6对数及对数函数

完善) 思路 2:(思路 1 的完善 x = y 舍去, 思路 x 结果为 结果为 log 2 = 4. y
考虑隐含 条件！ 条件！
规范解题
例 1 已知 lg x + lg y = 2 lg( x − 2 y ) ， x 求 log 2 的值. y
解 因为 lg x + lg y = 2 lg( x − 2 y ) ,所以 xy = ( x − 2 y )2 , 所以 即 x 2 − 5 xy + 4 y 2 = 0,所以( x − y )( x − 4 y ) = 0 , 所以 x = y 或 x = 4 y ,又 x > 0, y > 0, x − 2 y > 0 , 即 x > 2 y > 0 ,所以 x = y 应舍去, x x 故 = 4 ,所以 log 2 = log 2 4 = 4 . y y
思路 1:因为 lg x + lg y = 2 lg( x − 2 y ) ,所以 xy = ( x − 2 y )2 , 因为 所以 即 x 2 − 5 xy + 4 y 2 = 0,所以( x − y )( x − 4 y ) = 0 , 所以 x x 所以 x = y 或 x = 4 y ,即 = 1或 = 4 , 即 忽视定义域！ 忽视定义域！ y y x x 所以 log 2 = 0 或 log 2 = 4. y y
经典例题 2
例 2 已知函数 y = log a (a − a x ) ，其中 a > 1， 求它的定义域和值域. 求它的定义域和值域
思路分析
例2 已知函数 y = log a (a − a x ) ，其中 a > 1， 求它的定义域和值域. 求它的定义域和值域
为使函数有意义， 思路 1: 为使函数有意义，须 a − a x > 0,∴ a x < a . 又Q a > 1, ∴ x < 1.函数的定义域为{ x | x < 1} . 值域为Ｒ 由 a − a x > 0 得值域为Ｒ.
为 R,则是指 u( x ) = ax 2 + bx + c 的值域必须取遍所有 ,
a > 0, 的正实数值, 的正实数值,故 或 a = 0, b ≠ 0. 2 ∆ = b − 4ac ≥ 0
破解难点:含参数的对数函数性质 及运用．
问题研究
如何研究的对数函数单调性？ 如何研究的对数函数单调性？
R,求实数 a 的取值范围.
思路 1:令 u( x ) = ax 2 + 2 x + 1 , 则 u( x ) > 0 对 x ∈ R 令
a > 0, 恒成立,即 解得 a > 1,即实数 a 的取 ∆ = 4 − 4a < 0, 错解 值范围是(1, +∞ ) . a > 0, 2 思路 2:令 u( x ) = ax + 2 x + 1,则 令 则 ∆ = 4 − 4a ≥ 0,
值域 R.
当 x = 1时 , y = 0 ， 即过定点 (1, 0 ) .
性 质
当 x > 1时, y > 0;
当 x > 1时, y < 0;
当0 < x < 1时,y < 0 .
上是单调增函数. 在 ( 0, +∞ ) 上是单调增函数
当0 < x < 1时,y > 0 .
上是单调减函数 函数. 在(0, +∞)上是单调减函数
经典例题4
例 4 求函数 y = log a ( x 2 − 4 x + 3),(a > 0, 且a ≠ 1) 的单调区间,并指出在每一区间上的单调性 的单调区间 并指出在每一区间上的单调性. 并指出在每一区间上的单调性
例 4 求函数 y = log a ( x 2 − 4 x + 3),(a > 0, 且a ≠ 1) 的单调区间,并指出在每一区间上的单调性 的单调区间 并指出在每一区间上的单调性. 并指出在每一区间上的单调性
基础知识
对数函数的图象与性质
a >1 0< a <1
y
x =1
(1,0)
图 象
值域 R.
y
O
x =1 y = loga x(a >1)
(1,0)
x
O
y=lo a x(0<a<1 g )
x
定义域 ( 0, +∞ ) .
当 x = 1时 , y = 0 ， 即过定点(1, 0 ) .
定义域 ( 0, +∞ ) .
思路1 思路 错误
思路 2:(思路 1 的完善 定义域为 { x | x < 1} . 思路 的完善)定义域为 由 a > a − a x > 0, 故值域为( −∞ ,1).
指数函数自 身的范围
规范解题
例 2 已知函数 y = log a (a − a ) ，其中 a > 1，
x
求它的定义域和值域. 求它的定义域和值域
一些有用的特殊结论 （1）负数和零没有对数； ）负数和零没有对数； （2） log a 1 = 0,log a a = 1(a > 0, a ≠ 1); ） （3） log a a n = n; (a > 0, a ≠ 1, N ∈ R ) ； ） 对数恒等式： （4）对数恒等式： a loga N = N . (a > 0, a ≠ 1, N > 0) .
上为减函数,在区间 上为增函数. ( −∞,1) 上为减函数 在区间( 3, +∞ ) 上为增函数
思路 3:(思路 2 的完善 结合 a 的取值进行讨论 思路 的完善)结合 的取值进行讨论.
例 4 求函数 y = log a ( x 2 − 4 x + 3),(a > 0, 且a ≠ 1) 的单 调区间,并指出在每一区间上的单调性 调区间 并指出在每一区间上的单调性. 并指出在每一区间上的单调性 解由 x 2 − 4 x + 3 > 0 得函数的定义域为( −∞ ,1) U ( 3, +∞ ) ,
对数运算 公式 对数式有 意义的条 件
回顾反思
(1) 思想方法：利用对数的运算法则 ,并注意公 思想方法： 式成立的条件. 式成立的条件. (2) 基本策略：指数式与对数式的互化,这是解决 基本策略：指数式与对数式的互化 这是解决 指数、对数问题的关键. 指数、对数问题的关键
(3) 思维误区：常见的误区有三：一是符号错误， 思维误区：常见的误区有三：一是符号错误， 如把 lg x 与 log 2 x 以及 log a M n 与 (log a M )n 混为 一谈;二是记忆错误 误认为和 一谈 二是记忆错误,误认为和 差 )的对数等于 二是记忆错误 误认为和(差 的对数等于 对数的和(差 积 商 的对数等于对数的积 的对数等于对数的积(商 对数的和 差 ),积 (商 )的对数等于对数的积 商 ) 三是忽视真数(底数 等;三是忽视真数 底数 的取值范围 三是忽视真数 底数)的 值范围.
廓清疑点：对数函数的定义域和值 域研究．
问题研究
定义域和值域中R问题的研究 定义域和值域中 问题的研究? 问题的研究
经典例题3
例 3 已知函数 f ( x ) = ln(ax + 2 x + 1) 的值
2
域是 R,求实数 a 的取值范围.
例 3 已知函数 f ( x ) = ln(ax 2 + 2 x + 1)的值域是
设 u( x ) = x 2 − 4 x + 3 = ( x − 2)2 − 1,结合定义域可知函数 结合定义域可知函数
u( x ) 在区间( −∞ ,1) 上为减函数在区间
函数在区间 上为增函数,在区间 ①当 0 < a < 1时,函数在区间( −∞ ,1) 上为增函数 在区间 函数在
问题研究
（1）如何进行对数式的合理运算？ ）如何进行对数式的合理运算？ （2）如何求对数型函数的定义域和值域？ ）如何求对数型函数的定义域和值域？
经典例题1
例 1 已知 lg x + lg y = 2 lg( x − 2 y ) ， x 的值. 求 log 2 的值 y
思路分析
例 1 已知 lg x + lg y = 2 lg( x − 2 y ) ， x 求 log 2 的值. y
思路 1:设 u( x ) = x − 4 x + 3 = ( x − 2) − 1,则 设 则
2 2
思路分析
上为减函数,在 y = log a ( x 2 − 4 x + 3) 在区间( −∞ ,2]上为减函数 在 区间[2, +∞ ) 上为增函数 上为增函数.
错解! 错解
错 思路 2:由不等式 x 2 − 4 x + 3 > 0 得函数的定义域 由不等式 解! 为( −∞ ,1) U ( 3, +∞ ) ,则 y = log a ( x 2 − 4 x + 3) 在区间 则
注意和定 义域为R 义域为 的区别
解 令 u( x ) = ax 2 + 2 x + 1,
不要 漏解! 漏解
因为函数的值域为 R， ，
a > 0, 所以 a = 0 或 ∆ = 4 − 4a ≥ 0,
解得 0 ≤ a ≤ 1, 即实数 a 的取值范围是[0,1].
回顾反思
(1) 思维误点 函数的定义域为 R,值域为 R 是两个不同 思维误点:函数的定义域为 值域为 的概念. 的概念 (2) 知能提升 函数 f ( x ) = log m (ax 2 + bx + c ) 知能提升:函数 ( m > 0, 且m ≠ 1) 的定义域为 R,是指不论 x 取何值 , 恒成立, 时, u( x ) = ax 2 + bx + c > 0 恒成立, a > 0, 故 或 a = b = 0, c > 0 ; 2 ∆ = b − 4ac < 0 函数 f ( x ) = log m (ax 2 + bx + c )( m > 0, 且m ≠ 1) 的值域