不等关系与不等式
不等关系与不等式
1.掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论. 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
不等式：用不等号连接的式子，叫作不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2) 不等式研究的范围是实数集R．
对于任意两个实数 a、b，在“a＞b，a = b，a＜b”
用“＜”或“＞”填空
（１） 如果 a b, c d ，则 a c __＞__ b d ； （２） 如果 a b 0, c d 0 ，则 ac _＞___ bd ； （３） 如果 a b 0 ，则 a2 _＞___ b2 ； （４） 如果 a b 0 ，则 a _＞___ b .
解: 设住宅窗户面积和地板面积分别为 a,b ,同时增加的面积为 m ,
根据问题的要求 a b, 且 a 10% . b
由于 a m a m(b a) 0, b m b b(b m)
于是 a m a , 又 a 10%, bm b b
因此, a m a 10%. bm b
初中时我们曾经学过哪些不等式的性质?
１（对称性）：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b. 2（传递性）：如果a>b，b>c，那么a>c.
3（可加性）：如果a>b，则a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数，不等号方向不变.
4（可乘性）：如果a>b，c>0，则ac>bc； 如果a>b，c<0，则ac<bc.
所以,同时增加相 等的窗户面积和地板面积后,住宅的 采光条件变好了!
一般地,设 a,b 为正实数,且 a b, m 0 ,则 am a. bm b 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式?
不等关系与不等式
1不等关系与不等式知识回顾一、不等式性质：1.a ＞b ⎛ b ＜a .(反身性)2.a ＞b ，b ＞c =>a ＞c .(传递性)3.a ＞b ⎛ a+c ＞b+c.(平移性)4.a ＞b ，c ＞0 => ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0 => ac ＜bc .(伸缩性)5.a ＞b ≥0 => ，n ∈N ，且n ≥2.(乘方性)6.a ＞b ≥0 => a ＞nb ，n ∈N ，且n ≥2.(开方性)7.a ＞b ，c ＞d => a+c ＞b+d.(叠加性)8.a ＞b ≥0，c ＞d ≥0 => ac ＞bd .(叠乘性)二、如果a －b 是正数，则a >b ；如果a >b ，则a －b 为正数； 如果a －b 是负数，则a <b ；如果a <b ，则a －b 为负数； 如果a －b 等于零，则a =b ；如果a =b ，则a －b 等于零。
判断两个实数大小的依据是：000a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-< 三、作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小. 例题与练习例1． 比较x 2－x 与x －2的大小。
例2.比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小例3.已知a b m 、、都是正数,且a b >,求证: b m b a ma+>+2.若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；23.已知1260a <<，1536b <<，求12a b -及a b的取值范围；1.若0a b <<，则下列结论不正确的是.A 22a b < .B 2ab b < .C 2b aa b +> .D a b a b -=-2.设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b->-”成立的.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.下列不等式：()1 232()x x x R +≥∈，()2553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈，()3222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为.A 0 .B 1 .C 2 .D 34.已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 .A ab ac > .B c b a ()-<0 .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac5.若,a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是.A ba11<.B 22b a > .C 1122+>+cb ca .D ||||cbc a >6.若0a >，0b >，则不等式1b a x-<<等价于.A 10x b-<<或10x a<< .B 11x a b-<<.C 1x a<-或1x b>.D 1x b<-或1x a>7.若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于 A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<8．若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题：()1ad bc >；()20a b d c +<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-中能成立的个数是.A 1 .B 2 .C 3 .D 4。
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
不等关系与不等式 课件
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
不等关系与不等式
一、不等关系是普遍存在的
想一想, 举出几个现实生活 中与不等关系有关的例子?
二、用不等式（组）来表示不等关系
不等式
用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关 系的式子叫不等式。
“不等号”是英国数学家哈里奥特 （T.Harriot）于1631年开始使用的，但当时并 没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐 渐成为标准的应用符号。
二、用不等式（组）来表示不等关系
问题1 今天的天气预报说：明天早晨最低温 度为9℃，明天白天的最高温度为16℃ ，那 么明天白天的温度t℃满足什么关系？
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
例３．如果30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y,x 的范围？ y
例４：已知a>b>0,c>d>0，求证：a d
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
作业 ：
必修5第75页 习题3.1 A组4、5； B组1、3
3x y
x
N
*
y N *
Hale Waihona Puke 必修5 第74页a+b ≥0 h4
新课讲授
2.文字语言与数学符号间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
>
至多
≤
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系与不等式
不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用， 要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学 习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数 学符号 连接两个数或代数式以表示它们 之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．三、典型题型题型一 比较大小【例1】已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与 ab ＋bc ＋ca 的大小．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b ＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b题型二 不等式的性质【例2】 若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的 命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应 用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如 对数函数，指数函数的性质等．题型三 不等式性质的应用【例3】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)， f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用 不等式的性质求f (－2)的范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.题型四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ＞0. 证明：∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.四 、小结。
《不等关系与不等式》 知识清单
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种不等关系。
比如，身高的比较、成绩的高低、物品价格的差异等等。
不等关系是客观存在的，它反映了事物之间的数量差异和大小顺序。
不等关系可以用文字语言来描述，例如“大于”“小于”“不超过”“不少于”等；也可以用符号语言来表示，常见的不等号有“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）。
二、不等式不等式是用不等号连接两个代数式所形成的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞5 就是一个不等式。
1、不等式的性质性质 1：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。
（对称性）性质 2：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
（传递性）性质 3：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
（加法法则）性质 4：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜0 ，那么 ac ＜ bc 。
（乘法法则）这些性质是解决不等式问题的重要依据，需要熟练掌握和运用。
2、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2 和 3 ）（2）去括号（乘法分配律）（3）移项（根据不等式的性质 1 ）（4）合并同类项（5）系数化为 1 （根据不等式的性质 4 ）在系数化为1 时，需要注意当系数为负数时，不等号的方向要改变。
3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＞ 0 ，先解方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，得到 x＝－1 或 x ＝ 3 。
不等关系与不等式
a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 作差 解: ∵ ( a 3)( a 5) ( a 2 )( a 4 )
变形
∵ a 、 、 m 都是正数,且 a b b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
定符号
确定大小
∴
bm am
b a
0
∴
bm am
b a
例 4 .当 p , q 都 为 正 数 且 p + q = 1 时 ， 试 比 较 代 数 式 (px qy ) 与 px qy 的 大 小
2 2
>
练习2. 比较下列各组中两个代数式的大小 :
(1)当x 1 , x 与x x 1; 时
3 2
(2) x y 1与2( x y 1).
2 2
练3. ,乙两人同时从A出发去B地,已知甲在前一半 甲 路程的速度为v1 , 而在后一半的路程为v2 (v1 v2 );乙 在前一半时间的速度为v1 , 而在后一半时间的速度 为v2 . : 两人中谁先到达B地 ? 问
• • • •
作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形，将两个实数作差，作差后变形为： ①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形 式． • (3)定号，即判断差的符号是正、负还是零． • (4)结论，利用实数大小之间的关系得出结论．
不等关系与不等式
个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式
同向.
（4）性质4说明①在一个不等式的两边同乘一个非 零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负
性；②在性质4的推论中，要注意所有的字母都是正数，
例如，如果仅有a>b,且c>d，就不能推出ac>bd；同时有 两个异号不等式，如a>b>0,0<c<d，也不能推出ac>bd.
返回目录
甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食 （同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮 方式也不同.其中，甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
解：设两次价格分别为a元，b元，则甲的平均价格为
2 000 2ab a b 元，乙的平均价格为 n , m 1 000 1 000 a b 2 a b a b 2ab (a b) 2 m n 0 .∴乙合算. 2 a b 2(a b)
返回目录Biblioteka 1.用数学符号“≠”，“>”,“<”,“≥”,“≤”连接两个 数或代数式，以表示它们之间的不等关 含有这些不等号 系,
.
的式子，叫做不等式.
2.常用不等式的基本性质： （1）a>b ,b>c a > c ; （2）a>b a+c > b+c ; （3）a>b,c>0 ac > bc ; （4）a>b,c<0 ac < bc ; （5）a>b ,c>d a+c > b+d ; （6）a>b>0,c>d>0 ac > bd ; （7）a>b>0,n∈N，n>1 an > bn; > nb . （8）a>b>0,n∈N,n>1 n a
3.1 不等关系与不等式
如果 a + b > c，那么 a > c－b （把两边都加上－b)
性质4：如果 a > b，且 c > d ， 那么 a + c > b + d
推广 到任意有限个同向不等式两边分别相加， 所得不等式与原不等式同向.
性质5
如果 a > b ，且 c > 0，那么 ac > bc ； 如果 a > b，且 c < 0 ，那么ac < bc . 若a > b ，且 c >d，那么 ac > bd ?
a>b b<a
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b b > c a>c
等价命题是：
c<b, b<a c<a
请用＜、＞、=填空： 4___3；4+1___3+1；4+（-2）____3+（-2） 性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c (2) 移项法则：
表示不等关系的式子叫做不等式。
(1) a与b的和是非负数;
(2)在飞云江大桥上：
(3)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出 8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元？
(4)某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm 和600mm两种。按照生产要求, 600mm钢管的数量不能超过500mm钢管 的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的 不等式呢?
不等式与不等关系
不等式与不等关系一、概念引入不等式是数学中的一种重要概念，与等式相对应。
不等式表示了数值之间的大小关系，常用于描述实际问题中的约束和条件。
不等式由不等号连接的两个数或表达式组成，不等号可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）。
二、基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性指若a>b 且b>c，则有a>c。
例如，若3>2 且2>1，则有 3>1。
2. 不等式的加减运算性质若 a>b，则 a+c>b+c。
例如，若 3>2，则有 3+1>2+1。
3. 不等式的乘除运算性质当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc。
例如，若 3>2，则有 3×2>2×2。
当c<0 时，不等号方向反向。
三、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数，并且该未知数的最高次幂为一次的不等式。
例如，2x+3>5、4x-1<10等都是一元一次不等式。
解一元一次不等式的方法包括图解法、试值法和代数法。
图解法将不等式表示在数轴上，利用数轴的方向性确定不等式的解集。
试值法则通过给定一个试探值，并代入不等式中验证是否成立。
代数法则通过一系列的变形和运算，将不等式化简为更简单的形式，从而求得解集。
四、二元一次不等式组二元一次不等式组是指包含两个未知数的一次不等式的系统。
常用于描述平面上的几何关系和约束条件。
解二元一次不等式组一般采用图解法。
将两个不等式表示在二维直角坐标系中，分别确定两个不等式的解集，然后找出二者的交集区域，即为不等式组的解集。
五、不等关系不等关系是用于比较两个不等式的关系。
常见的不等关系包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）以及不等于（≠）。
不等关系可以根据两个不等式之间的关系，利用布尔运算（与、或、非）进行合并和推导。
不等关系与不等式的性质
2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。
在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。
引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。
特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。
如果a>b且b>c，那么a>c。
不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。
不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。
不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。
用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。
03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。
加法单调性也就是不等式方向不变。
乘法单调性积大于每一个因数。
任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。
反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。
不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。
线性不等式未知数是线性组合的不等式。
不等式与不等关系
不等关系与不等式一、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。
如：)()(x g x f >，)()(x g x f ≤等等。
例1：已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的二、掌握实数的运算性质与大小顺序间的关系实数的运算性质：b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0。
例2：已知a 、b 为正实数，试比较a b b a +与b a +的大小。
三、不等式的性质与推论①对称性：a b b a <⇔>；②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0；推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，n n b a n >⇒>1； ⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n n b a n >⇒>1。
主要题型：1．利用不等式的性质证明不等式利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。
解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的几条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。
例3：若0>>b a ，0<c ，求证：bc a c >。
2．利用不等式的性质求取值范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围。
不等关系与不等式介绍
不等关系与不等式介绍不等关系是数学中常用的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系，即比较两个数的大小。
在数学中,不等关系可以表示为"大于"、“小于”、“大于等于”、“小于等于”。
不等关系可以形成不等式，不等式是含有不等号的数学式子。
不等关系是不等式的基础，而不等式则是对不等关系进行了约束。
在不等关系中，常常使用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）来表示。
为方便表达，我们将两个数用变量表示，一般用字母x或y来表示。
例如，若x>y，表示x比y大；若x<y，表示x比y小；若x≥y，表示x大于等于y；若x≤y，表示x小于等于y。
不等关系可以直接表示两个数之间的大小关系，而不等式则将不等关系进行了约束，通过不等式可以表示一系列满足条件的数的范围。
不等式可以分为一元不等式和二元不等式。
一元不等式是只含有一个未知数的不等式，二元不等式是含有两个未知数的不等式。
解不等式即求不等式的解集，即满足不等式条件的变量值的范围。
解不等式的方法与解方程的方法有些相似，但由于不等式的特殊性，有一些注意事项。
对于一元不等式，可以通过将不等式化简为等价的形式，然后求解，在不等式两边施以同一个正数或同一个负数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们可以将其化简为2x>12，再除以2得到x>6，所以该不等式的解集为{x，x>6}。
当不等式左右两边均含有未知数，即为二元不等式时，需要绘制不等式的图形来找出解集。
一般将不等式转化为一元不等式的形式，取出一个未知数，再通过绘制图形来求解。
例如，对于二元不等式2x+3y≤8，我们可以将其转化为一元不等式2x≤8-3y，再通过绘制图形求解。
在绘制图形时，将不等式转化为等式，将未知数看作坐标轴上的变量，找出所有使等式成立的点，再根据不等式的符号来确定图形中的哪些点属于解集。
高中数学(人教a版)不等关系与不等式
不等关系与不等式1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤1．比较两实数a，b大小的依据2．不等式的性质名称式子表达性质1(对称性)a>b⇔b<a性质2(传递性)a>b，b>c⇒a>c性质3(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c推论a＋b>c⇒a>c－b性质4(可乘性)a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bc性质5(不等式同向可加性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d性质6(不等式同向正数可乘性)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd性质7(乘方性)a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)性质8(开方性)a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)比较两数(式)的大小例1.比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2.2．已知a >0，试比较a 与1a 的大小.不等式的性质应用探究1 小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12， 又∵－6<a <8， ∴－2<ab <4.你认为正确吗？为什么？探究2 由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？探究3 你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0{x|x＜x1_或x＞x2}⎩⎨⎧x⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠－b2a R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅解一元二次不等式(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6. 2．解下列不等式：(1)2x2－x＋6>0；(2)(5－x)(x＋1)≥0.解含参数的一元二次不等式例1解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．解含参数的一元二次不等式的一般步骤2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).分式不等式的解法解下列不等式：(1)2－xx＋4>0；(2)x＋1x－2≤2.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．3.f(x)g(x)＞0⇔f(x)g(x)＞0；f(x)g(x)＜0⇔f(x)g(x)＜0；f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；f(x)g(x)≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0. 2．解下列不等式：(1)x－3x＋2<0；(2)x＋12x－3≤1.一元二次不等式的实际应用例1.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系探究1利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？探究2方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？1.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．3．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．课后练习1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________.4．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________.5．解下列不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.1.1 不等关系与不等式
1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；
2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.
3. 会用作差法或作商法比较两个代数式或实数的大小
一、课前准备
复习1：写出一个以前所学的不等关系_________
复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元
______________________
二、新课导学
※学习探究
探究2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_______________
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________
※典型例题
例1 设点A与平面的距离为d，B为平面 上的任意一点，则其中不等关系有______________
例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示
销售的总收入仍不低于20万元呢？
※ 动手试试
练1． 用不等式表示下面的不等关系：
（1）a 与b 的和是非负数_________________
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”_____________________
(3) 如图，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍
例3. 比较2
2x x x --和的大小
2
2
2
,1p q p q px qy +=+例4. 当都为正数且时，
试比较代数式（px+qy ）与的大小
※ 动手试试
2
2
,23,2,P,Q 4
y R P x y Q x ∈=-+=-练习1.已知x,y 试比较的大小
2.1,N a ≥=练习已知试比较
三、总结提升 ※ 学习小结
1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系； 2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题． 3. 会比较代数式的大小. ※ 知识拓展
“等量关系”和“不等量关系”是“数学王国”的两根最为重要的“支柱”，相比较其
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列不等式中不成立的是（ ）. A ．12-≤ B ．12-< C ．11-≤- D ．
2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元 （ ）. A ．300a ≤ B ．300a ≥ C ．300a > D ．300a <
3. 已知0a b +>，0b <，那么,,,a b a b --的大小关系是（ ）.
A ．a b b a >>->-
B ．a b a b >->->
C ．a b b a >->>-
D ．a b a b >>->-
4. 用不等式表示：a 与b 的积是非正数___________
5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间t 在16点到18点之间_______________________
6. 553223,,,a b R a b a b a b a b +∈≠+已知且试比较和+的大小
§3.1.2 不等式的性质
1. 掌握不等式的基本性质；
2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；
3. 会将一些基本性质结合起来应用.
一、课前准备
1．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.
(1)___a b b a >⇒
（2）,___a b b c a c >>⇒
（3）____a b a c b c >⇒++
（4）,0____a b c ac bc >>⇒ ； ,0____a b c a c b c
><⇒
二、新课导学 ※ 学习探究
问题1：如何比较两个实数的大小.
问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下
列性质：
(1),;
(2)0,0;
(3)0,,1n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b +>>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>>
※ 典型例题 例1 比较大小：
（1
）2
6+
（2
）2
21)；
（3
（4）当0a b >>时，12
log a _______12
log b .
变式：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.
例2 已知0,0,a b c >><求证c c
a b
>.
变式： 已知
0a b >>，0c d >>.
例3已知1260,1536,a
a b a b b
<<<<-求及的取值范围.
变式：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.
※ 动手试试
练1. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d ><⇒--；
（2）0,0____a b c d ac bd >><<⇒；
（3）0a b >>⇒；
（4）22
11
0___
a b a b >>⇒.
练2. 已知x >012
x +
.
三、总结提升 ※ 学习小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论.
※ 知识拓展
“作差法”、“作商法”比较两个实数的大小 （1）作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论 （2）作商法的一般步骤：
1比较大小——定论
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x =
C ．()()f x g x <
D ．随x 值变化而变化
2. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >>
3. 已知2
2
π
π
αβ-
≤<≤
，则
2
αβ
-的范围是（ ）.
A ．(,0)2π-
B ．[,0]2π
-
C ．(,0]2π-
D ．[,0)2π
-
4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11
a b
<，③33a b >，④lg lg a b >，其中成立的是 .
5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 .。