三角函数讲义(2)

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2019版高考数学(文)讲义：第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( )
[ ] 4
π
3
，π
(2)已知 sinα＝5，α∈ 2 ，则 cosα＝5.( )
(3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( )
(4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角．( )
1
1
A.2 1
B．－ 3 1
C．－ 2
D.3
答案 C
sinα·cosα
解析 ∵f(α)＝－cosαtanα＝－cosα，
( ) ( ) ( ) 31π
31π
π
π1
－
－
10π＋
∴f 3 ＝－cos 3 ＝－cos
3 ＝－cos3＝－2.
( ) ( ) π 1
7π
α＋
α＋
5．已知 sin 12 ＝3，则 cos 12 的值为( )
命题角度 2 同角关系和诱导公式的综合应用
例 3 [2016·全国卷Ⅰ]已知 θ 是第四象限角，且
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
sin 4 ＝5，则 tan 4 ＝________.
4
答案－3
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
解析因为 sin 4 ＝5，所以 cos 4 ＝sinError!Error!＝sin
3
3
A．－ 2
B. 2
3
3
C．－ 4
D.4
答案 B
5π 3π
解析 ∵ 4 ＜α＜ 2 ，
∴cosα＜0，sinα＜0 且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0. 13

高一数学三角函数讲义

三角函数讲义知识要点:一、角的概念与推广:任意角的概念;象限角（轴线角）、终边相同的角;二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；弧长公式：r l α=扇形面积：S=α22121r r l =⋅三角函数线:如右图,有向线段A Ｔ与M Ｐ O Ｍ分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。

三、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有:1、常数代换法：如：αααααα2222tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+=2、配角方法：ββαα-+=)(()βαβαα-++=)(222βαβαβ--+=3、降次与升次:22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 22αα+= 以及这些公式的变式应用。

4、 ()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中ab=θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。

5、常见三角不等式:（1）、若x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈则π (２)、若2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭⎫⎝⎛∈x x x 则π（３）、1cos sin ≥+x x 6、常用的三角形面积公式：（1）、c b a ch bh ah S 212121===(2)、B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===（3）、S =四、三角函图象和性质:正弦函数图象的变换：()()αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换万能公式:2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α例1 已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ,求3c ｏｓ 2θ + 4ｓｉn 2θ 的值。

2三角函数的图像与性质-简单难度-讲义

三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]22x k k ππππ?++，（k Z Î）增函数3[22]22x k k ππππ?+，（k Z Î）减函数5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴2x k k Zππ=+?，；对称中心(0)k k Z πÎ，，． 2.余弦函数图像和性质1）图像xy -11-2π-π2ππo2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]x k k πππ?+，（k Z Î）增函数 [22]x k k πππ?，（k Z Î）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴x k k Z π=?，；对称中心(0)2k k Zππ+?，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x x k k Z ππ??，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，-++（k Z Î）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k k Z πÎ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)y x ϕϕ=+?的图像可以看做将函数sin y x =的图像上的所有的点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且1ω¹）的图像可以看做是把sin()y x ϕ=+的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到．3）振幅变换：函数sin()y A x ωϕ=+（0A >且1A ¹）的图像可以看做是将sin()y x ωϕ=+的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅲ）函数f （x ）=tanx 1+tan 2x的最小正周期为（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【解答】解：函数f （x ）=tanx1+tan 2x =sinxcosxcos 2x+sin 2x =12sin2x 的最小正周期为2π2=π，故选：C ．2．（2018•海南三模）函数f(x)=1+12sin2x 的最小正周期与最小值分别为（）A ．2π，12B ．π，12C ．2π，1D ．π，1【解答】解：函数f(x)=1+12sin2x 的最小正周期为 2π2=π，它的最小值为 1﹣12=12，故选：B ．3．（2018•福建模拟）将函数y=sin2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f （x ）的图象，则（） A ．y=f （x ）的图象关于直线x =π8对称B ．f （x ）的最小正周期为π2C ．y=f （x ）的图象关于点(π2，0)对称D ．f （x ）在(−π3，π6)单调递增【解答】解：函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y=sinx，即f（x）=sinx．根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x=π2+kπ，∴A不对．周期T=2π，∴B不对．对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．单调递增区间为[2kπ−π2，π2+2kπ]，k∈Z，∴f（x）在(−π3，π6)单调递增．故选：D．4．（2018•广西模拟）函数f(x)=cos(πx−π6)的图象的对称轴方程为（）A．x=k+23(k∈Z)B．x=k+13(k∈Z)C．x=k+16(k∈Z)D．x=k−13(k∈Z)【解答】解：函数f(x)=cos(πx−π6)，令πx−π6=kπ，k∈Z可得：πx=kπ+π6，即x=k+16，k∈Z．故选：C．5．（2018•宝鸡一模）函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)，若f(0)=−√3，且函数f（x）的图象关于直线x=−π12对称，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为π3B．函数f（x）的图象关于点(7π9，0)对称C．函数f（x）在区间(π4，11π24)上是增函数D ．由y=2cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f （x ）的图象【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)，∵f(0)=−√3，即2sinφ=−√3，∵−π2＜φ＜π2 ∴φ=−π3又∵函数f （x ）的图象关于直线x =−π12对称， ∴−ω×π12−π3=π2+kπ，k ∈Z ．可得ω=12k ﹣10， ∵0＜ω＜12． ∴ω=2．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=2sin （2x ﹣π3）．最小正周期T=2π2=π，∴A 不对．当x=7π9时，可得y ≠0，∴B 不对．令﹣π2≤2x ﹣π3≤π2，可得−π12≤x ≤5π12，∴C 不对．函数y=2cos2x 的图象向右平移5π12个单位，可得2cos2（x ﹣5π12）=2cos （2x ﹣5π6）=2sin （2x ﹣5π6+π2）=2sin （2x ﹣π3）．∴D 项正确．故选：D ．6．（2018•长沙一模）函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3，√3)，则f(π4)的值为（）A ．√32B ．√3C ．2D ．2√3【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为π2，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点(3，√3)，在第一象限．即tanφ=√33，∴φ=π6故得f （x ）=sin （2x +π6）则f(π4)=sin （π2+π6）=cos π6=√32．故选：A ．7．（2018•永州三模）将函数f （x ）=sin （2x +φ）（|φ|＜π2）的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对称，则函数f （x ）在[0，π2]上的最小值为（）A ．√32 B ．12C ．﹣12D ．﹣√32【解答】解：函数f （x ）=sin （2x +φ）（|φ|＜π2）的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=sin [2（x +π6）+φ]=sin （2x +π3+φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得π3+φ=kπ，k ∈z ，∴φ=﹣π3，f （x ）=sin （2x ﹣π3），由题意x ∈[0，π2]，得2x ﹣π3∈[﹣π3，2π3]，∴sin （2x ﹣π3）∈[﹣√32，1]∴函数y=sin （2x ﹣π3）在区间[0，π2]的最小值为﹣√32．故选：D ．8．（2018•全国三模）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f （x 1）=2，f （x 2）=0，若|x 1﹣x 2|的最小值为12，且f(12)=1，则f （x ）的单调递增区间为（）A ．[−16+2k ，56+2k ]，k ∈ZB ．[−56+2k ，16+2k ]，k ∈ZC ．[−56+2kπ，16+2kπ]，k ∈ZD ．[16+2k ，76+2k ]，k ∈Z【解答】解：由f （x 1）=2，f （x 2）=0，且|x 1﹣x 2|的最小值为12可知：T 4=12，∴T=2⇒ω=π，又f(12)=1，则φ=±π3+2kπ，k ∈Z ，∵0＜φ＜π2，∴φ=π3，f（x ）=2sin （πx +π3），2k π−π2≤πx +π3≤2k π+π2，k ∈Z ，故可求得f （x ）的单调递增区间为：[﹣56+2k ，16+2k ]，k ∈Z ，故选：B ．9．（2018•广州一模）已知函数f （x ）=sin （ωx +π6）（ω＞0）在区间[﹣π4，2π3]上单调递增，则ω的取值范围为（） A ．（0，83]B ．（0，12]C ．[12，83]D ．[38，2]【解答】解：函数f （x ）=sin （ωx +π6）（ω＞0）在区间[﹣π4，2π3]上单调递增，∴{−πω4+π6≥−π2+2kπ2ωπ3+π6≤π2+2kπ，k ∈Z解得：{ω≤83−8kω≤12+3k∵ω＞0，当k=0时，可得：0＜ω≤12．故选：B ．10．（2018•珠海二模）若函数f （x ）=cos （2x +φ）在（0，π2）上单调递减，则φ的值可能是（） A ．2πB ．πC ．π2D ．﹣π2【解答】解：x ∈（0，π2）时，2x +φ∈（φ，π+φ）；由f （x ）=cos （2x +φ）在（0，π2）上单调递减，∴{2kπ≤φ2kπ+π≥π+φ，解得2kπ≤φ≤2kπ，k ∈Z ；当k=1时，取得φ=2π．故选：A ．11．（2018•全国）要得到y=cosx ，则要将y=sinx （） A ．向左平移π个单位B ．向右平移π个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位【解答】解：要将y=sinx 的图象向左平移π2个单位，可得y=sin （x +π2）=cosx 的图象，故选：C ．12．（2018•榆林一模）已知曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)，则下列说法正确的是（）A ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移π3，得到曲线C 2B ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2C ．把C 1向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2D ．把C 1向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2【解答】解：根据曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)=sin （12x ﹣π3），把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin （12x ）的图象；再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2：y=sin （12x ﹣π3）的图象，故选：B ．13．（2018•凌源市模拟）将函数f （x ）=2√3cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣√3的图象向左平移t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．2π3B ．π3C ．π2D ．π6【解答】解：将函数f （x ）=2√3cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣√3=√3cos2x ﹣sin2x=2cos （2x +π6）的图象向左平移t （t ＞0）个单位，可得y=2cos （2x +2t +π6）的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t +π6=kπ+π2，k ∈Z ，则t 的最小为π6，故选：D ．14．（2018•四川模拟）若将函数y=sin2x+√3cos2x的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．x=kπ2−π12(k∈Z)B．x=kπ2+π2(k∈Z)C．x=kπ2(k∈Z)D．x=kπ2+π12(k∈Z)【解答】解：将函数y=sin2x+√3cos2x=2sin（2x+π3）的图象向左平移π6个单位长度，可得y=2sin（2x+π3+π3）=2sin（2x+2π3）的图象，令2x+2π3=kπ+π2，可得x=kπ2﹣π12，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=kπ2﹣π12，k∈Z，故选：A．15．（2018•河南模拟）已知点A(0，2√3)，B(π6，0)是函数f（x）=4sin（ωx+φ）(0＜ω＜6，π2＜φ＜π)的图象上的两个点，若将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴的方程为（）A．x=π12B．x=π6C．x=π3D．x=5π12【解答】解：∵f(0)=4sinφ=2√3，π2＜φ＜π，∴φ=2π3．由f(π6)=4sin(π6ω+2π3)=0，得π6ω+2π3=kπ，ω=6k﹣4（k∈Z），∴ω=2，故f（x）=4sin（2x+2π3）．又将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到g（x）=4sin[2（x﹣π6)+2π3]=4sin(2x+π3)+2π3]=4sin（2x+π3）的图象．将选项代入验证可知x=π12是一条对称轴方程，故选：A ．二．填空题（共8小题）16．（2018•宝山区二模）函数 f （ x ）=2sin 4x cos 4x 的最小正周期为 π4【解答】解：∵f （ x ）=2sin4xcos4x=sin8x ，∴f （ x ）的最小正周期T=2π8=π4．故答案为π4．17．（2018•浦东新区三模）函数y=cos （2x +π4）的单调递减区间是 [kπ−π8，kπ+3π8](k ∈Z) ．【解答】解：由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π，即kπ﹣π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈Z故函数的单调减区间为[kπ−π8，kπ+3π8](k ∈Z)，故答案为：[kπ−π8，kπ+3π8](k ∈Z)．18．（2017•江苏模拟）若函数f （x ）=sin （ωx +π6），（ω＞0）最小正周期为π，则f （π3）的值为 12．【解答】解：∵函数f （x ）=sin （ωx +π6）（ω＞0）最小正周期为2πω=π，∴ω=2，则f （π3）=sin （2•π3+π6）=sin 5π6=sin π6=12，故答案为：12．19．（2017•上海一模）函数y=sin （ωx ﹣π3）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2 ．【解答】解：∵y=sin （ωx ﹣π3）（ω＞0），∴T=2π|ω|=π，∴ω=2．故答案是：2．20．（2018•江苏）已知函数y=sin （2x +φ）（﹣π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π3对称，则φ的值为 −π6 ．【解答】解：∵y=sin （2x +φ）（﹣π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π3对称，∴2×π3+φ=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ﹣π6，∵﹣π2＜φ＜π2，∴当k=0时，φ=﹣π6，故答案为：﹣π6．21．（2018•浙江模拟）已知函数f （x ）=2sin （2x +π3）+1，则f （x ）的最小正周期是 π ，f （x ）的最大值是 3【解答】解：函数f （x ）=2sin （2x +π3）+1，则f （x ）的最小正周期是T=2πω=π，当2x +π3=π2+2kπ，k ∈Z ，即x=π12+kπ，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值是2+1=3．故答案为：π，3．22．（2018•南通模拟）函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为 2 ．【解答】解：由函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象知，3T4=11﹣2=9，解得T=12，ω=2πT =π6；又f （0）=Asinφ=1， ∴sinφ=1A；f （2）=Asin （π6×2+φ）=A ，∴φ=π6，∴1A =sin π6=12， ∴A=2，∴f （2018）=f （168×12+2）=f （2）=A=2．故答案为：2．23．（2017•江苏模拟）将函数y=5sin （2x +π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ= π8．【解答】解：∵y=5sin （2x +π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得：g （x ）=f （x +φ）=2sin （2x +2φ+π4），∵g （x ）=2sin （2x +2φ+π4）的图象关于y 轴对称，∴g （x ）=2sin （2x +2φ+π4）为偶函数，∴2φ+π4=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=12kπ+π8，k ∈Z ．∵0＜φ＜π2，∴φ=π8．故答案为：π8．三．解答题（共6小题）24．（2016•海淀区模拟）已知函数f （x ）=2√2sinxcos （x +π4）．（Ⅲ）若在△ABC 中，BC=2，AB=√2，求使f （A ﹣π4）=0的角B ．（Ⅲ）求f （x ）在区间[π2，17π24]上的取值范围．【解答】解：（I ）∵f(A −π4)=2√2sin(A −π4)cosA =0，∴sin(A −π4)=0或cosA =0，∴在三角形中，得A =π4或π2．∵△ABC 中，BC=2，AB=√2，∴当A=π2时，△ABC 为等腰直角三角形，B=π4；当A=π4时，由正弦定理可得2sin π4=√2sinC，求得sinC=12，∴C=π6 或C=5π6（舍去），∴B=π﹣A ﹣C=7π12．综上可得，B=π4 或B=7π12．（II ）f(x)=2√2sinx(√22cosx −√22sinx)=2sinxcosx −2sin 2x =sin2x +cos2x −1=√2(√22sin2x +√22cos2x)−1=√2sin(2x +π4)−1，∵π2≤x ≤17π24，∴5π4≤2x +π4≤5π3，∴−√2≤√2sin(2x +π4)≤−1，∴﹣√2﹣1≤sin （2x ﹣π4）≤﹣2．由正弦函数的性质可知，当2x +π4=3π2，即x =5π8时，f(x)取最小值−√2−1；当2x+π4=5π4，即x=π2时，f(x)取最大值−2．所以，f（x）在区间[π2，17π24]上的取值范围是[−√2−1，−2]．25．（2018•海淀区二模）如图，已知函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象经过B(π6，0)，C(2π3，0)，D(5π12，2)三点（Ⅲ）写出A，ω，φ的值；（Ⅲ）若α∈(5π12，2π3)，且f（α）=1，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅲ）由题意可得A=2，12⋅2πω=2π3﹣π6，∴ω=2，再结合五点法作图可得2×π6+φ=0，求得φ=−π3．（Ⅲ）由（Ⅲ）得，f(x)=2sin(2x−π3)，∵f（α）=1，∴sin(2α−π3)=12．∵α∈(5π12，2π3)，∴2α−π3∈(π2，π)，∴2α−π3=56π，∴2α=76π，∴cos2α=cos 76π=−√32．26．（2018•朝阳区二模）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的图象经过点（π2，1），a∈R．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若当x∈[0，π2]时，不等式f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的图象经过点（π2，1），∴2sin π2（sin π2+cos π2）﹣a=1，即2﹣a=1，解得a=1；∴函数f （x ）=2sinx （sinx +cosx ）﹣1 =2sin 2x +2sinxcosx ﹣1 =2×1−cos2x2+sin2x ﹣1=sin2x ﹣cos2x=√2sin （2x ﹣π4）；令﹣π2+2kπ≤2x ﹣π4≤π2+2kπ，k ∈Z ；解得﹣π8+kπ≤x ≤3π8+kπ，k ∈Z ；∴f （x ）的单调递增区间为[﹣π8+kπ，3π8+kπ]，k ∈Z ；（2）当x ∈[0，π2]时，2x ﹣π4∈[﹣π4，3π4]，∴√2sin （2x ﹣π4）≥√2×（﹣√22）=﹣1；又不等式f （x ）≥m 恒成立， ∴实数m 的取值范围是m ≤﹣1．27．（2017•北京）已知函数f （x ）=√3cos （2x ﹣π3）﹣2sinxcosx ．（I ）求f （x ）的最小正周期；（II ）求证：当x ∈[﹣π4，π4]时，f （x ）≥﹣12．【解答】解：（Ⅲ）f （x ）=√3cos （2x ﹣π3）﹣2sinxcosx ，=√3（12co2x +√32sin2x ）﹣sin2x ，=√32cos2x +12sin2x ， =sin （2x +π3），∴T=2π2=π，∴f （x ）的最小正周期为π，（Ⅲ）∵x ∈[﹣π4，π4]，∴2x +π3∈[﹣π6，5π6]，∴﹣12≤sin （2x +π3）≤1，∴f （x ）≥﹣1228．（2018•玉溪模拟）已知函数f （x ）=sin 2x +√3sinx•cosx +2cos 2x ，x ∈R （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f （x ）的图象可以由函数y=sin2x 的图象经过怎样的变换得到？【解答】解：（1）f （x ）=sin 2x +√3sinx ⋅cosx +2cos 2x ，=√32sin2x +cos 2x +1， =√32sin2x +cos2x+12+1， =sin(2x +π6)+32，函数的最小正周期为：T=2π2=π．令：π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ（k ∈Z ），解得：π6+kπ≤x ≤kπ+2π3（k ∈Z ），函数的单调递减区间为：[π6+kπ，2π3+kπ]（k ∈Z ）．（2）函数y=sin2x 的图象向左平移π12个单位得到函数y=sin （2x +π6）的图象，再将函数图象向上平移32各单位得到f （x ）=sin （2x +π6）+32的图象．29．（2018•海淀区校级三模）若函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．求：（Ⅲ）ω和φ；（Ⅲ）f（x）在区间(0，π3)上的取值范围．【解答】解：（Ⅲ）由函数f（x）的部分图象知，T 2=5π12−π6=π4，又T=2πω=π2，∴ω=4；又1 2(π2−5π12)=π24，π24+π6=5π24，∴f（x）的图象过点(5π24，1)，即1=sin(4⋅5π24+φ)；又|φ|＜π2，∴φ=−π3；（Ⅲ）由（Ⅲ）知，f(x)=sin(4x−π3)，当0＜x＜π3时，−π3＜4x−π3＜π，∴﹣√32＜x≤1；∴f（x）在区间(0，π3)上的取值范围是(−√32，1]．。

高中数学讲义三角函数的图像和性质

第二讲三角函数的图像和性质【知识要点】1.函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种主要途径2.熟悉函数sin()y A x ωϕ=+的性质【典型例题】1．已知函数2()2cos sin()3sin sin cos 23f x x x x x x π=+-++（x R ∈），该函数的图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经过怎样的变换得到？2．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。

3.已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

xy O––––5121-2-134.若函数)0,0)(sin(>>+=ωϕϕωx A y 的图像的一个最高点为2,2(),它到其相邻最低点之间的图像与x 轴交于点（6，0），求这个函数的解析式，并求该图像关于直线x=8对称的图形的解析式5.（2003年高考江苏卷）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.6．已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．7.已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3sin(cos 2)(2+-+=π。

三角函数讲义

三角函数讲义
一、定义
三角函数是以三角形里边角的大小为参数的函数，主要用来描述三角形的属性。

它由三个基本的函数：正弦函数（Sine）、余弦函数（Cosine）和正切函数（Tangent）组成。

二、三角函数的应用
1. 日常生活中：三角函数在日常生活中有着广泛的应用，比如表达宇宙物理学上的位置关系、描绘波浪形（wavy lines）以及建筑工程中的抛物线（parabola）等。

2. 电子学和通信工程领域：三角函数在电子学和通信工程领域有着非常重要的作用，可以对电信信号改变及衰减的实际情况进行准确的描述。

而且它还可以帮助我们更准确的捕捉到两个变量实际情况中的微小变化。

3. 工程计算：在工程计算中，使用三角函数来解决复杂问题，比如流体力学中的水力学问题（hydrodynamic problems）、测量问题和结构物力学问题（structural mechanics problems）等，可以使用三角函数来解决。

第九讲三角函数讲义(二)

第九讲三角函数讲义（二）一、【知识要点】R 二、【知识应用】（一）、求定义域例1．求函数1sin 2cos 1)2cos 2lg(--++=x xx y 的定义域。

（二）、利用三角函数的性质比较大小例1．设75sin π=a 、72cos π=b 、72tan π=c ，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<（三）、复合型三角函数图像的识别例1．函数x y cos ln = 其中22ππ<<-x 的图象是（）（四）、求值域、最值1、利用三角函数的有界性求值域1、形如y=asinx+bcosx+c 型引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c 再求值域. 例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型通过降幂转化为Asinx+Bcosx 再求值域. 例2、f(x)=23asinx ·cosx-2asin 2x+1（a>0）的值域2、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型令sinx=t 转化为二次函数再求值域. 例3、k<-4，求y=cos2x+k(cosx-1)的值域2、形如y=asinx·cosx+b （sinx±cosx ）+c ，换元令sinx±cosx=t 转化为二次函数在]2,2[-上的值域问题例4、求函数y=sinx ·cosx+sinx+cosx 的值域xxA ．B ．C ．D ．3、考察结构特征，用分离常数法求值域形如y=d x c bx a ++cos cos 型，可用分离常数法转化为y=a+xb 再求值域.例5、求函数y=1cos 21cos 2-+x x 的值域.4、反函数思想求值域形如y=d x c bx a ++sin cos 可用反函数思想转化为f(y)sin(x+φ)=g(y)求值域.例6、求y=3sin 22cos 3--x x 的值域.5、化为一元二次方程用判别式求值域形如y=dx c bx a ++sin cos 也可用判别式求值域例7、求函数y=xxcos 2sin +的值域6、根据代数函数的单调性求值域形如y=asint+tb sin ，令sint=x ，根据函数y=ax+x b的单调性求值域.例8、θ∈(0,π)，则函数y=sin θ+θsin 2的值域为_________.（五）、求三角函数的周期例1．已知函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin +⋅+=，（1）求该函数的最小正周期；（2）求函数的最小值及相应的x 的集合。

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函数性质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

三角函数讲义(最新)

三角函数复习讲义一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=yx，定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。

单调区间：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。

2020版高考数学复习三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式讲义理(含解析)

第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：□01sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：□02sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.三角函数的诱导公式1.概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.小题热身 (1)若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝________. 答案－12解析因为sin α＝55，π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12.(2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________.答案－cos α解析原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α.(3)sin2490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案－12 －12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.答案－45解析因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.题型一同角三角函数关系式的应用1.已知cos α＝15，－π2<α<0，则1tan α＝( )A.2 6 B ．－2 6 C ．－612 D.612答案 C解析因为cos α＝15，－π2<α<0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－265，所以1tan α＝cos αsin α＝15－265＝－612.2.已知tan x ＝3，则sin x ＋3cos x2sin x －3cos x ＝________.答案 2解析因为tan x ＝3，所以sin x ＋3cos x 2sin x －3cos x ＝tan x ＋32tan x －3＝3＋32×3－3＝2.3.sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 答案 44.5解析因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.1.已知△ABC 中，cos A sin A ＝－125，则cos A 等于( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213答案 D解析因为A 是三角形内角，且cos A sin A ＝－125<0，所以cos A <0且5cos A ＝－12sin A ，则25cos 2A ＝144sin 2A ＝144(1－cos 2A ) 解得cos 2A ＝144169，所以cos A ＝－1213.2.若α是第二象限角，则tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A.－1 B ．1 C.－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 3.(2018·绵阳诊断)已知2sin α＝1＋cos α，则tan α的值为( ) A.－43B.43 C.－43或0D.43或0 答案 D解析因为2sin α＝1＋cos α，所以4sin 2α＝1＋2cos α＋cos 2α，又因为sin 2α＝1－cos 2α，所以4(1－cos 2α)＝1＋2cos α＋cos 2α，即5cos 2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝－1或cos α＝35.当cos α＝－1时，sin α＝0，tan α＝0，当cos α＝35时，sin α＝45，tan α＝43.题型二诱导公式的应用1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A.1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 C解析原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2.已知f (α)＝π－απ－α－π－απ－α，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( ) A.12 B.13 C.32 D.22 答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α－tan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 3.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．答案 0 解析因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.条件探究1 若举例说明3的条件“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ”改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π12＝a ”，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋7π12.解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π12＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π12＝－a .条件探究2 若举例说明3的条件“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ”改为“cos(α－17°)＝a ”，求sin(α－107°)．解 sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°) ＝－cos(α－17°)＝－a .(1)诱导公式的两个应用方向与原则①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明3中π6－θ＋5π6＋θ＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝π2.1.(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2017π2＝( ) A.－45 B ．－35 C.35 D.45答案 B解析因为角α的终边经过点P (3,4)．所以cos α＝332＋42＝35. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2017π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1008π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2.(2018·石家庄模拟)已知k ∈Z ，化简：k π－αk －π－α]k ＋π＋αk π＋α＝________.答案－1解析当k 为偶数时，原式＝－α－π－απ＋αα＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1. 当k 为奇数时，原式＝π－α－αsin απ＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上知，原式＝－1.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用角度1 化简与求值1.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2018·长沙模拟)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin x －cos x ＝( )A.－75B.75C.57 D ．－57答案 A解析因为sin(π＋x )－cos x ＝－15，所以－sin x －cos x ＝－15，所以sin x ＋cos x ＝15∈(0,1)．又因为－π<x <0，所以－π2<x <0，所以sin x －cos x <0.sin x ＋cos x ＝15，两边平方得1＋2sin x cos x ＝125，所以2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.所以sin x －cos x ＝－75.角度3 常值代换问题3.(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1 D.1625答案 A解析当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin αcos α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425，故选A.同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝….1.1＋π－π＋化简的结果是( )A.sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C.±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝－2＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.2.已知tan100°＝k ，则sin80°的值等于( ) A.k1＋k 2B ．－k1＋k2C.1＋k2k D ．－1＋k2k答案 B解析由已知得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k1＋k2.3.若sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝( )A.25 B ．－25 C.23 D ．－23 答案 B解析由sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，得sin x ＝2cos x ，即tan x ＝2，则cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x sin x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝－tan x 1＋tan 2x ＝－21＋4＝－25.。

三角函数专题复习讲义

三角函数专题复习讲义1. 弧度与角度1.1 弧度的定义弧度（radian）是角度的一个度量单位。

它是一种以弧长为单位来衡量角度的方式。

在一个半径为1的圆中，角度θ对应的弧长与半径的比值就是角度θ的弧度表示，数学上用符号rad来表示。

1.2 角度与弧度的互相转换角度与弧度的转换关系可以用以下公式表示：- 弧度转角度：角度 = 弧度× (180/π)- 角度转弧度：弧度 = 角度× (π/180)其中π表示圆周率，约等于3.。

2. 三角函数2.1 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。

对于一个角度θ，其正弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的纵坐标。

2.2 余弦函数（cos）余弦函数是三角函数中的一种，用cos表示。

对于一个角度θ，其余弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的横坐标。

2.3 正切函数（tan）正切函数是三角函数中的一种，用tan表示。

对于一个角度θ，其正切值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点纵坐标与横坐标的比值。

3. 三角函数的基本性质3.1 周期性三角函数具有周期性，即一个三角函数图像在一个周期内重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

3.2 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)，余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)，而正切函数既不是奇数也不是偶数函数。

3.3 反函数三角函数都有反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

它们可以用来求解给定三角函数的值的角度。

4. 三角函数的应用4.1 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用，例如通过已知两个边长求解夹角、求解三角形的面积等。

4.2 物理应用正弦函数和余弦函数在物理学中有很多应用，例如描述质点的周期性运动、波动现象和振动等。

4.3 工程应用三角函数在工程学中也有许多应用，例如在三角测量、建筑设计和信号处理等方面的应用。

（word完整版）高中数学专题系列三角函数讲义

（word完整版）⾼中数学专题系列三⾓函数讲义§1.1.1、任意⾓1、正⾓、负⾓、零⾓、象限⾓的概念.2、与⾓α终边相同的⾓的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形⾯积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意⾓的三⾓函数1、设α是⼀个任意⾓，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为⾓α终边上任意⼀点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三⾓函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、特殊⾓0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三⾓函数值.§1.2.21、平⽅关系：1cos sin 22=+αα 2、商数关系：αααcos sin tan =. 3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三⾓函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最⼤最⼩值、对称轴、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.3、会⽤五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，⽆周期性π2=T π2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴⽅程：2x k ππ=+对称中⼼(,0)k π对称轴⽅程：x k π= 对称中⼼(,0)2k ππ+⽆对称轴对称中⼼,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三⾓函数的周期，对称轴和对称中⼼函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中⼼，只需令()2x k k Z πω?π+=+∈与()x k k Z ω?π+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类⽐可得.4、由图像确定三⾓函数的解析式利⽤图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,?要⽤图像的关键点来求.§1.6、三⾓函数模型的简单应⽤（要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两⾓差的余弦公式§3.1.2、两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=αα2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα+=-= 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三⾓恒等变换1、注意正切化弦、平⽅降次.2、辅助⾓公式)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y （其中辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a=).解三⾓形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ?=⽤途：⑴已知三⾓形两⾓和任⼀边，求其它元素；⑵已知三⾓形两边和其中⼀边的对⾓，求其它元素。

高考复习指导讲义第二章三角、反三角函数

高考复习指导讲义第二章三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。

二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝2πk ，k ∈Z ｝终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π，k ∈Z ｝终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

《三角函数的图象与性质》讲义

《三角函数的图象与性质》讲义一、引言三角函数是数学中的重要概念，其图象和性质在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握三角函数的图象与性质，对于理解和解决相关问题具有关键意义。

二、三角函数的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦（sin）：对边与斜边的比值。

余弦（cos）：邻边与斜边的比值。

正切（tan）：对边与邻边的比值。

用角度θ表示，即：sinθ ＝对边／斜边cosθ ＝邻边／斜边tanθ ＝对边／邻边三、常见的三角函数1、正弦函数：y ＝ sin x定义域：R（全体实数）值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin x奇偶性：奇函数，即 sin(x) ＝ sin x图象特点：图象是一条波浪线，在 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ π/2 （k∈Z）处取得最小值－1。

2、余弦函数：y ＝ cos x定义域：R值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 cos(x ＋2π) ＝ cos x奇偶性：偶函数，即 cos(x) ＝ cos x图象特点：图象也是一条波浪线，在 x ＝kπ（k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ ＋π（k∈Z）处取得最小值－1。

3、正切函数：y ＝ tan x定义域：｛x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}值域：R周期性：周期为π，即 tan(x ＋π) ＝ tan x奇偶性：奇函数，即 tan(x) ＝ tan x图象特点：图象是由一系列不连续的曲线组成，在每个周期内，在x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处有垂直渐近线。

四、三角函数图象的变换1、平移变换对于正弦函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图象向左平移φ个单位；当φ ＜ 0 时，图象向右平移|φ|个单位。

对于余弦函数 y ＝ cos(x ＋φ)，规律与正弦函数相同。

2、伸缩变换对于正弦函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)，A 决定了图象的振幅，ω决定了图象的周期。

2013高考数学总复习讲义2：三角函数性质与图像

高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像知识清单：反三角函数符号的运用:arcsin ,22a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、[]arccos 0,a π∈、arc tan (,)22a ππ∈-注意：反三角数符号只表示．．．这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，sin y x =cos y x =()ϕω+=x A y sin （A 、ω＞0）定义域 RRR值域 [1,1]- [1,1]-[]A A ,-周期性π2π22πω奇偶性奇函数偶函数当,0≠ϕ非奇非偶, 当,0=ϕ奇函数单调性[2,2]22k k ππππ-++上为增函数；3[2,2]22k k ππππ++上为减函数. （Z k ∈）()[21,2]k k ππ-上为增函数;()[2,21]k k ππ+上为减函数. （Z k ∈）12222,k k ππϕππϕωω⎡⎤--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上增函数；32222,k k ππϕππϕωω⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上减函数（Z k ∈） tan y x =cot y x =定义域 1|,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且{}|,x x R x k k Z π∈≠∈且值域 RR周期性 ππ奇偶性奇函数奇函数单调性⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈）()()ππ1,+k k 上为减函数（Z k ∈）①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2．函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ． 3．函数sin2xy =的最小正周期是（） (A)2π(B)π (C) 2π (D) 4π 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是( )(A)]3,0[π (B)]127,12[ππ (C) ]65,3[ππ (D)],65[ππ 5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是（）()2A - ()3B - ()1C - ()1D6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是__________________. 8．函数sin 3cos y x x =+在区间[0,2π]的最小值为______.9．适合13sin ,,32x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的角x 是（）1()arcsin()3A - 1()arcsin 3B - 1()2arcsin()3C π+- 1()arcsin()3D π--10．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

数学讲义：三角函数的基本关系 (2)

三角函数的基本关系一、基本题：【1】a ＝cos1，则下列叙述何者正确？(已知sin36。

＝45210－) (A) 0≤a ＜0.2 (B) 0.2≤a ＜0.4 (C) 0.4≤a ＜0.6 (D) 0.6≤a ＜0.8 (E) 0.8≤a ＜1。

[解答]：(C)【详解】：∵ 1弧度＝π。

180≒57。

⇒cos60。

＜cos1＜cos54。

⇒21＜cos1＜sin36。

＝45210－≒45.5≒0.58【2】下列各函数在2π＜x ＜π是增函数？(A) y ＝sin x (B) y ＝cos x (C) y ＝tan x(D) y ＝cot x (E) y ＝sec x 。

[解答]：(C)(E)【详解】：观察各三角函数的图形知2π＜x ＜π时y ＝tan x ，y ＝sec x ，y ＝csc x 为增函数而y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝cot x 为减函数【3】下列各函数的周期，何者是π？(A) y ＝sin x (B) y ＝2|cos x | (C) y ＝tan x (D) y ＝sin πx (E) y ＝3sin2x ＋5。

[解答]：(B)(C)(E)【详解】：(A) y ＝sin x 之周期为2π(B) y ＝2|cos x |之周期22π＝π(C) y ＝tan x 之周期为π(D) y ＝sinπx 之周期为ππ2＝2(E) y ＝3sin2x ＋5之周期为22π＝π 二、进阶题：【1】半径为1的三个圆互相外切，则此三圆间所围成的面积为。

[解答]：3－2π【详解】：三圆间所围成的面积就是斜线部分的面积＝(正三角形ABC 的面积)－(三个扇形APQ 的面积)＝43∙22－3∙21∙12∙3π＝3－2π 【2】方程式10sin x ＝x 共有个实根。

[解答]：7个【详解】：10sin x ＝x ⇒sin x ＝10x 的实根个数，就是y ＝sin x 的图形与y ＝10x的图形之交点个数，其图形如上：故y ＝sin x 与y ＝10x之交点有7个，即10sin x ＝x 有7个实根【3】当x 介于0与2π之间，直线x y -=1，与函数x y tan =的图形，共有几个交点?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4[解答]：(D)【详解】：方程式1－x ＝tan x 的实根个数，就是y ＝1－x 与y ＝tan x两图形的交点个数，图形如上：∴ y ＝1－x 与y ＝tan x 两图形有三个交点故方程式1－x ＝tan x 有3个实根【4】考虑函数 f (x ) = 2 sin 3 x ，试问下列选项何者为真？(A) – 2≤f (x )≤2 (B) f (x )在x =6π时有最大值 (C) f (x )的周期为32π (D) y = f (x )的图形对称于直线x =2π(E) f (2) > 0。

第2讲三角函数的诱导公式-简单难度-讲义.

三角函数的诱导公式知识讲解一、同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2x+cos2x=1，sec2x−tan2x=1，csc2x−cot2x=1商数关系：sin xcos x =tan x，cos xsin x=cot x倒数关系：sec x=1cos x ,csc x=1cos x,tan x=1cot x教师内容:1.注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24α+cos24α=1等；2.注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tanα⋅cotα=1,α≠kπ2,(k∈Z)3.对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cosα=±√1−sin2α，sin2α=1−cos2α，cosα=sinαtanα等．4.特殊角的三角函数值二、诱导公式（1）角α与α+k⋅2π(k∈Z)的三角函数间的关系；sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα;（2）角α与−α的三角函数间的关系；sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanα;（3）角α与α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数间的关系；sin[α+(2k+1)π]=−sinα,cos[α+(2k+1)π]=−cosα,tan[α+(2k+1)π]=tanα;（4）角α与α+π2的三角函数间的关系．sin(α+π2)=cosα,cos(α+π2)=−sinα,tan(α+π2)=−cotα．教师内容:诱导公式的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三角函数，以y=sin(m⋅π2+φ)为例，若m为π2的偶数倍，则函数名不改变，根据角φ所在象限判断变换后的三角函数的符号，若m为π2的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看象限．典例精讲一．选择题（共12小题）1．（2017秋•绍兴期末）cos（π+x）=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx D．﹣sinx 【分析】直接利用诱导公式写出结果即可．【解答】解：cos（π+x）=﹣cosx．故选：B．2．（2017秋•重庆期末）tan390°的值等于（）A．√33B．√3C．﹣√33D．﹣√3【分析】利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：tan390°=tan30°=√33．故选：A．3．（2018春•嘉兴期末）已知cosα=45，则cos（π﹣α）=（）A．−45B．45C．35D．−35【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：cosα=45，则cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣45．故选：A．4．（2018•北京模拟）已知sinα=513，那么sin（π﹣α）等于（）A．−1213B．−513C．513D．1213【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：已知sinα=513，那么sin（π﹣α）=sinα=513，故选：C ．5．（2018春•古冶区校级期中）若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是（） A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=﹣sinCC ．tan （A +C ）=tanBD ．sinB+C 2=cos A2【分析】由题意利用三角形内角和公式、诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则A +B=π﹣C ，∴cos （A +B ）=cos （π﹣C ）=﹣cosC ，sin （A +B ）=sin （π﹣C ）=sinC ，故A 、B 均错误．由A +C=π﹣B ，可得tan （A +C ）=﹣tanB ，故C 错误，由B +C=π﹣A ，可得B+C 2=π2﹣A 2，∴sin B+C 2=sin （π2﹣A 2）=cos A2，故D 正确，故选：D ．6．（2018春•福州期中）若cos （α﹣2π）＞0，sin （π﹣α）＜0，则角α的终边在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据三角函数的在各个象限中的符号，得出结论．【解答】解：∵cos （α﹣2π）=cosα＞0，sin （π﹣α）=sinα＜0，则角α的终边在第四象限，故选：D ．7．（2018•香坊区校级四模）已知cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π−α)=2，则tan(α+π2)=（）5【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而化简所求即可计算得解．【解答】解：∵cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π−α)=2，∴sinα−3cosαsinα+cosα=tanα−3tanα+1=2，解得：tanα=﹣5， ∴tan(α+π2)=﹣1tanα=﹣1−5=15．故选：C ．8．（2018•武侯区校级一模）已知sin （7π6+α）=√33，则cos （2π3﹣2α）=（）A ．﹣23B ．﹣13C ．23D ．13【分析】由题意利用诱导公式求得cos （π3﹣α）=﹣√33，再利用二倍角公式求得cos （2π3﹣2α）的值．【解答】解：∵sin （7π6+α）=﹣sin （π6+α）=√33，∴sin （π6+α）=﹣√33，即cos （π3﹣α）=﹣√33，则cos （2π3﹣2α）=2cos 2(π3−α)﹣1=23﹣1=﹣13，故选：B ．9．（2018•陕西三模）计算cos2025°=（） A ．√22B ．−√22C ．√6−√24D ．√2−√64【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：cos2025°=cos （360°×6﹣135°）=cos （﹣135°）=cos135°=−√22．故选：B ．10．（2018•广东二模）若cos(α+π6)=45，则sin(α−π3)=（）55【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：若cos(α+π6)=45，则sin(α−π3)=﹣cos（π2+α−π3）=﹣45．故选：D．11．（2018春•东安区校级月考）已知cos（5π12﹣θ）=13，则sin（π12+θ）的值是（）A．﹣13B．﹣2√23C．13D．2√23【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：∵cos（5π12﹣θ）=13，∴sin（π12+θ）=cos[π2﹣（π12+θ）]=cos（5π12﹣θ）=13．故选：C．12．（2018春•桂林期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=﹣sinCC．cos（A2+C）=sinB D．sinB+C2=cosA2【分析】利用三角形的内角和公式、诱导公式逐一判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．【解答】解：∵角A，B，C是△ABC的三个内角，∴A+B=π﹣C，∴cos（A+B）=cos（π﹣C）=﹣cosC，故排除A；又sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，故排除B；∵sin B+C2=sinπ−A2=cosA2，故D满足条件；由于A2+C有可能为钝角，故cos（A2+C）可能小于零，而sinB＞0，故C不一定成立；故选：D．二．填空题（共6小题）13．（2017秋•红桥区期末）cos120°=−12．【分析】直接利用有时间的三角函数求解即可．【解答】解：cos120°=﹣cos60°=﹣12．故答案为：﹣12．14．（2018•铜山区一模）已知tan（π6﹣α）=√33，则tan（5π6+α）=−√33．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan（π6﹣α）=√33，∴tan（5π6+α）=tan[π﹣（π6﹣α）]=﹣tan（π6﹣α）=﹣√33．故答案为：﹣√3315．（2018•嘉定区一模）已知sinα=45，则cos(α+π2)=−45．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=45，∴cos（π2+α）=﹣sinα=﹣45．故答案为：﹣4516．（2018•上海模拟）已知cosα=45，则cos(α−π2)+2sin(π−α)2tan(π+α)+cot(π2+α)=125．【分析】利用诱导公式化简，再代入即可得出结论．【解答】解：∵cosα=45，∴cos(α−π2)+2sin(π−α)2tan(π+α)+cot(π2+α)=sinα+2sinα2tanα−tanα=3cosα=125．故答案为：125．17．（2018•黄浦区一模）已知sin （α+π2）=13，α∈（﹣π2，0），则tanα= ﹣2√2 ．【分析】由α∈（﹣π2，0）sin （α+π2）=13，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin （α+π2）=cosα，sin （α+π2）=13，∴cosα=13，又α∈（﹣π2，0），∴sinα=﹣2√23，∴tanα=sinαcosα=﹣2√2．故答案为：﹣2√2．18．（2018春•思明区校级月考）若cos （π2−α）=﹣13，且π＜α＜3π2，则tan （π﹣α）= ﹣√24．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα=﹣13，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求得tan （π﹣α）的值．【解答】解：∵cos （π2−α）=sinα=﹣13，且π＜α＜3π2，∴cosα=﹣√1−sin 2α=﹣2√23，∴tan （π﹣α）=﹣tanα=﹣sinαcosα=﹣√24．故答案为：﹣√24．三．解答题（共4小题）19．（2018春•兴庆区校级期中）已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P （m ，√154）．（1）求实数m 的值；（2）求sin(α−π2)sin(π+α)−sin(3π2−α)+1的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．（2）利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：（1）角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P （m ，√154）， ∴m 2+1516=1，且m ＜0，求得m=﹣14，∴cosα=m=﹣14，sinα=√154；（2）sin(α−π2)sin(π+α)−sin(3π2−α)+1=−cosα−sinα+cosα+1=14−√154−14+1=3−√15=﹣3+√156． 20．（2018春•陆川县校级月考）若cosa=23，a 是第四象限角，求sin(a−2π)+sin(−a−3π)cos(a−3π)cos(π−a)−cos(−π−a)cos(a−4π)的值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵cosa=23，a 是第四象限角，∴sina=﹣√1−cos 2a =﹣√53，∴sin(a−2π)+sin(−a−3π)cos(a−3π)cos(π−a)−cos(−π−a)cos(a−4π)=sina+sina⋅(−cosa)−cosα+cosa⋅cosa =sina(1−cosa)cosa(cosa−1)=−√53⋅1323⋅(−13)=√52． 21．（2018春•葫芦岛期末）已知f （α）=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(7π−α)tan(−5π−α)sin(α−3π)．（1）化简f （α）；（2）若tan （α﹣3π2）=﹣2，且α为第一象限角，求f （α）的值．【分析】（1）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．（2）由题意应用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得f （α）的值．【解答】解：（1）f （α）=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(7π−α)tan(−5π−α)sin(α−3π)=−cosα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−tanα⋅(−sinα)=﹣cosα．（2）若tan （α﹣3π2）=﹣cotα=﹣cosαsinα=﹣2，∴cosαsinα=2．由sin 2α+cos 2α=1，∵α为第一象限角，∴cosα=2√55，∴f （α）=﹣cosα=﹣2√55．。

三角函数讲义

知识总结一、角的概念的推广1.角的定义（1）一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．（2）“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．2.“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.第一象限角：｛α|k360o π＜α＜k360o +90o ,k ∈Z ｝第二象限角：｛α|k360o +90o ＜α＜k360o +180o ,k ∈Z ｝第三象限角：｛α|k360o +180o ＜α＜k360o +270o ,k ∈Z ｝第四象限角：{α|k360o +270o ＜α＜k360o +360o ,k ∈Z ｝角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限。

3．终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注意以下四点：(1)Z k ∈(2) α是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二、弧度1、定义用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。

1弧度的角指的是弧长与半径相等的圆弧所对应的圆心角，记作1rad 。

⑴平角=π rad 、周角=2π rad⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶圆心角α的弧度数的绝对值r l =α（l 为弧长，r 为半径） 2.角度制与弧度制的换算：360︒=2πrad180︒=π rad1︒=rad rad 017453.0180≈π 8.447157)180(1'''︒≈︒=πrad 3.两个公式（1）弧长公式：α⋅=r l 180r n l π= 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积（2）扇形面积公式lR S 21=3602R n S π=扇其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径3、任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线四、三角函数的基本关系1、平方关系：sin2α+cos2α=1;2、商数关系：五、三角函数的诱导公式口诀：奇变偶不变，正负看象限例题题型一角的集合表示及象限角的判定【例1】(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【例2】已知点P(sin 5π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( ) A．一B．二C．三 D．四题型二三角函数的定义【例3】已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.【例4】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝()．A．－45B．－35C.35D.45三、弧度制的应用【例5】4已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4 B．1C．4 D．8【例6】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.四、三角函数线及其应用【例7】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.【例8】求下列函数的定义域：(1)y＝2cos x－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．题型五、利用诱导公式化简、求值【例9】已知tanθ＝2，则sin(π2＋θ)－cos(π－θ)sin(π2－θ)－sin(π－θ)＝()A. 2B. －2C. 0D. 2 3【例10】已知角α终边上一点P(－4,3)，则cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．题型六、同角三角函数关系的应用【例10】已知tan α＝2.求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.题型七三角形中的诱导公式【例11】在△ABC中，sin A＋cos A＝2，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．若将例11的已知条件“sin A＋cos A＝2”改为“sin(2π－A)＝－2sin(π－B)”其余条件不变，求△ABC的三个内角．课下作业一、选择题1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在()．A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )3．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A ．－55B.255C ．－255 D ．－124．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12C.32 D ．±327．若cos α＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于 ( )A. －24B. 24C. －22D. 2 28．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.22二、填空题9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________10．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.11．在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为________．三、计算题12、已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．13、已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.14、若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．15、已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.。

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