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第十六讲金属中自由电子气模型
- - -（ 7）
3(z L) = 3(z)
用 通 解 的 前 一 种 表 示 ， 分 别 假 定 波 沿 x,y,z 负 方 向 传 播 ， 可 得
波矢：
kx =
2n x L
ky
=
2n y L
kz
=
2n z L
（ 8）
单
电
子
波
函
数
（n ：ψ
x, (x
ny, ,y,z
n )
z
为正 = 1(
负整
x ) 2 (
此时费密-狄喇克统计分布为 （见图 p112 图 6.3）
1
lim T 0
f ( E ,T ) 0
E (0) E (0)
其 中 μ (0)为 绝 对 零 度 时 的 化 学 势 。
- - (17)
电 子 气 基 态 ：能 量 在 μ (0)以 下 的 状 态 全 被 电 子 占 满 ，能 量超 过 μ (0)
第十六讲 金属中自由电子气模型
第六章 金属电子论 问题：对金属中相互作用、运动着的大量电子，怎样进行理论处理？
如何从理论上说明电子对金属优良的电导、热导和比热的贡献？ 如何从电子的运动状态解释电子热发射、光电效应和场电子发 射等重要现象？ 本章用 量子的电子气体模型： 金属中的价电子组成电子气体（就象气体分
见 p112 图 6.3 f(E,T) ～ E 曲线
T > 0,
在
kBT
f
(,T
)
1 2
范围内，f (E,T )从 1下降到 0
由能态密度公式（13）
g(E) CE1/ 2
和公式（14）
C 4 ( 2m)3/ 2
h2
金属自由电子气模型ppt课件
2k 2 E 2m
为波矢量.
E是电子的能 量本征值 P为电子的动 量本征值
p k
16
周期性边界条件
在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位 置受金属边界的限制 (r Lx ) (r ) (1) 周期性边界条件： (r Ly ) (r ) (2) (r Lz ) (r ) (3)
金属的电导率
有外电场时金属中自由电子的运动规律 (1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度; (2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度; (3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。 这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。
eE v a =me 1 v平 = v 2 j nev平 j E
3
经典电子自由理论
1900年，特鲁德首先将金属 中的价电子与理想气体类比，提 出了金属电子气理论。 • 1904年，洛伦兹将麦克斯韦玻耳兹曼统计分布规律引入电子 气，据此就可用经典力学定律对 金属自由电子气体模型作出定量 计算。 • 这样就构成了特鲁德-洛仑兹 自由电子气理论，称为经典自由 电子理论
10
魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系
(洛仑兹关系)
实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律
在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比 正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
2 C e,V v l e m v kB LT 2 2 3 ne l 2m v e
12
关于电阻率的思考
由之前的推导可以 得到：
E m 1 e e J ne vd ne (a ) n ne2
为波矢量.
E是电子的能 量本征值 P为电子的动 量本征值
p k
16
周期性边界条件
在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位 置受金属边界的限制 (r Lx ) (r ) (1) 周期性边界条件： (r Ly ) (r ) (2) (r Lz ) (r ) (3)
金属的电导率
有外电场时金属中自由电子的运动规律 (1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度; (2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度; (3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。 这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。
eE v a =me 1 v平 = v 2 j nev平 j E
3
经典电子自由理论
1900年，特鲁德首先将金属 中的价电子与理想气体类比，提 出了金属电子气理论。 • 1904年，洛伦兹将麦克斯韦玻耳兹曼统计分布规律引入电子 气，据此就可用经典力学定律对 金属自由电子气体模型作出定量 计算。 • 这样就构成了特鲁德-洛仑兹 自由电子气理论，称为经典自由 电子理论
10
魏德曼—弗兰兹定律
1.电导率和热导率之间的关系
(洛仑兹关系)
实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律
在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比 正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
2 C e,V v l e m v kB LT 2 2 3 ne l 2m v e
12
关于电阻率的思考
由之前的推导可以 得到：
E m 1 e e J ne vd ne (a ) n ne2
金属自由自由电子气体模型及基态性质解析PPT课件
v p k mm
2k2 1 m 2m 2
2k 2 m2
1 mv2 2
即电子的能量和动量都有经典对应，但是，经典中的平面 波矢k可取任意实数，对于电子来说，波矢k应取什么值呢？
4.波矢k的取值
波矢k的取值应由边界条件来确定
边界条件的选取，一方面要考虑电子的实际运动情况（表面和内部）；另一方 面要考虑数学上可解。
4π
k2
d
k
E dE ky
dZ
2
V
2π 3
4π
2m
2
m d 2 2m
E
kx
4πV
2π 3
(2 m )3 2 1 2
3
d
3
4πV
2m h2
21
2d
N ( )
dZ
C
1 2
d
其中
C
4πV
2m h2
3
2
第24页/共30页
法3. 在k空间自由电子的等能面是半径
k 2mE 的球面，
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开 金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。
二者的一致性，表明周期性边条件的合理性
由周期性边界条件：（讲解以下推导过程）
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
V
(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数):
k
1 k
1
( 2 )3
L3
(2 )3
V
8 3
L
注意量纲
第14页/共30页
三、基态和基态能量 1.N个电子的基态、费米球、费米面 电子的分布满足：能量最小原理 和 泡利不相容原理
05 金属自由电子气体模型
ε mol
=
N
A
⎜⎛ ⎝
3 2
k
BT
⎞⎟ ⎠
=
3 RT 2
一价金属：CVe ,mol
=
∂ε mol ∂T
=
3R 2
高温时金属的总比热容：
CV
=
C Ph V ,mol
+ CVe ,mol
= 3R + 3 R ≈ 37.40J / mol ⋅ K 2
实际
Ce V，mol
小于经典值
量子：
CVe
~
T TF
常温下：电子的贡献比例很小
kx
=
2π L
nx
ky
=
2π L
ny
kz
=
2π L
nz
nx , ny , nz--一组整数
自由电子的能量是不连续的，相邻能级相距很近. 5 kv空间与态密度 (k-space) 电 的子 端的 点状 代态 表由 一波 个矢可确 能定 的。kv 在 值。kv空相间邻中 代， 表每 点一 在波 三矢 维坐kv
vy
=
−
eτ m
Ey
+
ωcτv x
ωc
=
eB m
--回旋频率
vz
=
−
eτ m
Ez
30
5
Jv = −nevv σ = ne2τ m
σ 0 E x = J x + ωcτJ y σ 0 E y = −ωcτJ x + J y
4.4 霍尔效应和磁阻
长方体样品, 沿x轴施加外电场Ex, 存在电流Jx, 在z轴 加磁场B后, 产生洛仑兹力在负y方向作用到电子上.
+1
金属自由电子理论55页PPT
金属自由电子理论
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
金属自由电子理论.ppt
二、金属的热容
低温下，由德拜模型得到晶格热容为：
5cT ( J mol K )
1 2 V
4
T 12 3 c Nk bT V B 5 D
4 3
3
2
1
KCl
低温下金属总的比热容为:
3 c c c T bT V V V e c
C
u
3.2 自由电子的量子理论
一、波函数与能级
薛定谔方程： 平面波形式的解 :
2 2 E 2 m
i k r ( r ) e 0
其中 r 为电子的位置矢量， k 为波矢量.
2k 2 E 2m
p k
上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的 群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制.
将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得：
e
ikxLx
1
同理有：
能级
2 2 2 n n 2 2 n y x E (2 2 z ) 2 m L L L x y z
2 k n ,n 0 , 1 , 2 , x x x L x 2 k n ,n 0 , 1 , 2 , y y y L y 2 k n n 0 , 1 , 2 , z z, z L z 2
1 E EF 1 f (E) E EF 2 0 E EF
c . k T 2 . 5 B
1 E E F 1 f (E) E EF 2 0 E E F
kBT 0
kBT 1 k T2 .5 B
低温下，由德拜模型得到晶格热容为：
5cT ( J mol K )
1 2 V
4
T 12 3 c Nk bT V B 5 D
4 3
3
2
1
KCl
低温下金属总的比热容为:
3 c c c T bT V V V e c
C
u
3.2 自由电子的量子理论
一、波函数与能级
薛定谔方程： 平面波形式的解 :
2 2 E 2 m
i k r ( r ) e 0
其中 r 为电子的位置矢量， k 为波矢量.
2k 2 E 2m
p k
上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的 群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制.
将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得：
e
ikxLx
1
同理有：
能级
2 2 2 n n 2 2 n y x E (2 2 z ) 2 m L L L x y z
2 k n ,n 0 , 1 , 2 , x x x L x 2 k n ,n 0 , 1 , 2 , y y y L y 2 k n n 0 , 1 , 2 , z z, z L z 2
1 E EF 1 f (E) E EF 2 0 E EF
c . k T 2 . 5 B
1 E E F 1 f (E) E EF 2 0 E E F
kBT 0
kBT 1 k T2 .5 B