1电路部分第4章电路定理
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i1
R1 A R2 D
uS
-
+
i . i
2
3
R3
B R4
.ii .
C
5 4
R5
解：设i5=i5’=1A，则有 uBC’= i5’(R5+R6)=22V i4’= uBC’ / R4=1.1A
R6
i3’= i4’+ i5’=2.1A
.
uAD’= R3i3’+ uBC’ =26.2V
i1’= i2’+ i3’=3.41A
• 结论：当电压源电压 与电流源同时增加K倍时， 电路中任一电压或电流也同时增加K倍。
三、齐性定理
1. 齐性定理：线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都同 时增大或减小K倍（ K为常数 ）时，响应（电压和电流）也将同 样增大或缩小K倍。 注：当电路中只有一个激励时，响应必与激励成正比。 2. 定理应用： 例：求下图梯形电路中各支路电流，其中uS=120V，R1=R3=R5=2， R2=R4=R6=20 。
R1 + + -
R1 RR uS 1 2 i S R1 R2 R1 R2
u1
-
. i
2
1 i uS R1 R2 R1 (1) u1 uS R1 R2 可知： R1 ( 2) i2 iS R1 R2 R1 R2 ( 2) u1 iS R1 R2
uS
R1
N0
i a +
iab
u
-
NS
b 不含源一端口
b 含源一端口
uab
a +
Í â µ ç Â ·
2. 含源一端口：含独立电源，常用NS表示。 含源一端口最简单的两类：
a R + -
is
R
a
us
b
b
含源一端口的几个概念： (1) 开路电压
NS
i=0 a + b
uOC
将外电路断开，此时由于 Ns 内部 含有独立电源，一般在端口a-b间 将出现电压，这个电压称为 Ns 的 开路电压，用uoc表示。
• 现在再分析开始的例题：当电压源电压 与电流源同时增加K倍时，上面所求的电 压 与电流如何变化？
R1
uS
-
+ +
u1
-
. i .
2
R2
iS
i2 im1 im 2
1 R1 uS iS R1 R2 R1 R2
图(a)
R1 R1 R2 u1 R1im1 uS iS R1 R2 R1 R2
i f l f 1uS 1 l f 2 uS 2 l fg uSg L f 1i S 1 L f 2 i S 2 L fh i Sh l fm uSm L fm i Sm
m 1 m 1
二、叠加定理
1. 叠加定理：线性电阻电路中，任一支路电压或电流都是电路中各 个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加(代数和)。 2.适用范围：(1)叠加原理适用于线性电路，不适用于非线性电路
.i
8
3
+
+ 20V -
u3
1A
.
i2 图(c) -
根据图(c)，求得 各支路上的电压与电 流与图(a)及图(b)中的 支路电压、电流相等。
4.3 戴维南定理和诺顿定理
基本概念
1 、端口：一个网络向外引出一对 端子，这对端子可与外部电源或其 它电路相连 2 、二端网络：任何具有两个出 线端的部分电路（一端口） 电路或网络的一个端口是它向外引出的一对端子，这对 端子可以与外部电源或其他电路相连接。 对于一个端口来说，从它的一个端子流入的电流一定等 于从另一个端子流出的电流。
(2)只适用于计算电压、电流，不适用于计算功率。 3. 使用原则：不要所有的电路都用叠加定理来求解，只有分电路 是串、并联电路而不是复杂电路时才使用。 4. 注意的问题：在叠加的各分电路中，不作用的电压源置零，在 电压源处用短路代替；不作用的电流源置零，在电流源处用开路 代替。电路中所有的电阻不予更动，受控源保留在各分电路中， 控制支路用相应的分量表示且不能简化、消除。
图(a)
.
+
R2
iS
R1
uS
图(b)
+ +
u1(1)-
i
(1) 2
u1(2)-
. i .
(2) 2
iS
R2
R2
图(c)
即i2(1)和u1(1)是uS单独作用产生的，此时iS=0，如图(b)所示。 i2(2)和u1(2)是iS单独作用产生的，此时uS=0，如图(c)所示。
2. 多个独立源作用时，可将独立源分组，每组单独作用进行叠加 3. (了解)对于一个具有b条支路，n个结点的电路，可以用回路电 流或是结点电压等作变量列出电路方程。此种方程具有以下形式 a11x1+a12x2+…+a1nxn=b11 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b22 ………………………… an1x1+an2x2+…+annxn=bnn 式中求解变量以x表示，右方系数b是电路中激励的线性组合。上 式的解的一般形式为
open circuit 将外电路用一根导线短路，此时 由于 Ns 内部含有独立电源，一般 在短路导线上将出现电流，这个 电流称为 Ns 的短路电流，用 isc 表 示。 short circuit
-
4 + 4V -
解：根据图(a)，易求得 u3=8V
i3=(u3-4)/4=1A
i2= u3/8=1A i1= i2+ i3=2A
图(a)
6
i1
.i .i
2
以及
3
+
+ 20V -
8
u3
-
图(b)
.
i2
+ 8V -
根据图(b)，求得各支路上的电压与电流 与图(a)中的支路电压、电流相等。
6
i1
例1(一般电路) 电路如图(a)所示。已知：R1= 6Ω ，R2=4Ω ， R3=8Ω ，R4= 6Ω ，US=10V，IS=2A。试用叠加原理计算通过R2 的电流I2。
R1
. .
R2
I2
R1
R2
I2'
R1
. .
R2
'' I2
.
R3
IS
R4
..
R3
R4
. .
R3
IS
R4
.
+
uS
图(a)
-
+
uS
-
图(b)
或
ik
ik
uk + + uk uk + + uk -
ik
+ uk C
A
A
A
ik
C
+ uk B
ik ik
ik
+ uk B
ik ik
B
ik
B
B
B
A、C等电位，电压为零
电流为零
这样替代后不影响电路中各支路的电流和电压的唯一解。
二、例题，求所示电路中各支路上的电压和电流
6
i1
.i
8
3
+
+ 20V -
u3
( R1 R2 )im1 R2im 2 uS 则有： i i m2 S
1 R2 im1 uS iS R1 R2 R1 R2 解得： im 2 i S
i2 im1 im 2
故：
u1 R1im1
1 R2 1 R1 uS iS iS uS iS R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2
当电路中有g个电压源和h个电流源时，任意一处电压uf或电流 if都可以写为以下形式 g h
m 1 g m 1 h
u f k f 1uS 1 k f 2 uS 2 k fg uSg K f 1 i S 1 K f 2 i SHale Waihona Puke Baidu2 K fh i Sh k fm uSm K fm i Sm
例2 (含受控源电路)用叠加原理计算含受控源电路。电路如图(a) 所示，其中受控源CCVS的电压受流过电阻R1的电流I1的控制，已 知：US=10V，IS=4A，R1=6Ω ，R2=4Ω ，求电压U3。
R1 I1 + US -
.
R1 I1'
.
R1 I1''
.
图(a)
.
+ 10I1 + R2 U3 I2
(3) 替代定理不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代 后其余支路及参数不能改变。 (4) 如果这条支路上的电压或电流为其他支路上的受控源的控制 量，而替代后该电压或电流不再存在，则此支路不能被替代。
替代定理的证明
任意一条支路k，流经的电流为ik，支路电压为uk
+
ik uk
A A A
+ uk -
2. (1) 给定一个代数方程组
x+y=2 x-y=1
，代数方程组有唯一解
x=2 y=1
将解代入方程中，其他解不变。
(2) 对于电路，根据KCL、KVL、VCR列电路方程。 因为 KCL和KVL只与结构有关，故用电压源（或电流源） 来替代已知电压（或电流）时，电路的解不改变；
利用VCR列方程时，若其他支路上的电压、电流不变，仅此支 路用已知解来代替，也不会对电路中其他支路电压或电流产生 任何影响。
4.2 替代定理（置换定理）
一、分析
1.
iab N1
uab
b
a +
N2
N1
uab
b
a +
a
N1
b
iab
端口电压、电流已知，端口2可用电压源或电流源替代，替 代后电路中全部电压、电流均保持原值。
定义：在给定的任意一个线性或非线性电路中，若 第k条支路的电压uk和电流ik已知，则此支路可用一个电 压us=uk的独立电压源或用一个电流is=ik的独立电流源替 代，替代后电路中的全部电压和电流均保持原值。
第4章 电路定理
主要内容
1. *叠加定理(包括齐性定理)、替代定理。 2. *戴维宁定理和诺顿定理。 3.特勒根定理、互易定理
4.1 叠加定理和齐性定理
一、叠加定理引入
1.简单电路分析： 已知电路如下图(a)所示，求u1和i2。
R1 + + -
u1
im1
. i
2
uS
图(a)
.
R2
im2
iS
解：用网孔电流法解题，设网孔电 流为im1和im2，方向如图所示。
i2’= uAD’ / R2=1.31A
i2=K i2’=4.76A i5=K i5’=3.63A
uS’= R1i1’+ uAD’ =33.02V
因为：K=uS / uS’=120/33.02=3.63 所以： i1=K i1’=12.38A i3=K i3’=7.62A i4=K i4’=3.99A
解得：
US 10 1A R1 R 2 6 4
U3′=-10 I1′+ R2 I2′= -6V
R1 I1 + US -
.
图(a)
R1
.
+ 10I1 + R2 U3 I2
IS
I1'
.
图(b)
+ US -
R1
当电流源IS单独作用时，如图(c)所示。
I 1 IS 4 R2 4 1.6 A R1 R 2 64
图(c)
解：根据叠加原理计算R2的电流I2。 当电源US单独作用时，电路如图(b)所示。 当电源IS单独作用时，电路如图(c)所示。
I 2
' I2
US 10 1A R1 R 2 6 4
R1 6 (IS ) (2) 1.2A R1 R 2 64
依照图(b)、(c)所规定的参考方向与图(a)中的参考方向相同，则有： I2= I2′+ I2″ =1-1.2 = -0.2A
xk 1k b11 2 k b22 nk bnn
式中为a系数构成的行列式，jk是的第j行第k列的余因式。由 于b11、b22 、…等都是电路中激励的线性组合，而每个解答x又是 b11、b22 、…等的线性组合，故任意一个解（电压或电流）都是 电路中所有激励的线性组合。
u
-
+
i
无源一端口的输入电阻
u 端口电压 Rin i 端口电流
4.3 戴维南定理和诺顿定理
一、戴维南定理
1. 无源一端口（松弛一端口）：对于一个不含独立电源，仅含电 阻和受控源的一端口，其端口输入电压和输入电流的比值是一个 常量，这个比值就定义为该一端口的输入电阻。不含源一端口常 用N0表示。
R1 R1 R2 uS iS R1 R2 R1 R2
令：
( 1) ( 2) i2 i 2 i2
(1) ( 2) u1 u1 u1
i2 im1 im 2
由：
u1 R1im1
(1) 2
1 R2 1 R1 uS iS iS uS iS R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2
IS
+ US -
图(b)
.
' - + + 10I1 U3' R2 I2'
.
'' + 10I1 +'' R2 U3 '' I2
IS
图(c)
解：使用叠加原理时受控源保留不变。 当电压源US单独作用时，如图电路(b)所示。
U3′= -10 I1′+I2′R2
I 1
列式
I1′= I2′ US = （R1+ R2）I1′
I1''
. .
' - + + 10I1 U3' R2 I2'
I2″= IS + I1″=
4 +（-1.6）=2.4A
.
'' + 10I1 +'' R2 U3 '' I2
IS
图(c)
U3″= -10 I1″+ R2 I2″=-10×（-1.6）+ 4×2.4= 25.6V
由于图(b)、(c)所规定的U3的参考方向与图(a)中的参考方向相同， 则有： U3 = U3′+ U3″= - 6 + 25.6 = 19.6V
R1 A R2 D
uS
-
+
i . i
2
3
R3
B R4
.ii .
C
5 4
R5
解：设i5=i5’=1A，则有 uBC’= i5’(R5+R6)=22V i4’= uBC’ / R4=1.1A
R6
i3’= i4’+ i5’=2.1A
.
uAD’= R3i3’+ uBC’ =26.2V
i1’= i2’+ i3’=3.41A
• 结论：当电压源电压 与电流源同时增加K倍时， 电路中任一电压或电流也同时增加K倍。
三、齐性定理
1. 齐性定理：线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都同 时增大或减小K倍（ K为常数 ）时，响应（电压和电流）也将同 样增大或缩小K倍。 注：当电路中只有一个激励时，响应必与激励成正比。 2. 定理应用： 例：求下图梯形电路中各支路电流，其中uS=120V，R1=R3=R5=2， R2=R4=R6=20 。
R1 + + -
R1 RR uS 1 2 i S R1 R2 R1 R2
u1
-
. i
2
1 i uS R1 R2 R1 (1) u1 uS R1 R2 可知： R1 ( 2) i2 iS R1 R2 R1 R2 ( 2) u1 iS R1 R2
uS
R1
N0
i a +
iab
u
-
NS
b 不含源一端口
b 含源一端口
uab
a +
Í â µ ç Â ·
2. 含源一端口：含独立电源，常用NS表示。 含源一端口最简单的两类：
a R + -
is
R
a
us
b
b
含源一端口的几个概念： (1) 开路电压
NS
i=0 a + b
uOC
将外电路断开，此时由于 Ns 内部 含有独立电源，一般在端口a-b间 将出现电压，这个电压称为 Ns 的 开路电压，用uoc表示。
• 现在再分析开始的例题：当电压源电压 与电流源同时增加K倍时，上面所求的电 压 与电流如何变化？
R1
uS
-
+ +
u1
-
. i .
2
R2
iS
i2 im1 im 2
1 R1 uS iS R1 R2 R1 R2
图(a)
R1 R1 R2 u1 R1im1 uS iS R1 R2 R1 R2
i f l f 1uS 1 l f 2 uS 2 l fg uSg L f 1i S 1 L f 2 i S 2 L fh i Sh l fm uSm L fm i Sm
m 1 m 1
二、叠加定理
1. 叠加定理：线性电阻电路中，任一支路电压或电流都是电路中各 个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加(代数和)。 2.适用范围：(1)叠加原理适用于线性电路，不适用于非线性电路
.i
8
3
+
+ 20V -
u3
1A
.
i2 图(c) -
根据图(c)，求得 各支路上的电压与电 流与图(a)及图(b)中的 支路电压、电流相等。
4.3 戴维南定理和诺顿定理
基本概念
1 、端口：一个网络向外引出一对 端子，这对端子可与外部电源或其 它电路相连 2 、二端网络：任何具有两个出 线端的部分电路（一端口） 电路或网络的一个端口是它向外引出的一对端子，这对 端子可以与外部电源或其他电路相连接。 对于一个端口来说，从它的一个端子流入的电流一定等 于从另一个端子流出的电流。
(2)只适用于计算电压、电流，不适用于计算功率。 3. 使用原则：不要所有的电路都用叠加定理来求解，只有分电路 是串、并联电路而不是复杂电路时才使用。 4. 注意的问题：在叠加的各分电路中，不作用的电压源置零，在 电压源处用短路代替；不作用的电流源置零，在电流源处用开路 代替。电路中所有的电阻不予更动，受控源保留在各分电路中， 控制支路用相应的分量表示且不能简化、消除。
图(a)
.
+
R2
iS
R1
uS
图(b)
+ +
u1(1)-
i
(1) 2
u1(2)-
. i .
(2) 2
iS
R2
R2
图(c)
即i2(1)和u1(1)是uS单独作用产生的，此时iS=0，如图(b)所示。 i2(2)和u1(2)是iS单独作用产生的，此时uS=0，如图(c)所示。
2. 多个独立源作用时，可将独立源分组，每组单独作用进行叠加 3. (了解)对于一个具有b条支路，n个结点的电路，可以用回路电 流或是结点电压等作变量列出电路方程。此种方程具有以下形式 a11x1+a12x2+…+a1nxn=b11 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b22 ………………………… an1x1+an2x2+…+annxn=bnn 式中求解变量以x表示，右方系数b是电路中激励的线性组合。上 式的解的一般形式为
open circuit 将外电路用一根导线短路，此时 由于 Ns 内部含有独立电源，一般 在短路导线上将出现电流，这个 电流称为 Ns 的短路电流，用 isc 表 示。 short circuit
-
4 + 4V -
解：根据图(a)，易求得 u3=8V
i3=(u3-4)/4=1A
i2= u3/8=1A i1= i2+ i3=2A
图(a)
6
i1
.i .i
2
以及
3
+
+ 20V -
8
u3
-
图(b)
.
i2
+ 8V -
根据图(b)，求得各支路上的电压与电流 与图(a)中的支路电压、电流相等。
6
i1
例1(一般电路) 电路如图(a)所示。已知：R1= 6Ω ，R2=4Ω ， R3=8Ω ，R4= 6Ω ，US=10V，IS=2A。试用叠加原理计算通过R2 的电流I2。
R1
. .
R2
I2
R1
R2
I2'
R1
. .
R2
'' I2
.
R3
IS
R4
..
R3
R4
. .
R3
IS
R4
.
+
uS
图(a)
-
+
uS
-
图(b)
或
ik
ik
uk + + uk uk + + uk -
ik
+ uk C
A
A
A
ik
C
+ uk B
ik ik
ik
+ uk B
ik ik
B
ik
B
B
B
A、C等电位，电压为零
电流为零
这样替代后不影响电路中各支路的电流和电压的唯一解。
二、例题，求所示电路中各支路上的电压和电流
6
i1
.i
8
3
+
+ 20V -
u3
( R1 R2 )im1 R2im 2 uS 则有： i i m2 S
1 R2 im1 uS iS R1 R2 R1 R2 解得： im 2 i S
i2 im1 im 2
故：
u1 R1im1
1 R2 1 R1 uS iS iS uS iS R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2
当电路中有g个电压源和h个电流源时，任意一处电压uf或电流 if都可以写为以下形式 g h
m 1 g m 1 h
u f k f 1uS 1 k f 2 uS 2 k fg uSg K f 1 i S 1 K f 2 i SHale Waihona Puke Baidu2 K fh i Sh k fm uSm K fm i Sm
例2 (含受控源电路)用叠加原理计算含受控源电路。电路如图(a) 所示，其中受控源CCVS的电压受流过电阻R1的电流I1的控制，已 知：US=10V，IS=4A，R1=6Ω ，R2=4Ω ，求电压U3。
R1 I1 + US -
.
R1 I1'
.
R1 I1''
.
图(a)
.
+ 10I1 + R2 U3 I2
(3) 替代定理不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代 后其余支路及参数不能改变。 (4) 如果这条支路上的电压或电流为其他支路上的受控源的控制 量，而替代后该电压或电流不再存在，则此支路不能被替代。
替代定理的证明
任意一条支路k，流经的电流为ik，支路电压为uk
+
ik uk
A A A
+ uk -
2. (1) 给定一个代数方程组
x+y=2 x-y=1
，代数方程组有唯一解
x=2 y=1
将解代入方程中，其他解不变。
(2) 对于电路，根据KCL、KVL、VCR列电路方程。 因为 KCL和KVL只与结构有关，故用电压源（或电流源） 来替代已知电压（或电流）时，电路的解不改变；
利用VCR列方程时，若其他支路上的电压、电流不变，仅此支 路用已知解来代替，也不会对电路中其他支路电压或电流产生 任何影响。
4.2 替代定理（置换定理）
一、分析
1.
iab N1
uab
b
a +
N2
N1
uab
b
a +
a
N1
b
iab
端口电压、电流已知，端口2可用电压源或电流源替代，替 代后电路中全部电压、电流均保持原值。
定义：在给定的任意一个线性或非线性电路中，若 第k条支路的电压uk和电流ik已知，则此支路可用一个电 压us=uk的独立电压源或用一个电流is=ik的独立电流源替 代，替代后电路中的全部电压和电流均保持原值。
第4章 电路定理
主要内容
1. *叠加定理(包括齐性定理)、替代定理。 2. *戴维宁定理和诺顿定理。 3.特勒根定理、互易定理
4.1 叠加定理和齐性定理
一、叠加定理引入
1.简单电路分析： 已知电路如下图(a)所示，求u1和i2。
R1 + + -
u1
im1
. i
2
uS
图(a)
.
R2
im2
iS
解：用网孔电流法解题，设网孔电 流为im1和im2，方向如图所示。
i2’= uAD’ / R2=1.31A
i2=K i2’=4.76A i5=K i5’=3.63A
uS’= R1i1’+ uAD’ =33.02V
因为：K=uS / uS’=120/33.02=3.63 所以： i1=K i1’=12.38A i3=K i3’=7.62A i4=K i4’=3.99A
解得：
US 10 1A R1 R 2 6 4
U3′=-10 I1′+ R2 I2′= -6V
R1 I1 + US -
.
图(a)
R1
.
+ 10I1 + R2 U3 I2
IS
I1'
.
图(b)
+ US -
R1
当电流源IS单独作用时，如图(c)所示。
I 1 IS 4 R2 4 1.6 A R1 R 2 64
图(c)
解：根据叠加原理计算R2的电流I2。 当电源US单独作用时，电路如图(b)所示。 当电源IS单独作用时，电路如图(c)所示。
I 2
' I2
US 10 1A R1 R 2 6 4
R1 6 (IS ) (2) 1.2A R1 R 2 64
依照图(b)、(c)所规定的参考方向与图(a)中的参考方向相同，则有： I2= I2′+ I2″ =1-1.2 = -0.2A
xk 1k b11 2 k b22 nk bnn
式中为a系数构成的行列式，jk是的第j行第k列的余因式。由 于b11、b22 、…等都是电路中激励的线性组合，而每个解答x又是 b11、b22 、…等的线性组合，故任意一个解（电压或电流）都是 电路中所有激励的线性组合。
u
-
+
i
无源一端口的输入电阻
u 端口电压 Rin i 端口电流
4.3 戴维南定理和诺顿定理
一、戴维南定理
1. 无源一端口（松弛一端口）：对于一个不含独立电源，仅含电 阻和受控源的一端口，其端口输入电压和输入电流的比值是一个 常量，这个比值就定义为该一端口的输入电阻。不含源一端口常 用N0表示。
R1 R1 R2 uS iS R1 R2 R1 R2
令：
( 1) ( 2) i2 i 2 i2
(1) ( 2) u1 u1 u1
i2 im1 im 2
由：
u1 R1im1
(1) 2
1 R2 1 R1 uS iS iS uS iS R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2
IS
+ US -
图(b)
.
' - + + 10I1 U3' R2 I2'
.
'' + 10I1 +'' R2 U3 '' I2
IS
图(c)
解：使用叠加原理时受控源保留不变。 当电压源US单独作用时，如图电路(b)所示。
U3′= -10 I1′+I2′R2
I 1
列式
I1′= I2′ US = （R1+ R2）I1′
I1''
. .
' - + + 10I1 U3' R2 I2'
I2″= IS + I1″=
4 +（-1.6）=2.4A
.
'' + 10I1 +'' R2 U3 '' I2
IS
图(c)
U3″= -10 I1″+ R2 I2″=-10×（-1.6）+ 4×2.4= 25.6V
由于图(b)、(c)所规定的U3的参考方向与图(a)中的参考方向相同， 则有： U3 = U3′+ U3″= - 6 + 25.6 = 19.6V