB的面积为S，CDAB=k，求证：S四边形ABCD=(k+1)2S.24.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=ax2+(a+83)x+c(a≠0)经过点A(−3,−2)，与y轴交于点B(0,−2)，抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED=∠BCD，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点(不与点D、C重合)，联结BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y．(1)求BE的长；(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、由比例的性质得到3y=5x，故本选项不符合题意．B、根据比例的性质得到x+y=8k(k是正整数)，故本选项符合题意．C、根据合比性质得到x+yy =85，故本选项不符合题意．D、根据等比性质得到xy =x+3y+5，故本选项不符合题意．故选：B．根据比例的性质作答．考查了比例的性质，需要掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．2.【答案】C【解析】解：二次函数的对称轴为y轴，则函数对称轴为x=0，即函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，故选：C．由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，由选项入手即可．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13，则cosA=√1−sin2A=√1−19=2√23A、cosB=sinA=13，故本选项符合题意．B、cotA=cosAsinA =2√2313=2√2.故本选项不符合题意．C、tanA=sinAcosA =132√23=√24.故本选项不符合题意．D、cotB=tanA=√24.故本选项不符合题意．故选：A．利用同角三角函数的关系解答．本题考查同角三角函数关系，(1)平方关系：sin2A+cos2A=1；(2)正余弦与正切之间的关系(积的关系)：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA或sinA=tanA⋅cosA．4.【答案】D【解析】解：A、如果k=0，a⃗是非零向量，那么k a⃗=0，错误，应该是k a⃗=0⃗．B、如果e⃗是单位向量，那么e⃗=1，错误．应该是|e⃗|=1．C、如果|b⃗ |=|a⃗|，那么b⃗ =a⃗或b⃗ =−a⃗，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量a⃗，如果向量b⃗ =−5a⃗，那么a⃗//b⃗ ，正确．故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】B【解析】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为(m,n)，且在第四象限，∴m>0，n<0，则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，又∠ADC=∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD =CDBD，C△ADCC△CDB=ADCD，∴ADCD =32，即9CD=32，解得，CD=6，∴96=6BD，解得，BD=4，∴BC=√CD2+BD2=√62+42=2√13，故选：C．证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7.【答案】a⃗+2b⃗【解析】解：2(a⃗+12b⃗ )−(a⃗−b⃗ )=2a⃗+b⃗ −a⃗+b⃗ =a⃗+2b⃗ ．故答案为：a⃗+2b⃗ ．直接利用向量加减运算法则去括号合并求出答案．此题主要考查了平面向量，正确掌握运算法则是解题关键．8.【答案】a<2【解析】解：∵抛物线y=(a−2)x2在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴a−2<0，解得a<2．故答案为a<2．利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a−2<0，然后解不等式即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口．9.【答案】7【解析】解：f(2)=3×22−2×2−1=7，故答案为7．把x=2代入函数关系式即可求得．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数图象上点的坐标适合解析式．10.【答案】(−3,0)【解析】解：∵抛物线y=ax2+2ax+c=a(x+1)2−a+c，∴该抛物线的对称轴是直线x=−1，∵抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(−3,0)，故答案为：(−3,0)．根据抛物线y=ax2+2ax+c，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点坐标．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】1【解析】解：y=x2−2x+2=(x−1)2+1，∴将抛物线y=x2−2x+2沿y轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，∴m=1，故答案为：1．利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y=0求出即可．此题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．12.【答案】6【解析】解：∵cotB=BCAC，∴AC=BCcotB =BC13=3BC=6．故答案是：6．根据三角函数的定义即可求解．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．13.【答案】13【解析】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G，∴G是△ABC的重心，∴AGGD =21，∵GF//BC，∴GFDC =AGAD=23，∵DC=12BC，∴GFBC =13，故答案为：13根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系．14.【答案】∠E=∠B(答案不唯一)【解析】解：添加条件：∠B=∠E；∵ABAE =BCED，∠B=∠E，∴△ABC∽△AED，故答案为：∠B=∠E(答案不唯一)．根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：∠B=∠E．此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．15.【答案】2【解析】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC=√(3√5)2−(2√5)2=5，∵AD是三角形的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，∴12×2√5×DC+12×DE×3√5=12×2√5×5，∴DE=2，即点D到直线AB的距离等于2．故答案为2．作DE⊥AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC=5，再根据角平分线的性质得DC=DE，然后利用面积法得到12×2√5×DC+12×DE×3√5=12×2√5×5，从而可求出DE．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．16.【答案】(50−10√3)【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=12AB=50米，BC=AB⋅cso∠ABC=50√3米，∵斜坡BD的坡度i=1：5，∴DC：BC=1：5，∴DC=10√3米，则AD=(50−10√3)米，故答案为：(50−10√3).根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．17.【答案】154【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形是本题的关键．过点A作AE⊥BD，由“AAS”可证△AOE≌△COD，可得CD=AE=3，由勾股定理可求BD=4，通过证明△ABE∽△BCD，可得AEBD =ABBC，即可求解．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD，∵CD⊥BD，AE⊥BD，∴∠CDB=∠AED=90°，且CO=AO，∠COD=∠AOE，∴△AOE≌△COD(AAS)∴CD=AE=3，∵∠CDB=90°，BC=5，CD=3，∴DB=√BC2−CD2=√25−9=4；∵∠ABC=∠AEB=90°，∴∠ABE+∠EAB=90°，∠CBD+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠CBD，且∠CDB=∠AED=90°，∴△ABE∽△BCD，∴AEBD =ABBC，∴34=AB5∴AB=154故答案为：154．18.【答案】2013【解析】解：如图，作PH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，∴ACAB =513，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=√132−52=12，∵PC=3，∴PB=9，∵∠BPH∽△BAC，∴PHAC =PBAB，∴PH5=913，∴PH=4513，∵AB//B′C′，∴∠HGC′=∠C′=∠PHG=90°，∴四边形PHGC′是矩形，∴CG′=PH=4513，∴A′G=5−4513=2013，故答案为2013．如图，作PH⊥AB于H.利用相似三角形的性质求出PH，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．本题考查旋转变换，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=2×(√32 )2−12(√3)2−4×√22=32−123−2√2=13−2√2=3+2√2．【解析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．20.【答案】解：(1)∵DE//BC ，EF//AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE =BF =5，∵AD ：AB =DE ：BC =1：3，∴BC =15，∴CF =BC −BF =15−5=10；(2)−2a ⃗ ；12b ⃗−a ⃗ ．【解析】【分析】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)利用平行线分线段成比例定理求解即可．(2)利用三角形法则求解即可．【解答】解：(1)见答案；(2)∵AD ：AB =1：3，∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，∵EF =BD ，EF//BD ，∴FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ ，∵CF =2DE ，∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ， ∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ −a ⃗ ， 故答案为−2a⃗ ；12b ⃗ −a ⃗ ． 21.【答案】证明：(1)∵PA ⊥AB ，DP ⊥BC ， ∴∠BAP =∠DPC =90°，∵AP PD =BP CD∴AP BP =PD CD ，∴Rt △ABP∽Rt △PCD ，∴∠B=∠C，∠APB=∠CDP，∵∠DPB=∠C+∠CDP=∠APB+∠APD，∴∠APD=∠C；(2)∵∠B=∠C，∴AB=AC=3，且CD=2，∴AD=1，∵∠APD=∠C，∠CAP=∠PAD，∴△APC∽△ADP，∴APAC=ADAP∴AP2=1×3=3∴AP=√3．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．(1)通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B=∠C，∠APB=∠CDP，由外角性质可得结论；(2)通过证明△APC∽△ADP，可得APAC =ADAP，即可求解．22.【答案】解：根据题意可得3k=k−2，整理得k2−2k+3=0，解得k1=−1，k2=3，∵正比例函数y的值随x的值增大而减小，∴k=−1，∴点A的坐标为(3,−3)，∴反比例函数是解析式为：y=−9x；正比例函数的解析式为：y=−x．【解析】把点A(3,k−2)代入y=xk ，即可得出3k=k−2，据此求出k的值，再根据正比例函数y的值随x的值增大而减小，得出满足条件的k值即可求解．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将函数图象的交点与方程(组)的解结合起来是解此类题目常用的方法．23.【答案】证明：(1)∵S△AOD=S△BOC，∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即S△ADB=S△ACB，∴CD//AB，∴△DOC∽△BOA，∴DOOB =COOA；(2)∵△DOC∽△BOA∴CDAB =DOBO=COAO=k，S△CODS△AOB=(CDAB)2=k2，∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，∴S四边形ABCD=S+kS+kS+k2S=(k+1)2S.【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△DOC∽△BOA是本题的关键．(1)由S△AOD=S△BOC易得S△ADB=S△ACB，根据三角形面积公式得到点D和点C到AB的距离相等，则CD//AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；(2)利用相似三角形的性质可得结论．24.【答案】解：(1)将点A(−3,−2)、B(0,−2)代入抛物线y=ax2+(a+83)x+c，得，{−2=9a−3(a+83)+c −2=c，解得，a=43，c=−2，∴y=43x2+4x−2=43(x+32)2−5，∴抛物线解析式为y=43x2+4x−2，顶点C的坐标为(−32,−5)；(2)如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N(−32,−2)，在Rt△BCN中，tan∠BCN=BNCN =323=12，∴tan∠AED=12，过点A作AH⊥DE于H，则tan∠AED=AHEH =2EH=12，∴EH=4，∴OE=1，∴E(1,0)；(3)①如图2，当∠EAP=90°时，∵∠HEA+∠HAE=90，∠HAE+∠MAP=90°，∴∠HEA=∠MAP，又∠AHE=∠PMA=90°，∴△AHE∽△PMA，则MPAM =AHHE，设PM=t，则AM=2t，将P(t−3,−2−2t)代入y=43x2+4x−2，得，t1=0(舍去)，t2=32，∴P1(−32,−5)；②如图3，当∠AEP=90°时，∵∠EAG+∠AEG=90°，∠AEG+∠PEN=90°，∴∠AEG=∠EPN，又∵∠N=∠G，∴△AEG∽△PEN，则PNEN =EGAG=12，设PN=t，则EN=2t，将P(1−t,2t)代入y=43x2+4x−2，得，t1=13+√1294，t2=13−√1294(舍)，∴P2(−9+√1294,13+√1292)；综上所述：P1(−32,−5)，P2(−9+√1294,13+√1292).【解析】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角形函数，直角三角形的存在性等，解题关键是能够作出适当的辅助线构造相似三角形，并注意分类讨论思想的运用．(1)将点A、B代入抛物线y=ax2+(a+83)x+c，即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可；(2)如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N(−32,−2)，利用相等角的正切值相等即可求出EH的长，OE的长，可写出点E的坐标；(3)分∠EAP=90°和∠AEP=90°两种情况讨论，通过相似的性质，用含t的代数式表示出点P的坐标，可分别求出点P的坐标．25.【答案】解：(1)如图1中，作AH⊥BC于H，∵AD//BC，∠C=90°，∴∠AHC=∠C=∠D=90°，∴四边形AHCD是矩形，∴AD=CH=2，AH=CD=3，∵tan∠AEC=3，∴AHEH=3，∴EH=1，CE=1+2=3，∴BE=BC−CE=5−3=2．(2)延长AD交BM的延长线于G．∵AG//BC，∴DGBC =DMCM，∴DG5=x3−x，∴DG=5x3−x ，AG=2+5x3−x=6+3x3−x，∵ANNE =AGBE，∴y√10−y =6+3x3−x2，∴y=3√10x+6√10x+12(0<x<3)．(3)①如图3−1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°，∵△EBN∽△EAB，∴EB2=EN⋅AE，∴4=2√10(3−x)12+x⋅√10，解得x=12．②如图3−2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，∵△BNA∽△EBA，∴AB2=AE⋅AN，∴(3√2)2=√10⋅[√10+2√10(x−3) 12+x解得x=13，综上所述DM的长为1或13．2【解析】本题考查四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．(1)如图1中，作AH⊥BC于H，解直角三角形求出EH，CH即可解决问题．(2)延长AD交BM的延长线于G.利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°.②如图3−2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，利用相似三角形的性质即可解决问题．。
上海市普陀区2020届九年级上学期期末(一模)质量调研数学试卷参考解析
2020年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案解析1.【答案】B【解析】比例的基本性质2.【答案】C【解析】二次函数的图像性质3.【答案】A【解析】锐角三角比的应用4.【答案】D【解析】向量的线性运算5.【答案】B【解析】二次函数及一次函数的图像性质6.【答案】C【解析】（1）相似模型——“母子型”；（2）相似的性质：周长之比等于相似比7.【答案】2a b +r r【解析】考察向量的基本运算8.【答案】2a <【解析】考察二次函数的开口方向和二次项系数关系9.【答案】7【解析】考察二次函数的代入求值10.【答案】()3,0-【解析】考察二次函数的对称轴、与x 轴的交点坐标的关系11.【答案】1【解析】考察二次函数的平移变换12.【答案】6【解析】考察锐角三角比的应用13.【答案】13【解析】三角形的重心及平行线的应用.14.【答案】E C ∠=∠【解析】三角形相似的判定.15.【答案】2【解析】勾股定理与角平分线的综合.16.【答案】50-【解析】锐角三角比的应用.17.【答案】154【解析】直角三角形的斜边中线与锐角三角比.18.【答案】2013【解析】图形的旋转与锐角三角比.19.【解析】3=+20.【解析】（1）5DE =，则15BC =，15510CF =-=（2）2FE a =-u u u r r ，12EA ED DA b a =+=-u u u r u u u r u u u r r r 21.【解析】（1）易得ABP PCD △∽△∴C B ∠=∠又∵B APD ∠=∠∴C APD ∠=∠（2）易得ADP APC △∽△∴2133AP AD AC =⋅=⨯=∴AP =22.【解析】易得32k k=-.整理得2230k k --=.解得13k =（舍去），21k =- 所以y x =-，9y x=- 23.【解析】（1）∵AOD BOC S S =△△，∴AOD AOB BOC AOB S S S S +=+△△△△ 即DO CO OB OA=（2）易得COD AOB △∽△，AOD AOB S DO k S OB ==△△；∴AOD BOC S S kS ==△△ 22COD AOB S CD k S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴2COD S k S =△ ∴()21COD AOB AOD COB ABCD S S S S S k S =+++=+△△△四边形【总结】面积比等于相似比的平方；三角形高相等时面积比等于底的比.24.【解析】（1）24423y x x =+-，3,52C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）312tan 32BCD ∠==，则1tan 2AED ∠=， 过A 作AHDE ⊥，21tan 2AH AED EH EH ∠===， 则4EH =，∴()1,0E【总结】利用相等角的正切值相等解决问题（3）①当90EAP ∠=︒时，AHE AMP △∽△， 则12MP AH AM HE ==，设PM t =，则2AM t = 将()3,22P t t ---代入24423y x x =+- 得10t =（舍），232t =， ∴13,52P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭②当90AEP ∠=︒时，AEG PEN △∽△，则12PN EG EN AG == 设PN t =，则2EN t =将()1,2P t t -代入24423y x x =+-得1t =2t =（舍），∴2P ⎛ ⎝⎭综上所述：13,52P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭【总结】直角三角形讨论，构造三直角相似25.【解析】（1）作高，构建直角三角形，利用三角比来求解，2BE =；（2）延长BM ，AD 交于点G ，53DM DG x CB C D M G x =⋅=-，53x DG x =-，563233x x AG x x+=+=-- AN AG EN BE =6332xx +-=.解得：(03)12y x x +=<<+【总结】添加辅助线，构造X 型，利用比例线段求解；（3）①当45BNE ∠=︒时，ENB EBA △∽△， 2EB EN EA =⋅，则有4=12x = ②当45ANB ∠=︒时，BNA EBA △∽△，2AB AN EA =⋅，则有2=⎭， 解得13x =综上所述：线段DM 的长为12或13.【总结】分类讨论，等角转换找到子母型相似.。
2020届上海市普陀区初三一模数学试卷+详解答案
普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数 学 试 卷（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．已知35x y =，那么下列等式中，不一定正确的是（ ▲ ） （A ）5=3x y ； （B ）+8x y =； （C ）+85x y y =； （D ）35x x y y +=+． 2．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y 轴，那么这个函数是（ ▲ ）（A ）22y x x =+； （B ）221y x x =++； （C ）22y x =+； （D ）2(1)y x =-． 3．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，那么下列说法中正确的是（ ▲ ） （A ）1cos 3B =； （B ）1cot 3A =； （C）tan A =； （D）cot B = 4．下列说法中，正确的是（ ▲ ）（A ）如果，a 是非零向量，那么0ka =； （B ）如果e 是单位向量，那么1e =； （C ）如果b a =，那么b a =或b a =-；（D ）已知非零向量a ，如果向量5b a =-，那么a ∥b ．0k =5．如果二次函数()2y x m n =-+的图像如图1所示，那么一次函数y mx n =+的图像经过（ ▲ ） （A ）第一、二、三象限； （B ）第一、三、四象限； （C ）第一、二、四象限； （D ）第二、三、四象限．6．如图2，在Rt △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C =△△，9AD =，那么BC 的长是（ ▲ ）（A ）4； （B ）6； （C） （D）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．化简：12()()2a b a b →→→→+--= ▲ ． 8．抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是上升的，那么a 的取值范围是 ▲ ． 9．已知函数2()321f x x x =--，如果2x =，那么()f x = ▲ ．10．如果抛物线22y ax ax c =++与x 轴的一个交点的坐标是(1,0)，那么与x 轴的另一个交点的坐标是 ▲ ．11．将二次函数222y x x =-+的图像向下平移m (0)m >个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m 的值等于 ▲ ．12．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1cot 3B =，2BC =，那么AC = ▲ ．13．如图3，△ABC 的中线AD 、CE 交于点G ，点F 在边AC 上，GF //BC ，那么GFBC的值是 ▲ ．14．如图4，在△ABC 与△AED 中，AB BCAE ED=，要使△ABC 与△AED 相似，还需添加 一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只需填一个条件）ABC 图 3ABCDEG F图2AD CB图5ABCD 图4ABCEDO图115． 如图5，在Rt △中，90C ∠=︒，AD 是三角形的角平分线，如果AB =AC =那么点D 到直线AB 的距离等于 ▲ ．16．如图6，斜坡AB 长为100米，坡角30ABC ∠=︒，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB 改造成坡度1:5i =的斜坡BD （、、C 三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了 ▲ 米．（结果保留根号）17．如图7，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，AO CO =，CD BD ⊥，如果3CD =，5BC =，那么AB = ▲ ．18．如图8，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，5sin 13B =，点P 为边BC 上一点，3PC =， 将△ABC 绕点P 旋转得到△A B C '''（点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应），使B C ''//AB ，边A C ''与边AB 交于点G ，那么A G '的长等于 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：222sin 60cos60tan 604cos45︒-︒︒-︒．20.（本题满分10分）如图9，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE //BC ，EF //AB ，:1:3AD AB =．（1）当5DE =时，求FC 的长；（2）设AD a =，CF b =，那么FE = ▲ ，EA = ▲ （用向量a 、b 表示）．ABC A D A DABDE F图9图8ABC图7ADC BOAD B图6C如图10，在△ABC 中，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，PA AB ⊥，垂足为点A ，DP BC ⊥，垂足为点P ，AP BPPD CD=． （1）求证：APD C ∠=∠；（2）如果3AB =，2DC =，求AP 的长．22．（本题满分10分）函数m y x =与函数xy k=（m 、k 为不等于零的常数）的图像有一个公共点()3,2A k -，其中正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，求这两个函数的解析式．23．（本题满分12分）已知：如图11，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOD BOC S S =△△． （1）求证：OACOOB DO =； （2）设△OAB 的面积为S ，k ABCD=，求证：2(1)ABCD S k S =+四边形．CDBAO图11图10CDBAP在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线28()3y ax a x c =+++(0)a ≠经过点A ()3,2--，与y 轴交于点B ()0,2-，抛物线的顶点为点C ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）点E 是x 轴正半轴上的一点，如果AED BCD ∠=∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是位于y 轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．xOy 图12O11如图13，在梯形ABCD 中，AD //BC ，90C ∠=︒，2AD =，5BC =，3DC =，点E 在边BC 上，tan 3AEC ∠=．点M 是射线DC 上一个动点（不与点D 、C 重合），联结BM 交射线AE 于点N ，设DM x =，AN y =． （1）求BE 的长；（2）当动点M 在线段DC 上时，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当动点M 运动时，直线BM 与直线AE 的夹角等于45︒，请直接写出这时线段DM 的长．备用图ABCD ENM图13AB CDE普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(B)； 2．(C)； 3．(A)； 4．(D)； 5．(B)； 6．(C)．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式212⨯-= ··································································· （4分）31-=······················································································· （3分）3=+ ······················································································ （3分）20．解：（1）∵DE //BC ，EF //AB ，∴DE BF =． ··················································································· （1分） ∵5DE =，∴5BF =． ······································································ （1分） ∵DE //BC ，∴AD DEAB BC =． ·················································································· （1分） ∵13AD AB =，∴513BC =． ···································································· （1分） 解得 15BC =， ················································································ （1分）7． 2a b →→+； 8． 2a <； 9． 7； 10．30-(,) ；11．1； 12．6；13． 13；14．B E ∠=∠（AB ACAE AD=等）； 15．2 ； 16．50- 17．154； 18．2013．10FC =． ························································································ （1分） （2）FE =2a -，EA =12a b -+． ······················································· （2分+2分）21．解：（1）∵PA AB ⊥，DP PC ⊥，∴90BAP CPD ∠=∠=︒． ··································································· （1分） 在Rt △ABP 与Rt △PCD 中，AP BPPD CD=， ∴Rt △ABP ∽Rt △PCD ． ·································································· （1分） ∴APB PDC ∠=∠． ··········································································· （1分） ∵DPB APB APD ∠=∠+∠，DPB PDC C ∠=∠+∠，得APD C ∠=∠． ··············································································· （2分） （2）∵Rt △ABP ∽Rt △PCD ． ∴B C ∠=∠．∴AB AC =． ··················································································· （1分） ∵3AB =，2DC =，∴1AD =． ························································· （1分） ∵APD C ∠=∠，PAD CAP ∠=∠，∴△APD ∽△ACP ． ········································································ （1分） ∴AD APAP AC=． ················································································ （1分）得AP ···················································································· （1分）22．解：由点A ()3,2k -在函数xy k=的图像上，可得 32k k-=．················································································ （1分） 整理，得2230k k --=． ·································································· （1分） 解得 13k =，21k =-． ····································································· （2分） ∵正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，∴1k =-． ······················································································· （2分） 得 y x =-，点A ()3,3-． ································································· （2分）由点A ()3,3-在函数my x=的图像上，可得 9m =-． ·················································································· （1分） ∴9y x=-． ····················································································· （1分） 两个函数的解析式分别为y x =-，9y x=-．23．证明：（1）过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H . ···················································· （1分）∵S △AOD =AH DO ⋅⋅21, S △AOB =AH OB ⋅⋅21, ∴OB DO AH OB AHDO S S AOBAOD =⋅⋅⋅⋅=∆∆2121.····························································· （2分） 同理，BOC AOB S COS OA∆∆=． ········································································· （1分） ∵AOD BOC S S =△△，∴DO COOB OA=．··············································································· （1分）（2）∵OACOOB DO =，AOB COD ∠=∠， ∴△OCD ∽△OAB ． ····································································· （1分） ∴CD DO COk AB BO AO===． ·································································· （1分） 22k AB CD S S OAB OCD =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆． ·································································· （1分） ∵△OAB 的面积为S ，∴S k S OCD ⋅=∆2. ············································ （1分） 又∵k OBDOS S OAB AOD ==∆∆，∴S k S AOD ⋅=∆． ············································ （1分） 同理，S k S BOC ⋅=∆. ······································································ （1分） ∴AOB BOC COD DOA ABCD S S S S S =+++△△△△四边形S k S k S k S ⋅+⋅+⋅+=2 S k k ⋅++=)12(2S k 2)1(+=． ································································ （1分）24．解：（1）由抛物线28()3y ax a x c =+++经过点A ()3,2--和点B ()0,2-，得2,893() 2.3c a a c =-⎧⎪⎨-++=-⎪⎩ 解得4,32.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ··············································· （2分） ∴抛物线的表达式是24423y x x =+-．············································· （1分） 点C 的坐标是3(,5)2--． ··································································· （1分）（2）联结AB 交CD 于点F ，过点A 作AH OD ⊥，H 为垂足．∵A ()3,2--，B ()0,2-，∴3AB =． 由对称性可得 32BF =． ····································································· （1分） ∵5CD =，∴3CF =．在Rt △BCF 中，1tan 2BF BCF CF ∠==．················································· （1分） 在Rt △AEH 中，tan AHAEH EH∠=，∵AED BCD ∠=∠， ∴12AH EH =．∴4EH =．···································································· （1分） ∵3OH =，∴1OE =．∴点E 的坐标是()1,0． ······································································ （1分） （3）∵△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形， ∴90PAE ∠=︒或90PEA ∠=︒．设点P 点的坐标为24(,42)3m m m +-．①当90PAE ∠=︒时，点P 只能在AE 的下方． 过点P 作PG AH ⊥，G 为垂足．∴3PG m =+，2443AG m m =--．∵GAE AHE AEH ∠=∠+∠，GAE PAE PAG ∠=∠+∠，∴PAG AEH ∠=∠．∴tan tan PAG AEH ∠=∠． ∴PG AH AG EH =．∴2314243m m m +=--．··················································· （1分） 解得3m =-，32m =-． ∵3m =-不合题意舍去，∴32m =-． ∴点P 的坐标是3(,5)2--． ······························································· （1分） ②当90PEA ∠=︒时．同理可得点P的坐标是． ··································· （2分）25．解：（1）过点A 作AH BC ⊥，H 为垂足．∵AH BC ⊥，∴90AHE ∠=︒．∵90C ∠=︒，∴AHE C ∠=∠．∴AH //DC ．∵AD //BC ，3DC =∴3AH DC ==． ·······························································（1分） 同理可得2HC AD ==． ····························································································（1分） 在Rt △AEH 中，90AHE ∠=︒，tan 3AEH ∠=，∴3AH HE=． ∴1EH =． ················································································································（1分） ∵5BC =，∴2BE =． ·····························································································（1分）（2）延长BM 、AD 交于点G ． ·············································································（1分） ∵DG //BC ，∴DG DM BC MC=． 由DM x =，3DC =，5BC =， 得53DG x x =-，解得53x DG x=-．···········································································（1分） ∴633x AG x+=-． ·········································································································（1分） ∵AG //BC ，∴AN AG BN BE =． 在Rt △AEH 中，90AHE ∠=︒，1EH =，3AH =，可得AE =． ··········································································································（1分）。
2020年上海市普陀区中考数学一模试卷
2020年上海市普陀区中考数学一模试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共6小题）1.已知＝，那么下列等式中，不一定正确的是（）A．5x＝3y B．x+y＝8 C．＝D．＝2.下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是y轴，那么这个函数是（）A．y＝x2+2x B．y＝x2+2x+1 C．y＝x2+2 D．y＝（x﹣1）223.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，那么下列说法中正确的是（）A．cos B＝B．cot A＝C．tan A＝D．cot B＝4.下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥5.如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（）A．4 B．6 C．2D．3二、填空题（共12小题）7.化简：2（+）﹣（﹣）＝．8.抛物线y＝（a﹣2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是．9.已知函数f（x）＝3x2﹣2x﹣1，如果x＝2，那么f（x）＝．10.如果抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是﹣．11.将二次函数y＝x2﹣2x+2的图象向下平移m（m＞0）个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m的值等于．12.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cot B＝，BC＝2，那么AC＝．13.如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是．14.如图，在△ABC与△AED中，＝，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需填一个条件）．15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是三角形的角平分线，如果AB＝3，AC＝2，那么点D到直线AB的距离等于．16.如图，斜坡AB长为100米，坡角∠ABC＝30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡度i＝1：5的斜坡BD（A、D、C三点在地面的同一条垂线上），那么由点A到点D下降了﹣米．（结果保留根号）17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，CD⊥BD，如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝．18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，sin B＝，点P为边BC上一点，PC＝3，将△ABC绕点P旋转得到△A'B'C'（点A、B、C分别与点A'、B'、C'对应），使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G的长等于．三、解答题（共7小题）19.计算：．20.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，AD：AB＝1：3．（1）当DE＝5时，求FC的长；（2）设＝，＝，那么＝﹣，＝﹣（用向量，表示）．21.如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，P A⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝．（1）求证：∠APD＝∠C；（2）如果AB＝3，DC＝2，求AP的长．22.函数y＝与函数y＝（m、k为不等于零的常数）的图象有一个公共点A（3，k﹣2），其中正比例函数y的值随x的值增大而减小，求这两个函数的解析式．23.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD＝S△BOC．（1）求证：＝；（2）设△OAB的面积为S，＝k，求证：S四边形ABCD＝（k+1）2S．24.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A（﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝3，点E在边BC上，tan∠AEC＝3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DM＝x，AN ＝y．（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．2020年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案一、单选题（共6小题）1.【分析】根据比例的性质作答．【解答】解：A、由比例的性质得到3y＝5x，故本选项不符合题意．B、根据比例的性质得到x+y＝8k（k是正整数），故本选项符合题意．C、根据合比性质得到＝，故本选项不符合题意．D、根据等比性质得到＝，故本选项不符合题意．故选：B．【知识点】比例的性质2.【分析】由已知可知对称轴为x＝0，从而确定函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，由选项入手即可．【解答】解：二次函数的对称轴为y轴，则函数对称轴为x＝0，即函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，故选：C．【知识点】二次函数的性质3.【分析】利用同角三角函数的关系解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos A＝＝＝A、cos B＝sin A＝，故本选项符合题意．B、cot A＝＝＝2．故本选项不符合题意．C、tan A＝＝＝．故本选项不符合题意．D、cot B＝tan A＝．故本选项不符合题意．故选：A．【知识点】同角三角函数的关系4.【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．【知识点】*平面向量5.【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．【知识点】二次函数的性质、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象6.【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝6，∴＝，解得，BD＝4，∴BC＝＝＝2，故选：C．【知识点】相似三角形的判定与性质二、填空题（共12小题）7.【分析】直接利用向量加减运算法则去括号合并求出答案．【解答】解：2（+）﹣（﹣）＝2+﹣+＝+2．故答案为：+2．【知识点】*平面向量8.【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a﹣2＜0，然后解不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴a﹣2＜0，解得a＜2．故答案为a＜2．【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系9.【分析】把x＝2代入函数关系式即可求得．【解答】解：f（2）＝3×22﹣2×2﹣1＝7，故答案为7．【知识点】二次函数的性质10.【分析】根据抛物线y＝ax2+2ax+c，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），可以得到该抛物线与x轴的另一个交点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2﹣a+c，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∵抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．【知识点】抛物线与x轴的交点11.【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y＝0求出即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴将抛物线y＝x2﹣2x+2沿y轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，∴m＝1，故答案为：1．【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换12.【分析】根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵cot B＝，∴AC＝＝＝3BC＝6．故答案是：6．【知识点】锐角三角函数的定义13.【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G，∴G是△ABC的重心，∴，∵GF∥BC，∴＝，∵DC＝BC，∴，故答案为：【知识点】三角形的重心、相似三角形的判定与性质14.【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：∠B＝∠E．【解答】解：添加条件：∠B＝∠E；∵，∠B＝∠E，∴△ABC∽△AED，故答案为：∠B＝∠E（答案不唯一）．【知识点】相似三角形的判定15.【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC＝5，再根据角平分线的性质得DC＝DE，然后利用面积法得到×2×DC+×DE×3＝×2×5，从而可求出DE．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC＝＝5，∵AD是三角形的角平分线，∴DC＝DE，∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，∴×2×DC+×DE×3＝×2×5，∴DE＝2，即点D到直线AB的距离等于2．故答案为2．【知识点】角平分线的性质16.【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝50，BC＝AB•cso∠ABC＝50，∵斜坡BD的坡度i＝1：5，∴DC：BC＝1：5，∴DC＝10，则AD＝50﹣10，故答案为：50﹣10．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题17.【分析】如图，过点A作AE⊥BD，由“AAS”可证△AOE≌△COD，可得CD＝AE＝3，由勾股定理可求BD＝4，通过证明△ABE∽△BCD，可得，即可求解．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD，∵CD⊥BD，AE⊥BD，∴∠CDB＝∠AED＝90°，且CO＝AO，∠COD＝∠AOE，∴△AOE≌△COD（AAS）∴CD＝AE＝3，∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，∴DB＝＝＝4；∵∠ABC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，∴∠EAB＝∠CBD，且∠CDB＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△BCD，∴，∴∴AB＝故答案为：．【知识点】相似三角形的判定与性质18.【分析】如图，作PH⊥AB于H．利用相似三角形的性质求出PH，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．【解答】解：如图，作PH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，sin B＝，∴＝，∴AB＝13，BC＝＝＝12，∵PC＝3，∴PB＝9，∵∠BPH∽△BAC，∴＝，∴＝，∴PH＝，∵AB∥B′C′，∴∠HGC′＝∠C′＝∠PHG＝90°，∴四边形PHGC′是矩形，∴CG′＝PH＝，∴A′G＝5﹣＝，故答案为．【知识点】解直角三角形、平行线的判定、旋转的性质三、解答题（共7小题）19.【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝＝＝＝3+2．【知识点】特殊角的三角函数值20.【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用三角形法则求解即可．【解答】解：（1）∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF＝5，∵AD：AB＝DE：BC＝1：3，∴BC＝15，∴CF＝BC﹣BF＝15﹣5＝10．（2）∵AD：AB＝1：3，∴＝2＝2，∵EF＝BD，EF∥BD，∴＝﹣＝﹣2，∵CF＝2DE，∴＝＝，∴＝+＝﹣，故答案为【知识点】*平面向量21.【分析】（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，由外角性质可得结论；（2）通过证明△APC∽△ADP，可得，即可求解．【解答】证明：（1）∵P A⊥AB，DP⊥BC，∴∠BAP＝∠DPC＝90°，∵＝∴，∴Rt△ABP∽Rt△PCD，∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，∴∠APD＝∠C；（2）∵∠B＝∠C，∴AB＝AC＝3，且CD＝2，∴AD＝1，∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠P AD，∴△APC∽△ADP，∴∴AP2＝1×3＝3∴AP＝．【知识点】相似三角形的判定与性质22.【分析】把点A（3，k﹣2）代入y＝，即可得出，据此求出k的值，再根据正比例函数y的值随x的值增大而减小，得出满足条件的k值即可求解．【解答】解：根据题意可得，整理得k2﹣2k+3＝0，解得k1＝﹣1，k2＝3，∵正比例函数y的值随x的值增大而减小，∴k＝﹣1，∴点A的坐标为（3，﹣3），∴反比例函数是解析式为：；正比例函数的解析式为：y＝﹣x．【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题23.【分析】（1）由S△AOD＝S△BOC易得S△ADB＝S△ACB，根据三角形面积公式得到点D和点C到AB的距离相等，则CD∥AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；（2）利用相似三角形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵S△AOD＝S△BOC，∴S△AOD+S△AOB＝S△BOC+S△AOB，即S△ADB＝S△ACB，∴CD∥AB，∴△DOC∽△BOA，∴；（2）∵△DOC∽△BOA∴，＝k2，∴DO＝kOB，CO＝kAO，S△COD＝k2S，∴S△AOD＝kS△OAB＝kS，S△COB＝kS△OAB＝kS，∴S四边形ABCD＝S+kS+kS+k2S＝（k+1）2S．【知识点】相似三角形的判定与性质24.【分析】（1）将点A、B代入抛物线y＝ax2+（a+）x+c，即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可；（2）如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N（﹣，﹣2），利用相等角的正切值相等即可求出EH的长，OE的长，可写出点E的坐标；（3）分∠EAP＝90°和∠AEP＝90°两种情况讨论，通过相似的性质，用含t的代数式表示出点P的坐标，可分别求出点P的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣3，﹣2）、B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+（a+）x+c，得，，解得，a＝，c＝﹣2，∴y＝x2+4x﹣2＝（x+）2﹣5，∴抛物线解析式为y＝x2+4x﹣2，顶点C的坐标为（﹣，﹣5）；（2）如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N（﹣，﹣2），在Rt△BCN中，tan∠BCN＝＝＝，∴tan∠AED＝，过点A作AH⊥DE于H，则tan∠AED＝＝＝，∴EH＝4，∴OE＝1，∴E（1，0）；（3）①如图2，当∠EAP＝90°时，∵∠HEA+∠HAE＝90，∠HAE+∠MAP＝90°，∴∠HEA＝∠MAP，又∠AHE＝∠PMA＝90°，∴△AHE∽△PMA，则＝，设PM＝t，则AM＝2t，将P（t﹣3，﹣2﹣2t）代入y＝x2+4x﹣2，得，t1＝0（舍去），t2＝，∴P1（﹣，﹣5）；②如图3，当∠AEP＝90°时，∵∠EAG+∠AEG＝90°，∠AEG+∠PEN＝90°，∴∠AEG＝∠EPN，又∵∠N＝∠G，∴△AEG∽△PEN，则＝＝，设PN＝t，则EN＝2t，将P（1﹣t，2t）代入y＝x2+4x﹣2，得，t1＝，t2＝（舍），∴P2（﹣，）；综上所述：P1（﹣，﹣5），P2（﹣，）．【知识点】二次函数综合题25.【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H，解直角三角形求出EH，CH即可解决问题．（2）延长AD交BM的延长线于G．利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°．②如图3﹣2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠AHC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形AHCD是矩形，∴AD＝CH＝2，AH＝CD＝3，∵tan∠AEC＝3，∴＝3，∴EH＝1，CE＝1+2＝3，∴BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2．（2）延长AD交BM的延长线于G．∵AG∥BC，∴＝，∴＝，∴DG＝，AG＝2+＝，∵＝，∴＝，∴y＝（0＜x＜3）．（3）①如图3﹣1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°，∵△EBN∽△EAB，∴EB2＝EN•AE，∴，解得x＝．②如图3﹣2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，∵△BNA∽△EBA，∴AB2＝AE•AN，∴（3）2＝•[+解得x＝13，综上所述DM的长为或13．【知识点】四边形综合题。
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。
2020届上海市普陀区中考数学一模试卷((有答案))(已纠错)
上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；A ．tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D 错误． 故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3. 如图，在△ABC中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A ．当时，能判断ED∥BC；B. 当时，能判断ED∥BC；C. 当时，不能判断ED∥BC；D. 当时，能判断ED∥BC；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡 AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB==．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y=（1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
普陀区 2020 学年度第一学期九年级数学期终考试试卷 普陀区一模卷答案
13 ± 2 3 2222普陀区 2020 学年度第一学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1．(C)； 2．(A)； 3．(D)； 4．(C)； 5．(A)； 6．(D).二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7 147. 7 : 2 （或 2）；8. -a +5b ； 9.；310.-1；11．（0，-3）； 12. y = -2 (x + 3)2+1 ；13．45；14． y = -x 2+ 25x ；15．1.5 + 20 tan α；16．相切；17．（5，6）； 18．．3三、解答题（本大题共 7 题，其中第 19---22 题每题 10 分，第 23、24 题每题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78 分）19．解：原式= 4 ⨯ 1 - 2 ⨯2 + 6 ⨯ ， .................................... （6 分）22= 2 -1+ 3 ， ................................................. （3 分）=1+ 3 ． ................................................... （1 分）20．解（1）∵ AB ∥ CD ，AOAB∴=． ................................................ （2 分）OD CDAB ∵CD AO ∴OD AO ∴AD AO （2）∵AD = ， 3 = ． ................................................... （2 分） 3 = ． ................................................... （2 分） 5 = ， 55∴ AD = AO ．............................................... （2 分） 25 2 2⎩⎪⎩⎪⎩5 5 ∴ DA = - 2 AO = - 2a ． ................................. （2 分）21、解法一：设：二次函数解析式为 y = a ( x - 2)2+ k （ a ≠ 0 ） ....................................... （2 分） 把 A （1，0）、 C （0，6）分别代入，⎧a = 2解得： ⎨k = -2 ， .............................................. （4 分）∴ y = 2 ( x - 2)2- 2 ． ...................................................................................... （2 分） 最低点坐标为（2，-2）． ...................................................................................... （2 分）解法二：∵函数图像与 x 轴交于点 A （1，0）和点 B ，对称轴为直线 x ＝2， ∴点 A （1，0）和点 B 关于直线 x ＝2 对称，点 B 的坐标为（3，0）．……（2 分）设二次函数解析式为 y ＝a (x －1)(x －3) ( a ≠ 0 )． ..................... （2 分） 把 x ＝0，y ＝6 代入， 解得 a ＝2． ................................................... （2 分） ∴ y = 2x 2- 8x + 6 ． ........................................... （2 分） 最低点坐标为（2，-2）． .................................................................................. （2 分）解法三：∵函数图像与 x 轴交于点 A （1，0）和点 B ，对称轴为直线 x ＝2，∴点 A （1，0）和点 B 关于直线 x ＝2 对称，点 B 的坐标为（3，0）．……（2 分）设：二次函数解析式为 y = ax 2+ bx + c （ a ≠ 0 ） 把 A （1，0）、B （3，0）、C （0，6）分别代入，得：⎧0 = a + b + c ⎨0 = 9a + 3b + c ， .............................................. （2 分） ⎪c = 6解得： ⎧a = 2 ⎨b = -8 ， ............................................. （4 分）⎪c = 6∴ y = 2x 2- 8x + 6 ．最低点坐标为（2，-2）． ...................................................................................... （2 分）3 3 22、解：作OH ⊥ AB ，垂足为 H ． .................................. （1 分）∵ OH 过圆心，且OH ⊥ AB ，∴ AH = BH ． ............................................ （2 分） 设OH = x ，∵ ∠OAH = 45，∴ AH = B H = x ． ........................ （1 分）∵ ∠OCH = 30，∴ CH = 3x ． ............................. （1 分） ∵ CH = BH + BC ，且 BC = 50 ，∴ 3x = x + 50 ， ............................................. （1 分）∴ x = 25 + 25 ． ............................................ （2 分）即OH = 25 + 25 ．∵ AO = 2OH ，∴ AO = 25 + 25 ． ....................... （1 分）答：人工湖的半径为(25 23、证明：（1）∵ CF ⊥ AD ，∴ ∠CFA = 90．+ 25 2) 米． ................................. （1 分）∵ ∠ACB = 90∴ ∠ACB = ∠CFA ． ................................. （2 分） ∵ ∠CAF = ∠DAC ，∴△ ACF ∽△ ADC ． ............................... （2 分） ∴AC=AF ．即 AC 2= AF A D ． ...................... （2 分）ADAC（2）同理得： AC 2= AE AB ， ............................. （2 分）∵ AC 2= AF AD ， ∴ AE AB = AF AD ． ∴ AE = AF ．AD AB ∵ ∠FAE = ∠BAD ， ∴△ FAE ∽△ BAD ． ................................. （2 分） ∴ AE = EF ． AD BD即 AE DB = AD EF ． ............................... （2 分）24．解：（1）点C 的坐标是(-4m , 0) ， (m , 0) ， (4m , 0) ． ................................... （3 分） （2）∵△ BOC 与△ AOB 全等，6 2 63 3 ⎨⎩⎪⎩∴点C 的坐标是(m , 0) ． ....................................... （1 分） 解法一：由题意可知二次函数 y = -x 2+ bx + c 的图像关于 y 轴对称， ∴点 B (0, 2m ) 是二次函数图像的顶点， 设二次函数的解析式为 y = -x 2+ 2m ．把 x ＝m ，y ＝0 代入，解得 m = 2 ． ................................. （2 分） ∴点C 的坐标为(2, 0) ． .......................................... （1 分） 解法二：二次函数 y = -x 2+ bx + c 的图像经过 A 、 B 、C 三点，得⎧0 = -m 2 + b m + c , ⎪0 = -m 2 - bm + c , ⎪2m = c .⎧b = 0, 解这个方程组，得⎨c = 4, ...................................................................... （2 分）⎪m = 2. ∴ m = 2 ，点C 的坐标为(2, 0) ． ................................ （1 分）（3）（2）中的二次函数解析式是 y = -x 2+ 4 ． ........................................................... （1 分）设点 P 的坐标(x , -x 2+4)． 联结OP ，∵ ∠APC = 90， O 是 AC 的中点，1∴ OP =AC = 2 ．2∴ x 2+ (-x 2+ 4)2= 4 ．解得： x = ± ， x = ±2 （不合题意，舍去）．∴ P( 3,1) 或 P (- 3,1) ． ...................................... （2 分） 当点 P 的坐标为( 3,1)时，作 PH ⊥ x 轴于点 H ， 则OH = ， PH = 1．在 Rt △ POH 中，得∠POC = 30． 又∵ OP = OC ， ∴ ∠ACP = 75 ．当点 P 的坐标为(- 3,1)时，同理可得∠ACP = 15．综上所述： ∠ACP = 75或15． ................................. （2 分） 25、解：（1）①∵△ ABC 是等边三角形， AB = 4 ，∴ AC = BC = 4 ， ∠ABC = ∠BCA = ∠CAB = 60．3 3 ∵ DQ 垂直平分 BP ， ∴ PD = BD ， ∴ ∠DPB = ∠DBP ．同理可得: ∠QPB = ∠QBP ．∴ ∠DPQ = ∠CBA = 60．…（2 分） ∴ ∠1+ ∠2 = 60， 又∵ ∠1+ ∠3 = 60 ， ∴ ∠3=∠2 ．又∵ ∠PCD = ∠QAP = 120，∴△ DCP ∽△ PAQ ． ................................. （2 分）②∵△ DCP ∽△ PAQ ，∴ C PCD C QAP PC， ................................... （1 分） AQ4 + x x∴= (4 + x ) + y + (4 + y ) ， ......................... （2 分）y∴ y = x 2 + 8x 4 - x（0＜ x ＜4）． ................................................... （1 分＋1 分）（2）①点 P 在线段 AC 的延长线上由△ PCD 是等腰三角形，可得△ PAQ 是等腰三角形，∴ AP = AQ ，∴ 4 + x = x 2 + 8x 4 - x，解得 x = 2 - 2 ．……（1 分）∴ AP = AQ = 2 + 2 ．过点 P 作 PH ⊥ BQ ，垂足为 H ，可得： PH = 3 + ． ................................. （1 分）S= 1(3 + 3 )(2 + 2 3 ) = 6 +4 ． ................. （1 分）APQ23 3 =3 3 3 ②点 P 在线段 AC 上∵△ PCD 是等腰三角形，且∠BCA = 60， ∴△ PCD 是等边三角形，由相似可得△ PAQ 也是等边三角形． 点 P 是线段 AC 的中点， ∴ S= 1⨯ 2 ⨯ = ． ............................ （2 分）APQ2综上所述：△ PAQ 的面积是6 + 4 或 ．3。
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2015-2016
上海普陀区初三数学一模卷
一．选择题（共6小题，满分24分）
1、如图1，BD.CE 相交于A 点，下列条件中，能推出DE ∥BC 的条件是（ ） A 、AE:EC=AD:DB B 、AD:DB=DE:EC C 、AD:DE=AB:BC D 、BD:AB=AC:EC
2、在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点，DE ∥BC ，如果△ADE 的面积等于3，那么△ABC 的面积等于( )
A 、6
B 、9
C 、12
D 、15
3、如图2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，下列线段比值不等于cosA 的值的是（ ）
A 、AC AD
B 、AB A
C C 、BC B
D D 、BC
CD
4、如果a,b 同号，那么二次函数12++=bx ax y 的大致图像是（ ）
5、下列命题中，正确的是（ ） A 、圆心角相等，所对的弦的弦心距相等 B 、三点确定一个圆
C 、平行弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D 、弦的垂直平分线经过圆心
6、已知在平行四边形ABCD 中，点M,N 分别是BC,CD 的中点，如果a AB =，
b AD =，那么向量MN 关于b a ,的分解式是（ ）
A 、b a 2121-
B 、b a 2121+-
C 、b a 2121+
D 、b a 2121--
二、填空题。
（12个题共48分，每个小题4分） 7、如果x:y=2：5，那么
=+-y
x x
y （ ） 8、计算：2（b a +）+（b a -）=（ ） 9、计算:︒︒+︒60tan *30cot 45sin 2=( )
10、已知点P 把线段分割成AP 和PB （AP ＞PB ）两段，如果AP 是AB 和PB 的比例中项，那么AP ：AB=（ ）
11、在函数1.c bx ax y ++=2，2.22)1(x x y --=，3.225
5x
x y -=，4.2
2+-=x y 中，y 关于x 的二次函数是（ ）（填序号） 12、二次函数322-+=x x y 的图像有（ ）（填“最高点”或“最低点”） 13、如果抛物线n mx x y ++=22的顶点坐标为（1，3），那么m+n 的值等于（ ）
14、如图3，点G 是△ABC 的重心，DE 经过点G ，DE ∥AC ，EF ∥AB ，如果DE 的长度为4，那么CF 的长为（ ）
15、如图4，半圆形纸片的半径为1cm ，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆的中点M 与圆心O 重合，那么折痕CD 的长为（ ）cm.
16、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，点P 、Q 分别在AB 、AC 上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ 与△ABC 相似，那么AP 的长为（ ） 17、某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB ，调整为坡度3:1=i 的新传送带AC （如图5所示），已知原
传送带AB 的长为24米，那么新传送带AC 的长为（ ）米.
18、已知A(3,2)是平面直角坐标中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联接
AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足BC ：AB=1:2,设点C 的横坐标是a ，如果用含a 的代数式表示点D 的坐标，那么点D 的坐标为（ ）.
三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）
19（本题满分10分）
已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=
3
1
BC ，点M 是边BC 的中点，b AB a AD ==,
（1）填空：=BM （ ），=MA （ ）（结果用b a ,表示） （2）直接在图中画出向量b a +2.（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
20（本题满分10分）
将抛物线2
2
1x y 先向上平移2个单位，再向左平移m （m ＞0）个单位，所得
抛物线经过点（-1，4），求新抛物线的表达式以及新抛物线与y 轴交点的坐标.
21（本题满分10分）
如图7，已知AD 是圆O 的直径，AB 、AC 是圆O 的弦，AD ⊥BC ，垂足是点E ，BC=8，DE=2，求圆O 的半径长和sin ∠BAD 的值。
22（本题满分10分）
已知：如图8，有一块面积等于12002
cm 的三角形纸片ABC ，已知底边BC 与
底边上的高的和为100cm （底边BC 大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，求加工的正方形纸片DEFG 的边长。
23（本题满分10分）
已知：如图9，在四边形ABCD 中，∠ADB=∠ACB ，延长AD 、BC 相较于点E ，求证：
（1）△ACE ∽△BDE ； （2）BE ：DC=AB ：DE.
24（本题满分12分）
已知:如图10，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c x ax y +-
=3
7
2
的图像经过点A （0，8）、B （6，2）、C （9，m ），延长AC 交x 轴于点D.
（1）求这个二次函数的解析式以及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；
（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P 的坐标.
25（本题满分14分）
如图11，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP=90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD=3，BD=9，直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，
交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设x CP
CA
，
（1）当x=2时，求点A 到BN 的距离；
（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值.
2016上海普陀区初三数学一模卷答案
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