四川省成都外国语学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题

四川省成都外国语学校2020-2021学年高二下学期期末考试
数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是 A ．B A ⊆ B ．A B A ⋃= C ．A B A = D ．{}2A B ⋂= 2．若复数z 满足
20171z i i =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -
B ．1i +
C ．1i --
D ．1i -+ 3．已知()21x x f x =-，()2
x g x =则下列结论正确的是 A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数
C ．()()()h x f x g x =是奇函数
D ．()()()h x f x g x =是偶函数 4．运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A ．0
B ．12
C ．-1
D ．32- 5．已知函数2()2sin()(0),[,]123f x x x ππωϕω=+>∈-
的图像如图，若12()()f x f x =，
且12x x ≠，则12()f x x + 的值为（ ）
A B C ．1 D ．0 6．设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()
e 1n +的展开式的第一项（e 为自然对
数的底数），m =
若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是( ) A ．2e B ．1e C ．e 2e - D ．e 1e
- 7．设实数x ，y 满足约束条件{3x −2y +4≥0
x +y −4≤0x −ay −2≤0
，已知z =2x +y 的最大值是7，最小值
是−26，则实数a 的值为（ ）
A ．6
B ．−6
C ．−1
D ．1
8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()32
21f x x kx x =--+的极大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．52
D ．72
9．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为( )
A ．16625
B ．96625
C ．624625
D ．4625
10．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、 ，其焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125|PF PQ F F +恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．1
,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．1,42⎛ ⎝⎭ C ．1,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．2,52⎛ ⎝⎭
11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）
A ．1235
π B ．1243π C ．1534π D ．1615π 12．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ）
A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥
B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤．
C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥
D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥
二、填空题
13．正项等比数列{a n }中，1473692,18a a a a a a ++=++=，则}{
n a 的前9项和9S =_____．
14．已知0>ω，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距离最短的两个交
ω值为__________． 15．已知双曲线2
2
1y x m -=的左右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1ABF 是以A 为直角顶点的等腰三角形，则12AF F △的面积为__________．
三、解答题
16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
2sin()2sin ()24
C A B π-=-． （Ⅰ）求sin cos A B 的值；
（Ⅱ）若3
a b =，求B ． 17．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各
种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[
)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.
18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°，
AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =1，M 为PD 的中点.
（Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ；
（Ⅱ）设直线AM 与平面ABCD 所成的角为α，二面角M —AC —B 的大小
为β，求sin α·cos β的值.
19．如图，已知抛物线2:E y x =与圆222
:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点．
（Ⅰ）求r 的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐
标．
20．设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.
（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；
（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.
21．在平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为11
x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ
=
-． （1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知与直线l 平行的直线'l 过点()2,0M ，且与曲线C 交于,A B 两点，试求AB ．
参考答案
1．D
【解析】
由已知得{}1
234A =，，，，{}22B =-，，则{}2A B ⋂=，故选D. 2．A
【详解】 由2017i 1i
z =-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，则1i z =-，故选A. 3．A
【解析】 因为(),()212x x x f x g x ==-，所以()()()212
x x x F x f x g x =+=+-，又2()()()2(21)x x G x f x g x =⋅=-，故2
()(),()()2(21)
x x G x G x G x G x --=≠-≠--，即答案C ，D 都不正确；又因为
211111()()(1)()212122122221
x x x x x x x F x F x ----=+=-+=--++=+=---- ，所以应选答案A ．
4．B
【解析】 由题设中提供的算法流程图可知22017cos
cos cos 333S πππ=++⋅⋅⋅+，由于()cos 3f x x π
=的周期是263
T π
π==，而201763361=⨯+，所以
220171cos cos cos cos 33332
S ππππ=++⋅⋅⋅+==，应选答案B ． 5．C
【分析】
结合图象求得12x x ωϕ+，，，再代入求函数值.
【详解】 由图象得322(),2,4312T T T
ππππω=--∴===
由2sin(2)22(),2(),6326k k Z k k Z π
π
π
π
ϕϕπϕπ⨯+=+=+∈=+∈得 由12263x x ππ+=
⨯=，得12()()2sin(22)1336f x x f k ππππ+==⨯++=，选C.
【点睛】 已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.
6．C
【解析】
由题意得，n s e =，则m e =，即0a e <<，01b <<，如图所示，作曲线()101a b b
=<<，交直线1,b a e ==于点()11A ，，1,B e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则满足事件1ab >的实验区域为曲边形ABC ，其面积为111112e S e dx e e x ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭⎰，所以所求概率为221e e P e e --==⨯，故选C.
7．D
【解析】
试题分析：画出不等式组表示的区域如图，从图形中看出当不成立，故，当直线
经过点时,取最大值，即，解之得，所以应选
D.
考点：线性规划的知识及逆向运用．
【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的求参数值的问题,解答时
先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件{3x −2y +4≥0
x +y −4≤0x −ay −2≤0
的平面区域,然后分类讨
论参数的符号,进而移动直线,发现当该直线经过点时取得最大值,以此建立方程
,通过解方程求出参数的值.
8．C
【解析】 由题意得，111121a S k k -==+=+，21221211a S S k k -=-=+--=，
3121332222a S S k k --=-=+--=，则()121k +⨯=，解得12
k =-，则()321212
f x x x x =+-+，()232f x x x '=+-，令()0f x '=，解得122,13x x ==-，当(),1x ∈-∞-时，()f x 为增函数；21,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭，()f x 为减函数；2,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()f x 为增函数，所以函数的极大值为()()()()321511121122
f -=-+⨯--⨯-+=，故选C. 点睛：此题主要考查了等比数列前n 项和、函数极值的求解等有关方面的知识，及幂运算等运算能力，属于中档题型，也是常考考点.在首先根据等比数列前n 项和公式求出参数k 的
值，再利用导数方法，求出函数()f x 的极值点，通过判断极值点两侧的单调性求出极大值点，从而求出函数的极大值.
9．B
【解析】 获奖的概率为2662C 5p == ，记获奖的人数为ξ ， 2~4,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以4人中恰好有3人获奖的概率为334239655625
P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，故选B. 10．B 【解析】由题设可得22214a e b +<，即()()
22241141e e e -+<-，解之得212e <
，即0e <<；结合图形可得1121222PF PQ PF PF F F a c +>++=+，即122104
a c c e +⇒，应选答案B 。

点睛：解答本题的关键是建构不等式（组），求解时先依据题设条件，将点,
2a Q c ⎛
⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得到22214a e b +<，即()()
22241141e e e -+<-，解之得212e <，从而求
得02
e <<，然后再借助1125PF PQ F F +与椭圆的几何性质，建立了不等式122104a c c e
+⇒，进而使得问题获解。

11．D
【解析】
由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，
由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为
99161 cos
2339 B
+-
==
⨯⨯
，则
sin B==，
底面三角形的外接圆的半径
r==
，则三棱
锥的外接球的半径R===，其表面积
161161
4
205
S
π
π
=⨯=，应选答案D。

12．C
【解析】
试题分析：2
121
'()2(ln)2(ln)
2
a
f x x x a x x x
x
-
=-+⋅=-，当
21
2
a
x e
-
<<时，'()0
f x<，()
f x单调递减，同理当
21
2
a
x e
-
>时，()
f x单调递增，
21
21
2
1
()()
2
a
a
f x f e e a
-
-
==-+
最小
，显然不等式212
a
e a
->有正数解（如1
a=，（当然可以证明0
a>时，21
1
2
a
e a
-
-+≤）），即存在0
a>，使()0
f x<
最小
，因此C错误．
考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性．
13．1426
或
【解析】
由题意得2369
147
9,3
a a a
q q
a a a
++
===±
++ ,当
3
q=时,
2581479
3()6,261826.
a a a a a a S
++=++==++=当3
q=-时
,
25814793()6,261814.a a a a a a S ++=-++=-=-+=所以914S =或26.
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 14．π 【解析】
由题意，令sin cos x x ωω=， sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，
所以4
x k π
ωπ-=，
k Z ∈，
即14x k ππω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，当10,4k x πω==， 12y =；当251,4k x πω==， 22
y =-，
如图所示，由勾股定理得()()2
2
2
2121y y x x -+-=
，解得ωπ=.
15．4-【分析】
根据题意设1AF AB t ==，可得1BF =，根据双曲线的定义求得t 的值，然后利用三
角形的面积公式可求得12AF F △的面积. 【详解】
设1AF AB t ==，则1BF =
，
4t t a +-=4=，t ∴=
则1AF t ==1222AF AF a -==，所以，22AF =，
故12AF F △面积为()
12
1211
2422
AF F S
AF AF =
⋅=⋅=-.
故答案为：4-【点睛】
本题主要考查双曲线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.解答直线与圆锥曲线位置关系题目时，首先根据题意画出曲线的图像，然后结合圆锥曲线的定义和题目所给已知条件来求解.利用题目所给等腰直角三角形，结合定义可求得直角三角形的边长，由此求得面积. 16．(1) 12
;(2) 6B π
=或3π．
【解析】
试题分析:(1)由已知利用三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简即可求值;(2)由
已知利用正弦定理及(1)可得sin22
B =
，进而可求角B . 试题解析:（Ⅰ）()sin 1cos 2A B C π⎛
⎫-=-- ⎪⎝
⎭ 1sin C =- ()1sin A B =-+，
故2sin cos 1A B =，∴1sin cos 2
A B =
．
（Ⅱ）由正弦定理得
sin sin 3
A a
B b ==
，
由（Ⅰ）知1
sin cos cos 2
A B B B B =
==，
∴sin2B =
23B π=或23π，∴6B π=或3π．
17．(1)30;(2)54,55;(3) X 的分布列如下：
数学期望3
EX = 【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为
1
2
处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X 的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出． 试题解析：
（1）由频率分布直方图知年龄在[
)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=， 所以40名读书者中年龄分布在[
)40,70的人数为400.7530⨯=. （2）40名读书者年龄的平均数为
250.05350.1450.2550.3⨯+⨯+⨯+⨯ 650.25750.154+⨯+⨯=.
设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[
)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人， 年龄在[
)30,40的读书者有0.0110404⨯⨯=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，
()20
242
41
015C C P X C ===， ()1124248
115C C P X C ===，
()02242
46
215
C C P X C ===， X 的分布列如下：
数学期望0121515153
EX =⨯
+⨯+⨯=. 18．（1）证明见解析（2）
【解析】试题分析：（1）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，由O为AC的中点，知O为BD的中点，再由M为PD的中点，知PB∥MO，由此能够证明PB∥平面ACM．（2）取DO中点N，连接MN，AN，由M为PD的中点，知MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，由此能求出直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，
∵O为AC的中点，∴O为BD的中点，
又∵M为PD的中点，
∴PB∥MO，
∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（2）解：取DO中点N，连接MN，AN，
∵M为PD的中点，
∴MN∥PO，且MN=PO=1，
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，
在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=，∠DAO=90°，∴DO=，
∴AN=，
在Rt△ANM中，tan∠MAN===，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为．
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．
19．（Ⅰ）（Ⅱ）（）
【解析】 （Ⅰ）联立方程组
与
，可得
，所以方程由两个不等式正根
由此得到解得，所以r 的范围为
（Ⅱ）不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为设
直线AC,BD 的方程分别为
，
解得点p 的坐标为设t=，由t=及（1）可知
由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积
将
代入上式，并令
，得
求导数，
令，解得 当时，
，当
，
；当
时，
当且仅当
时，由最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为（
）
20．（Ⅰ）2k =；（Ⅱ）(4,)+∞. 【解析】
试题分析：（1）利用导数的意义，设切点，得斜率，列方程求k 即可；
（2）由（1）得当2k >，()()f x g x <；当02k <≤时，()()f x g x >，取绝对值构造函数即可.
试题解析：
（1）设切点的坐标为(
)2,t
t e ，由()2x
f x e
=，得()22x
f x e '=，
所以切线方程为()222t
t
y e e
x t -=-，即()22212t t y e x t e =+-，
由已知()22212x
x
y e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，所以()222,121t
t
e k k e =-=，
令()()1x
h x x e =-，则()x
h x xe '=-，
当(),0x ∈-∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当()0,x ∈+∞时，
()()0,h x h x '<单调递减， 所以()()01h x h ≤=，
当且仅当0x =时等号成立，所以0,2t k ==. （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图象知：
存在00x >，使得对于任意()00,x x ∈，都有()()f x g x <，
则不等式()()2f x g x x ->等价()()2g x f x x ->，即()2210x
k x e -+->，
设()()2221,22x
x
t k x e t k e =-+-=--' ，
由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '<得12ln 22
k x ->， 若1224,
ln 022k k -<≤≤，因为()0120,,ln 22k x -⎛⎫⊆-∞ ⎪⎝⎭，所以()t x 在120,ln 2
2k -⎛⎫
⎪
⎝⎭上单调递减， 因为()00t =， 所以任意()120,
ln ,022k x t x -⎛
⎫∈> ⎪⎝⎭
，与题意不符， 若1212124,ln 0,0,ln ,ln 222222k k k k ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()t x 在120,ln 2
2k -⎛⎫
⎪⎝⎭上
单调递增，
因为()00t =，所以对任意()120,
ln ,022k x t x -⎛
⎫∈> ⎪⎝⎭
符合题意， 此时取120min 0,
ln 22k m -⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭
，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.
②当02k <≤时，有（1）结合函数的图象知()2210(0)x
e x x -+≥>，
所以()()()()()22121220x
x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都
成立，
所以()()2f x g x x ->等价于()2210x
e k x -+->，
设()()221x
x e
k x ϕ=-+-，则()()222x x e k ϕ'=-+，
由()0x ϕ'>得()12ln ,022k x x ϕ+>'<得，12ln 22
k x +<， 所以()x ϕ在120,
ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，注意到()00ϕ=， 所以对任意()120,ln ,02
2k x x ϕ-⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，不符合题设，
总数所述，k 的取值范围为()4,+∞.
点睛：不等式的恒成立问题，常用的方法有两个：
一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可； 二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.
21．（1）直线l cos sin 10θρθ-=，曲线C 的直角坐标方程为
22y x =；
（2）3
AB =． 【分析】
（1）先写出直线l 的普通方程，再根据cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
求出直线l 的极坐标方程，对
2
2cos 1cos θρθ=
-等式两边同乘以ρ，再结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
写出曲线C 的直角坐标方程； （2）先写出直线'l 的一个参数方程，再根据参数的几何意义求解． 【详解】
解：（1）直线l
的参数方程可化为1x t t -=⎧⎪
=（t 为参数），
消去t 可得直线l
的普通方程为)11y x =-+
10y -=，
又∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，
∴直线l
cos sin 10θρθ--=， 由2
2cos 1cos θρθ
=
-可得()221cos 2cos ρθρθ-=，即22
sin 2cos ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为2
2y x =； （2）由（1）可知直线l 的倾斜角为3
π， ∴直线'l 的倾斜角也为
3
π， 又直线'l 过点()2,0M ，
∴直线'l
的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t --=， 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 由韦达定理得1216
3t t ，1243
t t +=， ∴12AB t t =-2
12
12
4t t t t 413
． 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题．。