中考数学考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第19讲解直角三角形试题
中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第19讲 解直角三角形试题(2021年整理)
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第19讲解直角三角形1．（2016·天津）sin60°的值等于（ C ）A。
错误! B.错误! C.错误! D。
错误! 2．(2016·沈阳)如图,在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°，AB＝8,则BC的长是（ D ) A。
错误! B．4 C．8错误! D．4错误!3．（2016·乐山）如图，在Rt△ABC中,∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( C )A．sinB＝错误! B．sinB＝错误! C．sinB＝错误! D．sinB＝错误!4．（2015·荆门)如图,在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E,连接BD，则tan∠DBC的值为( A )A.错误!B.错误!－1 C．2－错误! D.错误!5．（2016·白银)如图，点A（3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝错误!，则t的值是92．6．(2016·岳阳)如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了100米．7．（2015·广州）如图，在△ABC中,DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，若BE＝9,BC＝12，则cosC＝错误!．8．(2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°,AC＝23,则AB的长为3＋3．9．（2016·上海)如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米,那么该建筑物的高度BC 约为208米．（精确到1米，参考数据：3≈1。
第19讲中考数学总复习(练习题) 解直角三角形的应用
在Rt△ABD中,∵∠ADB=60°,
∴BD=
3
AB=10
3
3 m,
∴CD=BC－BD=(30－10 3)m.
导航
6.(2021·南通)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距
离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位
于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离
为 25 6 海里(结果保留根号).
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解析:过P作PC⊥AB于C,如图所示:
由题意得:∠APC=30°,∠BPC=45°,PA=50海里,
PC
在 Rt△APC 中,cos∠APC=PA,
3
∴PC=PA·cos∠APC=50× =25
2
PC
在 Rt△PCB 中,cos∠BPC= ,
PB
PC
25 3
( D )
(参考数据:sin 50°≈0.77;
cos 50°≈0.64;tan 50°≈1.19)
A.69.2米
B.73.1米
C.80.0米
D.85.7米
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解析:∵斜坡CD的坡度(或坡比)为i=1:2.4,
∴DE∶CE=5∶12,
∵DE=50米,∴CE=120米,
∵BC=150米,
∴BE=150－120=30(米),
尝试利用所学知识测量河对岸大
树AB的高度,他在点C处测得大树
顶端A的仰角为45°,再从C点出发
沿斜坡走2 米到达斜坡上D点,在点D处测得树顶端A的仰
角为30°,若斜坡CF的坡比为i=1∶3(点E、C、B在同一水平
线上).
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度;
最新中考数学总复习考点强化练习：第四单元 图形初步与三角形 19 解直角三角形及其应用
考点强化练19 解直角三角形及其应用夯实基础1.(2018·云南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为()A.3B.C.D.答案A解析根据正切的意义得tan A==3.2.(2018·湖南益阳)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了()A.300sin αB.300cos αC.300tan αD.答案A解析∵sinα=,∴BC=AB sinα=300sinα,故选A.3.(2018·吉林长春)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A、B两地之间的距离为()A.800sin α米B.800tan α米C.米D.米答案D解析由题中条件可知,在Rt△ABC中,∠ABC=α,AC=800米,由tanα=,可得AB=米. 4.(2018·江苏苏州)如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()A.40海里B.60海里C.20海里D.40海里答案D解析本题解答时要利用直角三角形的边角关系和勾股定理来进行计算.由题意可知AB=20,∠APB=30°,∴PA=20,∵BC=2×20=40,∴AC=60,∴PC==40(海里),故选D.5.(2018·长丰一模)计算:2cos 60°+4sin 60°·tan 30°-cos245°=.答案解析原式=2×+4×=1+2-.6.(2018·山东枣庄)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为米.(结果保留两个有效数字)(参考数据:sin 31°=0.515,cos 31°=0.857,sin 31°=0.601)答案6.2解析在Rt△ABC中,=sin∠BAC,即=sin31°,BC=12×0.515=6.18≈6.2(米),故填6.2.7.(2018·吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,先制定了如下测量方案,使用工具是测角仪和皮尺.请帮助组长林平完成方格内容,用含a,b,c的代数式表示旗杆AB的高度.数学活动方案活动时间:2018年4月2日活动地点:学校操场填表人:林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题方案示意图测量步骤(1)用测得∠ADE=α;(2)用测得BC=a米,CD=b米计算过程解测量步骤:(1)测角仪(2)皮尺计算过程:如题图,∠ADE=α,DE=BC=a,BE=CD=b,在Rt△ADE中,∠AED=90°,∵tan∠ADE=,∴DE=AE·tan∠ADE=a·tanα.∴AB=AE+BE=(b+a·tanα)(米).8.(2018·辽宁抚顺)如图,BC是路边坡角30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A,B,C,D,M,N均在同一平面内,CM∥AN).(1)求灯杆CD的高度;(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)解(1)延长DC交AN于E,∵∠DBN=60°,BC=10米,∠CBN=30°,∠DCM=90°,CM∥AN,∴∠BDE=30°,∠DEB=90°.∴CE=BC=5(米),BE=BC=5(米).∴tan∠DBE=,解得CD=10(米).(2)由(1)可知,DE=15米,BE=5米.∵AE=AB+BE,tan∠DAN=,∠DAN=37°,∴≈0.75,解得AB≈11.4(米).9.(2018·江苏徐州)如图,1号楼在2号楼的南侧,两楼的高度均为90 m,楼间距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32.3°,1号楼在2号楼墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7°,1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=42 m.(1)求楼间距AB;(2)若2号楼共有30层,层高均为3 m,则点C位于第几层?(参考数据:sin 32.3°≈0.53,cos 32.3°≈0.85,tan 32.3°≈0.63,sin 55.7°≈0.83,cos 55.7°≈0.56,tan 55.7°≈1.47)解(1)过点C,D分别作CE⊥PB,DF⊥PB,垂足分别为E,F.则有AB=CE=DF,EF=CD=42.由题意可知:∠PCE=32.3°,∠PDF=55.7°,在Rt△PCE中,PE=CE×tan32.3°=0.63CE.在Rt△PDF中,PF=CE×tan55.7°=1.47CE.∵PF-PE=EF,∴1.47CE-0.63CE=42,∴AB=CE=50(m).答:楼间距为50m.(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.5÷3=19.5,∴点C位于第20层.答:点C位于第20层.10.(2017·内蒙古包头)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA 交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.(1)求AD的长;(2)求四边形AEDF的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)解(1)在△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.∵AD是△ABC的角平分线,∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°.在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,CD=3,∴CD=AD,∴AD=6.(2)∵DE∥BA,DF∥CA,∴四边形AEDF为平行四边形,∠BAD=∠EDA.∵∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠EDA,∴AE=DE.∴四边形AEDF为菱形.∵DE∥BA,∴∠CDE=∠B=30°,在Rt△CDE中,∠C=90°,∴cos∠CDE=,∴ED==2.∴四边形AEDF的周长为4ED=4×2=8.提升能力11.(2018·北京)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC∠DAE.(填“>”“=”或“<”)答案>解析如图,取格点N,点H,连接NH、BC,过N作NP⊥AD于P,S△ANH=2×2-×1×2×2-×1×1=AH·NP,PN,PN=,Rt△ANP中,sin∠NAP==0.6,Rt△ABC中,sin∠BAC=>0.6,∵正弦值随着角度的增大而增大,∴∠BAC>∠DAE.12.(2018·内蒙古通辽)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰,如图所示,其中山脚A、C两地的海拔高度约为1 000米,山顶B处的海拔高度约为1 400米,由B 处望山脚A处的俯角为30°,由B处望山脚C处的俯角为45°,若在A、C两地间打通一条隧道,求隧道最短为多少米(结果取整数,参考数据≈1.732).解作BD⊥AC,垂足为D,如图所示.由题意可得BD=1400-1000=400(米),∠BAC=30°,∠BCA=45°,在Rt△ABD中,∵tan30°=,即,∴AD=400(米).在Rt△BCD中,∵∠BCA=45°,∴DC=DB=400(米).∴AC=AD+DC=400+400≈1092.8≈1093(米).答:隧道最短约为1093米.13.(2018·山东莱芜,20)在小水池旁有一盏路灯,已知支架AB的长是0.8 m,A端到地面的距离AC为4 m,支架AB与灯柱AC的夹角为65°.小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角为45°,在水池的内沿E测得支架A端的仰角为50°(点C,E,D在同一直线上),求小水池的宽DE.(结果精确到0.1 m)(sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 50°≈1.2)解过点B作BF⊥AC于F,BG⊥CD于G.在Rt△BAF中,∠BAF=65°,BF=AB sin∠BAF=0.8×0.9=0.72,AF=AB cos∠BAF=0.8×0.4=0.32,∴FC=AF+AC=4.32.由题意可知四边形FCGB是矩形,∴BG=FC=4.32,CG=BF=0.72.∵∠BDG=45°,∴∠DBG=∠GDB,∴GD=GB=4.32,∴CD=CG+GD=5.04.在Rt△ACE中,∠AEC=50°,CE=≈3.33,∴DE=CD-CE=5.04-3.33=1.71≈1.7.答:小水池的宽是1.7m.14.(2018·江苏扬州)问题呈现:如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN 和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.方法归纳:求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.问题解决(1)直接写出图1中tan∠CPN的值为;(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值;思维拓展(3)如图3,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.解(1)由勾股定理得:DM=2,MN=,DN=,∵(2)2+()2=()2, ∴DM2+MN2=DN2,∴△DMN是直角三角形.∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM.∵tan∠DNM==2,∴tan∠CPN=2.(2)法1:如图,cos∠CPN=cos∠QCM=.法2:如图中,取格点D,连接CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM,∵△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=∠CDM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=.(3)法1:如图,∠CPN=∠CMQ=45°.法2:如图,∠CPN=∠QAN=45°.法3:如图中,取格点Q,连接AQ、NQ.∵PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ.∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°,∴∠CPN=45°.15.(2018·山东莱芜)如图,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA,则称点P为△ABC的布罗卡尔点.三角形的布罗卡尔点是法国数学家和教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,P为△ABC的布罗卡尔点,若PA=,则PB+PC=.答案1+解析如图,由“布罗卡尔点”的定义,设∠PAC=∠PCB=∠PBA=α,又CA=CB,∠ACB=120°,∴∠ABC=∠BAC=30°,∴∠CBP=∠PAB=30°-α=β,∴△BCP∽△ABP,∴,而在△ABC中,作CD⊥AB于D,则BD=AB,而cos B=,∴,∴,∴PB=1,PC=,∴PB+PC=1+.故答案为1+.创新拓展16.在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,M,N 分别为垂足.(1)求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;(2)求当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.(1)证明连接AP,∵△ABC是等边三角形,故不妨设AB=BC=AC=a,其中BC边上的高记作h,∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB·MP+AC·PN=a(PM+PN),又∵S△ABC=BC·h=ah,∴PM+PN=h.即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.(2)解设BP=x,在Rt△BNP中,∠BMP=90°,∠B=60°,BP=x,∴BM=BP·cos60°=x,MP=BP·sin60°=x,∴S△BMP=BM·MP=x·x=x2;∵PC=2-x,同理可得S△PNC=(2-x)2,又∵S△ABC=×22=,∴S四边形AMPN=S△ABC-S△BMP-S△PNC=x2-(2-x)2=-(x-1)2+,∴当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,是.。
中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第19课时全等三角形ppt课件(含答案)
第四单元┃ 图形的初步认识与三角形
[解析] (1)全等三角形判定中没有“边边角”，所以有两 边和一角对应相等的两个三角形全等，说法错误； (2)有一边和两角对应相等的两个三角形全等， 它符合“角 角边”或“角边角”定理，故说法正确； (3)三个角对应相等的两个三角形相似， 不一定全等， 故说 法错误； (4)面积相等， 且有一边相等的两个三角形不一定全等， 故 说法错误； (5)两个等边三角形的边不一定相等，故它们不一定全等， 故说法错误； (6)两个等腰直角三角形的边不一定对应相等， 故它们不一定全 等，故说法错误．
D．AB＝CD
图19－1
回归教材 考点聚焦 考向探究
第四单元┃ 图形的初步认识与三角形
2． [八上 P91 “说一说”改编] 请仔细观察用直尺和圆规 作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB 的示意图，请你根据 所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝ ∠AOB 的依据是( D )
A．SAS
第四单元┃ 图形的初步认识与三角形 考点4 与三角形有关的作图
作图类别
基本作图 作等腰 三角形
利用全等 图形作 三角形
按条件作图 1. 作一个角的平分线 2. 作线段的垂直平分线 3. 作一个角等于已知角 已知底边及底边上的 高作等腰三角形 1. 已知三边作三角形 2. 已知两边及夹角作三角形 3. 已知两角及夹边作三角形
回归教材
考点聚焦
考向探究
第四单元┃ 图形的初步认识与三角形
探究2 全等三角形的判定和性质的综合运用
命题角度： 1．根据条件选择合适的方法判定三角形全等； 2．利用全等三角形的判定与性质解决线段相等和角相等的 有关计算和证明． 例2 【2017·常州】如图19－4，在四边形ABCD中，点E在
中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第19讲 解直角三角形试题及答案
第19讲 解直角三角形1．已知tanA ＝1，则锐角A 的度数是( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．(2016·怀化)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( C )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm3．(2016·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝AC BC C ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝513，则tanB 的值为( D )A.1213B.512C.1312D.1255．(2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB ′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( A )A.11－sin αB.11＋sin αC.11－cos αD.11＋cos α6．(2016·白银)如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是92．7．(2016·岳阳)如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了100米．8．(2016·福州)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 29．(2016·丽水)数学拓展课程(玩转学具)课堂中，小陆同学发现，一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BC tanA ＝2tan30°＝2 3.由题意得EF ＝AC ＝23，在Rt △EFC 中，∠E ＝45°，∴CF ＝EF·cos45°＝23×22＝ 6.∴AF ＝AC －CF ＝23－ 6.10．(2016·黄石)如图，为测量一座山峰CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB ＝800米，BC ＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE ＝45°. (1)求AB 段山坡的高度EF ；(2)求山峰的高度CF.(2≈1.414，结果精确到1米)解：(1)过点B 作BH⊥AF 于点H.在Rt △ABH 中，∵sin ∠BAH ＝BHAB，∴BH ＝800×sin30°＝400(m)． ∴EF＝BH ＝400 m.答：AB 段山坡高度为400米．(2)在Rt △CBE 中，∵sin ∠CBE ＝CEBC ，∴CE ＝200×sin45°＝1002≈141.4(m)， ∴CF＝CE ＋EF ＝141.4＋400≈541(m)． 答：CF 的高度约为541米．11．(2016·台州)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm.图1是一位同学的坐姿，把她的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC.已知BC＝30 cm，AC＝22 cm，∠ACB＝53°，她的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)解：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．理由：过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△BDC中，BD＝BCsin53°≈30×0.8＝24(cm)，CD＝BCcos53°≈30×0.6＝18(cm)．∴AD＝AC－CD＝4(cm)．在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2＝592(cm)＜30(cm)．∴该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．12．(2016·永州)下列式子错误的是( D )A．cos40°＝sin50° B．tan15°·tan75°＝1C．sin225°＋cos225°＝1 D．sin60°＝2sin30°13．(2016·巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B )A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°米 D．AB＝1.2cos10°米14．(2016·娄底)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE＋CF的值( C )A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小15．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)解：过点C作CF⊥AB于点F，设AF＝x米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AFCF ，则CF ＝AF tan ∠ACF ＝x tan α＝xtan30°＝3x.在Rt △ABE 中，AB ＝x ＋BF ＝4＋x(米)，tan ∠AEB ＝AB BE ，则BE ＝AB tan ∠AEB ＝x ＋4tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF －BE ＝DE ，即3x －33(x ＋4)＝3. 解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)．答：树高AB 是33＋122米．16．(2016·连云港)如图，在△ABC 中，C ＝150°，AC ＝4，tanB ＝18.(1)求BC 的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)解：(1)过A 作AD⊥BC，交BC 的延长线于D ， 在Rt △ADC 中，AC ＝4，∠ACD ＝30°，∴AD ＝12AC ＝2，CD ＝AC·cos30°＝4×32＝2 3.在Rt △ABD 中，tanB ＝AD BD ＝2BD ＝18，∴BD ＝16.∴BC ＝BD －CD ＝16－2 3.(2)在BC 边上取一点M ，使得CM ＝AC ，连接AM. ∵∠ACB ＝150°，∴∠AMD ＝∠MAC＝15°.∴tan15°＝tan ∠AMD ＝AD MD ＝24＋23＝12＋3≈0.3.17．(2016·资阳)如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里． (1)求出此时点A 到岛礁C 的距离；(2)若“中国海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A′时，测得点B 在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)解：(1)延长BA ，过点C 作CD⊥BA 延长线于点D. 由题意可得 ∠CBD ＝30°， BC ＝120海里， 则DC ＝60海里．故cos30°＝DC AC ＝60AC ＝32.解得AC ＝40 3.答：点A 到岛礁C 的距离为403海里．(2)过点A′作A′N⊥BC 于点N ，A ′E ⊥BD 于点E ，可得∠A′CN＝30°，∠BA ′A ＝45°，∠A ′BN ＝∠A ′BA ＝15°. 则A′N＝A′E.设AA′＝x ，则A′E＝32x.故CA′＝2A′N＝2×32x ＝3x ， ∴3x ＋x ＝40 3. 解得x ＝20(3－3)．答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－3)海里．18．(人教9下教材P78T2变式)如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B ＝36°，则中柱AD(D 为底边中点)的长是( C )A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米。
河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第19讲锐角三角函数8年真题训练练习
第19讲 锐角三角函数命题点 解直角三角形1．(xx ·承德模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tanB ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝AC BC ＝12，∴AC ＝BC ·tanB ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，在Rt △ADC 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5. ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3，∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.2．(xx ·河北模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°.在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1.在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°.∴sin ∠ADC ＝22.重难点1 解直角三角形(xx ·河北模拟)已知，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，AB ＝5，D 在AB 上．(1)求BC 的长；(2)如图1，若∠CDB ＝∠B ，求sin ∠DCB 的值；(3)如图2，过点B 作BE ⊥CD 所在的直线，垂足为E ，BE 的延长线交直线AC 于点F. ①当tan ∠BCD ＝2时，求S △CBF ； ②当AF ＝54时，求线段AD 的长．【思路点拨】 (1)由正切的定义可知△ABC 是一个勾3，股4，弦5的直角三角形；(2)可通过过点D 作DE ⊥BC ，利用tanB 找到DE ，BE 的数量关系，再解直角△DCE ，求得sin ∠DCB 的值；(3)因为∠BCD ＝∠CFB ：①利用tan ∠CFB 的值，求CF ，进而求S △CBF ；②可通过过点A 作BC 的平行线交CD 延长线于点G ，先求AG ，再利用相似求AD 的长．【自主解答】 解：(1)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，∴tanB ＝AC BC ＝43，∴AC ＝43BC.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(43BC)2＋BC 2＝52，∴BC ＝3.(2)过点D 作DE ⊥BC ，则tanB ＝43＝DEBE ，∴BE ＝34DE ，∴CE ＝BC －BE ＝3－34DE.∵∠CDB ＝∠B ，∴CD ＝CB ＝3.∵CD 2＝CE 2＋DE 2，∴32＝DE 2＋(3－34DE)2，解得DE ＝7225.∴sin ∠DCB ＝DE DC ＝2425.(3)①∵∠BCD ＋∠FCE ＝90°，∠CFB ＋∠FCE ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CFB.∴tan ∠BCD ＝tan ∠CFB ＝2.∵tan ∠CFB ＝BC CF ＝2，BC ＝3，∴CF ＝32.∴S △CBF ＝94.②当点F 在线段AC 上时，如图3，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G ， ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝1112，AC ＝4，∴AG ＝113.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝ADBD .∴119＝AD 5－AD ，AD ＝114.图3 图4当点F 在线段CA 的延长线上，如图4，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G. ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝74，AC ＝4，∴AG ＝7.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝AD BD .∴73＝AD 5－AD .∴AD ＝72.方法指导1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解． 4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．Ｋ,【变式训练1】 如图是由一个角为60°且边长为1的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠BAC ＝233．【变式训练2】(xx ·上海)如图，已知在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求ADDB的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中， tan ∠ABC ＝AE BE ＝34，AB ＝5，∴AE ＝3，BE ＝4.∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32＋12＝10. (2)如图，∵DF 垂直平分BC ，∴BD ＝CD ，BF ＝CF ＝52.∵tan ∠DBF ＝DF BF ＝34，∴DF ＝158.在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258， ∴AD ＝5－258＝158，则AD DB ＝35. 重难点2 解直角三角形的应用(1)如图1，为了游客的安全，某景点将原坡角为60°的斜坡AB 改为坡度为1∶3的斜坡AC ，已知AB ＝100米，BC 在同一水平线上，求改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长；(2)(xx ·郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图2，为了测量无人机飞行的高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°，∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝30米，求无人机飞行的高度AD ；(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(3)(xx ·湘西)如图3，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A ，B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位于B 的北偏东30°的方向上，且AB ＝10 km.①求景点B 与C 的距离；②为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)【思路点拨】这三个问题均可以通过过点A作直线BC的垂线，垂足为D，再利用解直角三角形ABD和直角三角形ACD来解决．【自主解答】解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝100×cos60°＝50(米)，AD＝AB·sin∠ABD＝503米．∵AC的坡度为1∶3，∴AD∶CD＝1∶ 3.∴CD＝150，BC＝CD－BD＝150－50＝100(米)．∴改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC的长是100 m.(2)由题意，得∠EAC＝30°，∠EAB＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∠EAB＝∠ABD＝60°.∵∠ABD＝∠ACB＋∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.∴AB＝BC＝30.在Rt△ABD中，∴AD＝AB·sin∠ABD＝153≈25.98(米)．(3)①由题意，得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°.∴∠CAB＝∠C＝30°.∴BC＝AB＝10 km，即景点B，C的距离为10 km.②过点C作CD⊥AB于点D，∵BC＝10 km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBD＝60°，在Rt△CBD中，CD＝32BC＝5 3 km.【变式训练3】(xx·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A，B和点C，D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．解：过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40 m.设CH＝DE＝x m，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝3 3 x.在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝3x.由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，得3x＋40＋33x＝160，解得x ＝303，即CH ＝30 3 m. 答：该段运河的河宽为30 3 m ． 方法指导1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决： (1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角 三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．,模型建立)本题的三个题均可以抽象出如下图形：另外实际问题还可以抽象的几何图形为：1．(xx ·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于(A)A.35B.45C.34D.432．(xx ·保定模拟)在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且(tanB －3)(2sinA －3)＝0，则△ABC 一定是(D) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．有一个角是60°的三角形3．(xx ·唐山丰南区模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝24，则tanB 等于(B)A.513 B.512 C.1213 D.1254．(xx ·贵阳)如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为(B)A.12B ．1C.33D.35．(xx ·河北模拟)如图，△ABC 在边长为1个单位长度的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝55，那么点C 的位置可以在(D)A ．点C 1处B ．点C 2处C ．点C 3处D ．点C 4处6．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？否；(填“是”或“否”)请简述你的理由点A 到OB 的距离小于OB 与墙MN 平行的距离．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)7．【分类讨论思想】(xx ·无锡)已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝27，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于153或10 3.8．(xx ·贵阳)如图1，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sinA 与bsinB之间关系的方法： ∵sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴c ＝a sinA ，c ＝b sinB .∴a sinA ＝bsinB，根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC 中，探究a sinA ，b sinB ，c sinC之间的关系，并写出探究过程．解：a sinA ＝b sinB ＝c sinC.理由：过点A 作AD ⊥BC ，过点B 作BE ⊥AC ， 在Rt △ABD 中，sinB ＝ADc ，即AD ＝c ·sinB ，在Rt △ADC 中，sinC ＝ADb ，即AD ＝b ·sinC ，∴c ·sinB ＝b ·sinC ，即b sinB ＝csinC .同理可得a sinA ＝csinC ，则a sinA ＝b sinB ＝c sinC. 9．(xx ·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C 出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A 处，参观后又从A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B 处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？解：(1)过点C 作CP ⊥AB 于点P ，由题意，得∠A ＝30°，AP ＝2 000米， 则CP ＝12AC ＝1 000米．(2)∵在Rt △PBC 中，PC ＝1 000，∠PBC ＝∠BCP ＝45°， ∴BC ＝2PC ＝1 0002米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆， ∴他到达宾馆需要的时间为1 0002100＝102＜15.∴他在15分钟内能到达宾馆．10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝1，∠DAB ＝30°，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD 的面积为53，AD 的长是23．提示：延长AD ，BC 相交于点E ，可得△ABE 为直角三角形．11．(xx ·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝2．提示：连接BE ，构造Rt △BOF ，根据△AOC ∽△BOK 可得OK 与CK 的数量关系，求出OF 与BF 的数量关系即可．12．如图，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，D 为边BC 的中点，E 为边BC 的延长线上一点，且CE ＝BC.连接AE ，F 为线段AE 的中点．求：(1)线段DE 的长； (2)∠CAE 的正切值．解：(1)连接AD.∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ， 即∠ADB ＝90°.∵AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，∴AD AB ＝255.∴AD ＝4. 由勾股定理，得BD ＝2，∴DC ＝BD ＝2，BC ＝4. ∵CE ＝BC ，∴CE ＝4.∴DE ＝DC ＋CE ＝2＋4＝6.(2)过点C 作CM ⊥AE 于点M, 则∠CMA ＝∠CME ＝90°. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝213. ∵CM 2＝AC 2－AM 2＝CE 2－EM 2， ∴(25)2－AM 2＝42－(213－AM)2， 解得AM ＝141313.∴CM ＝AC 2－AM 2＝81313.∴tan ∠CAE ＝CM AM ＝47.13．(xx ·河北模拟)阅读下面的材料：嘉嘉在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．淇淇是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD ＝α，∠CBE ＝β，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得α＋β＝∠ABC ＝45°．请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝4，tan β＝35时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ＝α－β，由此可得α－β＝45°．解：如图．。
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2019-2020年中考数学考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第19讲解直角
三角形试题
1．(xx·成都高新区一诊)如图，△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则cosA ＝( D )
A.
52 B.12 C.255 D.55
2．(xx·怀化)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝4
5
，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( C )
A ．6 cm
B ．7 cm
C ．8 cm
D ．9 cm
3．(xx·德阳中江课改监控练习)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝3
5，则cosB 的值是( B )
A.45
B.35
C.34
D.43
4．(xx·荆州)如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦值是( D )
A ．2 B.255 C.12 D.5
5
5．(xx·绵阳)如图，沿AC 方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD＝150°，沿BD 方向前进，取∠BDE＝60°，测得BD ＝520 m ，BC ＝80 m ，并且AC ，BD ，DE 在同一平面内，那么公路程CE 段的长度为( C )
A ．180 m
B ．260 3 m
C ．(2603－80)m
D ．(2602－80)m
6．(xx·新疆)轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( D ) A ．253海里 B ．252海里 C ．50海里 D ．25海里
7．(xx·巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B )
A ．斜坡A
B 的坡度是10° B ．斜坡AB 的坡度是tan10°
C ．AC ＝1.2tan10°米
D ．AB ＝ 1.2
cos10°
米
8．(xx·德阳中江模拟)△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sinA ＝
32，cosB ＝2
2
，则∠C＝75°． 9．(xx·白银)如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是9
2
．
10．(xx·岳阳)如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点C ，则小辰上
升了100米．
11．(xx·乐山)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∠B ＝30°，CE ⊥AB ，垂足为点E.若AD ＝1，AB ＝23，求CE 的长．
解：过点A 作AH⊥BC 于点H ，则AD ＝HC ＝1， 在Rt △ABH 中，∠B ＝30°，AB ＝23， ∴BH ＝AB·cosB ＝23×3
2
＝3. ∴BC ＝BH ＋HC ＝4. ∵CE ⊥AB ，
∴CE ＝BC·sinB ＝4×1
2
＝2.
12．(xx·自贡)某国发生8.1级地震，我国积极组织抢险队前往地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A ，B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测先与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在的位置C 的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7)
解：作CD⊥AB 交AB 延长线于点D ， 设CD ＝x 米．
在Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°， ∴tan25°＝CD AD ＝0.5.∴AD＝CD
0.5
＝2x.
Rt △BDC 中，tan ∠DBC ＝CD BD ＝3，即x
2x －4
＝3，解得x≈3.
答：生命迹象所在位置C 的深度约为3米．
13．(xx·绵阳)如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( D )
A ．(11－22)米
B ．(113－22)米
C ．(11－23)米
D ．(113－4)米
提示：延长OD ，BC 交于点P.再在Rt △DCP 中求出PC ，在Rt △OBP 中求出BP ，则BC ＝BP －PC.
14．(xx·娄底)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ，C 不重合)，作BE⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，则BE ＋CF 的值( C )
A ．不变
B ．增大
C ．减小
D ．先变大再变小
提示：设∠DCF＝∠DBE＝α，易知BE ＋CF ＝BD·cos α＋CD·cos α＝BC·cos α，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．
15．(xx·自贡)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则AP
PB
的值为3，tan ∠APD 的值为2．
提示：连接BE 交DC 于点F.由题意易得BF ＝CF ，△ACP ∽△BDP ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP∶CP ＝1∶3，即可得PF∶CF＝PF∶BF＝1∶2.在Rt △PBF 中，tan ∠BPF ＝BF
PF
＝2.
16．(xx·凉山)如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°.从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°.已知树高EF ＝6米，求塔CD的高度．(结果保留根号)
解：过点P作PG⊥CD于点G，交EF于点H.
∵∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴FD＝EF＝6米．
在Rt△PEH中，
∵tanβ＝
EH
PH
＝
5
BF
，
∴BF＝
5
3
3
＝5 3.
∴PG＝BD＝BF＋FD＝53＋6.
在Rt△PCG中，∵tanβ＝
CG
PG
，
∴CG＝(53＋6)×
3
3
＝5＋2 3.
∴CD＝CG＋GD＝(6＋23)米．
17．(xx·资阳)如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．
(1)求出此时点A到岛礁C的距离；
(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(结果保留根号)
解：(1)延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，
由题意可得∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里．
∴cos30°＝
DC
AC
＝
60
AC
＝
3
2
，解得AC＝40 3.
答：点A到岛礁C的距离为403海里．
(2)过点A′作A′N⊥BC于点N，A′E⊥BD于点E.
则∠ABC＝30°，∠EA′A＝30°，∠A′AE＝60°. ∵∠EA′B＝75°，∴∠AA′B＝45°.
∴∠ABA′＝15°.
∴∠ABA′＝∠CBA′.
∴A′N＝A′E.
设AA′＝x，则A′E＝
3
2
x，
∴CA′＝2A′N＝2×
3
2
x＝3x.
∴3x＋x＝40 3.解得x＝60－20 3.
答：此时“中国海监50”的航行距离为(60－203)海里．k * 38669 970D 霍 P32503 7EF7 绷22595 5843 塃31079 7967 祧29377 72C1 狁'21871 556F 啯.。