一维搜索法

黄金分割法(Golden Section Method)又称为0.618法， 是用于在单峰函数区间上求极小的一种方法。其基本思想是 通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间 不断减少，当区间长度缩短到一定程度时，就得到函数极小 点的近似值。
一、黄金分割法的取点原则
1. 对称取点 2. 等区间收缩率
令Ln表示试验点数为n、最终区间长度为1时，原始 区间[a,b]的最大可能长度。
设l为左试探点， r为右试探点，如果极小点* 位于区间[a，l]，则在此区间内至多还可以有n-2个 试验点，因此 l -a≤Ln－2.
另一方面,如果极小点 *位于区间[l,b]内,则包括r在 内,还可以作n-1个试验点，所以
解 a=1，b=2，al=1.382，a2=1.618， l=-2.927，2=-3.047,
所以l>2，去掉区间[1，al]. 详细计算结果见下表
§3－4 Fibonacci法
不要求每次迭代区间的收缩比不变,而希望在试验点 个数相同的情况下，找出一种选取试验点的最佳策略， 使得最终的极小区间的长度达到最小，换句话说，如 果规定试验点的个数为n，且最终区间长度为1，问 如何选取这n个点，使得原始区间的长度最大？
单峰区间
非单峰区间
二、单峰区间的确定
确定搜索区间的一种简单的方法是进退法，其基本思想是从某一点出发，按
一定的步长，确定函数值呈“高—低—高”的三点。如果一个方向不成功，
就退回来，再沿相反的方向寻找。具体算法步骤如下：
(1)取初始步长h，置初始值μ3=0，
3= (μ3)，并置k=0.
(2)置μ=μ3+h，= (μ)和k=k+1.
(3)如果<3,则置μ2=μ3, 2=3, μ3=μ, 3= 和 h=2h,k=k+1, 转 (2);
(4)如果k=1,则置μ2=μ,2= ,和h=-h, 转 (2);否 则 置μ1=μ2, 1= 2,μ2=μ3, 2= 3, μ3=μ, 3= , 并 令 a=min{μ1,μ3}, b=max{μ1,μ3}, 停止 计算.
2、多维优化设计转化为一维优化设计问题
多维优化问题求解过程：
d (3)
d (2) X (4)
X (k+1) X (k) d (k) k
d (1)
X (3)
min f ( X )
min f ( X (k) d (k) ) X (2)
min()
d (0)
X (0)
X (1) 0
二、一维优化方法的分类
b- l ≤Ln-1. 因此 b-a=(b- l)+(l -a)≤ Ln－2 + Ln-1, 故有如下关系式:
Ln ≤ Ln－2 + Ln-1 显然,不计算函数值和仅计算一点处的函数值都不能使 极小区间缩小，即 L0 = L1 =1. 由此可得，如果原始区间长度满足递推关系
F0 = F1，Fn = Fn－2 + Fn-1
1.解析法
( ) f ( X (k) d (k) ) f ( X (k ) ) f ( X (k ) )T d (k ) 1 2d (k )T H ( X (k ) )d (k )
2
由 d( ) 0
f ( X ) (k ) T d (k ) d (k )T H ( X (k ) )d (k ) 0
三、黄金分割法的步骤
(1)置初始搜索区间[a,b]，并置精度要求ε，并计算左右试探点 al=a+0.382(b-a) a2=a+0.618(b-a)
及相应的函数值l= (al)， 2= (a2).
(2)如果l<2,则置b=a2，a2=a1， 2＝1，并计算 al=a+0.382(b-a)，l=(al)
d
得
f ( X (k ) )T d (k ) d (k )T H ( X (k ) )d (k )
2.数值法
方程求根法 二分法、切线法、割线法等 区间收缩法 分数（Fibonacci）法、黄金
分割（0.618)法、插值法等
§3－2 单峰区间的确定
一、单峰区间的定义
定义 设α*是(α)的极小点，若存在闭区间[a，b]，使得 α*∈[a，b]，且使函数值呈“高—低—高”的形态，即函数 (α)在闭区间[a，b]中有唯一极小点，则称[a，b]是(α)单峰 区间.
否则置a=a1，a1=a2， 1＝2，并计算 a2=a+0.618(b-a)及相应的函数值，2= (a2).
(3)若|b-a|≤ε,做:如果l< 2，则置*=a1；否则置*=a2， 停止计算(*作为问题的解)。否则转(2).
四、 黄 金 分 割 法 的 程 序 框 图
【例】用0.618法求解一维问题 min(α)=eα-5α，在区间[1,2]内的极小点，计算4步.
μ2=μ,2= , h=-h,
μ2=μ3, 2=3, μ3=μ, 3=, h=2h,k=k+1
b=max{μ1,μ3}
结束
四、区间收缩原则与区间收缩率
1>2?
yes
no
1 2
a=a1 b=b
a a1
a2 b
a=a b= a2
新区间长 ＝ a1b ＝ aa2 旧区间长 ab ab
§3－3 黄金分割法
h 2h 4h
1 2
3
二、单峰区间的确定
4h
2h h h
4
3 2
1
a
b
hh
a
b
三、算法框图
开始 输入：h
置μ3=0，3= (μ3)，k=0
置μ=μ3+h，= (μ),k=k+1
μ1=μ2,
1= 2, μ2=μ3,
no
<3?
yes
2= 3, μ3=μ,
k=1?
no
yes
3= , a=min{μ1,μ3},
§3－1 概述
一、问题的提出
1、实际设计工作中会遇到一维优化设计问题
在长为350cm、宽为260cm的长 方形不锈钢板的四角，各剪去一 个小正方形，做成一个无盖的储 水箱，试确定正方形的边长，使 储水箱的容积最大。
x
max f ( x) x (350 2 x) (260 2 x)
s.t. 0 x 130
3. 留点可用
二、黄金分割法的区间收缩率
ba
(1 )(b a) (b a)
2 (b a)
(1 )(b a) 2 (b a)
(1 )(b a)
2 1 0
1
2
5 1 0.618
2wenku.baidu.com
a
a1 a2 b a a1 a2 b
a1 a 0.382(b a)
a2 a 0.618(b a)