2004年北京市高考数学卷(理科)

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2004年普通高等学校春季招生考试数学(理工)(北京卷)(附解答)

（II）设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数 P f ( x) 的表达式；
（III）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个，利
润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
20. （本小题满分 14 分）下表给出一个“等差数阵”：
16. （本小题满分 13 分）在 ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边长，已知 a，b，c 成等比数列，且 a 2 c2 ac bc ，求 A 的大小及 b sin B 的值
c 17. （本小题满分 15 分）如图，四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂直于底面 ABCD， SB 3
（） A. y sin 2x B. y sin x C. y cos x
D. y tg x 2
2.
2
当
m 1 时，复数 z
(3m 2) (m 1)i 在复平面上对应的点位于（
）
3
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.
x2
双曲线
y2
1 的渐近线方程是（
）
49
A. y 3 x B. y 2 x
y B
A x
O FM
C
（I）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标；（II）求线段 BC 中点 M 的坐标；（III）求 BC 所在直线的方程 19. （本小题满分 14 分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单价不能低于 51 元（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？

04年高考理科数学全国1卷

2004年高考试题全国卷Ⅰ 理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=C kn P k (1－P )n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共601．2(1)i i -⋅= （）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xx x f 则若（）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b13．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b |=（）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（）A ．y =x 2－2x +2(x <1)B ．y =x 2－2x +2(x ≥1)C ．y =x 2－2x (x <1)D ．y =x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（）球的表面积公式S =42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V =334R π，其中R 表示球的半径A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I C ．A∩(I C B)=φD ．(I C A) (I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF=（）A ．23 B ．3 C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H .设四面体EFGH的表面积为T ，则ST 等于（）A ．91B ．94C ．41D ．3111．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A ．12513B ．12516C ．12518 D ．1251912．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB =60°，则动点P的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足112311,23(1)n n a a a a a n a -==++++- (n ≥2)，则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cossincossin)(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axex x f 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°. （I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：2221(0):1x y a l x y a-=>+=与直线相交于两个不同的点A 、B .（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB =求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1{}1n a a =中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k +1=a 2k +3k , 其中k =1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cossin)cos(sin)(22222--+=212s i n 41)c o s s i n 1(21)c o s s i n 1(2c o s s i n 122+=+=--=x x x x x x x 所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P (ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P (ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P (ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P (ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P (ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22axax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II ）当0a >时，由220x ax +>，解得2x a<-或0x >，由220x ax +<，解得20.x a-<<所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2,由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2.所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE .∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA =PD ，∴OA =OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD . 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB =120°，∠PEO =60° 由已知可求得PE∴PO =PE ·sin60°322=，即点P 到平面ABCD 的距离为32.（II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.3(0,0,),(0,0)22P B ，P B 中点G的坐标为3(0,,)44.连结AG .又知0),(0).22A C -由此得到：3(1,,),443(0,,),(2,0,0).22G A PB BC =--=-=-于是有0,0G A PB BC PB ⋅=⋅=所以.,G A PB BC PB G A BC ⊥⋅⊥的夹角为θ等于所求二面角的平面角，于是cos 7||||G A BC G A BC θ⋅==-⋅所以所求二面角的大小为arccos7π- .解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG //BC ，FG =12BC .∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角.∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE =BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG =60°. 在Rt △PEG 中，EG =PE ·cos60°2.在Rt △GAE 中，AE =12AD =1.于是tan ∠GAE =E G A E2,又∠AGF =π－∠GAE .所以所求二面角的大小为π－2.21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①所以242210.48(1)0.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得0a << 1.a ≠双曲线的离心率e a==0a <<1,a ≠2e ∴>e ≠即离心率e的取值范围为).2+∞（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A11225,125(,1)(,1).12PA PB x y x y =∴-=-由此得125.12x x =由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以222172.121ax a=--222252.121ax a =--消去2x ，得222289160aa-=-由0a >，所以1713a =22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k, 同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1) =(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1],于是a 2k+1=.1)1(21231--++kka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k(－1)k －1－1+(－1)k=2123+k(－1)k=1.{a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。

2004年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

2004年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至5页，第II 卷6至16页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共21题每题6分共126分）注意事项：1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

在下列各题的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。

以下数据可供解题时参考：原子量：H1 C12 N14 O16 Mg24 P31 Cl 35.5 K39 Cu 641．在以下描述中，可以将病毒与其他微生物相区别的是（）A．能够使人或动、植物患病B．没有细胞核，仅有核酸C．具有寄生性D．由核酸和蛋白质装配进行增殖2．新生儿小肠上皮细胞通过消耗ATP，可以直接吸收母乳中的免疫球蛋白和半乳糖。

这两种物质分别被吸收到血液中的方式是（）A．主动运输、主动运输B．内吞、主动运输C．主动运输、内吞D．被动运输、主动运输3．人类21三体综合症的成因是在生殖细胞形成的过程中，第21号染色体没有分离。

若女患者与正常人结婚后可以生育，其女女患该病的概率为（）A．0 B．1/4 C．1/2 D．14．在相同光照和温度条件下，空气中CO2的关系如图所示。

理论上某种C3植物能更有效地利用CO2，使光合产量高于m点的选项是（）A．若a点在a,b点b2时B．若a点在a1，b点在b1时C．若a点在a2，b点在b1时D．若a点在a1，b点在b2时5．转基因抗虫棉可以有效地用于棉铃虫的防治。

在大田中种植转基因抗虫棉的同时，间隔种植少量非转基因的棉花或其他作物，供棉铃虫取食。

这种做法的主要目的是（）A．维持棉田物种多样性B．减缓棉铃虫抗性基因频率增加的速度C．使食虫鸟有虫可食D．维持棉田生态系统中的能量流动6．糖类、脂肪和蛋白质是维持人体生命活动所必需的三大营养物质。

2004年普通高等学校春季招生考试数学(理工)(北京卷)(附解答)

2004年普通高等学校春季招生考试数学（理工）（北京卷）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在函数y x y x y x y tgx====sin sin cos 22，，，中，最小正周期为π的函数是（） A. y x =sin2 B. y x =sin C. y x =cos D. y tg x=22. 当231<<m 时，复数z m m i =-+-()()321在复平面上对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 双曲线x y 22491-=的渐近线方程是（） A. y x =±32B. y x =±23 C. y x =±94D. y x =±494. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（） A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒5. 在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（） A. ρθ=22cos B. ρθ=-22cos C. ρθ=22sinD. ρθ=-22sin6. 已知sin()cos()θπθπ+<->00，，则下列不等关系中必定成立的是（） A. tgctgθθ22<B. tgctgθθ22> C. sincos θθ22< D.sincos θθ22>7. 已知三个不等式：ab bc ad c a db>->->000，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（） A.77cmB. 72cmC. 55cmD. 102cm9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（） A. C C 61942B. C C 61992C. C C 1003943-D. P P 1003943-10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M:N 为（） A.4041B. 1C.4140D. 2二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上11. 若f x -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则fx -1()的值域是_________12.sin()sin()cos ααα+︒--︒3030的值为____________13. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b ，2003年产生的垃圾量为a 吨测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨14. 若直线mx ny +-=30与圆x y 223+=没有公共点，则m ，n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆x y 22731+=的公共点有_________个三. 解答题：本大题共6小题，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分13分）当01<<a 时，解关于x 的不等式a a x x 212--<16. （本小题满分13分）在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c ac bc 22-=-，求∠A 的大小及b Bcsin 的值17. （本小题满分15分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，SB =（I ）求证BC SC ⊥；（II （III ）设棱SA 的中点为M18.上，（II）求线段BC中点M的坐标；（III）求BC所在直线的方程19. （本小题满分14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？=()的表达式；（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P f x（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i行第j列的数（I）写出a的值；（II）写出a ij的计算公式；45（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工）（北京卷）参考解答一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算5分，满分50分 1. A 2. D 3. A 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. C 10. B二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算4分，满分16分11. ()-+∞1， 12. 1 13. a b ()1+a b ()15+14. 0322<+<m n 2三. 解答题：本大题共6小题，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 本小题主要考查不等式的解法、指数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分13分解：由01<<a ，原不等式可化为212x x ->- 这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：210201x x -≥-<⎧⎨⎩() 或2102021222x x x x -≥-≥->-⎧⎨⎪⎩⎪()() 解不等式组(1)得解集{|}x x 122≤< 解不等式组(2)得解集{|}x x 25≤<所以原不等式的解集为{|}x x 125≤<16. 本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分13分解：（I ） a b c ，，成等比数列 ∴=b ac 2又a c ac bc 22-=- ∴+-=b c a bc 222在∆ABC 中，由余弦定理得cos A b c a bc bc bc =+-==2222212∴∠=︒A 60 （II ）在∆ABC 中，由正弦定理得sin sin B b Aa=b ac A 260=∠=︒， ∴=︒=︒=b B c b ca sin sin sin 260603217. 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分15分（由三垂线定理得BC SC ⊥（II ）解：SD ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形∴可以把四棱锥S ABCD -补形为长方体A B C S ABCD 111-，如图2 面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面BCSA 1所成的二面角，SC BC BC A S SC A S⊥∴⊥，//11 又SD A S ⊥1 ∴∠C S D 为所求二面角的平面角在Rt∆ ∴∠C S（III ）解：如图3 SD AD SDA ==∠=︒190， ∴∆S D A 是等腰直角三角形又M 是斜边SA 的中点∴⊥⊥⊥=DM SABA AD BA SD AD SD D，， ∴⊥BA 面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影18. 题的能力满分15分解：（I ）由点A （2，8）在抛物线y px 22=上，有8222=⋅p 解得p =16所以抛物线方程为y x 232=，焦点F 的坐标为（8，0）（II ）如图，由F （8，0）是∆ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且AFFM =2 设点M 的坐标为()x y 00，，则 221288212000++=++=x y ，解得x y 00114==-，所以点M 的坐标为(11，（III 设BC 所成直线的方程为 y k x k +=-≠4110()()由y k x y x+=-=⎧⎨⎩411322()消x 得 ky y k 232321140--+=()所以y y k 1232+=由（II ）的结论得y y 1224+=- 解得k =-4 因此BC 所在直线的方程为 y x +=--4411() 即4400x y +-=19. 满分14分解：（I ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则 x 01006051002550=+-=. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元（II ）当0100<≤x 时，P =60当100550<<x 时，P x x =--=-600021006250.() 当x ≥550时，P =51所以P f x x x x x N x ==<≤-<<∈≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()600100625010055051550 （III ）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L P x x x x x x x N =-=<≤-<≤∈⎧⎨⎪⎩⎪()()4020010022501005002当x =500时，L =6000；当x =1000时，L =11000因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元20. 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分14分解：（I ）a 4549=（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： a j j 1431=+-()第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a j j 2751=+-()……第i 行是首项为431+-()i ，公差为21i +的等差数列，因此a i i j ij i j i j jij =+-++-=++=++431211221()()()()（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N i j j =++()21 从而2122121N i j j +=+++() =++()()2121i j即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得212121N k l +=++()() 从而N k l l a kl =++=()21可见N 在该等差数阵中综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)

2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60。

1．(1－i)2·i= （）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若（）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（）A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（）A ．( IA)∪B=IB ．( IA)∪( I B)=I C ．A ∩( IB)=φD ．( I A)∪( I B)=I B 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，Array（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1 a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。

2004年高考全国卷(1)理科数学

2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅰ）理科数学适用：河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．2(1)i i -⋅=A ．22i -B ．22i +C ．2D ．2-2．已知函数1()lg 1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=A ．bB ．b -C ．1bD ．1b -3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b += A.7 B ．10 C ．13 D ．44．函数1y =（1x ≥）的反函数是A ．222y x x =-+（1x <）B ．222y x x =-+（1x ≥）C ．22y x x =-（1x <）D ．22y x x =-（1x ≥） 5．73)12(xx -的展开式中常数项是A ．14B ．14-C ．42D ．42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ⊆⊆，则下列各式中错误．．的是 A ．()I C A B I = B ．()()I I C A C B I =C ．()I A C B =∅D ．()()I I I C A C B C B =7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = A ．23 B ．3 C ．27D ．48．设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A ．11[,]22- B ．[2,2]- C ．[1,1]- D ．[4,4]-9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H .设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于A ．91B ．94C ．41D ．3111．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．1251912．已知221a b +=，222b c +=，222c a +=，则ab bc ca ++的最小值为A 12B ．12．12--．12+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式2x x +≥的解集是 .14．由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠= ，则动点P 的轨迹方程为 . 15．已知数列{}n a ，满足11a =，123123(1)n n a a a a n a -=++++-（2n ≥），则{}n a 的通项112n n a n =⎧=⎨≥⎩.16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数xx x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数ax e x x f 2)(=的单调区间. 20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120. （Ⅰ）求点P 到平面ABCD 的距离，（Ⅱ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：2221(0)x y a a-=>与直线l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B .（Ⅰ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，且221(1)k k k a a -=+-,2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =.（Ⅰ）求3a ,5a ；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式.PABCD2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题 DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．{x|x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx x x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)=22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f(x)的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a=0时，若x<0，则)(x f '<0，若x>0,则)(x f '>0.所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a<0时，由2x+ax 2>0，解得0<x<－a2, 由2x+ax 2<0，解得x<0或x>－a2. 所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ， ∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE=3 ∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角，于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC.∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a aa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k+3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,…… a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1) =(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1],于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k=2123+k (－1)k =1.{a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n=;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。

2004年高考数学试题(全国2理)及答案

2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．（1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是（A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称（B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称（D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称（7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条（9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝（A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π（12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个（B ）57个（C ）58个（D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ0 1 2 P（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120则z ＝3x ＋2y 的最大值是．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是．（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分) 给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；(Ⅱ)设＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = =2+6设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率762482523=C C C(II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 19．（I ）证：由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)，知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列A'（II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形，又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3，又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1 又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ，因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1，所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=332123223)21()23(222121221-=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B即所求二面角的大小为π-arccos33 解法二：如图以C 为原点建立坐标系 (I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=(-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角， cos .3311-==θ 所以所求二面角的大小为π-arccos33 21．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA ∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413||||-=∙OB OA 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1 (3)联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1) 当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或-12-λλ由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln .由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21l n (2ln-->-+-=+,bba b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab . 又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba ba b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。

2004高考数学试题(全国1理)及答案

2004年高考试题全国卷Ⅰ理参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60 1．(1－i)2·i= （）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若（）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b|=（）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（）A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I C ．A ∩(I C B)=φD ．(I C A) (I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线； ④一条直线及其外一点；在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间. 20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角，于是,772||||cos -=⋅=BC GA BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π .解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k(－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。

2004年全国高考数学试题(全国卷理科word版)

2004年全国高考数学（人教版）试题(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）1、设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22，(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2，则集合N M 中元素的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、42、函数2sin x y =的最小正周期是（） A 、 2π B 、 π C 、π2 D 、π4 3、设数列{}n a 是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）A 、54S S <B 、54S S =C 、56S S >D 、56S S =4、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A 、023=-+y xB 、043=-+y xC 、043=+-y xD 、023=+-y x5、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（）A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --6、设复数z 的辐角的主值为32π，虚部为3，则2z =（） A 、i 322-- B 、i 232-- C 、i 32+ D 、i 232+7、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （） A 、5 B 、 5 C 、25 D 、45 8、不等式311<+<x 的解集为（）A 、()2,0B 、())4,2(0,2 -C 、()0,4-D 、())2,0(2,4 --9、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A 、322B 、2C 、32D 、324 10、在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（）A 、223B 、233 C 、23 D 、33 11、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（） A 、(][]10,02, -∞- B 、(][]1,02, -∞- C 、(][]10,12, -∞- D 、[)[]10,10,2 -12、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（）A 、12种B 、24种C 、36种D 、48种二、填空题（每小题4分，共16分）13、用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 . 14、函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 . 15、已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .16、设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解答题（6道题，共76分）17、（12分）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。

2004年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2004年全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 （）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }2．=-+-+→542lim 22x x x x n x （）A ．21B ．1C ．52 D ．41 3．设复数ωω++-=1,2321则i =（）A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6．函数x e y -=的图象（）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 8．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 9．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ=''A O e ，其中λ= （）A ．511 B ．511-C ．2D ．－2 10．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（）A ．)23,2(ππB ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有（） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高. 18．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 19．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明：（Ⅰ）数列}{nS n是等比数列；（Ⅱ）.41n n a S =+ 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)

2004年高考数学试题(全国4理)及答案

2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于（）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα，所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512, 所以ξ的概率分布为图2Cy图1根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0）所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab a y b x 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+=由,542,54c c ab c s ≥≥得即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x e x f xx x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x ex解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn nnn n n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。

2000-2004年北京高考理科试卷

2000年普通高等学校招生全国统一考试第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是( )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(2) 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) i 32-(C)i 33- (D) 3i 3+(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则βαcos cos > (B) 若α、β是第二象限角，则βαtg tg > (C) 若α、β是第三象限角，则βαcos cos > (D) 若α、β是第四象限角，则βαtg tg > (5) 函数x x y cos -=的部分图像是 ( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分15% ……某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800~900元(B) 900~1200元(C) 1200~1500元(D) 1500~2800元(7) 若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ(B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ(C) ()1cos 2-=θρ(D) ()1sin 2-=θρ(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) x y 3= (B) x y 3-=(C) x y 33=(D) x y 33-=(11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) a2(B)a 21 (C) a 4(D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( )(A) 321arccos(B) 21arccos(C) 21arccos (D) 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________(15) 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =____(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上) 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？(18) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； (III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．(19) (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ．C 1CDABD 1B 1A 1(I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．(20) (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ； (II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．(21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)(22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷)数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．集合M ={1，2，3，4，5}的子集个数是 ( ) A ．32B ．31C ．16D ．15 2．函数f (x ) = a x (a > 0且a ≠ 1)对于任意的实数x ，y 都有 ( )A ．f (xy ) = f (x ) f (y )B ．f (xy ) = f (x ) + f (y )C ．f (x + y ) = f (x ) f (y )D ．f (x + y ) =f (x ) + f (y ) 3．=++∞→1222limn n nn n C C ( )A ．0B ．2C ．21D ．41 4．函数)1(1≤--=x x y 的反函数是 ( )A ．y = x 2－1 (－1≤x ≤0)B ．y = x 2－1 (0≤x ≤1)C ．y = 1－x 2 (x ≤0)D ．y = 1－x 2 (0≤x ≤1)5．极坐标系中，圆θθρsin 3cos 4+=的圆心的坐标是 ( )A ．），（53arcsin 25B ．），（54arcsin 5 C ．），（53arcsin 5 D ．），（54arcsin 256．设动点P 在直线x = 1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线7．已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于 ( ) A ．34 B ．8C ．18D ．218．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 ( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．若实数a ，b 满足a + b = 2，则3a + 3b 的最小值是 ( ) A ．18B ．6C ．32D ．43211．右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中， ① BM 与ED 平行 ② CN 与BE 是异面直线 ③ CN 与BM 成60º角 ④ DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 ( ) A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④12．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足 )521(902--=n n nS n (n =1，2，……，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是 ( ) A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．已知球内接正方体的表面积为S ，那么球体积等于___________14．椭圆x 2 + 4y 2 = 4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________15．已知1sin sin sin 222=++γβα(α、β、γ均为锐角)，那么cos αcos βcos γ的最大值等于______________16．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ① 若α⊥β，α∩β= m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；② 若α∥β，α∩γ= m ，β∩γ= n ，则m ∥n ；③ 若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④ 若α∩β= m ，n ∥m ；且α⊄n ，β⊄n ，则n ∥α且n ∥β．其中正确的命题的序号是______________ (注：把你认为正确的命题的序号都填上)三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分) 设函数)0()(>>++=b a bx ax x f ，求f ( x )的单调区间，并证明f ( x )在其单调区间上的单调性．18．(本小题满分12分)已知z7=1(z ∈C 且z≠1)．(Ⅰ)证明 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 = 0；(Ⅱ)设z 的辐角为α，求cos α+cos2α+cos4α的值．19．(本小题满分12分)已知VC 是△ABC 所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且在△ABC的高CD 上．AB = a ，VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈VC ．(Ⅰ)证明∠MDC 是二面角M －AB －C 的平面角；(Ⅱ)当∠MDC = ∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ； (Ⅲ)若∠MDC =∠CVN =θ(20πθ<<)，求四面体MABC 的体积．20．(本小题满分12分)在1与2之间插入n 个正数a 1，a 2，a 3，…，a n ，使这n +2个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数b 1，b 2，b 3，…，b n ，使这n +2个数成等差数列．记A n = a 1 a 2 a 3…a n ，B n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n ． (Ⅰ)求数列{A n }和{B n }的通项；(Ⅱ)当n≥7时，比较A n 和B n 的大小，并证明你的结论．21．(本小题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1．2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0．75x，同时预计年销售量增加的比例为0．6x．已知年利润= (出厂价－投入成本)×年销售量．(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？22．(本小题满分14分)已知抛物线y2=2px(p>0)．过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，| AB | ≤ 2p．(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2004年高考数学理试题(全国1卷)及答案

2004年高考试题全国卷Ⅰ理参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n(k )=C P k (1－P )n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共601．(1－i )2·i =（）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．22．已知函数（）A ．bB ．－bC ．D ．－3．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|=（）A ．B ．C ．D ．44．函数的反函数是（）A ．y =x 2－2x +2(x <1)B ．y =x 2－2x +2(x ≥1)C ．y =x 2－2x (x <1)D ．y =x 2－2x (x ≥1)5．的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ，则下列各式中错误的是（）A ．(A )∪B =I B ．(A )∪(B )=IC ．A ∩(B )=D ．(A )(B )=B7．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=A ．B ．C ．D ．4球的表面积公式S =4其中R 表示球的半径，球的体积公式V =，其中R 表示球的半径8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．已知正四面体A B C D的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体E F G H 的表面积为T，则等于（）A．B．C．D．11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．B．C．D．12．的最小值为（）A．－B．－C．－－D．+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．不等式|x+2|≥|x|的解集是.14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线P A、P B，切点分别为A、B，∠A P B=60°，则动点P 的轨迹方程为.15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是.①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点；在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数的最小正周期、最大值和最小值. 18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知求函数的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—A B C D，P B⊥A D侧面P A D为边长等于2的正三角形，底面A B C D 为菱形，侧面P A D与底面A B C D所成的二面角为120°.（I）求点P到平面A B C D的距离，（I I）求面A P B与面C P B所成二面角的大小.4 21．（本小题满分12分）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（I I）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.22．（本小题满分14分）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（I I）求{a n}的通项公式.2004年高考试题全国卷1理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题D B C B A B C C B A D B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x|x≥－1}14．x2+y2=415．16．①②④三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)=×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)=×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：ξ01234P0.090.30.370.20.04所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f(x)的导数：（I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0.所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（I I）当由所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（I I I）当a<0时，由2x+a x2>0，解得0<x<－,由2x+a x2<0，解得x<0或x>－.所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I）解：如图，作P O⊥平面A B C D，垂足为点O.连结O B、O A、O D、O B与A D交于点E，连结P E.∵A D⊥P B，∴A D⊥O B，∵P A=P D，∴O A=O D，于是O B平分A D，点E为A D的中点，所以P E⊥A D.由此知∠P E B为面P A D与面A B C D所成二面角的平面角，∴∠P E B=120°，∠P E O=60°由已知可求得P E=∴P O=P E·s i n60°=，即点P到平面A B C D的距离为.（I I）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于D A..连结A G.又知由此得到：所以等于所求二面角的平面角，于是所以所求二面角的大小为.解法二：如图，取P B的中点G，P C的中点F，连结E G、A G、G F，则A G⊥P B，F G//B C，F G=B C.∵A D⊥P B，∴B C⊥P B，F G⊥P B，∴∠A G F是所求二面角的平面角.∵A D⊥面P O B，∴A D⊥E G.又∵P E=B E，∴E G⊥P B，且∠P E G=60°.在R t△P E G中，E G=P E·c o s60°=.在R t△P E G中，E G=A D=1.于是t a n∠G A E==,又∠A G F=π－∠G A E.所以所求二面角的大小为π－a r c t a n.21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.①双曲线的离心率（I I）设由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4,a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(I I)a2k+1=a2k+3k=a2k－1+(－1)k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,……a3－a1=3+(－1).所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=a2k=a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1. {a n}的通项公式为：当n为奇数时，a n¬=当n为偶数时，。

2004年北京市高考数学试卷(理科)

2004年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知全集U=R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，那么M∩N=（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜﹣2}D．{x|﹣2≤x＜1}2．（5分）满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA．①②B．②③C．③④D．①④4．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P 到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线5．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax﹣3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（）A．a∈（﹣∞，1]B．a∈[2，+∞）C．α∈[1，2]D．a∈（﹣∞，1]∪[2，+∞）6．（5分）如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜07．（5分）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于（）A．0 B．C．D．8．（5分）函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（）①若P∩M=∅，则f（P）∩f（M）=∅；②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）函数f（x）=cos2x﹣2sinx•cosx的最小正周期是．10．（5分）学校篮球队五名队员的年龄分别为15，13，15，14，13，其方差为0.8，则三年后这五名队员年龄的方差为．11．（5分）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是cm，表面积是cm2．12．（5分）曲线C：（θ为参数）的普通方程是，如果曲线C 与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是．13．（5分）在函数f（x）=ax2+bx+c中，若a，b，c成等比数列且f（0）=﹣4，则f（x）有最值（填“大”或“小”），且该值为．14．（5分）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为，这个数列的前n 项和S n的计算公式为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC 的面积．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长（II）PC和NC的长（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）17．（14分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．18．（14分）函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足且f（1）=1，在每个区间（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f（0）及，的值，并归纳出的表达式（2）设直线，，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a i（i=1，2…），记，求S（k）的表达式，并写出其定义域和最小值．19．（12分）某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围．20．（13分）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为r N）把这些数全部分完为止．（Ⅰ）判断r1，r2，…，r N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；（Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r n的大小关系，并证明r n﹣1＞；（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．2004年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2004•北京）已知全集U=R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，那么M∩N=（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|x＜﹣2}D．{x|﹣2≤x＜1}【解答】解；∵M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}∴M∩N={x|﹣2≤x＜1}故选D2．（5分）（2004•北京）满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆【解答】解：|3+4i|=5满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆．故应选C．3．（5分）（2004•北京）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n，是直线和平面垂直的判定，正确；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ，推出α∥γ，满足直线和平面垂直的判定，正确；③若m∥α，n∥α，则m∥n，两条直线可能相交，也可能异面，不正确．④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β中m与n可能相交或异面．④考虑长方体的顶点，α与β可以相交．不正确．故选A．4．（5分）（2004•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C 内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离，所以点P的轨迹是抛物线．故选D．5．（5分）（2004•北京）函数f（x）=x2﹣2ax﹣3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（）A．a∈（﹣∞，1]B．a∈[2，+∞）C．α∈[1，2]D．a∈（﹣∞，1]∪[2，+∞）【解答】解：∵f（x）=x2﹣2ax﹣3的对称轴为x=a，∴y=f（x）在[1，2]上存在反函数的充要条件为[1，2]⊆（﹣∞，a]或[1，2]⊆[a，+∞），即a≥2或a≤1．答案：D6．（5分）（2004•北京）如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0【解答】解：对于A，∵c＜b＜a且ac＜0，∴则a＞0，c＜0，必有ab＞ac，故A一定成立对于B，∵c＜b＜a∴b﹣a＜0，又由c＜0，则有c（b﹣a）＞0，故B一定成立，对于C，当b=0时，cb2＜ab2不成立，当b≠0时，cb2＜ab2成立，故C不一定成立，对于D，∵c＜b＜a且ac＜0∴a﹣c＞0∴ac（a﹣c）＜0，故D一定成立故选C．7．（5分）（2004•北京）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于（）A．0 B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件有n=C43=4种结果，满足条件的事件是在“1、2、3、4”这四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、3、4”，m=1．∴=．故选B．8．（5分）（2004•北京）函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（）①若P∩M=∅，则f（P）∩f（M）=∅；②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意知函数f（P）、f（M）的图象如图所示．设P=[x2，+∞），M=（﹣∞，x1]，∵|x2|＜|x1|，f（P）=[f（x2），+∞），f（M）=[f（x1），+∞），则P∩M=∅．而f（P）∩f（M）=[f（x1），+∞）≠∅，故①错误．同理可知②正确．设P=[x1，+∞），M=（﹣∞，x2]，∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R．f（P）=[f（x1），+∞），f（M）=[f（x2），+∞），f（P）∪f（M）=[f（x1），+∞）≠R，故③错误．④由③的判断知，当P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R是正确的．故④对故选B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2004•北京）函数f（x）=cos2x﹣2sinx•cosx的最小正周期是π．【解答】解：由题意知，f（x）=cos2x﹣2sinx•cosx=cos2x﹣sin2x=2cos（2x+），∴函数的最小正周期是π．故答案为π．10．（5分）（2004•北京）学校篮球队五名队员的年龄分别为15，13，15，14，13，其方差为0.8，则三年后这五名队员年龄的方差为0.8．【解答】解：根据方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，只要数据没有倍数关系的变化，其方差就不会变；由题意知，新数据是在原来每个数上加上3得到，原来的平均数为，新数据是在原来每个数上加上3得到，则新平均数变为+3，则每个数都加了3，原来的方差s12═[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=0.8，现在的方差s22=[（x1+3﹣﹣3）2+（x2+3﹣﹣3）2+…+（x n+3﹣﹣3）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=0.8，方差不变．故三年后这五名队员年龄的方差不变，仍是0.8．故答案为：0.8．11．（5分）（2004•北京）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是cm，表面积是192πcm2．【解答】解：地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，则纬圆半径r，2πr=12πr=6，地球仪的半径R=地球仪的表面积：4πR2=192π故答案为：；192π12．（5分）（2004•北京）曲线C：（θ为参数）的普通方程是x2+（y+1）2=1，如果曲线C与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是．【解答】解：（θ为参数）消参可得x2+（y+1）2=1利用圆心到直线的距离d≤r得解得：故答案为：x2+（y+1）2=1；．13．（5分）（2004•北京）在函数f（x）=ax2+bx+c中，若a，b，c成等比数列且f（0）=﹣4，则f（x）有最大值（填“大”或“小”），且该值为﹣3．【解答】解：∵a，b，c成等比数列且f（0）=﹣4，∴b2=ac，c=﹣4．∴a＜0，∴f（x）有最大值，最大值为：．故答案为：大；﹣3．14．（5分）（2004•北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为3，这个数列的前n项和S n的计算公式为当n为偶数时，；当n为奇数时，．【解答】解：由题意知，a n+a n=5，且a1=2，所以，a1+a2=5，得a2=3，a3=2，a4=3，…a17=2，+1a18=3，当n为偶数时s n=2+3）+（2+3）+（2+3）+…+（2+3）=5×=（当n为奇数时s n=（2+3）+（2+3）+…（2+3）+2=5×+2=故答案为：3；当n为偶数时S n=，当n为奇数时S n=三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2004•北京）在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA 的值和△ABC的面积．【解答】解：（1）∵sinA+cosA=sin（A+45°）=，∴sin（A+45°）=．又0°＜A＜180°，∴A+45°=150°，A=105°．∴tanA=tan（45°+60°）==﹣2﹣．（2）由（1）得：sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=．∴S=AC•ABsinA=•2•3•=（+）．△ABC16．（14分）（2004•北京）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M 为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长（II）PC和NC的长（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）【解答】解：（I）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为（II）如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22=29求得x=2∴PC=P1C=2∵∴（III）如图2，连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）在Rt△PHC中，∵，∴在Rt△NCH中，故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan17．（14分）（2004•北京）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．【解答】解：（I）当时，又抛物线y2=2px的准线方程为由抛物线定义得，所求距离为（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB由y12=2px1，y02=2px0相减得（y1﹣y0）（y1+y0）=2p（x1﹣x0）故同理可得由PA，PB倾斜角互补知k PA=﹣k PB即所以y1+y2=﹣2y0故设直线AB的斜率为k AB由y22=2px2，y12=2px1相减得（y2﹣y1）（y2+y1）=2p（x2﹣x1）所以将y1+y2=﹣2y0（y0＞0）代入得，所以k AB是非零常数18．（14分）（2004•北京）函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足且f（1）=1，在每个区间（i=1，2…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f（0）及，的值，并归纳出的表达式（2）设直线，，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a i（i=1，2…），记，求S（k）的表达式，并写出其定义域和最小值．【解答】解：（1）由f（0）=2f（0），得f（0）=0，由及f（1）=1，得，同理，，归纳得，（2）当时=，所以{a n}是首项为，公比为的等比数列，所以S（k）的定义域为0＜k≤1，当k=1时取得最小值．19．（12分）（2004•北京）某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围．【解答】解：（I）由题意可知：列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是||和||（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以||+||≤2（*）当时，（*）式变形为解得当时，（*）式变形为解得当时，（*）式变形为解得综上所述，v的取值范围是[39，]20．（13分）（2004•北京）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为r N）把这些数全部分完为止．（Ⅰ）判断r1，r2，…，r N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；（Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r n的大小关系，并证明r n﹣1＞；（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．【解答】解：（I）r1≤r2≤≤r N．除第N组外的每组至少含有个数（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r n，余下数之和也大于第n组的余差r n，即L﹣[（150﹣r1）+（150﹣r2）++（150﹣r n）]＞r n由此可得r1+r2++r n﹣1＞150n﹣L因为（n﹣1）r n﹣1≥r1+r2++r n﹣1，所以（III）用反证法证明结论，假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r11，且r11≥r10故余下的每个数（*）因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5此时第11组的余差r11=150﹣第11组数之和＜150﹣112.5=37.5这与（*）式中r11＞37.5矛盾，所以N≤11．参与本试卷答题和审题的老师有：lvp80；xintrl；qiss；wzj123；liuerq；733008；涨停；gongjy；yhx01248；minqi5；吕静；sllwyn；zhwsd；snowwhite；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年5月26日。

2004年全国高考数学试题(全国卷理科word版)

2004年全国高考数学（人教版）试题(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）1、设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22，(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2，则集合N M 中元素的个数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、函数2sin x y =的最小正周期是（） A 、 2π B 、 π C 、π2 D 、π4 3、设数列{}n a 是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）A 、54S S <B 、54S S =C 、56S S >D 、56S S =4、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A 、023=-+y xB 、043=-+y xC 、043=+-y xD 、023=+-y x5、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（）A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --6、设复数z 的辐角的主值为32π，虚部为3，则2z =（） A 、i 322-- B 、i 232-- C 、i 32+ D 、i 232+7、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （） A 、5 B 、 5 C 、25 D 、45 8、不等式311<+<x 的解集为（）A 、()2,0B 、())4,2(0,2 -C 、()0,4-D 、())2,0(2,4 --9、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A 、322B 、2C 、32D 、324 10、在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（）A 、223B 、233 C 、23 D 、33 11、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（） A 、(][]10,02, -∞- B 、(][]1,02, -∞- C 、(][]10,12, -∞- D 、[)[]10,10,2 -12、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（）A 、12种B 、24种C 、36种D 、48种二、填空题（每小题4分，共16分）13、用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .14、函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 . 15、已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .16、设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解答题（6道题，共76分）17、（12分）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。

DA2004年高考数学全国卷Ⅰ理科(必修+选修Ⅱ)

2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=BC PB GA 于是有所以.GA PB BC PB GABC ⊥⋅⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r、的夹角θ 等于所求二面角的平面角，于是,772cos -==θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △GAE 中，AE=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23.21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=Y Θ的取值范围为即离心率且且e e e a a a aa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得Θ 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k －1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。