高考文科数学复习专题极坐标与参数方程精选

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．

(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，

．

极角的M 称为点，θ极径的M 称为点ρ决定一个点的位置．其中，)θ 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一

点的极坐标却不是唯一的．

(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C

的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程．

如下图所示．

，0

φ－π＝θ和0

φ＝θ角的直线方程是0

φ过极点且与极轴成(1)

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a ，如下图所示．

(3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ，如下图所

示．

3．圆的极坐标方程．

所示．

1如图，r ＝ρ的圆的方程为r 半径为，以极点为圆心(1) 所示．

2如图，θ_2rcos ＝ρ的圆的方程为r 半径为，圆心在极轴上且过极点(2) 所

3如图，θ_sin 2r ρ的圆的方程为r 过极点且半径为，的射线上π

2

圆心在过极点且与极轴成3)(示．

4．极坐标与直角坐标的互化．

若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标

M(x ，y)的公式如下：

⎩

⎪⎨⎪⎧x

＝ρcos θ，y

＝ρsin θ，

y x ＝θtan ，x2＋y2＝ρ或者 其中要结合点所在的象限确定角θ的值．

1．曲线的参数方程的定义．

并

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），

y ＝g （t ），即，的函数t 都是某个变数y ，x 如果曲线上任意一点的坐标，在平面直角坐标系中且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的

参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．

2．常见曲线的参数方程．

的直线：

α倾斜角为，)0

y ，0

P(x 过定点(1) ⎩

⎪⎨⎪⎧x

＝x0＋tcos α，y

＝y0＋tsin α，

)为参数(t M

与点P 又称为点，的数量PM 为终点的有向线段)y ，M(x 点，为起点)0y ，0P(x 是以定点t 其中参数间的有向距离．

根据t 的几何意义，有以下结论：

＝

|A t －B |t ＝|AB|则，B t 和A t 它们对应的参数分别为，是直线上任意两点B ，A ①设；

（tB ＋tA ）2－4tA ·tB

.tA ＋tB

2

的中点所对应的参数值等于

AB 线段② 的圆：

r 半径等于，)0

y ，0

P(x 中心在(2) ⎩

⎪⎨⎪⎧x

＝x0＋rcos θ，y

＝y0＋rsin θ)

为参数(θ (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：

⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ.

⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝bcos θ，y ＝asin θ)为参数(θ 为参

(α⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋acos α，

y ＝y0＋bsin α轴的直线上的椭圆的参数方程为x 焦点在平行于，)0y ，0P(x 中心在点数)．

(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：

⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ.

⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝btan θ，y ＝asec θ)为参数(θ (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：

⎩

⎪⎨⎪⎧x

＝2p ，y

＝2p ．

)p>0，为参数(t .1

cos θ＝θsec 注： 3．参数方程化为普通方程．

由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元

法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制．

．)32－，(2标是的直角坐A 则点，⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4，

5π3的极坐标为A 已知点．1 ．

⎝

⎛⎭⎪⎫22，－π6结果为，化为极坐标)2－，6(

的直角坐标P 把点．2 ．

4＝2

2)－(y ＋2

x 化为直角坐标方程为θsin 4＝ρ标方程曲线的极坐．3 ．

⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ－π

6cos 2＝ρ为半径的圆的极坐标方程是1为圆心、⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6以极坐标系中的点．4 )为参数(θ⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，

y ＝2sin θ：C 过椭圆)为参数(t ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ：l 若直线，中xOy 在平面直角坐标系．5．

3的值为a 则常数，的右顶点 的右顶点

C 所以椭圆1.＝y2

4＝x29得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，：C 由椭圆a.－x ＝y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，：l 由直线解析：为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.

一、选择题

轴正半轴为极轴

x ，为极点O ．若以原点)3－，(1标为的直角坐P 点，中xOy 在平面直角坐标系．1建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )