2009年北京市高级中等学校招生统一考试数学试卷及答案

合集下载

2009年北京市高级中等学校招生统一考试数学试卷及答案

2009年北京高级中学中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号考生须知 1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2.在试着和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 7的相反数是A.17B.7C.17-D.7-2. 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。

将300670用科学记数法表示应为A.60.3006710⨯B.53.006710⨯C.43.006710⨯D.430.06710⨯ 3. 若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥主视图左视图俯视图4. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是。

A.10B.9C.8D.65. 某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是A.0B.141C.241D.16. 某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67,59,61,59,63,57,70,59,65这组数据的众数和中位数分别是A 59,63B 59,61C 59,59D 57,61 7. 把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+C.()2x x y +D.()2x x y - 8. 如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 不等式325x +≥的解集是 .10.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA=28，则∠ABD=°. 11. 若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.12. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N= ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N= （用含有n 的式子表示）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：101200925206-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭14. 解分式方程：6122x x x +=-+15. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90，CD AB ⊥于点D,点E 在AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：AB=FC16. 已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值17. 如图，A 、B 两点在函数()0m y x x=>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

2009北京中考数学试卷及答案

2009 北京中考数学试卷及答案注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷 4 页，为选择题，36 分；第Ⅱ 卷 8 页,为非选择题,84 分；共 120 分．考试时间为 120 分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷(选择题共 36 分)一、选择题 (本题共 12 小题，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．) 1．今年在北京举行的“财富世界论坛”的有关资料显示，近几年中国和印度经济的年平均增长率分别为 7.3%和 6.5%，则近几年中国比印度经济的年平均增长率高（）． A．0．8 C．0．8 % B．0．08 D．0．08%2．已知实数 a、 b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）． A． ab  0 B． a  ba 1 x C． a  b  0 x D． a  b  0 3．国家统计局统计资料显示，2005 年第一季度我国国内生产总值为 31355.55 亿元，用科学记数法表示为（）元．（用四舍五入法保留 3 个有效数字）0b 1² ²²²²A． 3.13 1012 C． 3.14 1013B． 3.14 1012 D． 31355.55 108E 4．如图，在 ABC 中， D、、F 分别在 AB、BC、AC 上，且 EF ∥ AB ，A要使 DF ∥ BC ，只需再有下列条件中的（）即可． D F A． 1   2 B． 1  DFE 1 2 C． 1  AFD D． 2  AFD B E 5．如图，等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB＝2CD ， AC 交 BD 于点 O ，点 E 、 F 分别为 AO 、 BO 的中点，则下列关于点 O 成中心对称的一组三角形是（）． A． ABO与CDO B． AOD与BOC C． CDO与EFO D． ACD与BCDA E D O F B CC6．已知圆 A 和圆 B 相切，两圆的圆心距为 8cm，圆 A 的半径为 3cm，则圆 B 的半径是（）． A．5cm B．11cm C．3cm D．5cm 或 11cm 7．某乡镇有甲、乙两家液化气站，他们的每罐液化气的价格、质和量都相同．为了促销，甲站的液化气每罐降价 25%销售；每个用户购买乙站的液化气，第 1 罐按照原价销售，若用户继续购买，则从第 2 罐开始以 7 折优惠，促销活动都是一年．若小明家每年购买 8 罐液化气，则购买液化气最省钱的方法是（）． A．买甲站的 B．买乙站的 C．买两站的都可以 D．先买甲站的 1 罐，以后再买乙站的 8．若 x  A．1 x2 3 求 4 的值是（ x x  x2 1）．1 1 1 1 B． C． D． 8 10 2 4 9．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的 A、B 两套楼房， A 套楼房在第 3 层楼， B 套楼房在第 5 层楼， B 套楼房的面积比 A 套楼房的面积大 24 平方米，两套楼房的房价相同，第 3 层楼和第 5 层楼的房价分别是平均价的 1.1 倍和 0.9 倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设 A 套楼房的面积为 x 平方米， B 套楼房的面积为 y 平方米，根据以上信息列出了下列方程组．其中正确的是（）．0.9 x  1.1y A．   y  x  24 0.9 x  1.1y C．   x  y  241.1x  0.9 y B．   x  y  24 1.1x  0.9 y D．   y  x  2410．如图，在直角坐标系中，将矩形 OABC 沿 OB 对折，使点 A 落在点 A1 处，已知 OA  3 , AB  1 ，则点 A1 的坐标是（ A．（3 3 ，） 2 2 3 3 ，） 2 2）y ．B．（3 ，3） 2CA1BC．（D．（1 3 ，） 2 2OAxE 11．正方形 ABCD 中，、F 分别为 AB、BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 O ， AO （则）． DOD CA．1 3B．2 5 5F O A E B2 C． 31 D． 212．某种品牌的同一种洗衣粉有 A、B、C 三种袋装包装，每袋分别装有 400 克、300 克、200 克洗衣粉，售价分别为 3.5 元、2.8 元、1.9 元． A、B、C 三种包装的洗衣粉每袋包装费用(含包装袋成本)分别为 0．元、 6 元、 5 元． 8 0． 0．厂家销售 A、B、C 三种包装的洗衣粉各 1200 千克，获得利润最大的是（）． A． A 种包装的洗衣粉 B． B 种包装的洗衣粉 C． C 种包装的洗衣粉 D．三种包装的都相同绝密☆启用前试卷类型：A2005 年潍坊市中等学校招生考试数第Ⅱ卷注意事项：学试题共 84 分)(非选择题1. 第Ⅱ卷共 8 页，用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题(本大题共 5 小题，共 15 分．只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分．其中，第 14、15 两小题为选做题，(B 只须做 ( A)、 ) 题中的一个即可,若两题都做,只以 ( A) 题计得分评卷人分.)y13．如图， ABC 是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与 ABC 全等的一个格点三角形．OxA B C14．(A 题) 已知一次函数 y  2 x  5 的图象与反比例函数 y k  k  0  的图象交 x于第四象限的一点 P  a, 3a  ，则这个反比例函数的解析式为_______________． (B 题) 盒子里装有大小形状相同的 3 个白球和 2 个红球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀后,再摸出第二个球，则取出的恰是两个红球的的概率是______． 15．(A 题) 某电视台在每天晚上的黄金时段的 3 分钟内插播长度为 20 秒和 40 秒的两种广告，20 秒广告每次收费 6000 元，40 秒广告每次收费 10000 元．若要求每种广告播放不少于 2 次，且电视台选择收益最大的播放方式，则在这一天黄金时段 3 分钟内插播广告的最大收益是__________元．12%（70 分以下）(B 题) 一次数学测验以后,张老师根据某班成绩绘制了如图所示的扇形统计图 20% (80～89 分的百分比因故模糊不清),若（70～79 分） 80 分以上(含 80 分)为优秀等级,则本次测验这个班的优秀率为___________．36%（90～100 分）（80～89 分）16．如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 为 AB 的中点，以 E 为圆心，1 为半径作圆，分别交 AD、BC 于 M 、N 两点，与 DC 切于 P 点．则图中阴影部分的面积是________．AEBM D PNC17 在潍坊市“朝阳读书”系列活动中，某学校为活动优秀班级发放购书券到书店购买工具书．已知购买 1 本甲种书恰好用 1 张购书券，购买 1 本乙种或丙种书恰好都用 2 张购书券．某班用 4 张购书券购书，如果用完这 4 张购书券共有________________种不同购法（不考虑购书顺序）．三、解答题（本题共 7 小题，共 69 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）得分评卷人月份 1 2 北京 0.5% 0.9% 巴黎6.7% 5.8%18．(本题满分 8 分)3 4 5 6 7 8 9 10 11 121.2% 3.0% 5.4% 12.3% 33.5% 30.3% 7.8% 3.0% 1.5% 0.6%6.7% 7.8% 8.8% 9.4% 9.4% 9.0% 9.0% 9.9% 9.0% 8.5%某年北京与巴黎的年降水量都是 630 毫米，它们的月降水量占全年降水量百分比如下表：．．．（1）计算两个城市的月平均降水量；（2）写出两个城市的年降水量的众数和中位数；（3）通过观察北京与巴黎两个城市的降水情况，用你所学的统计知识解释北京地区干旱与缺水的原因．得分评卷人19.(本题满分 8 分)如图，菱形 ABCD 中，AB  4 ，E 为 BC 中点，AE  BC ，AF  CD F ， CG ∥ AE ， CG 交 AF 于点 H ，交 AD 于点 G ． A 于点（1）求菱形 ABCD 的面积； G （2）求 CHA 的度数． G D B H HE FEC得分评卷人20.(本题满分 9 分) 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排 4 人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人，那么最后一个路口不足 8 人，但不少于 4 人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？得分评卷人 21.(本题满分 10 分．从 ( A) 题、 ( B ) 题中任选一题解答，若两题都答,只以 ( A) 题计分)D （A 题）某市经济开发区建有 B、C、三个食品加工厂，这三个工厂和开发区 A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且 AB  CD  900 米， AD  BC  1700 米．自来水公司已经修好一条自来水主管道 AN , BC 两厂之间的公路ADBEC C与自来水管道交于 E 处， EC  500 米．若 N 自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价 800 元．（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？（ B 题）如图，已知平行四边形 ABCD 及四边形外一直线 l ，四个顶点D A、、C、到直线 l 的距离分别为 a、b、c、d ． B （1）观察图形，猜想得出 a、b、c、d 满足怎样的关系式？证明你的结论． (2)现将 l 向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．CD B AA1D1B1C1l得分评卷人22.(本题满分 10 分)某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产 76 件，每件利润 10 元，每提高一个档次，利润每件增加 2 元．（1）每件利润为 16 元时，此产品质量在第几档次？（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少 4 件．若生产第 x 档的产品一天的总利润为 y 元（其中 x 为正整数，且 1 ≤ x ≤ 10 ）,求出 y 关于 x 的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为 1080 元，该工厂生产的是第几档次的产品？得分评卷人23 . (本题满分 12 分)如图, AD 是 ABC 的角平分线, 延长 AD 交 ABC 的外接圆 O 于点 E ,过C、D、E 三点的圆 O1 交 AC 的延长线于点 F ，连结 EF、DF ．AO DC(1)求证：AEF∆∽FED∆；(2) 若6,3AD DE==, 求E F的长；(3) 若D F∥B E, 试判断ABE∆的形状，并说明理由．24．(本题满分12分)抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为1x=，(3,0)B,(0,3)C-，（1）求二次函数2y ax bx c=++的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B 两点距离之差最大？若存在，求出P明理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M N、两点，若以M N为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．参考答案及评分标准一．选择题:(本题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选题中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分．)二．填空题：（本题共5小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．其中14、15小题为选做题，做对（A）题或（B）题中的一个即可，如果两题都做，按（A）题得分．）13.只画出一个符合题意的三角形即可.14．(A)3yx=-(B)25415．(A) 50000(B) 68%16．164π--（如果得0．04也可得满分）17．6三．解答题：（本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）18.（本题满分6分）解：（1）两个城市的月平均降水量63052.512==毫米；……………………………1分(2)北京降水量的众数是3%³630=18.9毫米；……………………………….…………2分巴黎的降水量众数是9%³630=56.7毫米；..................................... (3)分北京的降水量的中位数是3%³630=18.9毫米；…………………………………..…..4分巴黎的降水量的中位数是8.9%³630=56.07毫米；………………………. ….…….. 5分(3) 根据众数、中位数的比较，以及表中看出北京在7、8两个月份的降水量最高,其它月份的降水量相对很低,特别是春冬季的降水量更少, 这样导致 7、8两个月份的降水量过于集中，流失过大,而其它月份降水量很少,这就是造成北京每年干旱和缺水的主要原因． …………………………………………………………………8分（只要求说明意思，就可得满分） 19. （本题满分6分）解:(1)连结A C B D 、并且A C 和B D 相交于点O ， ∵AE BC ⊥,且A E 平分B C ， ∴A B C ∆和A D C ∆都是正三角形，∴4AB AC == ， ……………………………………………..2分因为A B O ∆是直角三角形，∴BD =∴菱形A B C D 的面积是……………………………………………..4分 (2) ∵ A D C ∆是正三角形, A F C D ⊥， ∴30D A F ∠=°，又∵C G ∥A E ， AE BC ⊥， ∴ 四边形A E C G 是矩形， ∴90A G H ∠=°，∴120A H C D A F A G H ∠=∠+∠=°…………………………………………8分20. （本题满分9）解:设这个学校选派值勤学生x 人,共到y 个交通路口值勤. ..................... 根据题意得:478. (1)48(1)8...............(2)..5x y x y -=⎧⎨≤--<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎩分将方程(1)代入不等式(2), 8)1(84784<--+≤y y ，整理得:19.5<5.20≤y ，根据题意y 取20,这时x 为158．答:学校派出的是158名学生,分到了20个交通路口安排值勤． . (9)分21. （本题满分10分）解：（A 题）解：（1）过B C 、、D 分别作A N 的垂线段B HC FD G 、、，交A N 于H F G 、、，B HC FD G 、、即为所求的造价最低的管道路线．图形如图所示． ………3分（2）（法一）17005001200B E B C C E =-=-=（米），A E =（米），∵ABE ∆∽C F E ∆，得到：AECE ABCF =．∴C E ABC F A E∙==5009003001500⨯=（米）．…………………5分∵BH E ∆∽C F E ∆，得到BECE BHCF =，∴B E C FB HC E∙==7205003001200=⨯（米）．………………6分∵ABE ∆∽D G A ∆，∴ADAE DGAB =，∴A B A D D G A E∙==102015001700900=⨯（米）．…………………..9分所以，B C 、、D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是720³800=576000（元），300³800=240000（元），1020³800=816000（元）………………….. ………………….. ………………….. …………………..…….10分法二（设A E B ∠=∂，利用三角函数可求得B H、（B 题）（1）d b c a +=+． ……………………..2分证明：连结A C B D 、，且A C B D 、相交于点O EAG HFNCBDO1OO 为点O 到l 的距离，∴OO 1为直角梯形11BB D D 的中位线， ∴1112OO DD BB b d =+=+；同理：1112OO AA C C a c =+=+． ∴d b c a +=+．……………………..4分（2）不一定成立．……………………. ……………………. …………………….……5分分别有以下情况：直线l 过A 点时，d b c +=；直线l 过A 点与B 点之间时，d b a c +=-；直线l 过B 点时，d a c =-；直线l 过B 点与D 点之间时，d b c a -=-；… 直线l 过D 点时，b c a =-；直线l 过C 点与D 点之间时，d b c a +=-；直线l 过C 点时，d b a +=；直线l 过C 点上方时，d b c a +=+．…………………………………..10分 (答对其中一个即为1分，满5分为止)22． (本题满分10分)解：（1）每件利润是16元时，此产品的质量档次是在第四档次．…………………3分（2）设生产产品的质量档次是在第x 档次时，一天的利润是y （元），根据题意得：[][])1(476)1(210---+=x x y整理得：64012882++-=x x y …………… ……………………….7分当利润是1080时，即108064012882=++-x x 解得：11,521==x x （不符合题意，舍去）答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的利润为1080元．……….10分23．(本题满分10分)（1）证明：连结两圆的相交弦C E在圆1O 中，E F D D C E ∠=∠，在圆O 中，B A E D C E ∠=∠， ∴EFD BAE ∠=∠，又因为A E 是B A C ∠角平分线，得∠BAE=∠CAE ， ………….2分 ∴C AE EFD ∠=∠， ∵AEF FED ∠=∠，∴AEF ∆∽FED ∆． ………………………………………3分（2）∵AEF ∆∽FED ∆，∴AEEF EFDE =，∴27)(2=∙+=∙=DE DE AD DE AE EF ，∴33=EF ． ……………………………………….6分（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，得到：A B C A E C ∠=∠，C BE C AE ∠=∠， ∴ABE AEC C AE ∠=∠+∠， ∵A E C C A E A C E ∠+∠+∠=180°， ∴ABE AC E ∠+∠=180°，又FC E AC E ∠+∠=180，∴F C E A B E ∠=∠ ． (10)分∵D F ∥B E ，FD E AEB ∠=∠，又∵F C E E D F ∠=∠， ∴∠AEB =∠ABE ，∴ABE ∆为等腰三角形． (12)分24．解：（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2，得 039=++c b a ． (1)∵1x =是对称轴， ∴12=-ab ． (2) …2分将（2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．所以，二次函数得解析式是322--=x x y ．…………………………………………………………………………4分（2）A C 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点． ∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-， ∴ 直线A C 的解析式是33--=x y ，又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-． ………………………………………………………7分（3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，…………….(1) ∵ 对称轴为1x =，∴ 212=+x x ． …………….(2) 由（1）、（2）得：12+=r x ．……….(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ， (4)整理得： 42-=r y ．………………………………………………………………10分由于 r=±y ，当0>y 时，042=--r r ，解得，21711+=r ， 21712-=r （舍去），当0<y 时，042=-+r r ，解得，21711+-=r ， 21712--=r （舍去）．所以圆的半径是2171+或2171+-．……………………………………………12分说明：解答题各小题只给出了一种解法，其他解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数．。

2009年北京市高级中等学校招生考试数学试题

Ｊ
＝Ｃ，点Ｅ作ＡＢ过Ｃ的垂线，Ｃ交Ｄ的延长线于点
求证：Ｂ＝Ｆ．ＡＣ
１．知一ｘ＝１．６已５４
２．６）１（分在每年年初召开的市人代会上，北京
／
。
图６
市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况．１图０与表１是根据２ｏ —２０Ｏ４０８年
（３０６７×１Ｂ）．００
（３．６Ｄ）００７×１０
点Ｆ，Ｇ上Ａ于点Ｇ当ＥＢ．点Ｃ在ＡＢ上运动时，Ａ设Ｆ
＝
，
图２
Ｄｙ则能表示Ｙ与的函数关系的图像大致Ｅ＝，
）．
某这视丰口ｌ寿图体何视Ｉｌ几个图ｌＩ，的ｌ柳则几Ｉ何三图
６５６５６５７５６．７，９，１，９，３，７，０，９，５
１．图５正方形纸２如，片ＡＣ的边长为１Ｍ、ＢＤ，Ｎ “
Ａ
分别是ＡＢＤ、Ｃ边上的点，）．将纸片的一角沿过点曰的
．
．
，
３７
Ｃ
三、解答题（每小题５分，３）共０分
经过曰、两点的
ｌ算（）一Ｏ＋２一Ｙ３：～２９ｌｌ６．一４．计Ｏ０
１．４解分式方程
％一Ｌ
６０交曰）Ｃ于点Ｇ、ＡＡ交Ｂ
于点Ｆ，Ｂ恰为ｏ０的Ｆ
直径．（）１求证：Ｅ与ｏ０相切；Ａ

2009年北京市高级中等学校招生考试答案

页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

——培根学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。

——阿卜·日·法拉兹2009年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2.若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

13．（本小题满分5分）解: 10120096-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=61-+=5．14．（本小题满分5分）解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)x x x x x ++-=-+．解得 1x =．经检验，1x =是原方程的解．∴ 原方程的解是1x =． 15．（本小题满分5分）证明：∵ FE ⊥AC 于点E ， ∠ACB =90°，∴ ∠FEC =∠ACB =90°． ∴ ∠F +∠ECF =90°．又∵ CD ⊥AB 于点D ， ∴ ∠A +∠ECF =90° ．∴ ∠A =∠F ．在△ABC 和△FCE 中，,, ,A F ACB FEC BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△FCE ．∴ AB =FC ．16．（本小题满分5分）解： 2(1)(21)(1)1x x x ---++22221(21)1x x x x x =--+-+++22221211x x x x x =--+---+ 251x x =-+ ．当2514x x -=时，原式=2(5)114115x x -+=+=．17．（本小题满分5分）解：（1）由图象可知，函数(0)my x x=>的图象经过点A （1，6），可得 6m = ．设直线AB 的解析式为 y kx b =+．∵ A （1，6），B （6，1）两点在函数y kx b =+的图象上，学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。

2009年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(数学理)有答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。

2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

在试卷上作答无效。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B2．已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么（） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C4．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1，1AB 与面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为（）A ．3B ．1C D 【答案】D 5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A6．若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 【答案】C7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 【答案】B8．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2009年北京市中考数学试卷及答案(纯word版).doc

2009年北京高级中学中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号考生须知 1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2.在试着和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 7的相反数是A.17B.7C.17-D.7-2. 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。

A.10B.9C.8D.65. 某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是A.0B.141C.241D.16. 某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67,59,61,59,63,57,70,59,65这组数据的众数和中位数分别是A 59,63B 59,61C 59,59D 57,61 7. 把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+C.()2x x y + D.()2x x y -8. 如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G ,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 不等式325x +≥的解集是 .10.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA=28，则∠ABD= °. 11. 若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k += .12. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N= ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N= （用含有n 的式子表示）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：101200925206-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭14. 解分式方程：6122x x x +=-+15. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90，CD AB ⊥于点D,点E 在AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：AB=FC16. 已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值17. 如图，A 、B 两点在函数()0m y x x=>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

2009-2018年北京十年中考数学试卷及答案(word)[1]

(1)求k的值；
(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2＋4x＋k－1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；
(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线 (b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
(2)如图④，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图④中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．
五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)
23．已知关于x的一元二次方程2x2＋4x＋k－1＝0有实数根，k为正整数．
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
13．计算：．
14．解分式方程．
15．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．
求证：AB＝FC．
16．已知x2－5x＝14，求(x－1)(2x－1)－(x＋1)2＋1的值．
21．在每年年初召开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况．以下是根据2004—2008年报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分．
第21题图
表12004—2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位：亿元)
年份
2004
2005
2006
22．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图①所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．

【数学】2009年高考真题北京卷(理)解析版

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

在试卷上作答无效。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ∵(12)22z i i i i i =+=+=-+，∴复数z 所对应的点为()2,1-，故选B.2．已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R),d =a -b,如果c //d ，那么（） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a()1,0=，b()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-，显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A ．()()lg 31lg103y x x =++=+，B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-，C ．()3lg 31lg10x y x +=+-=， D ．()3lg 31lg10x y x -=--=.故应选C. 4．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC到底面ABCD 的距离为（）A． B ．1CD【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160B AB ︒∠=，如图，11tan60BB ︒=⨯，故选D.5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当2()6k k Z παπ=+∈时，1cos 2cos 4cos 332k ππαπ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，反之，当1cos 22α=时，有()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈，或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A.6．若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （）A ．45B ．55C ．70D ．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵(5123450123455555551CC C CC C+=+++++120242292=++++=由已知，得41a +=+412970a b +=+=.故选C.7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．648 【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A =⨯=（个），当0不排在末位时，有111488488256A A A ⋅⋅=⨯⨯=（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B. 8．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设()(),,,1A m n P x x -，则()2,22B m x n x ---，∵2,A B y x =在上， ∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎨-+=-⎩（第8题解答图）消去n,整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= （1）∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

北京市2009年高级中等学校招生统一考试答案

数学试卷答案及评分参考第 1 页（共 8 页）2009年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2.若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

13．（本小题满分5分）解: 10120096-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=61-+4分 =5． …………………………………………………………………………… 5分14．（本小题满分5分）解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)x x x x x ++-=-+． ……………………………………2分解得 1x =． …………………………………………………………………4分经检验，1x =是原方程的解．∴ 原方程的解是1x =． ……………………………………………………5分15．（本小题满分5分）证明：∵ FE ⊥AC 于点E ， ∠ACB =90°，∴ ∠FEC =∠ACB =90°． ∴ ∠F +∠ECF =90°．又∵ CD ⊥AB 于点D ， ∴ ∠A +∠ECF =90° ．∴ ∠A =∠F ． …………………………………………………………… 2分数学试卷答案及评分参考第 2 页（共 8 页）在△ABC 和△FCE 中，,, ,A F ACB FEC BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△FCE ．……………………………………………………………4分 ∴ AB =FC ． ……………………………………………………………………5分16．（本小题满分5分）解： 2(1)(21)(1)1x x x ---++22221(21)1x x x x x =--+-+++……………………………………………………2分22221211x x x x x =--+---+251x x =-+ ． ………………………………………………………3分当2514x x -=时，原式=2(5)114115x x -+=+=． …………………………………………………5分 17．（本小题满分5分）解：（1）由图象可知，函数(0)my x x=>的图象经过点A （1，6），可得 6m = ．…………………………………1分设直线AB 的解析式为 y kx b =+． ∵ A （1，6），B （6，1）两点在函数y kx b =+的图象上，∴6,6 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ ………………………………………………………………2分解得 1,7.k b =-⎧⎨=⎩…………………………………………………………………3分 ∴ 直线AB 的解析式为7y x =-+ ．………………………………………4分（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ． …………………5分18．（本小题满分5分）解法一：设轨道交通日均客运量为x 万人次，则地面公交日均客运量为(469)x -万人次.…1分依题意，得 (469) 1 696x x +-=． ……………………………………2分解得 353x =． …………………………………… 3分469435369 1 343x -=⨯-= ．……………………………………… 4分答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1 343万人次．…5分数学试卷答案及评分参考第 3 页（共 8 页）解法二：设轨道交通日均客运量为x 万人次，则地面公交日均客运量为y 万人次．…1分依题意，得 1 696,469.x y y x +=⎧⎨=-⎩ …………………………………………………2分解得 353,1 343.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………………………4分答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1 343万人次．… 5分四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分） 19．（本小题满分5分）解法一：如图1，过点D 作DG ⊥BC 于点G ． ………………………………………1分∵ AD //BC ，∠B = 90°， ∴ ∠A = 90°．可得四边形ABGD 为矩形． ∴ BG=AD =1，AB=DG ． ∵ BC =4，∴ GC =3． ……………………………………2分 ∵ ∠DGC = 90°，∠C = 45°， ∴ ∠CDG = 45°．∴ DG=GC =3．∴ AB =3． …………………………………3分又∵ E 为AB 中点，∴ 12B E A B ==32．…………………………………………………………4分 ∵ EF //DC ， ∴ ∠EFB = 45°．在△BEF 中，∠B =90°，∴ EF=sin 45BE ︒．……………………………………………………5分解法二：如图2，延长FE 交DA 的延长线于点G ． …………………………………1分∵ AD ∥BC ，EF //DC ，∴ 四边形GFCD 为平行四边形，∠G =∠1．∴ GD=FC ．……………………………………2分 ∵ EA =EB ，∠2=∠3， ∴ △GAE ≌△FBE ．∴ AG =BF ．……………………………………3分 ∵ AD =1，BC =4，设AG=x ，则BF=x ，CF =4x -，GD =1x +． ∴ 14x x +=-．解得32x =． …………………………………………………………………4分图1图2数学试卷答案及评分参考第 4 页（共 8 页）∵ ∠C = 45°， ∴ ∠1= 45°．在△BEF 中，∠B =90°，∴ EF=cos45BF =︒5分20. （本小题满分5分）（1）证明：连结OM ，则OM =OB .∴ ∠1=∠2 .∵ BM 平分∠ABC ， ∴ ∠1=∠3 . ∴ ∠2=∠3 . ∴ OM ∥BC .∴ ∠AMO =∠AEB .在△ABC 中， AB =AC ，AE 是角平分线， ∴ AE ⊥BC . ∴ ∠AEB =90°. ∴ ∠AMO =90°. ∴ OM ⊥AE .∴ AE 与⊙O 相切 . ………………………………………………………3分（2）解：在△ABC 中, AB =AC ，AE 是角平分线，∴ BE =12BC ，∠ABC =∠C .∵ BC = 4，cos C 31=， ∴ BE =2，1cos 3ABC ∠= . 在△ABE 中，∠AEB =90°，∴ AB =cos BEABC=∠6.设⊙O 的半径为r ，则AO =6r -. ∵ OM ∥BC ，∴ △AOM ∽△ABE .∴O M A OB E A B =. ∴ 626r r -=.解得 r =32.∴ ⊙O 的半径为32. ………………………………………………………5分数学试卷答案及评分参考第 5 页（共 8 页）21. （本小题满分6分）解：（1）表1 2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位：亿元）……………………………2分（2）8 6.7 5.714.67.342.38.4655++++==（亿元）.所以2004—2008年市财政教育实际投入与预算差值的平均数是8.46亿元.……………………………4分（3）141.7+8.46=150.16（亿元）估计2009年市财政教育实际投入可能达到150.16亿元.…………………………………………………………………6分 22．（本小题满分4分）解：（1）拼接成的平行四边形是ABCD （如图3）．………………………………2分（2）正确画出图形（如图4）． ………………………………………………………3分平行四边形MNPQ 的面积为25．……………………………………………4分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．（本小题满分7分）解：（1）由题意得，)1(816--=∆k ≥0 ．∴k ≤3 ． ……………………………………………………………………1分k 为正整数，∴k =1，2，3．……………………………………………………………… 2分图3图4数学试卷答案及评分参考第 6 页（共 8 页）（2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-． ……………………………4分（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B两点，则(3,0),(1,0)A B -．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12y x b =+经过A 点时，可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时，可得12b =-．由图象可知，符合题意的b (3)b <的取值范围为1322b -<<． …………………………………7分24．（本小题满分8分）解：（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直．………………………1分证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵ 线段EC 、1EP 分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段EF 、1EG ， ∴ 1190PEG CEF ∠=∠=︒，11EG EP =，EF EC =． ∵ 1190G EF PEF ∠=︒-∠， 1190PEC PEF ∠=︒-∠， ∴ 11G EF PEC ∠=∠． ∴ △1G EF ≌△1PEC ． ∴ 11G FE PCE ∠=∠． ∵ EC CD ⊥， ∴ 190PCE ∠=︒． ∴ 190G FE ∠=︒ ． ∴ 90EFH ∠=︒． ∴ 90FHC ∠=︒．∴ 1FG ⊥CD ． ……………………………………………………3分数学试卷答案及评分参考第 7 页（共 8 页）②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直． ……………………………………………………………………………4分（2）∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ B ADC ∠=∠．∵ AD =6，AE =1，4tan 3B =， ∴ 5DE =，4tan tan 3EDC B ∠==．可得 CE=4 ．由（1）可得四边形FECH 为正方形． ∴ CH=CE=4．①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时， ∵ 11FG CP x ==，14PH x =-， ∴ 11111(4)22P FG x x SFG PH ∆-=⨯⨯=． ∴ 2122y x x =-（x ＞4）． ……………6分 ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C 、H 两点重合）时，∵ 11FG CP x ==，14PH x =-， ∴ 11111(4)22P FG x x SFG PH ∆-=⨯⨯=． ∴ 2122y x x =-+（0＜x ＜4）．③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，△11PFG 不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是2122y x x=-（x ＞4）或2122y x x =-+（0＜x ＜4）． ………………………………………………8分25．（本小题满分7分）解：（1）∵ A （6-，0），C （0，，∴ OA =6，OC =34．设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得 △DMC ∽△AOC ．又CD =12AC ， ∴ 1.2MD CM CD OA CO CA ===数学试卷答案及评分参考第 8 页（共 8 页）∴ CM =34，MD =3 ．同理可得 EM =3 ． ∴OM =∴ D 点的坐标为 (3，36)．…………………………………………………2分（2）由（1）可得点M 的坐标为（0，36）．由 DE ∥AB ，EM =MD ，可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线． ∴ 点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上．∴ ED 与CF 互相垂直平分． ∴ CD =DF =FE =EC ．∴ 四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心．作直线BM ．设BM 与CD 、EF 分别交于点S 、点T ．可证△FTM ≌△CSM ． ∴ FT = CS ． ∵ FE = CD ， ∴ TE = SD ． ∵ EC =DF ，∴ TE+ EC + CS+ST =SD+DF+FT+TS ．∴ 直线MB 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形．由点B 的坐标（6，0），点M （0，36）在直线y kx b =+上，可得直线BM 的解析式为363+-=x y ．………………………………5分（3）确定G 点位置的方法：过A 点作AH ⊥BM 于点H ，则AH 与y 轴的交点为所求的 G 点． …………………………………………………………………………6分由OB =6，OM= 可得 ∠OBM =60°．∴ ∠BAH =30°．在Rt △OAG 中，OG =BAH AO ∠⋅tan =32．∴ G 点的坐标为（0，32）．（或G 点的位置为线段OC 中点）………7分。

2009年北京中考数学试卷

1 2009年北京市中考数学试卷(课标卷)一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．7的相反数是( ) A ．71B ．7C ．－71 D ．－72．改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3 645亿元增长到2008年的300 670亿元．将300 670用科学记数法表示应为( ) A ．0.30067×106 B ．3.006 7×105 C ．3.006 7×104 D ．30.067×104 3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是( )第3题图A ．圆柱B ．正方体C ．球D ．圆锥4．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．65．某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字．老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是( ) A ．0B ．411 C ．412 D ．16．某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是(单位：千克)：67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是( ) A ．59，63 B ．59，61 C ．59，59 D ．57，61 7．把x 3－2x 2y ＋xy 2分解因式，结果正确的是( ) A ．x (x ＋y )(x －y ) B ．x (x 2－2xy ＋y 2) C ．x (x ＋y )2 D ．x (x －y )28．如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD ＝ 45°，DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AB 于点G ．当点C 在AB 上运动时，设AF ＝x ，DE ＝y ，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )第8题图二、填空题(本题共16分，每小题4分) 9．不等式3x ＋2≥5的解集是________． 10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝________°．第10题图第12题图11．若把代数式x 2－2x －3化为(x －m )2＋k 的形式，其中m 、k 为常数，则m ＋k ＝________． 12．如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N ＝________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等分点(n ≥2，且n 为整数)，则A ′N ＝________(用含有n 的式子表示)．三、解答题(本题共30分，每小题5分)13．计算：20|52|20096101--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-．14．解分式方程1262=++-x x x ．15．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB ＝FC ．第15题图16．已知x 2－5x ＝14，求(x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1的值．17．如图，A 、B 两点在函数xmy(x ＞0)的图象上． (1)求m 的值及直线AB 的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数．第17题图18．列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日至2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次?四、解答题(本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分) 19．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，BC ＝4，E 为AB中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长．第19题图20．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过B 、M 两点的⊙O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为⊙O 的直径． (1)求证：AE 与⊙O 相切；(2)当BC ＝4，31cosC 时，求⊙O 的半径．第20题图21．在每年年初召开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况．以下是根据2004—2008年报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分．第21题图表1 2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位：亿元)年份2004 2005 2006 2007 2008 教育实际投入与预算的差值6.75.714.67.3请根据以上信息解答下列问题：(1)请在表1的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值； (2)求2004—2008年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数；(3)已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元，在此基础上，如果2009年北京市财政教育实际投入按照(2)中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元?22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图①所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图②所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG ．第22题图请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图③所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图③中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个．．符合条件的平行四边形即可)；(2)如图④，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ ．请在图④中探究平行四边形MNPQ 面积的大小(画图．．并直接写出结果)．五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)23．已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有实数根，k 为正整数．(1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝2x 2＋4x ＋k －1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线b x y +=21(b ＜k )与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．第23题图24．在□ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EF (如图①)． (1)在图①中画图探究：①当P 1为射线CD 上任意一点(P 1不与C 点重合)时，连结EP 1，将线段EP 1绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG 1．判断直线FG 1与直线CD 的位置关系并加以证明； ②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2，将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG 2．判断直线G 1G 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．(2)若AD ＝6，34tan =B ，AE ＝1，在①的条件下，设CP 1＝x ，11FG P S ∆＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．第24题图25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－6，0)，B (6，0)，C (0，43)，延长AC 到点D ，使AC CD 21=，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ．(1)求D 点的坐标；(2)作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；(3)设G 为y 轴上一点，点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短． (要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明)第25题图答案1．2009年北京市中考数学试卷(课标卷)一、选择题1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A 二、填空题9．x ≥1 10．28 11．－3 12．nn 1223-(n ≥2，且n 为整数) 三、解答题13．解：20|52|20096101--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝6－1＋25－25＝5．14．解：去分母，得x (x ＋2)＋6(x －2)＝(x －2)(x ＋2)．解得x ＝1．经检验，x ＝1是原方程的解． ∴原方程的解是x ＝1．15．证明：∵FE ⊥AC 于点E ，∠ACB ＝90°，∴∠FEC ＝∠ACB ＝90°． ∴∠F ＋∠ECF ＝90°．又∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠A ＋∠ECF ＝90°． ∴∠A ＝∠F ．在△ABC 和△FCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,CE BC FEC ACB F A ∴△ABC ≌△FCE ． ∴AB ＝FC．第15题答图16．解： (x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1＝2x 2－x －2x ＋1－(x 2＋2x ＋1)＋1 ＝2x 2－x －2x ＋1－x 2－2x －1＋1 ＝x 2－5x ＋1．当x 2－5x ＝14时，原式＝(x 2－5x )＋1＝14＋1＝15． 17．解：(1)由图象可知，函数xmy =(x ＞0)的图象经过点A (1，6)，可得m ＝6．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ．∵A (1，6)，B (6，1)两点在函数y ＝kx ＋b 的图象上，⎩⎨⎧=+=+∴.16,6b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.7,1b k∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋7．(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是 3 ．第17题答图18．解法一：设轨道交通日均客运量为x 万人次，则地面公交日均客运量为(4x －69)万人次．依题意，得x ＋(4x －69)＝1696．解得x ＝353．4x －69＝4×353－69＝1343．答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．解法二：设轨道交通日均客运量为x 万人次，地面公交日均客运量为y 万人次．依题意，得⎩⎨⎧-==+.694,1696x y y x解得⎩⎨⎧==.1343,353y x答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．四、解答题19．解法一：如图①，过点D 作DG ⊥BC 于点G ．∵AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠A ＝90°．可得四边形ABGD 为矩形． ∴BG ＝AD ＝1，AB ＝DG ． ∵BC ＝4，∴GC ＝3．∵∠DGC ＝90°，∠C ＝45°，∴∠CDG ＝45°． ∴DG ＝GC ＝3．∴AB ＝3．又∵E 为AB 中点，∴2321==AB BE ． ∵EF ∥DC ，∴∠EFB ＝45°．在△BEF 中，∠B ＝90°，22345sin .==∴BEEF ．第19题答图解法二：如图②，延长FE 交DA 的延长线于点G ．∵AD ∥BC ，EF ∥DC ，∴四边形GFCD 为平行四边形，∠G ＝∠1．∴GD ＝FC ． ∵EA ＝EB ，∠2＝∠3，∴△GAE ≌△FBE ．∴AG ＝BF ．∵AD ＝1，BC ＝4，设AG ＝x ，则BF ＝x ，CF ＝4－x ，GD ＝x ＋1． ∴x ＋1＝4－x ．解得23=x ． ∵∠C ＝45°，∴∠1＝45°．在△BEF 中，∠B ＝90°，22345cos ==∴BFEF ． 20．(1)证明：连结OM ，则OM ＝OB ．∴∠1＝∠2．∵BM 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠3． ∴∠2＝∠3． ∴OM ∥BC ．∴∠AMO ＝∠AEB ．在△ABC 中AB ＝AC ，AE 是角平分线， ∴AE ⊥BC ．∴∠AEB ＝90°．∴∠AMO ＝90°．∴OM ⊥AE ． ∴AE 与⊙O 相切．第20题答图(2)解：在△ABC 中，AB ＝AC ，AE 是角平分线，BC BE 21=∴，∠ABC ＝∠C ．∵BC ＝4，31cos =C ，∴BE ＝2，31cos =∠ABC ．在△ABE 中，∠AEB ＝90°，∴6cos =∠=ABC BE AB ．设⊙O 的半径为r ，则AO ＝6－r ． ∵OM ∥BC ，∴△AOM ∽△ABE ．ABAO BEOM =∴．662r r -=∴．解得23=r ． ∴⊙O 的半径为23． 21．解：(1)表1 2004—200 8年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位：亿元)年份2004 2005 2006 2007 2008 教育实际投入与预算的差值86.75.714.67.3(2)46.853.4253.76.147.57.68==++++(亿元)．所以2004—2008年市财政教育实际投入与预算差值的平均数是8.46亿元．(3)141.7＋8.46＝150.16(亿元)．估计2009年市财政教育实际投入可能达到150.16亿元． 22．解：第22题答图(1)拼接成的平行四边形是□ABCD (如图①)． (2)正确画出图形如图②．平行四边形MNPQ 的面积为52．五、解答题23．解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k －1)≥0．∴k ≤3．∵k 为正整数，∴k ＝1，2，3．(2)当k ＝1时，方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有一个根为零；当k ＝2时，方程2x 2＋4x ＋k －1＝0无整数根；当k ＝3时，方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有两个非零的整数根．综上所述，k ＝1和k ＝2不合题意，舍去；k ＝3符合题意．当k ＝3时，二次函数为y ＝2x 2＋4x ＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y ＝2x 2＋4x －6．(3)设二次函数y ＝2x 2＋4x －6的图象与x 轴交于A 、B 两点，则A (－3，0)，B (1，0)．依题意翻折后的图象如图所示．第23题答图当直线b x y +=21经过A 点时，可得23=b ；当直线b x y +=21经过B 点时，可得21-=b ．由图象可知，符合题意的b (b ＜3)的取值范围为2321<<-b ． 24．解：(1)①直线FG 1与直线CD 的位置关系为互相垂直．证明：如图①，设直线FG 1与直线CD 的交点为H ．∵线段EC 、EP 1分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段EF 、EG 1， ∴∠P 1EG 1＝∠CEF ＝90°，EG 1＝EP 1，EF ＝EC ． ∵∠G 1EF ＝90°－∠P 1EF ， ∠P 1EC ＝90°－∠P 1EF ， ∴∠G 1EF ＝∠P 1EC ． ∴△G 1EF ≌△P 1EC ． ∴∠G 1FE ＝∠P 1CE ． ∵EC ⊥CD ，∴∠P 1CE ＝90°． ∴∠G 1FE ＝90°． ∴∠EFH ＝90°． ∴∠FHC ＝90°． ∴FG 1⊥CD ．②按题目要求所画图形见图①，直线G 1G 2与直线CD 的位置关系为互相垂直． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠ADC ．∵AD ＝6，AE ＝1，34tan =B ， ∴DE ＝5，34tan tan ==∠B EDC ．可得 CE ＝4．由(1)可得四边形FECH 为正方形. ∴CH ＝CE ＝4．②①如图②，当P 1点在线段CH 的延长线上时， ∵FG 1＝CP 1＝x ，P 1H ＝x －4，2)4(211111-=⨯⨯=∴∆x x H P FG S FG P ． )4(2212>-=∴x x x y ． ②如图③，当P 1点在线段CH 上(不与C 、H 两点重合)时， ∵FG 1＝CP 1＝x ，P 1H ＝4－x ，2)4(211111x x H P FG S FG P -=⨯⨯=∴∆． )40(2212<<+-=∴x x x y ．③当P 1点与H 点重合时，即x ＝4时，△P 1FG 1不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是)4(2212>-=x x x y 或)40(2212<<+-=x x x y ．第24题答图25．解：(1)∵A (－6，0)，C (0，43)，∴OA ＝6，OC ＝43．设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得△DMC ∽△AOC ．又AC CD 21=，21===∴CA CD CO CM OA MD ． ∴CM ＝23，MD ＝3．同理可得EM ＝3．∴OM ＝63． ∴D 点的坐标为(3，63)．(2)由(1)可得点M 的坐标为(0，63)．由DE ∥AB ，EM ＝MD ，可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线． ∴点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上． ∴ED 与CF 互相垂直平分． ∴CD ＝DF ＝FE ＝EC ．∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心．作直线BM ．设BM 与CD 、EF 分别交于点S 、点T ．可证△FTM ≌△CSM ． ∴FT ＝CS ．∵FE ＝CD ，∴TE ＝SD ．∵EC ＝DF ，∴TE ＋EC ＋CS ＋ST ＝SD ＋DF ＋FT ＋TS ． ∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形．由点B (6，0)，点M (0，63)在直线y ＝kx ＋b 上，可得直线BM 的解析式为y ＝－3x ＋63．第25题答图(3)确定G 点位置的方法：过A 点作AH ⊥BM 于点H ，则AH 与y 轴的交点为所求的G 点．由OB ＝6，OM ＝63，可得∠OBM ＝60°．∴∠BAH ＝30°．在Rt △OAG 中，OG ＝AO ·tan ∠BAH ＝23．∴G点的坐标为(0，23)．(或G点的位置为线段OC的中点)。

2009年北京中考数学试题详细解析

2009年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）．B．D故选D．点评：本题考查了相反数的意义．解答这类题学生易将其和倒数相混淆，而错误地选择或．常考查的知识点：相反数、倒数、绝对值、平方根、及算术平方根．2．（4分）（2009•北京）改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300 6703．（4分）（2010•徐州）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）分析：利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．解答：解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故选B．点评：本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°．解答这类题往往一5．（4分）（2009•北京）某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写．C．D分析：让习惯用左手写字的同学数除以学生的总数即为所求的概率．解答：解：这个班上共有41名学生，其中有2名同学习惯用左手写字，因为每名学生被选中的机会相等，所以班主任随机请一名学生解答问题，则用左手写字的学生被选中的概率是；抽到习惯用左手写字的情况有两个可能，随机抽取时有41种可能，因而P（抽到左手写字学生）=．故选C．点评：明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．（4分）（2009•北京）某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67、59、61、3228．（4分）（2012•定西）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x 的函数关系式的图象大致是（）．B．C．D．分析：本题考查动点函数图象的问题．解答：解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小，当C与O重合时，y有最大值，∵x=0，y=ABx=AB﹣AB时，DE过点O，此时：DE=ABx=AB，y=AB所以，随着x的增大，y先增后降，类抛物线故选A．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．（4分）（2009•北京）不等式3x+2≥5的解集是x≥1．10．（4分）（2009•北京）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=28度．分析：本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．解答：解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度．点评：本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答11．（4分）（2009•北京）若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=﹣3．12．（4分）（2009•北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=（n≥2，且n为整数）（用含有n的式子表示）．分析：先根据勾股定理求出A′N的长，根据轴对称图形分析．解答：解：由题意得BN=，A′B=1，由勾股定理求得，当M，N分别是AD，BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），即把BC分成n等份，BN占n﹣1份，∴BN=，CN=，在Rt△A′BN中，根据勾股定理，（n≥2，且n为整数）．点评：本题综合考查了运用轴对称和勾股定理的知识进行计算的能力．解答这类题学生往往不明确三、解答题（共13小题，满分72分）13．（5分）（2009•北京）计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（）﹣1=6，20090=1，|﹣2|=2，=2．解答：解：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣==5．点评：传统的小杂烩计算题．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的14．（5分）（2009•北京）解分式方程：．15．（5分）（2009•北京）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．在△ABC和△FCE中，，∴△ABC≌△FCE（AAS），∴AB=FC．点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，同角的余16．（5分）（2009•北京）已知x2﹣5x=14，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．17．（5分）（2009•北京）如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．：数形结合；待定系数法．分析：（1）将A点或B点的坐标代入y=求出m，再将这两点的坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可得到这个函数的解析式；（2）画出网格图帮助解答．解答：解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6），可得m=6．设直线AB的解析式为y=kx+b．∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y=kx+b的图象上，∴，解得．∴直线AB的解析式为y=﹣x+7；（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想．18．（5分）（2009•北京）列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？地面公交日均客运量=轨道交通日均客运量×4﹣69．解答：解：设轨道交通日均客运量为x万人次，地面公交日均客运量为y万人次．依题意得：解得：答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．点评：解题关键是弄清题意，找准关键语，找出合适的等量关系，地面公交日均客运量+轨道交通日均客运19．（5分）（2009•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．四边形，再证明△AGE≌△BFE，说明AG=BF，最后解依据DG=FC得出的一元一次方程即可．解答：解：解法一：如图1，过点D作DG⊥BC于点G．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90度．可得四边形ABGD为矩形．∴BG=AD=1，AB=DG．∵BC=4，∴GC=3．∵∠DGC=90°，∠C=45°，∴∠CDG=45度．∴DG=GC=3．∴AB=3．又∵E为AB中点，∴BE=AB=．∵EF∥DC，∴∠EFB=45度．在△BEF中，∠B=90度．∴EF==．解法二：如图2，延长FE交DA的延长线于点G．∵AD∥BC，EF∥DC，∴四边形GFCD为平行四边形，∠G=∠1．∴GD=FC．∵EA=EB，∠2=∠3，∴△GAE≌△FBE．∴AG=BF．∵AD=1，BC=4，设AG=x，则BF=x，CF=4﹣x，GD=x+1．∴x+1=4﹣x．解得x=．∵∠C=45°，∴∠1=45度．在△BEF中，∠B=90°，∴EF=．点评：此题考查简单图形中的线段的求法，一可以通过特殊角的三角函数值及四边形的有关知识及勾股定20．（5分）（2009•北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径．∴AE⊥BC∴∠AEB=90°∴∠AMO=90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线∴BE=BC，∠ABC=∠C∵BC=4，cosC=∴BE=2，cos∠ABC=在△ABE中，∠AEB=90°∴AB==6设⊙O的半径为r，则AO=6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．点评：本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识21．（6分）（2009•北京）在每年年初召开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况．以下是根据2004﹣2008年度报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分．2004﹣2008年北京市财政教育实际投入与预算差值统计表（单位：亿元）教育实际投入与预算差值 6.7 5.7 14.6 7.3请根据以上信息解答下列问题：（1）请在表1的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值；（2）求2004﹣2008年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数；（3）已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元．在此基础上，如果2009年北京市财政教育实际投入按照（2）中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元？（3）估计2009年的实际投入为141.7+平均数即可．解答：解：（1）2004年市财政教育实际投入与预算的差值=52.2﹣44.2=8亿元．年份2004 2005 2006 2007 2008教育实际投入与预算差值8 6.7 5.7 14.6 7.3；（2）（亿元），所以2004﹣2008年市财政教育实际投入与预算差值的平均数是8.46亿元；（3）141.7+8.46=150.16（亿元），估计2009年市财政教育实际投入可能达到150.16亿元．点评：本题为比较简单的统计类应用题，读懂统计图．22．（4分）（2009•北京）阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．：压轴题；阅读型．分析：（1）参考阅读材料中提供的方法去解．（2）采用逆向思维的方式画出“复原”图并结合这个图形即可快捷的求出所求．本题第二问较难，主要不知采用逆向思维的方式得到所求的图形进而求出所求图形的面积．把它返回到5个相同的平行四边形的状态，那么其中一个的面积为原图形的，那么行四边形MNPQ面积×2=．解答：解：（1）拼接成的平行四边形是平行四边形ABCD（如图3）．（2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ的面积为．点评：考查知识点：动手操作能力及想象力．热点题型，最佳征服策略就是多见不同的题型，多思考，多23．（7分）（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．：综合题．分析：（1）综合根的判别式及k的要求求出k的取值；（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=x+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值范围．本题第二问是难点，主要是不会借助计算淘汰不合题意的k值．解答：解：（1）由题意得，△=16﹣8（k﹣1）≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k=1，2，3；（2）设方程2x2+4x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣2，x1•x2=．当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0有一个根为零；当k=2时，x1•x2=，方程2x2+4x+k﹣1=0没有两个不同的非零整数根；当k=3时，方程2x2+4x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意．当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x ﹣6；（3）设二次函数y=2x2+4x﹣6的图象与x轴交于A、B两点，则A（﹣3，0），B（1，0）．依题意翻折后的图象如图所示．当直线y=x+b经过A点时，可得b=；当直线y=x+b经过B点时，可得b=﹣．由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为＜b＜．（3）依图象得，要图象y=x+b（b小于k）与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段．而因式分解得y=2x2+4x﹣6=2（x﹣1）（x+3），第一段，当y=x+b过（1，0）时，有一个交点，此时b=﹣．当y=x+b过（﹣3，0）时，有三个交点，此时b=．而在此中间即为两个交点，此时﹣＜b＜．第二段，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折后，开口向下的部分的函数解析式为y=﹣2（x﹣1）（x+3）．显然，当y=x+b与y=﹣2（x﹣1）（x+3）（﹣3＜x＜1）相切时，y=x+b与这个二次函数图象有三个交点，若直线再向上移，则只有两个交点．因为b＜3，而y=x+b（b小于k，k=3），所以当b=3时，将y=x+3代入二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3）整理得，4x2+9x﹣6=0，△＞0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图象相交只有两个公共点．这种情况故舍去．综上，﹣＜b＜．点评：考查知识点：一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次24．（8分）（2009•北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FG1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．合时，说明△P1FG1不存在，再作综合说明即可．解答：解：（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H．∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，∴∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC．∵∠G1EF=90°﹣∠P1EF，∠P1EC=90°﹣∠P1EF，∴∠G1EF=∠P1EC．∴△G1EF≌△P1EC．∴∠G1FE=∠P1CE．∵EC⊥CD，∴∠P1CE=90°，∴∠G1FE=90度．∴∠EFH=90度．∴∠FHC=90度．∴FG1⊥CD．②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC．∵AD=6，AE=1，tanB=，∴DE=5，tan∠EDC=tanB=．可得CE=4．由（1）可得四边形EFHC为正方形．∴CH=CE=4．①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时，∵FG1=CP1=x，P1H=x﹣4，∴S△P1FG1=×FG1×P1H=．∴y=x2﹣2x（x＞4）．②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，∵FG1=CP1=x，P1H=4﹣x，∴S△P1FG1=×FG1×P1H=．∴y=﹣x2+2x（0＜x＜4）．③当P1点与H点重合时，即x=4时，△P1FG1不存在．综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=x2﹣2x（x＞4）或y=﹣x2+2x（0＜x＜4）．25．（7分）（2009•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B （6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）出∠BAH，借助三角函数求出点G的坐标．解答：解：（1）∵A（﹣6，0），C（0，4）∴OA=6，OC=4设DE与y轴交于点M由DE∥AB可得△DMC∽△AOC又∵CD=AC∴∴CM=2，MD=3同理可得EM=3∴OM=6∴D点的坐标为（3，6）；（2）由（1）可得点M的坐标为（0，6）由DE∥AB，EM=MD可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上∴ED与CF互相垂直平分∴CD=DF=FE=EC∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、点T，可证△FTM≌△CSM∴FT=CS，∵FE=CD，∴TE=SD，∵EC=DF，∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS，∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，由点B（6，0），点M（0，6）在直线y=kx+b上，可得直线BM的解析式为y=﹣x+6．（3）设点P在AG上的运动速度为x，点P在Y轴上的运动速度为2x，则点P到达点A的时间为t=+=（+GA）过点G作GH垂直于BM，由于角BMO=30°，∴=GH，∴t=（+GA）=（GH+GA），要使t最小，则GH+GA最小，即当点G、A、H三点一线时，t有最小值，确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点由OB=6，OM=6，可得∠OBM=60°，∴∠BAH=30°，在Rt△OAG中，OG=AO•tan∠BAH=2，∴G点的坐标为．（或G点的位置为线段OM的中点）。

2009年北京中考数学真题卷(含答案)

2009年北京高级中学中等学校招生考试数学试卷【精品】一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 7的相反数是 A.17B.7C.17-D.7-2. 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。

将300670用科学记数法表示应为 A.60.3006710⨯B.53.006710⨯C.43.006710⨯D.430.06710⨯3. 若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是 A.圆柱 B.正方体 C.球 D.圆锥主视图左视图俯视图 4. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是。

A.10 B.9 C.8 D.65. 某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是 A.0B.141C.241D.16. 某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67,59,61,59,63,57,70,59,65这组数据的众数和中位数分别是A 59,63B 59,61C 59,59D 57,617. 把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y -8. 如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 不等式325x +≥的解集是 .10.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为»BC 上一点，若∠CEA=28o，则∠ABD=°.11. 若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k += .12. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N= ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N= （用含有n 的式子表示）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：101200925206-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭14. 解分式方程：6122x x x +=-+15. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90o，CD AB ⊥于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：AB=FC16. 已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值17. 如图，A 、B 两点在函数()0my x x=>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

2009年北京市高级中等学校招生考试(北京卷)数学

2009年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校_______________ 姓名_______________ 准考证号_______________下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．7的相反数是A ．17B ．7C ．17-D ．7-2．改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元．将300670用科学记数法表示应为A ．60.3006710⨯B ．53.006710⨯C ．43.006710⨯D ．430.06710⨯3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A ．圆柱B ．正方体C ．球D ．圆锥4．若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是A ．10B ．9C ．8D ．65．某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是A ．0B ．141C ．241D ．16．某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是A ．59，63B ．59，61C ．59，59D ．57，617．把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是A ．()()x x y x y +-B ．22(2)x x xy y -+C ．2()x x y +D ．2()x x y -8．如图，C 为O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交O 于D 、E两点，且45ACD ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥于点G ．当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空（本题共16分，每小题4分）9．不等式325x +≥的解集是__________．10．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，E 为BC 上一点，若28CEA ∠=︒，则ABD ∠=___________︒．11．若把代数式223x x --化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=+_________．12．如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：10120096-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ 14．解分式方程6122x x x +=-+． 15．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点E 在AC 上，CE BC =，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB FC =．16．已知2514x x -=，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．17．如图，A 、B 两点在函数(0)m y x x=>的图象上． ⑴求m 的值及直线AB 的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．18．列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加，据统计，2009年10月11日至2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）19．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=︒，45C ∠=︒，1AD =，4BC =，E 为AB 中点，EF DC ∥交BC 于点F ，求EF 的长．20．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B ，M 两点的O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为O 的直径．⑴求证：AE 与O 相切；⑵当4BC =，1cos 3C =时，求O 的半径．21．在每年年初如开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况．以下是根据20042008-年报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分．表120042008-年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位：亿元）请根据以上信息解答下列问题：⑴请在表1的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值；⑵求20042008-年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数；⑶已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元，在此基础上，如果2009年北京市财政教育实际投入按照⑵中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元？22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：⑴现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；⑵如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．⑴求k 的值；⑵当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；⑶在⑵的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线12y x b =+（b k <）与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．24．在ABCD 中，过点C 作CE CD ⊥交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EF （如图1）．⑴在图1中画图探究；①当1P 为射线CD 上任意一点（1P 不与C 点重合）时，连结1EP ，将线段1EP 绕点E 逆时针旋转90°得到线段1EG ．判断直线1FG 与直线CD 的位置关系并加以证明；②当2P 为线段DC 的延长线上任意一点时，连结2EP ，将线段2EP 绕点E 逆时针旋转90°得到线段2EG ．判断直线12G G 与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．⑵若6AD =，4tan 3B =，1AE =，在①的条件下，设1CP x =，11P FG S y =△，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △三个顶点的坐标分别为A （6-,0），B （6,0），C （0,），延长AC 到点D ，使12CD AC =，过D 点作DE AB ∥交BC 的延长线于点E ．⑴求D 点的坐标；⑵作C 为关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；⑶设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）2009年北京市高级中等学校招生考试数学试卷参考答案一、选择题三、解答题13．解：1012009|6-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭615=- 5=．14．解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)x x x x x ++-=-+．解得 1x =．经检验，1x =是原方程的解．∴原方程的解是1x =．15．证明：∵FE AC ⊥于点E ，90ACB ∠=°，∴90FEC ACB ∠=∠=°．∴90F ECF ∠+∠=°．又∵CD AB ⊥于点D ，∴90A ECF ∠+∠=°．∴A F ∠=∠．在ABC △和FCE △中，,,,A F ACB FEC BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC FCE △≌△．∴AB FC =．16．解：2(1)(21)(1)1x x x ---++22221(21)1x x x x x =--+-+++22221211x x x x x =--+---+251x x =-+．当2514x x -=时，原式2(5)114115x x =-+=+=．17．解：⑴由图象可知，函数m y x=（0x >）的图象经过点A （1，6），可得6m =．设直线AB 的解析式为y kx b =+．∵(1,6)A ，(6,1)B 两点在函数y kx b =+的图象上，∴6,6 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,7.k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为7y x =-+．⑵图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ．18．解法一：设轨道交通日均客运量为x 万人次，则地面公交日均客运量为(469)x -万人次．依题意，得(469)1696x x +-=．解得 353x =．4694353691343x -=⨯-=．答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．解法二：设轨道交通日均客运量为x 万人次，地面公交日均客运量为y 万人次．依题意，得1696,469.x y y x +=⎧⎨=-⎩解得353,1343.x y =⎧⎨=⎩答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．四、解答题19．解法一：如图1，过点D 作DG BC ⊥于点G ．∵AD BC ∥，90B ∠=︒，∴90A ∠=︒．可得四边形ABGD 为矩形．∴1BG AD ==，AB DG =．∵4BC =，∴3GC =．∵90DGC ∠=︒，45C ∠=︒，∴45CDG ∠=︒．∴3DG GC ==．∴3AB =．又∵E 为AB 中点，∴1322BE AB ==． ∵EF DC ∥，在BEF ∆中，90B ∠=︒，∴sin 45BE EF =︒ 解法二：如图2，延长FE 交DA 的延长线于点G ．∵AD BC ∥，EF DC ∥，∴四边形GFCD 为平行四边形，1G ∠=∠．∴GD FC =．∵EA EB =，23∠=∠，∴GAE FBE ∆∆≌．∴AG BF =．∵1AD =，4BC =，设AG x =，则BF x =，4CF x =-，1GD x =+．∴14x x +=-．解得32x =． ∵45C ∠=︒，∴145∠=︒．在BEF ∆中，90B ∠=︒，∴cos45BF EF ==︒ 20．⑴证明：连结OM ，则OM OB =．∴12∠=∠．∵BM 平分ABC ∠，∴13∠=∠．∴23∠=∠．∴OM BC ∥．∴AMO AEB ∠=∠．在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线，∴AE BC ⊥．∴90AEB ∠=︒．∴90AMO ∠=︒．∴OM AE ⊥．∴AE 与O 相切．⑵解：在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线，∴12BE BC =，ABC C ∠=∠． ∵4BC =，1cos 3C =， ∴2BE =，1cos 3ABC ∠=． ∴2BE =，1cos 3ABC ∠=．在ABE ∆中，90AEB ∠=︒，∴6cos BE AB ABC==∠．设O 的半径为r ，则6AO r =-．∵OM BC ∥，∴AOM ABE ∆∆∽．∴OM AO BE AB=． ∴626r r -=．解得32r =．∴O 的半径为32． 21．解：⑴表1 20042008-年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表（单位：亿元）⑵8.4655==（亿元）． ⑶141.78.46150.16+=（亿元）．估计2009年市财政教育实际投入可能达到150.16亿元．22．解：⑴拼接成的平行四边形是平行四边形ABCD （如图3）．⑵正确画出图形（如图4）．平行四边形MNPQ 的面积为25 ．五、解答题23．解：⑴由题意得，168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数，∴1k =，2，3．⑵当1k =时，方程22410x k k ++-=有一根为零；当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．⑶设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，则(30)A -，，(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12y x b =+经过A 点时，可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时，可得12b =-．由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．24．解：⑴①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段EC 、1EP 分别绕点E 逆时针旋转90︒依次得到线段EF 、1EG ，∴1190PEG CEF ∠=∠=︒，11EG EP =，EF EC =．∵1190G EFPEF ∠=︒-∠， 1190PEC PEF ∠=︒-∠，∴11G EF PEC ∠=∠． ∴11G EF PEC ∆∆≌． ∴11G FE PCE ∠=∠． ∵EC CD ⊥，∴190PCE ∠=︒．∴190G FE∠=︒ ∴90EFH ∠=︒．∴90FHC ∠=︒．∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠．∵6AD =，1AE =，4tan 3B =， ∴5DE =，4tan tan 3EDC B ∠==．可得4CE =．由（1）可得四边形FECH 为正方形．∴4CH CE ==．①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，∵11FG CP x ==，14PH x =-， ∴11111(4)22PFG x x S FG PH -=⨯⨯=△． ∴212(4)2y x x x =->． ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C 、H 两点重合）时，∵11FG CP x ==，14PH x =-， ∴11111(4)22PFG x x S FG PH -=⨯⨯=△． ∴212(04)2y x x x =-+<<． ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2y x x x =-> 或212(04)2y x x x =-+<<．25．解：（1）∵(6,0)A -，C ，∴6OA =，OC =设DE 与y 轴交于点M ．由DE AB ∥可得DMC AOC △∽△．又12CD AC =， ∴12MD CM CD OA CO CA ===．∴CM =3MD =．同理可得3EM =．∴OM =．∴D 点的坐标为．⑵由⑴可得点M 的坐标为(0，．由DE AB ∥，EMMD =，可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线．∴点C 关于直线DE 的对称点F在y 轴上． ∴ED 与CF 互相垂直平分．∴CD DFFE EC ===． ∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心．作直线BM．设BM 与CD 、EF 分别交于点S 、点T ．可证FTM CSM ∆∆≌．∴FT CS =．∵FE CD =，∴TE SD =．∵EC DF =，∴TE EC CS STSD DF FT TS +++=+++． ∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形．由点(60)B ，，点(0M ，在直线y kx b =+上，可得直线BM 的解析式为y =+． ⑶确定G 点位置的方法：过A 点作出AH BM ⊥于点H ，则AH 与y 轴的交点为所求的G 点．由6OB =，OM=，可得60OBM∠=︒． ∴30BAH∠=︒．在Rt OAG ∆中，tan OG AO BAH =⋅∠=∴G 点的坐标为(0，．（或G 点的位置为线段OC 的中点）卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。

2009年北京市中考数学试卷

2009年北京市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）（2009•北京）7的相反数是（）A．B．7 C．D．﹣72．（4分）（2009•北京）改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300 670亿元．将300 670用科学记数法表示应为（）A．0.30067×106B．3.0067×105 C．3.0067×104 D．30.067×1043．（4分）（2014•遂宁）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．棱柱B．正方形C．圆柱D．圆锥4．（4分）（2009•北京）若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．65．（4分）（2009•北京）某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（）A．0 B．C．D．16．（4分）（2009•北京）某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67、59、61、59、63、57、70、59、65，这组数据的众数和中位数分别是（）A．59，63 B．59，61 C．59，59 D．57，617．（4分）（2009•北京）把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2） C．x（x+y）2D．x（x﹣y）28．（4分）（2012•定西）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O 于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时．设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．（4分）（2009•北京）不等式3x+2≥5的解集是．10．（4分）（2009•北京）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=度．11．（4分）（2009•北京）若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．12．（4分）（2009•北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=（用含有n的式子表示）．三、解答题（共13小题，满分72分）13．（5分）（2009•北京）计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣．14．（5分）（2009•北京）解分式方程：．15．（5分）（2009•北京）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．16．（5分）（2009•北京）已知x2﹣5x=14，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．17．（5分）（2009•北京）如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．18．（5分）（2009•北京）列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？19．（5分）（2009•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．20．（5分）（2009•北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径．21．（6分）（2009•北京）在每年年初召开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况．以下是根据2004﹣2008年度报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分．2004﹣2008年北京市财政教育实际投入与预算差值统计表（单位：亿元）年份2004 2005 2006 20072008教育实际投入与预算差值 6.7 5.714.67.3请根据以上信息解答下列问题：（1）请在表1的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值；（2）求2004﹣2008年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数；（3）已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元．在此基础上，如果2009年北京市财政教育实际投入按照（2）中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元？22．（4分）（2009•北京）阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．23．（7分）（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．24．（8分）（2009•北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FG1=y，求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．25．（7分）（2009•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b 将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）2009年北京市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）（2009•北京）7的相反数是（）A．B．7 C．D．﹣7【考点】14：相反数．【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．【解答】解：根据相反数的定义，得7的相反数是﹣7．故选：D．【点评】本题考查了相反数的意义．解答这类题学生易将其和倒数相混淆，而错误地选择或．常考查的知识点：相反数、倒数、绝对值、平方根、及算术平方根．2．（4分）（2009•北京）改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300 670亿元．将300 670用科学记数法表示应为（）A．0.30067×106B．3.0067×105 C．3.0067×104 D．30.067×104【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】12：应用题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将300 670用科学记数法表示为3.0067×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2014•遂宁）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．棱柱B．正方形C．圆柱D．圆锥【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，根据俯视图是圆可判断出该几何体为圆柱．故选：C．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．4．（4分）（2009•北京）若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．6【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故选：B．【点评】本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°．解答这类题往往一些学生因对正多边形的外角和知识不明确，将多边形外角和与内角和相混淆而造成错误计算，误选其它选项．5．（4分）（2009•北京）某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（）A．0 B．C．D．1【考点】X4：概率公式．【专题】28：操作型．【分析】让习惯用左手写字的同学数除以学生的总数即为所求的概率．【解答】解：这个班上共有41名学生，其中有2名同学习惯用左手写字，因为每名学生被选中的机会相等，所以班主任随机请一名学生解答问题，则用左手写字的学生被选中的概率是；抽到习惯用左手写字的情况有两个可能，随机抽取时有41种可能，因而P（抽到左手写字学生）=．故选：C．【点评】明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．（4分）（2009•北京）某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67、59、61、59、63、57、70、59、65，这组数据的众数和中位数分别是（）A．59，63 B．59，61 C．59，59 D．57，61【考点】W4：中位数；W5：众数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：从小到大排列此数据为：57、59、59、59、61、63、65、67、70，数据59出现了三次最多为众数，61处在第5位为中位数．所以本题这组数据的中位数是61，众数是59．故选：B．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．（4分）（2009•北京）把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2） C．x（x+y）2D．x（x﹣y）2【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．故选：D．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．8．（4分）（2012•定西）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O 于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时．设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【专题】16：压轴题；25：动点型．【分析】本题考查动点函数图象的问题．【解答】解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小，当C与O重合时，y有最大值，∵x=0，y=ABx=AB﹣AB时，DE过点O，此时：DE=ABx=AB，y=AB所以，随着x的增大，y先增后降，类抛物线故选：A．【点评】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．本题也可以通过求函数解析式的方法求解，不过这种方法比较复杂．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．（4分）（2009•北京）不等式3x+2≥5的解集是x≥1．【考点】C6：解一元一次不等式．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去2再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：不等式3x+2≥5移项，得3x≥3，系数化1，得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．10．（4分）（2009•北京）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=28度．【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．【解答】解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度．故答案为：28．【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．11．（4分）（2009•北京）若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=﹣3．【考点】4C：完全平方公式．【专题】42：配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．12．（4分）（2009•北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=（n≥2，且n为整数）（用含有n的式子表示）．【考点】KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）．【专题】16：压轴题．【分析】先根据勾股定理求出A′N的长，根据轴对称图形分析．【解答】解：由题意得BN=，A′B=1，由勾股定理求得，当M，N分别是AD，BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），即把BC分成n等份，BN占（n﹣1）份，∴BN=，CN=，在Rt△A′BN中，根据勾股定理，（n≥2，且n为整数）．【点评】本题综合考查了运用轴对称和勾股定理的知识进行计算的能力．解答这类题学生往往不明确A′B=AB的关系，不会借助解Rt△A′BN求解而出错．考查知识点：折叠问题、勾股定理．三、解答题（共13小题，满分72分）13．（5分）（2009•北京）计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣．【考点】28：实数的性质；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；73：二次根式的性质与化简．【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意（）﹣1=6，20090=1，|﹣2|=2，=2．【解答】解：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣==5．【点评】传统的小杂烩计算题．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．14．（5分）（2009•北京）解分式方程：．【考点】B3：解分式方程．【专题】11：计算题．【分析】考查分式方程的解法，先去分母化成整式方程，再解这个整式方程，注意验根．【解答】解：去分母，得x（x+2）+6（x﹣2）=（x﹣2）（x+2）．化简得：8x=8，解得x=1．经检验，x=1是原方程的解．∴原方程的解是x=1．【点评】注意解题过程：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验，当最简公分母不为0时，才是原分式方程的解，当最简公分母为0时，原分式方程无解．15．（5分）（2009•北京）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【专题】14：证明题．【分析】由已知说明∠A=∠F，∠FEC=∠ACB，再结合EC=BC证明△FEC≌△ACB，利用全等三角形的性质即可证明．【解答】证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB=90°，∴∠FEC=∠ACB=90°．∴∠F+∠ECF=90°．又∵CD⊥AB于点D，∴∠A+∠ECF=90°．∴∠A=∠F．在△ABC和△FCE中，，∴△ABC≌△FCE（AAS），∴AB=FC．【点评】此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，同角的余角相等．16．（5分）（2009•北京）已知x2﹣5x=14，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】将所求式子化简，结果为x2﹣5x+1，再将已知条件整体代入该式即可．【解答】解：（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1，=2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）+1，=2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1，=x2﹣5x+1．当x2﹣5x=14时，原式=（x2﹣5x）+1=14+1=15．【点评】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，要注意整体思想的运用．17．（5分）（2009•北京）如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；G2：反比例函数的图象．【专题】31：数形结合；41：待定系数法．（1）将A点或B点的坐标代入y=求出m，再将这两点的坐标代入y=kx+b 【分析】求出k、b的值即可得到这个函数的解析式；（2）画出网格图帮助解答．【解答】解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6），可得m=6．设直线AB的解析式为y=kx+b．∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y=kx+b的图象上，∴，解得．∴直线AB的解析式为y=﹣x+7；（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想．18．（5分）（2009•北京）列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】本题的关键语：地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次；地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．得出的等量关系为：地面公交日均客运量+轨道交通日均客运量=1696地面公交日均客运量=轨道交通日均客运量×4﹣69．【解答】解：设轨道交通日均客运量为x万人次，地面公交日均客运量为y万人次．依题意得：解得：答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．【点评】解题关键是弄清题意，找准关键语，找出合适的等量关系，地面公交日均客运量+轨道交通日均客运量=1696，地面公交日均客运量=轨道交通日均客运量×4﹣69．列出方程组求解．19．（5分）（2009•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．【考点】LH：梯形；T7：解直角三角形．【专题】11：计算题．【分析】可过点D作DG⊥BC于点G，解直角三角形DGC，求出DG=AB的长，进一步求出BE，再解直角三角形BEF，再解这个三角形即可；或延长FE交DA 的延长线于点G，证明四边形DGFC是平行四边形，再证明△AGE≌△BFE，说明AG=BF，最后解依据DG=FC得出的一元一次方程即可．【解答】解：解法一：如图1，过点D作DG⊥BC于点G∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90度．可得四边形ABGD为矩形．∴BG=AD=1，AB=DG．∵BC=4，∴GC=3．∵∠DGC=90°，∠C=45°，∴∠CDG=45度．∴DG=GC=3．∴AB=3．又∵E为AB中点，∴BE=AB=．∵EF∥DC，∴∠EFB=45度．在△BEF中，∠B=90度．∴EF==．解法二：如图2，延长FE交DA的延长线于点G．∵AD∥BC，EF∥DC，∴四边形GFCD为平行四边形，∠G=∠1．∴GD=FC．∵EA=EB，∠2=∠3，∴△GAE≌△FBE．∴AG=BF．∵AD=1，BC=4，设AG=x，则BF=x，CF=4﹣x，GD=x+1．∴x+1=4﹣x．解得x=．∵∠C=45°，∴∠1=45度．在△BEF中，∠B=90°，∴EF=．【点评】此题考查简单图形中的线段的求法，一可以通过特殊角的三角函数值及四边形的有关知识及勾股定理求解；二可以通过特殊四边形的性质，借助全等三角形有关知识建立方程求解．20．（5分）（2009•北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径．【考点】KH：等腰三角形的性质；MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．【专题】152：几何综合题．【分析】（1）连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；（2）结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．【解答】（1）证明：连接OM，则OM=OB∴∠1=∠2∵BM平分∠ABC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OM∥BC∴∠AMO=∠AEB在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB=90°∴∠AMO=90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线∴BE=BC，∠ABC=∠C∵BC=4，cosC=∴BE=2，cos∠ABC=在△ABE中，∠AEB=90°∴AB==6设⊙O的半径为r，则AO=6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．【点评】本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．21．（6分）（2009•北京）在每年年初召开的市人代会上，北京市财政局都要报告上一年度市财政预算执行情况和当年预算情况．以下是根据2004﹣2008年度报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分．2004﹣2008年北京市财政教育实际投入与预算差值统计表（单位：亿元）年份2004 2005 2006 20072008教育实际投入与预算差值 6.7 5.714.67.3请根据以上信息解答下列问题：（1）请在表1的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值；（2）求2004﹣2008年北京市财政教育实际投入与预算差值的平均数；（3）已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元．在此基础上，如果2009年北京市财政教育实际投入按照（2）中求出的平均数增长，估计它的金额可能达到多少亿元？【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W1：算术平均数．【专题】27：图表型．【分析】（1）从直方图上得出2004年市财政教育实际投入与预算的差值；（2）根据平均数的公式求出平均数；（3）估计2009年的实际投入为141.7+平均数即可．【解答】解：（1）2004年市财政教育实际投入与预算的差值=52.2﹣44.2=8亿元．年份2004 2005 2006 20072008教育实际投入与预算差值8 6.7 5.714.67.3；（2）（亿元），所以2004﹣2008年市财政教育实际投入与预算差值的平均数是8.46亿元；（3）141.7+8.46=150.16（亿元），估计2009年市财政教育实际投入可能达到150.16亿元．【点评】本题为比较简单的统计类应用题，读懂统计图．22．（4分）（2009•北京）阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．【考点】N4：作图—应用与设计作图．【专题】21：阅读型．【分析】（1）参考阅读材料中提供的方法去解．（2）采用逆向思维的方式画出“复原”图并结合这个图形即可快捷的求出所求．本题第二问较难，主要不知采用逆向思维的方式得到所求的图形进而求出所求图形的面积．把它返回到5个相同的平行四边形的状态，那么其中一个的面积为原图形的，那么行四边形MNPQ面积×2=．【解答】解：（1）拼接成的平行四边形是平行四边形ABCD（如图3）．（2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ的面积为．【点评】考查知识点：动手操作能力及想象力．热点题型，最佳征服策略就是多见不同的题型，多思考，多总结．注意问题过程的形成．23．（7分）（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】15：综合题．【分析】（1）综合根的判别式及k的要求求出k的取值；（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=x+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值范围．本题第二问是难点，主要是不会借助计算淘汰不合题意的k值．【解答】解：（1）由题意得，△=16﹣8（k﹣1）≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k=1，2，3；（2）设方程2x2+4x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣2，x1•x2=．当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0有一个根为零；当k=2时，x1•x2=，方程2x2+4x+k﹣1=0没有两个不同的非零整数根；当k=3时，方程2x2+4x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意．当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x﹣6；（3）设二次函数y=2x2+4x﹣6的图象与x轴交于A、B两点，则A（﹣3，0），B （1，0）．依题意翻折后的图象如图所示．当直线y=x+b经过A点时，可得b=；当直线y=x+b经过B点时，可得b=﹣．由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为＜b＜．。

2009年北京市高级中等学校招生统一考试数学试卷及答案