2021考研概率统计全考点习题册(第三讲)(1)
2021考研概率论选择专项-数学三(10道选择题及解析答案)
1一级结构：单选题一级结构说明：（1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）##题干：1.[单选题]设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，则{1}P X =为选项：A.0 B.21 C.121--e D.11e --题干：2.[单选题]设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为12，则μ=选项：A.0 B.4 C.2 D.3题干：3.[单选题]设(,)X Y 的概率密度为,01,(,)0,,axy y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它，求a 等于选项：A.2 B.4 C.6 D.8题干：4.[单选题]设A B 、为两随机事件，且0()1P B <<，若()()P A B P A B =，则选项：A.AB =∅ B.A B =C.()()()P AB P A P B = D.A B⊃题干：5.[单选题]设X 为随机变量，若矩阵23202010X ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征值全是实数的概率为0.5，则选项：A.X 服从区间[0,2]上的均匀分布 B.X 服从二项分布(2,0.5)B C.X 服从参数为1的指数分布 D.X 服从正态分布(0,1)N 题干：6.[单选题]设随机变量,X Y 相互独立，且2212(0,),(0,)X N Y N σσ ，则概率{1}P X Y -<选项：A.随1σ与2σ的增加而减少B.随1σ与2σ的减少而减少C.随1σ的增加而增加，随2σ的减少而减少概率论选择专项-数学三（10道选择题）2D.随1σ的增加而减少，随2σ的减少而增加题干：7.[单选题]设随机变量X 服从正态分布(,1)N μ，其分布函数为()F x ，则对任意实数x ，有选项：A.()()F x F x μμ+=- B.()()F x F x μμ+=-C.()()1F x F x μμ++-= D.()()1F x F x μμ++-=题干：8.[单选题]已知随机变量X 的概率密度函数,()(0,)0,x Ae x f x A x λλλ-⎧>=>⎨<⎩为常数，则概率{}(0)P x a a λλ<<+>选项：A.与a 无关，随λ的增大而增大B.与a 无关，随λ的增大而减小C.与λ无关，随a 的增大而增大D.与λ无关，随a 的增大而减小题干：9.[单选题]设随机变量,,X Y Z 两两不相关，方差相等且不为零，则X Y +与X Y -的相关系数为选项：A.12 B.0 C.1- D.1题干：10.[单选题]假如试验E 以概率p 成功，以概率1q p =-失败，分别以Y X 和表示在n 次独立重复试验中成功和失败的次数，则Y X 和的相关系数ρ等于选项：A.1- B.0 C.12 D.13概率论选择专项-数学三答案解析（10道选择题）选择题：1～10小题，每小题10分，共100分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.题号：1.【答案】C 。
第三章 统计 第三讲 几何概率
第三章统计第三讲几何概率【考点透视】一、几何概率1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).二、随机数1．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数.(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”.2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．(2)计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．3．[a，b]上均匀随机数的产生．利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．【经典例题】例1判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)问题3中，求甲获胜的概率．解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．小结判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．例2某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．解如下图所示，设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D ＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.所以P(A)＝dD＝610＝35.故乘客候车时间不超过6分钟的概率为35.小结数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A 的概率．例3 在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM |>|AC |的概率．解 设事件D 为“作射线CM ，使|AM |>|AC |”．在AB 上取点C ′使|AC ′|＝|AC |，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，μA ＝90－75＝15，μΩ＝90，所以P (D )＝1590＝16.小结 几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM 落在∠ACB 内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M 在AB 上的落点不是等可能的．例4 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A ，则事件A 的概率是多少？ 分析1 在例1中，事件A 是哪种类型的事件？答 随机事件．分析2 设X 、Y 为[0,1]上的均匀随机数，6.5＋X 表示送报人到达你家的时间，7＋Y 表示父亲离开家的时间，若事件A 发生，则X 、Y 应满足什么关系？答 7＋Y >6.5＋X ，即Y >X －0.5.分析3 设送报人到达你家的时间为x ，父亲离开家的时间为y ，若事件A 发生，则x 、y 应满足什么关系？答⎩⎨⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤8，y ≥x .分析4 画出上述不等式组表示的平面区域．答分析5 根据几何概型的概率计算公式，事件A 发生的概率为多少？答 试验的全部结果所构成的区域的面积为边长为1的正方形，面积为1；图中的阴影部分面积为1－12×12×12＝78，所以P (A )＝781＝78.分析6 你能设计一种随机模拟的方法近似计算上面事件A 发生的概率吗？答 方法一 (随机模拟的方法)做两个只带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P (A )＝父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数.方法二 用计算机产生随机数模拟试验．X 是0～1之间的均匀随机数，Y 也是0～1之间的均匀随机数．如果Y ＋7>X ＋6.5，即Y >X －0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．在计算机上做M 次试验，查一下Y >X －0.5的Y 的个数，如果为N ，则所求概率为N /M .小结 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．例5 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积． 解 以直线x =1,x =-1,y =0,y =1为边界作矩形, (1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数,a 1＝RAND,b 1＝RAND; (2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积． 例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698，所以P ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影面积S＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.小结解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形，二是由几何概型正确计算概率．【小露一手】同步练习 几何概型一、基础过关1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.13B.12C.310D.5102．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.925B.1625C.310D.153．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.564．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4B ．1－π4C.π8D ．1－π85．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是______． 6．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．7．在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．8．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 二、能力提升9．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )等于( )A.π4B.π2C ．πD ．2π10．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()11．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．12．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？三、探究与拓展13．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．答 案1．C 2．D 3．C 4．B 5.127 6.334π7．解 如图所示，把圆弧AB 三等分，则∠AOF ＝∠BOE ＝30°， 记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都 不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就 落在∠EOF 内， ∴P (A )＝30°90°＝13.8．解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则 两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示的平面直角坐标 系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件 A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概 型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以，两人能会面的概率是716. 9．A 10．A 11.3π612．解 包含两个间谍犯罪信息的录音部分在30 s 到40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0 s 到30 s 之间，全部被擦掉，即在0 s 到40 s 之间，也就是0 min 到23 min 之间的时间按错键时，含有犯错内容的谈话部分或全部被擦掉．记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话部分或全部被擦掉}，A 发生在0 min 到23 min 时间段内按错键． 所以P (A )＝2330＝145.13．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}． 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.同步练习 随机数一、基础过关1．用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数x ，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的线性变换是 ( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝4x ＋1D ．y ＝4x －1 2．与均匀随机数特点不符的是( )A ．它是[0,1]内的任何一个实数B ．它是一个随机数C ．出现的每一个实数都是等可能的D ．是随机数的平均数3．质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为( )A.14B.13C.12D ．以上都不对4．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，海豚离岸边不超过2 m的概率为(注：海豚所占区域忽略不计)( )A.1150B.2125C.2375D.13005．方程x 2＋x ＋n ＝0 (n ∈(0,1))有实根的概率为________．6. 已知右图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．7．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率？(用模拟的方法求解)8．甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，请用随机模拟法估算两人能会面的概率． 二、能力提升9. 如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积约为( )A.43B.83C.23D ．无法计算10. 向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.14B.2536C.25144 D ．111．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S 2的概率为________． 12. 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1所围成的部分)的面积．三、探究与拓展13．将长为l 的棒随机折成3段，求3段能构成三角形的概率．答 案1．D 2．D 3．C 4．C 5.146．33 7．解 方法一 (1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a 1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a ＝a 1]N 1,N )即为概率P (A )的近似值．方法二 做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N 1及试验总次数N ，则f n (A )＝N 1N即为概率P (A )的近似值． 8．解 设事件A ＝{两人能会面}．(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)经过伸缩变换，x ＝x 1]N 1,N )，即为概率P (A )的近似值．9．B 10．C 11.3412．解 (1)利用计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；(2)进行平移和伸缩变换得到一组[－1,1]区间上的均匀随机数和一组[0,2]区间上的均匀随机数；(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件b <2a 的点(a ，b )的个数)；(4)计算频率N 1N，即落在阴影部分的概率的近似值； (5)设阴影面积为S ，则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4. 所以N 1N ≈S 4， 所以S ≈4N 1N即为阴影部分面积的近似值． 13．解 设A ＝“3段能构成三角形”,x ,y 分别表示其中两段的长度,则第3段的长度为l －x －y . 则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x ，y )|0<x <l,0<y <l,0<x ＋y <l }，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x ＋y >l －x －y ⇒x ＋y >l 2， x ＋l －x －y >y ⇒y <l 2，y ＋l －x －y >x ⇒x <l 2. 故所求结果构成集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x ＋y >l 2，y <l 2，x <l 2. 由图可知，所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝12·⎝⎛⎭⎫l 22l 22＝14.。
2021年概率论与数理统计考研真题详解
2021年概率论与数理统计考研真题详解2021年概率论与数理统计考研题库【考研真题精选＋章节题库】目录第一部分考研真题精选一、选择题二、填空题三、解答题第二部分章节题库第1章概率论与数理统计的基本概念第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析•试看部分内容考研真题精选一、选择题1设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1 /4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为（）。
[数一2020研]A．3/4B．2/3C．1/2D．5/12【答案】D查看答案【解析】只发生A事件的概率：只发生B事件的概率：只发生C事件的概率：A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率：故选择D 项。
2设A ，B 为随机事件，则P （A ）＝P （B ）的充分必要条件是（ ）。
[数一2019研]A ．P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）B ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）C ．P （A B ＿）＝P （B A ＿）D ．【答案】C 查看答案【解析】选项A 只能说明事件A 与事件B 不相容，选项B 只能说明事件A 与事件B 相互独立，并不能说明P （A ）＝P （B ）。
对选项D 来说，若令B ＝A ＿，等式恒成立，亦不能说明P （A ）＝P （B ），故选C 。
3设事件A ，B 相互独立，P （B ）＝0.5，P （A －B ）＝0.3，则P （B －A ）＝（ ）。
[数一、数三2014研]A ．0.1B ．0.2D．0.4【答案】B查看答案【解析】P（A－B）＝0.3＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）－0.5P（A）＝0.5P（A），故P（A）＝0.6，P（B－A）＝P（B）－P（AB）＝0.5－0.5P（A）＝0.2。
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义
2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义第1章随机事件和概率一、考研辅导讲义1．随机现象与样本空间（1）随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．（2）样本空间随机现象的一切可能的基本结果，组成的集合，称是由基本结果构成的样本空间，记作，又称样本点．（3）随机事件样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示．注：①随机事件是由样本空间中的样本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单件，称为基本事件．②随机事件既然由样本点组成，因此，随机事件是由基本事件组成．③如果一次试验的结果为某一基本事件出现，就称该基本事件出现或发生．如果组成事件A的一个基本事件出现或发生，也称事件A出现或发生．④把Ω看成一事件，则每次试验必有Ω中某一基本事件（即样本点）发生，也就是每次试验Ω必然发生，称Ω为必然事件．⑤把不包含任何样本点的空集看成一个事件，称为不可能事件．（4）随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z，或者ξ，η等表示．2．事件间的关系（1）包含关系如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为或．（2）事件相等若与同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．（3）互斥事件（互不相容事件）若事件A与事件B满足关系，即A与B同时发生是不可能事件，则称事件A和事件B为互斥或互不相容，即两互斥事件没有公共样本点．注：事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：①若n个事件中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j ＝1，2，…，n，则称这n个事件是两两互斥或两两互不相容．②如果可数无穷多个事件…中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j＝1，2，…，n，…，则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容．【例】对任意两个互不相容的事件A与B，必有（）．A．如果P（A）＝0，则P（B）＝0B．如果P（A）＝0，则P（B）＝1C．如果P（A）＝1，则P（B）＝0D．如果P（A）＝1，则P（B）＝1【答案】C查看答案【解析】．（4）对立事件如果事件A与事件B有且仅有一个发生，则称事件A与事件B为对立事件或互逆事件，记为或．注：①如果A与B为对立事件，则A，B不能同时发生，且必有一个发生，即A、B满足A∪B＝Ω且．②在样本空间中，集合是由所有不属于事件A的样本点构成的集合．【例】设随机事件A和B满足条件，则（）．A．B．C．D．【答案】A查看答案【解析】，所以即而，故，也就有即A∪B＝Ω．3．事件间的运算（1）事件的交（积）如果事件A与事件B同时发生，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交或积，记为A∩B或AB，即集合A∩B是由同时属于A与B的所有公共样本点构成．注：事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（2）事件的并如果事件A与事件B至少有一个发生，则称这样一个事件为事件A与事件B的并或和，记为A∪B，即集合A ∪B是由属于A与B的所有样本点构成．注：事件的并可推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（3）完备事件组如果有限个事件满，且，则称为Ω的一个完备事件组或完全事件组．注：可以推广完备事件组到可数无穷多个事件的情形：且．（4）事件的差事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，记为A－B．即在样本空间中集合A－B是由属于事件A而不属于事件B的所有样本点构成的集合．显然．（5）事件的运算规律交换律结合律分配律对偶律【例】A，B，C为任意三随机事件，则事件（A－B）∪（B－C）等于事件（）．A．A－CB．A∪（B－C）C．（A∪B）－CD．（A∪B）－BC【答案】D查看答案【解析】因，故．而图1-14．概率的概念及基本性质（1）概率的公理化定义设为一个样本空间，F为的某些子集组成的一个事件域．如果对任一事件F,定义在F上的一个实值函数满足：①非负性公理：若F,则，②正则性公理：③可列可加性公理：若互不相容，则，则称为事件A的概率，称三元素F为概率空间．（2）概率性质①；②若两两互斥，则有③；④，则P（A）≤P（B）；⑤0≤P（A）≤1【例】若A，B为任意两个随机事件，则（）．【2015数一、数三】A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】由于，按概率的基本性质，有且，从而．（3）事件独立性设A，B两事件满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称A与B相互独立．注：对n个事件，如果对任意k（1＜k≤n），任意满足等式则称为相互独立的事件．事实上，n个事件相互独立需要个等式成立．（4）相互独立的性质①A与B相互独立A与或与B或与相互独立．将相互独立的n个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则新组成的n个事件也相互独立．【例】设，，为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）．[数三2017研]A．与相互独立B．与互不相容C．与相互独立 D．与互不相容【答案】C查看答案【考点】相互独立【解析】由，得．【例】已知随机事件A，B，C中，满足P（AB）＝1．则事件（）．A．相互独立B．两两独立，但不一定相互独立C．不一定两两独立D．一定不两两独立【答案】A查看答案【解析】讨论事件的独立性，可等价的考虑A，B，C的独立性．因为P（AB）＝1．可知P（A）＝P（B）＝1，而概率等于1的事件与所有的事件相互独立．所以成立：P（AB）＝P（A）P（B）；P（AC）＝P（A）P（C）；P （BC）＝P（B）P（C）．又因P（AB）＝1．所以事件AB与C也相互独立，P（ABC）＝P（AB）P（C）＝P（A）P（B）P（C）．总之A，B，C相互独立．②当0＜P（A）＜1时，A与B独立P（B|A）＝P（B）或成立．③若相互独立，则必两两独立，反之，若两两独立，则不一定相互独立．④当相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的．【例】设随机事件A与B相互独立，且，则（）．A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B查看答案【解析】因为事件A，B相互独立，则．故于是，则．（5）概率的运算公式①加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）＋P （ABC）．②减法公式P（A－B）＝P（A）－P（AB）；③乘法公式当P（A）＞0时，P（AB）＝P（A）P（B|A）；当＞0时，有④全概率公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，有【例】甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中一半白球一半黑球．现从甲袋中任取2球与从乙袋中任取一球混合后，再从中任取一球为白球的概率为（）．A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】设事件A为最后取出的球为白球，事件B为球来自甲袋，显然，为球来自乙袋．且B，构成一个Ω的完备事件组，由全概率公式，因为最后三个球中二个球是从甲袋中来．所以取出的球来自甲袋概率为，当然．，这是因为已知取出的球来自甲袋的条件下，取出的为白球的概率，就相当于从甲中取出一白球的概率，甲中5个球2个为白，故，同理．因为乙中半白半黑，总之⑤贝叶斯公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，且P （A）＞0有【例】设A、B为随机概率，若，则的充分必要条件是（）．[数一2017研]A．B．C．D．【答案】A查看答案【考点】概率公式计算【解析】因为，得，化简得．A项，，因为，所以．5．古典概型、几何概型、条件概率及伯努利试验（1）古典型概率当试验结果为有限n个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，称这种有限等可能试验为古典概型．此时如果事件A由个样本点组成，则事件A的概率称P（A）为事件A的古典型概率．【例】袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．求P｛X ＝1︱Z＝0｝；解：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为．（2）几何型概率当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维，二维或三维等等），以L（Ω）表示样本空间Ω的几何度量（长度、面积、体积等等）．L（Ω）为有限，且试验结果出现在Ω中任何区域的可能性只与该区域几何度量成正比．称这种拓广至几何度量上有限等可能试验为几何概型．此时如果事件A的样本点表示的区域为，则事件A的概率称这种P（A）为事件A的几何型概率．【例】在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为______．【答案】【解析】本题是几何型概率．不妨假定随机地取出两个数分别为X和Y．显然X与Y是两个相互独立的随机变量．如果把（X，Y）看成平面上的一个点的坐标，则由于0＜X＜1，0＜Y＜1，所以（X，Y）为平面上正方形0＜X＜1，0＜Y＜1中的一个点．而X与Y两个数之差的绝对值小于的点（X，Y）对应于正方形中的区域．图1-2在区间（0，1）中随机选取的所有可能的两个数X和Y．这些（X，Y）点刚好是图1-3单位正方形中满足的点的区域，就是图中阴影标出的区域D．根据几何型概率（3）条件概率设A，B为两事件，且P（A）＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．【例】设A、B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则（）．【2016数三】【答案】A查看答案【解析】根据条件得P（AB）＝P（B），则【例】设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P（AB）＝，P＝，则P（AB|）＝______．【答案】【解析】由条件概率的定义知，P（AB︱）＝，其中P（）＝1－P （C）＝1－＝，P（AB）＝P（AB）－P（ABC）＝－P（ABC），由于A，C互不相容，即AC＝Ø，ABC AC，得P（ABC）＝0，代入得P（AB）＝，故将P（）＝和P（AB）＝，代入公式，得P（AB）＝＝．（4）伯努利试验如果试验E只有两个可能的结果：A及，并且P（A）＝p，（其中0＜p＜1），把E独立地重复n次的试验就构成了一个试验，这个试验称作n重伯努利试验，又称n次独立重复试验，并记作B．一个伯努利试验的结果可以记作ω＝（ω1，ω2，…，ωn）其中的ωi（1≤i≤n）的全体就是这个伯努利试验的样本空间Ω，对于ω＝（ω1，ω2，…，ωn）∈Ω，如果ωi（1≤i≤n）中有k个为A，则必有n－k个为，于是由独立性即得如果要求“n重伯努利试验中事件B出现k次”这一事件的概率为【例】设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为．【2016数三】【答案】【解析】根据题意，取球次数恰好为4，则前三次恰好取到三种颜色中的两种，第四次取到剩下一种颜色的球．故前三次中取到的两种颜色取到的次数分别为1次和2次．综上，取球次数恰好为4的概率为【例】在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，则在第n次成功之前恰失败了m次的概率为______．图1-3【答案】【解析】为了分析试验的结构，可以作图形分析：“第n次成功之前失败了m次”这事件意味着第n次成功前有（n－1）次成功和m次失败．总共做了（n ＋m）次试验．最后一次是成功，前n＋m－1次试验中有m次失败和（n－1）次成功，故事件的概率应为。
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==+∞∞-+∞∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰+∞∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞∞-+∞∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰+∞+∞--=002d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)3,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，4)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰+∞+∞--=002d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(⎰+∞+-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式，得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，0≤y 时，0)|(|=y x f Y X ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e 2)|(2|y x y x f x Y X ；同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y 0≤x 时，0)|(|=x y f X Y ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e )|(|y x x y f y X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ，其他，0)|(|=y x f Y X ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其他．,0,10,1,12)|(2|y x y y xy x f Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ，其他，0)|(|=x y f X Y ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他．,0,10,0,1)|(|x x y x x y f X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x yx y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰+∞∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d )3()),((x xx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y x y x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a ay a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-+∞∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---+∞∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f yY X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=102d e12x x ⎰--=12e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰+∞∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰+∞∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰+∞∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e )(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．解：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y xf +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-+∞∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x ⎰⎰+∞--=10d e d e y x b y x)e 1(|)e(|)e (10102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(yy x x -+--=-=⎰e d e e 1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e 1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e 1e1,0,01u u u uu ．。
考研数学三(概率统计)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三（概率统计）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．对任意两个事件A和B，若P(AB)=0，则( )．A．AB=B．C．P(A)P(B)=0D．P(A—B)=P(A)正确答案：D解析：选D，因为P(A—B)=P 知识模块：概率统计2．在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)，≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于( )．A．{T(1)≥t0}B．{T(2)≥t0}C．{T(3)≥t0}D．{T(4)≥t0}正确答案：C解析：{T(1)≥t0}表示四个温控器温度都不低于临界温度t0，而E发生只要两个温控器温度不低于临界温度t0，所以E={T(3)≥t0}，选C．知识模块：概率统计3．设A，B为任意两个不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论正确的是( )．A．B．C．P(AB)=P(A)P(B)D．P(A—B)=P(A)正确答案：D解析：因为A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A—B)=P(A)，选D．知识模块：概率统计4．设A，B为两个随机事件，其中0＜P(A)＜1，P(B)＞0且P(B｜A)=，下列结论正确的是( )．A．P(A｜B)=B．P(A｜B)≠C．P(AB)=P(A)P(B)D．P(AB)≠P(A)P(B)正确答案：C解析：整理得P(AB)= P(A) P(B)，正确答案为C。
知识模块：概率统计5．设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且P(A｜B)+=1，则下列结论正确的是( )．A．事件A，B互斥B．事件A，B独立C．事件A，B不独立D．事件A，B对立正确答案：B解析：由，则事件A，B是独立的，正确答案为(B)．知识模块：概率统计填空题6．设P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，则P(A+B)=________．正确答案：0.8解析：因为P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A+B)=P(A—B)+P(B)=0．8．知识模块：概率统计7．设P(A)=0．6，P(B)=0．5，P(A—B)=0．4，则P(B—A)=________，P(A+B)=________．正确答案：0.9解析：因为P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(AB)=0．2，于是P(B—A)=P(B)一P(AB)=0．5一0．2=0．3，P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．6+0．5一0．2=0．9．知识模块：概率统计8．设事件A，B相互独立，P(A)=0．3，且P(A+)=0．7，则P(B)=__________．正确答案：解析：知识模块：概率统计9．设A，B为两个随机事件，且P(A—B)=0．3，则=__________．正确答案：0.6解析：由P(A—B)=P(A)一P(AB)=0．3及P(A)=0．7，得P(AB)=0．4，则=1一P(AB)=0．6．知识模块：概率统计10．设P(A)=0．4，且P(AB)=，则P(B)=__________．正确答案：0.6解析：因为=1一P(A+B)，所以P(AB)=1一P(A+B)=1一P(A)一P(B)+P(AB)，从而P(B)=1一P(A)=0．6．知识模块：概率统计11．设A，B为两个随机事件，则=__________．正确答案：0解析：知识模块：概率统计12．设P(A)=P(B)=P(C)=，则A，B，C都不发生的概率为________．正确答案：解析：知识模块：概率统计13．设事件A，B，C两两独立，满足ABC=，则P(A)=_________．正确答案：解析：由P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC) 知识模块：概率统计14．有16件产品，12个一等品，4个二等品．从中任取3个，至少有一个是一等品的概率为__________。
(2021年整理)概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题集及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（概率论与数理统计习题集及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 。
1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形。
样本空间是：S= ；(2） 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数。
样本空间是：S= ; 2.（1） 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= 。
(2） 一枚硬币连丢2次, A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：（1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： 。
(3）A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .（4）A 、B 、C 中最多二个发生表示为: 。
（5）A 、B 、C 中至少二个发生表示为： 。
(6）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ,（2）=AB ，(3）=B A ， （4)B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 。
3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则（1） =)(AB P ， （2)()(B A P ）= , （3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 。
概率论与数理统计第3章复习题(含解答)
《概率论与数理统计》第三章复习题解答1. 设Y X ,的分布律分别为且已知0)(=<Y X P ，4)1(=+>Y X P .（1）求),(Y X 的联合分布律；（2）判定Y X ,独立否；（3）求),min(),,max(,321Y X Z Y X Z Y X Z ==+=的分布律.解：(1) 由0)(=<Y X P 知0)1,1()0,1(==-=+=-=Y X P Y X P ，故0)1,1()0,1(==-===-=Y X P Y X P ；由41)1(=+>Y X P 知41)1,1(=-==Y X P .于是可以填写出如下不完整的联合分布律、边缘分布律表格：再由联合分布律、边缘分布律的关系可填出所余的3个空, 得到(2) 41)1,1(=-=-=Y X P ，而2141)1()1(⋅=-=-=Y P X P ，故Y X ,不独立. (3) 在联合分布律中增加0=X 的一行，该行ij p 均取为0，分别沿路径:对ij p 相加, 得2. 设平面区域G 由曲线xy 1=, 直线2,1,0e x x y ===所围成. ),(Y X 在G 上服从均匀分布, 求)2(X f .解：区域G 的面积.2][ln 12211===⎰e e G x dx xS 故),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=其它 ,0 10,1,21),(2x y e x y x f . ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰∞∞-其它,0 1 ,2121),()(210e x x dy dy y x f x f x X , .41)2( =∴Xf 3. 一个电子仪器由两个部件构成，Y X ,分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧>>---=+---其它 0,0 0 ,1),()(5.05.05.0y ,x e e e y x F y x y x(1) 问Y X ,是否独立；（2）求两个部件的寿命都超过千小时的概率.解：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-=∞+=-其它 0, 0 ,1),()(5.0x e x F x F x X , ⎪⎩⎪⎨⎧>-=+∞=-其它 0, 0 ,1),()(5.0y ey F y F y Y , 从而有)()(),(y F x F y x F Y X =, 所以Y X ,相互独立.(2) 由Y X ,相互独立知)]1.0(1)][1.0(1[)1.0()1.0()1.0,1.0(≤-≤-=>>=>>Y P X P Y P X P Y X P.)]1.0(1)][1.0(1[1.005.005.0---==--=e e e F F Y X4. 设),(Y X 的联合概率密度⎪⎩⎪⎨⎧><+=其它 ,0 0,1,2),(22y y x y x f π，⎩⎨⎧≥<=Y X Y X U ,1,0，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=Y X Y X V 3 ,13,0，求：(1) ),(V U 的联合分布律；（2）)0(≠UV P .解：(1) 0)()3,()0,0(00=Φ=≥<====P Y X Y X P V U P p ；432),()3,()1,0(01===<<====⎰⎰OCD OCDS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π； 612),()3,()0,1(10===≥≥====⎰⎰OAB OABS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π； 1212),()3,()1,1(11===<≥====⎰⎰OBC OBCS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π. 于是有联合分布律:(2) 121)0(11==≠p UV P . 5. 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10 ,1),(y x y x f求：(1))21,21(≤≤Y X P ；（2）)21(>+Y X P ；（3）)31(≥Y P ；（4）)21(>>Y Y X P .解：（1）4221),()2,2(21,21=====≤≤⎰⎰⎰⎰≤≤G Gy x S dxdy dxdy y x f Y X P ；（2）=>+)21(Y X P 8721212111),(21=-===⎰⎰⎰⎰>+G Gy x S dxdy dxdy y x f ；（3）=≥)31(Y P 32)311(11),(31=-===⎰⎰⎰⎰≥G Gy S dxdy dxdy y x f ；（4）41211212121)21()21,()21(=⋅=>>>=>>Y P Y Y X P Y Y X P .6. 设),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其它 ,0 2,2010 ,20),(x y x x x xcy x f求：(1) 常数c ；(2) )(x f X ；(3) )(x y f X Y ；(4) )128(=≥X Y P .解：(1) ,25)210(20),(1201020102c dx xcdy xx c dx dxdy y x f xx =-=-==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-.251 =∴c(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-==⎰⎰∞∞-else x x dy x xdy y x f x f x x X0, 2010 ,50202520),()(2.(3) 2010 <<x 时，0)(≠x f X ，)(x y f X Y 有定义，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=--==elsex y xx x x x x f y x f x y f X X Y 0, 2,250202520)(),()( (4) )20,10 (12∈=x ，⎪⎩⎪⎨⎧<<==∴elsey X y f XY 0,126 ,61)12( ，从而 3261)12()128(1288=====≥⎰⎰∞dy dy X y f X Y P X Y .7.解：⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(, 其中⎩⎨⎧<<=其它 x x f X ,0 10 ,1 )(, ⎩⎨⎧<-<=-其它 x z x z f Y ,0 10 ,1 )(.⎩⎨⎧<<-<<⇔⎩⎨⎧<-<<<⇔≠-z x z x x z x x z f x f Y X 11010100)()(. (区域见图示)(1) 10<<z 时, zdx z f zZ =⋅=⎰011)(；(2) 21<≤z 时, z dx z f z Z -=⋅=⎰-211)(11；(3) )2,0(∉z 时, 0)(=z f Z .综上知⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=其它 z z z z z f Z ,0 21 ,210 , )(.8*. 设),(Y X 的联合概率密度⎩⎨⎧<<=-其它,0 0 ,),(yx xe y x f y ，求(1) )21(<<Y X P ,)21(=<Y X P ；(2)Y X Z +=的概率密度；(3) )1),(min(<Y X P .解：(1) ① 102142512121)()()2()2,1()21(22221202102202102---=---=--==<<<=<<-------⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e e e e e dxe e x dx e e x dy xe dx dyxe dxY P Y X P Y X P x x xy x y； ② ⎪⎩⎪⎨⎧≤>===--∞∞-⎰⎰0 0, 0 ,21),()(20y y e y dx xe dx y x f y f y y yY ， 02)2( 2≠=∴-e f Y ，于是⎪⎩⎪⎨⎧<<====--elsex xe xef x f Y x f Y Y X 0, 20 ,22)2()2,()2(22 ，从而 412)2()21(101=====<⎰⎰∞-dy x dx Y x f Y X P Y X . (2) ⎰∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(, 其中2000),(zx xx z x x z x f X <<⇔⎩⎨⎧>->⇔≠-. (区域见图示) (1) 0>z 时, ⎰⎰---==2020)()(z x zzx z Z dx xe e dx xe z f 2)12(zze ze ---+=； (2) 0≤z 时, 0)(=zf Z .综上知⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=--0 ,0 0,)12()(2z z e ze zf z z Z（3）,1(1)1),(min(1)1),(min(≥-=≥-=<Y X P Y X P Y X P1111,12111),(1-∞-∞∞-≥≥-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰edx xe dy xe dxdxdy y x f x xyy x .9*. 设),(Y X 的联合概率密度⎩⎨=其它,0 ),(y x f ，求Y X Z -=的概率密度.解：)()()(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=(1) 0<z 时, 0)()(=Φ=P z F Z ； (2) 0=z 时, 0),()()(0====⎰⎰>=x y Z dxdy y x f X Y P z F(3) 0>z 时, 如图⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+---+--+<<-+==zz x zx y x zz x y x zx y z x Z dy e e dxdy e e dxdxdy y x f z F 0),()(⎰⎰∞--+------+-=zz x z x x z zx x dx e e e dx ee )()1(0z zx z z z xz xe dx e e e dx ee e-∞------=-+-=⎰⎰1)()(202综上知⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0 ,0 0 ,1)(z z e z F z Z , 求导得⎩⎨⎧≤>=-0,0 0,)(z z e z f z Z .10. 设B A ,是两个随机事件, 且,41)(,21)(,41)(===B A P A B P A P 引进随机变量 ⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=不发生当发生当 不发生当发生当 B B Y A A X ,0 ,1 , ,0 ,1.判断下列结论的正误, 并给予分析：（1）B A ,互不相容；（2）B A ,相互独立；（3）Y X ,相互独立；（4）1)(==Y X P ；（5）41)1(22==+Y X P . 解：（1）检验0)(=AB P 是否成立. 事实上0812141)()()(≠=⋅==A B P A P AB P , 故B A ,相容, 原结论错. （2）检验)()()(B P A P AB P =是否成立. 事实上由于41)(,41)(==B A P A P ,.)()()()()( A P B P B A P B P AB P ==∴ 即)()()(B P A P AB P =成立, 故B A ,独立, 原结论对.（3）检验Y X ,的联合分布律与边缘分布律之积是否都相等. 事实上81)(11==AB P p ；838121)()()()(01=-=-=-==AB P B P AB B P B A P p ； 818141)()()()(10=-=-=-==AB P A P AB A P B A P p ；83818381100=---=p . 于是有经检验, Y X ,的联合分布律与边缘分布律之积都相等, 故原结论对.（4）只需正确求出)(Y X P =的值. 事实上0218183)(1100≠=+=+==p p Y X P , 故原结论错. （5）只需正确求出)1(22=+Y X P 的值. 事实上41218183)1(100122≠=+=+==+p p Y X P , 故原结论错.。
概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答
习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。
解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。
解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。
解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。
2023考研概率统计全考点精讲-第三讲 多维随机变量及其分布
第三讲 多维随机变量及其分布【考试要求】1.理解多维随机变量的概念（仅数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布（数一理解；数三掌握），理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的独立性与不相关性的关系.3.掌握二维均匀分布，（数一了解；数三掌握）二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.考点：多维随机变量及其分布1.二维随机变量设，是定义在样本空间上的两个随机变量，称向量为二维随机变量.2.联合分布函数的定义设是二维随机变量，对于任意的实数，二元函数称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数.【注】如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数在处的函数值就是随机点落在如图所示的，以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内（含右边界和上边界）的概率.()X X ω=()Y Y ω=Ω),(Y X ()X ,Y x,y ()(){}{}(,),F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤∆≤≤()X ,Y X Y ()X ,Y (,)F x y ()x,y ()X ,Y ()x,y3. 联合分布函数的性质（1）分别对于变量和是单调不减的.（2）,,,,.（3）分别关于和右连续，即，.（4）随机点落在矩形域上的概率为.【例1】 设二维随机变量()Y X ,的分布函数为(),F x y ，边缘分布函数为()X F x ，()Y F y ，则{},P X x Y y >>等于（ ）（A ）()1,F x y − （B ）()()1X Y F x F y −− （C ）()()(),1X Y F x y F x F y −−+ （D ）()()(),1X Y F x y F x F y ++−),(y x F x y 1),(0≤≤y x F (,)0F y −∞=(,)0F x −∞=(,)0F −∞−∞=(,)1F +∞+∞=),(y x F x y (0,)(,)F x y F x y +=(,0)(,)F x y F x y +=(){}1212,|,x y xx x y y y <≤<≤{}121222211211,(,)(,)(,)(,)0P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=−−+≥考点：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布1. 二维离散型随机变量若二维随机变量全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称是二维离散型随机变量.2. 联合分布律（1）定义 设二维离散型随机变量所有可能取的值为，称 为二维离散型随机变量的分布律或随机变量和的联合分布律.也可以用表格来表示和的联合分布律，如下表所示：（2）性质①； ②.【例1】 袋中有6个球，其中1个红球，2个白球，3个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数，求的分布律.【例2】 已知的分布律为),(Y X ),(Y X ),(Y X (),,,1,2,ijx y i j ={,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====),(Y X X Y X Y 0ij p ≥111iji j p∞∞===∑∑Y X ,),(Y X ),(Y X的分布函数为，则，. 3. 边缘分布律若二维离散型随机变量的概率分布为，则分别称， ，为关于和关于的边缘分布律.【例3】 袋中有6个球，其中1个红球，2个白球，3个黑球，有放回地从袋中取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数. 求的边缘分布律.【例4】 设随机变量101~(1,2)111424i X i −⎛⎫ ⎪=⎪⎝⎭，且12(0)1P X X +==，则12()P X X ==（ ）（A ）0 （B ）14 （C ）12（D ）1 4. 条件分布律设二维离散型随机变量的分布律为，(),X Y (),F x y 1,1____2F ⎛⎫= ⎪⎝⎭10,_____2P X Y ⎧⎫≥>=⎨⎬⎩⎭),(Y X (){,},1,2,i j ij P X x Y y p i j ===={}{,}i i ij i jP X x P X x Y p p •===<+∞==∑1,2,i={}{,}j j ij j iP Y y P X Y y p p •==<+∞===∑1,2,j=),(Y X X Y Y X ,),(Y X ),(Y X {,}i j ij P X x Y y p ===(),1,2,i j =对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律.同理，对于固定的，若，则称为在的条件下随机变量的条件分布律.j()1,2,j ={}0j P Y y =>{}{}{}12•========i j ij i j jj P X x ,Y y p P X x Y y ,i ,,p P Y y j Y y =X i ()1,2,i ={}0i P X x =>{}{}{}12•========i j ij j i i i P X x ,Y y p P Y y X x ,j ,,P X x p i X x =Y考点：二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度1. 二维连续型随机变量设二维随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数()f x,y ，使得对于任意,x y ，有(,)(,)d d xyF x y f u v u v −∞−∞=⎰⎰，则称()X ,Y 为二维连续型随机变量，称函数()f x,y 为二维随机变量()X ,Y 的概率密度或随机变量X 和Y 的联合概率密度.2. 联合概率密度的性质 （1）. （2）.（3）若在点处连续，则. （4）设是平面上的区域，点落在内的概率为.【例1】 设的概率密度为，求：（1）常数的值；（2）. 3. 边缘概率密度若二维连续型随机变量的概率密度为，则分别称，为关于和关于的边缘概率密度.4. 条件概率密度设二维连续型随机变量的概率密度为，关于的边缘概()0f x,y ≥()(,),1f x y dxdy F +∞+∞−∞−∞=+∞+∞=⎰⎰(,)f x y ()x,y 2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂G xoy ()X ,Y G {}(,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰()X ,Y (),01,0,Cx x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他C 1,12P X Y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭),(Y X (),f x y ()(),X f x f x y dy +∞−∞=⎰()(),Y f y f x y dx +∞−∞=⎰),(Y X X Y ),(Y X (),f x y ),(Y X Y率密度为. 若对于固定的，，则称为在的条件下的条件概率密度，记为.类似地，若对于固定的，，则称为在条件下的条件概率密度.【例2】 设的概率密度函数为，求：（1）；（2），.【例3】 设随机变量，当给定时，随机变量的条件概率密度为， （1）求和的联合概率密度； （2）求边缘概率密度.()Y f y y ()0Y f y >()(),Y f x y f y Y y =X ()()()X|Y Y f x,y f x |y f y =x ()0X f x >()()()Y|X X f x,y f y |x f x =x X =Y ),(Y X (),0,0,y e x yf x y −⎧<<=⎨⎩其他()(),X Y f x f y ()Y|X f y |x ()X|Y f x|y ()~0,1X U X x =Y ()100Y|Xx,y f y |x x ,⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他X Y (),f x y ()Y f y考点：随机变量的独立性1.定义 设及，分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数. 若对于任意实数，有，则称随机变量和相互独立.当是离散型随机变量时，和相互独立的充要条件是.当是连续型随机变量时，和相互独立的充要条件是.【注】证明两个随机变量不独立的方法：若存在00,y x ，使得{}{}{}0000,y Y P x X P y Y x X P ≤≤≠≤≤，则与不相互独立.2.性质 若和相互独立，是连续函数，则相互独立.【例1】 设随机变量与独立同分布，且，则下列等式成立的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【例2】 设的密度函数为，问和是否独立？(,)F x y ()X F x ()Y F y ),(Y X ,x y (,)()()X Y F x y F x F y =X Y ),(Y X X Y ()12ij i j p p p i,j ,••=⋅=),(Y X X Y ()()()()X Y f x,y f x f y x R,y R =∈∈X Y X Y ()(),g t h t ()(),g X h Y X Y {}{}2111===−=X P X P {}41==Y X P {}21==Y X P {}410==+Y X P {}411==XY P ),(Y X (),0,0,y e x yf x y −⎧<<=⎨⎩其他X Y考点：常见二维随机变量的分布1.二维均匀分布 若二维随机变量具有概率密度，其中为平面上的有界区域，的面积为，则称在上服从均匀分布.2.二维正态分布（1）定义 若二维随机变量的概率密度（数一了解；数三掌握）为，其中均为常数，且，则称服从二维正态分布，记为.（2）性质 若()()221212X ,Y ~N ,;,;μμσσρ，则 ①()211X ~N ,μσ，()222Y ~N ,μσ；②和相互独立的充分必要条件是；③仍服从正态分布；④令⎩⎨⎧+=+=Y b X a V Yb X a U 2211，当02211≠b a b a 时，()V U ,服从二维正态分布.【注】若()211X ~N ,μσ，()222Y ~N ,μσ且独立，则服从二维正态分布，且仍服从正态分布.【例1】 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，求.),(Y X ()()1,,,0,x y Gf x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他G G A ),(Y X G ),(Y X ()()()()()()22112222211221221x x y y f x,y μμμμρσσσσρ⎧⎫⎡⎤−−−−⎪⎪=−−+⎢⎥⎨⎬−⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,x y R ∈1212,,,,μμσσρ120011,,σσρ>>−<<),(Y X ()()221212X ,Y ~N ,;,;μμσσρX Y 0ρ=()220aX bY a b ++≠,X Y (),X Y ()220aX bY a b ++≠),(Y X {}01,D x y x =<<<()x y f X Y ||【例2】 设二维随机变量，则. 【例3】（课后作业）设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布()0;1,1;0,1N ，则{0}____.P XY Y −<=()()00110X ,Y ~N ,;,;0_____X P Y ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭考点：二维随机变量函数的分布1.Y X ,均为离散型随机变量情形一：二维离散型→一维离散型 即：()=,Z g X Y . 做法：找出Z 全部可能的取值，求出相应的概率.情形二：二维离散型→二维离散型 即：()()12=,,,U g X Y V g X Y =，(),U V 为二维离散型随机变量. 做法：找出U 和V 的全部可能取值，画出表格，求出相应的概率.【例1】 设二维随机变量的分布律为求的分布.【例2】 设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为1(),(1,2,3)3P i i ξ===，又设max{,}X ξη=，min{,}Y ξη=.求(,)X Y 的联合分布律.2.X 和Y ，一个离散型随机变量，一个连续型随机变量做法：有限可加性或全概率公式【例3】 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从标准正态分布，且Y 的分布律为1(0)(1)2P Y P Y ====. 求的概率密度. 3.Y X ,均为连续型随机变量设二维连续型随机变量的概率密度为.（1）若()=,Z g X Y 为离散型随机变量，求Z 的分布律. 做法：找出Z 全部可能的取值，求出相应的概率.),(Y X Z X Y =+Z X Y =+),(Y X (,)f x y（2）若为连续型随机变量，则随机变量的分布函数为，. 进而的概率密度为.（3）四类重要的二维随机变量函数的分布（均是“推广的卷积公式”的特例） ①=Z X Y +的分布（和的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z X Y +的概率密度为：()()(),,Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞−∞−∞=−=−⎰⎰. 若和相互独立，则有卷积公式：()()()()()Z X Y X Y f z f x f z x dx f z y f y dy +∞+∞−∞−∞=−=−⎰⎰.②=Z X Y −的分布（差的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z X Y −的概率密度为：()()(),,Z f z f x x z dx f y z y dy +∞+∞−∞−∞=−=+⎰⎰若和相互独立，则有：()()()()()Z X Y X Y f z f x f x z dx f y z f y dy +∞+∞−∞−∞=−=+⎰⎰.③=Z XY 的分布（积的分布）设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=Z XY 的概率密度为：()11,,||||Z z z f z f x dx f y dy x x y y +∞+∞−∞−∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 若和相互独立，则有：()()()11||||Z X Y X Y z z f z f x f dx f f y dy x x y y +∞+∞−∞−∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.④=XZ Y的分布（商的分布） 设二维连续型随机变量(),X Y 的概率密度为(),f x y ，则=XZ Y的概率密度为： ()()||,Z f z y f yz y dy +∞−∞=⎰.若和相互独立，则有：()()()||Z X Y f z y f yz f y dy +∞−∞=⎰.【注】推广的卷积公式：设随机变量()Y X ,的概率密度为()y x f ,，()Y X g Z ,=.(,)Z g X Y =(,)Z g X Y =()()(),,Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰z R ∈Z ()()Z Z f z F z '=X Y X Y X Y X Y【例4】 设二维随机变量服从上的均匀分布，令，求的概率密度.【例5】 设二维随机变量的概率密度为，求的概率密度. 4.最值的分布设相互独立，它们的分布函数分别是(),1,2,,i X F x i n =，则及的分布函数分别为： ，.特别地，当相互独立且具有相同分布函数时，有，.【例6】 设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则(),X Y {}10,10≤≤≤≤=y x D ||Y X Z −=Z (),X Y ()2,01,01,0,x y x y f x y −−<<<<⎧=⎨⎩其他Z X Y =+12,,,n X X X {}12max ,,,n M X X X ={}12min ,,,n N X X X =()12max ()()()n X X X F z F z F z F z =()12min 11()1()1()n X X X F z F z F z F z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦12,,,n X X X ()F x ()[]max ()nF z F z =()[]min 11()nF z F z =−−max{,}Z X Y =的分布函数为（ ）（A ）2()F x （B ）()()F x F y （C ）21[1()]F x −− （D ）[1()][1()]F x F y −−.【例7】 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，),min(Y X V =. 求V 的概率密度()v f V .。
概率论与数理统计课程第三章练习题及解答
第三章 多维随机变量及其分布一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、若X ，Y 均服从正态分布，则（X ，Y ）服从二维正态分布 （ × ）2、随机变量（X ，Y ）的概率密度为22,1(,)0,k x y f x y ⎧+≤=⎨⎩其它，则π1=k （√ ）3、有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
（√） 二、单选题1、随机变量X ，Y 相互独立且~(0,1)X N ，~(1,1)Y N ，则下列各式成立的是( B )A ．21}0{=≤+Y X P ； B ．21}1{=+≤Y X P ； C ．21}0{=≥+Y X P ； D ．-≤=1{1}2P X Y 。
分析 因X ，Y 相互独立，它们又都服从正态分布，因此X +Y 与X -Y 也都服从正态分布，且(1,2)X Y N + ，(1,2)X Y N --，由于1{1}(0)2P X Y +≤=Φ=Φ=，选B2、设随机变量21,X X 的分布律为：101111424iX p- i =1,2且满足1}0{21==X X P ，则==}{21X X P ( A )A ．0；B ．41；C ．21； D ．1。
分析 从1}0{21==X X P ，可知12{0}0P X X ≠=，即12121212{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0P X X P X X P X X P X X =-=-==-====-==== 根据联合分布与边缘分布的关系，求出21,X X 的联合概率分布12121212{}{1,1}{0,0}{1,1}0P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+===，选A 3、设随机变量X ，Y 相互独立且同分布：1{1}{1}2P X P Y =-==-=，1{1}{1}2P X P Y ====，则下列各式成立的是( A )A ．1{}2P X Y ==； B ．{}1P X Y ==； C ．1{0}4P X Y +==； D ．1{1}4P XY ==。
2021研究生考试数学概率论习题解析及答案
注意到 (AB)( AB) .故有 P (AB)=P (A)－P (A B )=0.7－0.5=0.2
4 43
3
ห้องสมุดไป่ตู้
9 16
对 A3：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3 个球，选法有 4 种)
P( A3 )
4 43
1 16
9 一俱乐部有 5 名一年级的学生，2 名二年级的学生，3 名三年级的学生，2 名四年级的 学生 （1）任选 4 人，求一、二、三、四年级各一人的概率； （2）任选 5 人，求一、二、三、四年级均包含在内的概率； 解答：
1
解答：
（1）记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A
∵10 人中任选 3 人为一组：选法有 C130 种，且每种选法等可能。又事件 A 相当于：有一 人号码为 5，其余 2 人号码大于 5（在 6,7,8,9,10 中选 2 个）。这种组合的种数有1 C52
∴ P(A)
C52 C130
1 12
（1）记“恰有 90 个次品”为事件 A
∵在
1500
个产品中任取
200
个，取法有
1500
200
种，每种取法等可能
200
个产品恰有
90
个次品，取法有
400 90
1100
110
种
4001100
∴
P( A)
2021考研概率统计全考点习题册（第一讲）（1）
2021考研概率统计全考点习题册（第一讲）（1）第一讲随机事件与概率1.1 对于任意两个事件A 和B ，与AB B =不等价的是（）（A ）A B ?（B ）B A ?（C ）AB =?（D ）AB =?1.2 设,A B 为随机事件，()()43==B P A P ，则()41=?B A P 成立的一个充分条件为（）（A ）A,B 相互独立（B ）A B =（C ）A B =Ω（D ）AB =?1.3 设随机事件,,A B C 两两独立, 其概率均为(01)p p <<, 若AB C =Ω, 且AB C ?, 则p =（）（A ）14 （B ）13 （C ）12（D ）无法确定1.4 设随机事件A 与B 相互独立, A 与C 相互独立, BC =?, 若1()()2P A P B ==，1()4P AC AB C =, 则()P C =_________. 1.5 设袋中装有7个白球和3个黑球，依次不放回的取出三个球，则已知第三次取出黑球，求前两次取出的球颜色不相同的概率.1.6 从n 双不同的鞋子中任取()n r r <22只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子.1.7 两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一个人半小时以上的概率.1.8 在区间中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为. 1.9 设随机事件，，，若互不相容，则.(0,1)56,A B ()0.5P A =()0.8P A B ?=,A B ()P B =1.10 已知两个随机事件满足，且，则 .1.11 若，且，，求 .1.12 已知，，1()()16P AC P BC ==，则事件,,全不发生的概率为 .1.13 已知，求.1.14 已知且，则下列选项成立的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）1.15 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .1.16 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。
考研辅导资料(概率统计分册)(含习题解析)
2021年高考数学三轮复习试题汇编 专题7 概率与统计第3讲 统计与统计案例(B卷)理(含解析)
2021年高考数学三轮复习试题汇编专题7 概率与统计第3讲统计与统计案例（B卷）理（含解析）一、选择题（每题5分，共30分）1．(xx·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·4)若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A．91 5.5 B．91 5C．92 5.5 D．92 52．(xx·聊城市高考模拟试题·6)利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150，250]内的户数为（）A．46 B．48C．50 D．523. (xx·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·4)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:根据下表可得回归方程中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）A.112.1万元B.113.1万元C.113.9万元D.111.9万元4.（xx·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·6）5.(xx·济宁市5月高考模拟考试·5)6.（xx·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·4）8．（xx·陕西省安康市高三教学质量调研考试·3）五位同学在某次考试的数学成绩如茎叶图：则这五位同学这次考试的数学平均分为（）A．88 B．89 C．90 D．91二、非选择题(60分)9．（xx·武清区高三年级第三次模拟高考·9）书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书本．10．(xx·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·11)某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．11．(xx.绵阳市高中第三次诊断性考试·13)右图是绵阳市某小区100户居民xx年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方方图的一部分，则该小区xx年的月平均用水量的中位数的估计值为12．(xx.南通市高三第三次调研测试·4)为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则n的值为．13．(xx.菏泽市高三第二次模拟考试数学（理）试题·13)采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A ，编号落入区间[301，495]的人做问卷B ，编号落入区间[496，60]的人做问卷C ,则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．14．（xx ·南京市届高三年级第三次模拟考试·5）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．15. ( 徐州、连云港、宿迁三市xx 届高三第三次模拟·3)如图是某市xx 年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准，污染指数在区间内，空气质量为优；在区间内，空气质量为良；在区间内，空气质量为轻微污染；由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.16．(xx ·盐城市高三年级第三次模拟考试·5)某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ．17.（xx ·漳州市普通高中毕业班适应性考试·13）某校高三（1）班的一次数学测试成绩甲 乙 8 9 7 8 9 3 1 0 6 9 7 8 9 （第5题图）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为．（2）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在［90，100］之间的概率为．18. （xx·海南省高考模拟测试题·19）（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人．（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为，求的分布列和数学期望. 19．(江西省九江市xx届高三第三次模拟考试·18)（本小题满分12分）如图所示的茎叶图为甲、乙两家连锁店七天内销售额的某项指标统计：（1）求甲家连锁店这项指标的平均数、中位数和众数，并比较甲、乙两该项指标的方差大小；（2）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了7次（有放回选取），设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的数学期望．专题7 概率与统计第3讲 统计与统计案例(B 卷)参考答案与解析1.【答案】A【命题立意】本题旨在考查茎叶图．【解析】由茎叶图可知这8所中学学生得分的成绩分别为：，从而平均数为：，方差为：()()()()()()()()2222222287918891909191919291939193919491 5.58-+-+-+-+-+-+-+-=故选：A2.【答案】D【命题立意】本题主要考查频率分布直方图中频数，频率的有关知识。
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（2）设有 a 的二次方程为 a2 + 2Xa + Y = 0 ，求 a 有实根的概率. 结果用 表示.
3.20
设二维随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为
f
(x,
y)
=
2e−x ,0 y
0, 其他
x
，
0
.
（1） X 和 Y 是否相互独立？（2）求 fY|X (y | x)和 f X|Y (x | y)；（3）求
f
( x,
y)
=
4xy, 0 x 1, 0 0, 其他.
y
1, ，求(
X
,Y
) 的分布函数.
公众号：给力考研资料
3.27 设随机变量 X 的概率分布为 X
−1 0
1
1
4 2
1
1
，Y
的概率分布为
4
0 1
Y
1
1
，且 P(XY
= 0) =1.
求 (X ,Y ) 的概率分布.
2 2
3.28
3.12 设二维随机变量 (X ,Y ) 关于Y 的条件概率密度为
f X |Y
(x|
y) =
3x2
y3
,0
0, 其他
x
y ，Y
的边缘概率密度为
fY
( y)
=
5y4, 0 0, 其他
y
1
，
求：（1） (X ,Y ) 的概率密度 f ( x, y) ；（2）关于 X 的边缘概率密度 fX ( x) ；
其中
0,
0 是常数.
引入随机变量 Z
=
1, X 0, X
Y Y
.
（1）求条件概率密度 fX|Y ( x | y ) ；（2）求 Z 的分布律和分布函数.
3.24 设相互独立的两个随机变量 X ,Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为
X
0
1
P
1/2
1/2
则随机变量 Z = max ( X ,Y ) 的分布律为__________.
=
3x
2
,
0,
0 x 1， else
在给定 X = x (0 x 1) 的条件下，Y 的条件概率密度为
3y2
( ) fY X
yx
=
x3
,
0,
0 yx. else
（1）求 ( X ,Y ) 的概率密度 f ( x, y) ；（2）求Y 的边缘概率密度 fY ( y) ；
（3）求 PX 2Y ．
= −1= PY
= 1= 1 .
2
（1）令 Z
=
XY ，求 Z 的概率密度
fZ (z)；（2）
令 Z = X (Y +1) ，求 Z 的分布函数.
3.23 设 X ,Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
fX
(
x)
=
e−x , x 0 0, x 0
，
fY
(
y)
=
e−y , y 0
，
0, y 0
（3）条件概率密度
fY|X
(y |
x)
；（4）
P
X
1
2
.
公众号：给力考研资料
3.13 设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从二维正态分布 N 2,1;4,9; 1 ,则
3
PX Y + 4= ______ .
3.14 设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ，则
3.8 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
公众号：给力考研资料
f (x, y) = Ae−2 x 2 +2xy−y 2 ， − x +, − y +
( ) 求常数 A 以及条件概率密度 fY X y x .
3.9
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量， X
的边缘概率密度
fX
(
x
)
设随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f (x, y) =
1
+
xy
,
|
4
0,
x | 1,| y | 1 其它 ，问
（1） X 和 Y 是否相互独立？
（2） X 2 和 Y 2 是否相互独立？
3.29 在 (0, a)线段上随机投掷两点，记为 X ,Y ，即有 (X ,Y ) 的概率密度为f源自(x,值为.
3.7
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
e−x , 0 y
f (x, y) = 0,
else
x ，求
（1）X ,Y 的边缘概率密度 fX (x), fY ( y) ；（2）条件概率密度 fY|X (y | )x ，f X|Y (x | y)；
（3） X 和 Y 是否相互独立？
3
密度为
fY ( y)
=
1, 0 y 1 0,其它 ，记 Z
=
X
+Y
，求：（1） P Z
1 2
|
X
=
0 ；（2）
Z 的密度函数 fZ ( z ) .
3.32
设 X1, X 2 , X 3 独立同分布，概率密度均为
f
3x2
(
x;
)
=
3
,0 x
，其中
0 , 其他
公众号：给力考研资料
(0, +) ，令T = maxX1, X2, X3 . 求T 的概率密度.
于 X 和关于Y 的边缘分布律中的部分值，试将其余数值填入表中空白处.
Y X
y1
y2
y3
pi•
x1
1 8
x2
1 8
p• j
1 6
1
3.19 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在区间 (0,1) 上服从均匀分布，Y
的概率密度为
fY
(
y)
=
1
2
−
e
y 2
,
y
0，
0, y 0
（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；
y)
=
1 a2
,0
x
a,0
y a ，试求两点间的距离 Z
=
X
−Y
的概率密度.
0, else
3.30 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 服从参数为1的指数分布，Y 的分布律为
PY = 1= PY = 2= 1 ，求 PY X ； PXY 1.
2
3.31 设 X 和Y 相互独立， X 的分布律为 PX = i = 1 (i = −1, 0,1) ， Y 的概率
第三讲 多维随机变量及其分布
3.1 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y
在1 X 中等可能地取一整数值，求 ( X ,Y ) 的分布律.
3.2 设 10 件产品中有 2 件一级品，7 件二级品，1 件次品. 从中任取 3 件，用 X 表
示其中的一级品数，用Y 表示其中的二级品数，求 ( X ,Y ) 的分布律与边缘分布律.
Z = 2X + Y 的概率密度 fZ (z).
( ) 3.21 设随机变量 X ,Y 相互独立，它们都服从正态分布 N 0, 2 ，求 Z = X 2 + Y 2
的概率密度.
公众号：给力考研资料
3.22 设随机变量 X 与Y 相互独立， X ~ N (0,1) ，Y 为离散型随机变量，其分布
律为 PY
（）
（A） P{X + Y 0} = 1 2
（B） P{X + Y 1} = 1 2
（C） P{X − Y 0} = 1 2
（D） P{X − Y 1} = 1 2
3.15 已知二维离散型随机变量 (X ,Y ) 的概率分布为
Y
−2
1
2
X
1 −1
6 1 0 12 1 1 6
1
1
6
12
1 0
12
1
1
6
12
令U =| X |,V = Y 2 ，求 (U ,V )的联合分布律以及U ,V 的边缘分布律.
3.16 随机地掷三次硬币，随机事件 A 表示前两次中恰好一次正面，B 表示三次中恰
好一次正面，令
X
=
10,,AA发不生发生，Y
=
1, B发生 0, B不发生
.
（1）求 ( X ,Y ) 的分布律；（2）当Y = 1 时，求 X 的条件分布律；（3） X 和Y 是否
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相互独立？（4）令 Z = X 2 + Y 2 ，求 Z 的分布律.
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3.17
设随机变量 X
和Y
分别服从
B
1,
1 4
和
B
1,
1 6
，已知
Cov
(
X
,Y
)
=
1. 24
求：（1） ( X ,Y ) 的分布律；（2） X 和Y 的相关系数；（3） PXY = 0 .
3.18 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布律及关
3.5
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
kx, 0
f
(x,
y)
=
0,
x y 1, 其它
（1）求常数 k ；（2）计算 P{X + Y 1}.
3.6 设平面区域 D 由曲线 y = 1 及直线 y = 0, x = 1, x = e2 所围成，二维随机变量 x