第九章 递归

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递归设计步骤
（1）对原问题f(s)进行分析，假设出 合理的“较小问题” f(s’)； （2）假设f(s’)是可解的，在此基础 上确定f(s)的解，即给出f(s)与f(s’) 的关系； （3）确定一个特定情况（f(1)或f(0)） 的解，由此作为递归出口。
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递归到非递归的转换
求解递归问题有两种方法： 1、直接求值，不需要回溯的（单向递归和 尾递归）：使用一些中间变量保存中间结 果；
void sterfunc ( int A[ ], int n ) { //消除了尾递归的非递归函数 while ( n >= 0 ) { printf( "value %d" , A[n] ); n--; } }
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递归到非递归的转换 ——间接转换法


间接转换法一般的过程如下：
将初始状态s0进栈 while (栈不为空) { 退栈，将栈顶元素赋给s if (s是要找的结果) 返回 else { 寻找到s的相关状态s1 将s1进栈 } }
第九章 递归
[内容提要] 1、递归的概念及设计方法 2、递归与回朔法 3、递归应用实例 4、递归评价
递归的定义
若一个对象部分地包含它自己, 或用它自己给自己定义, 则称这个对 象是递归的；若一个过程直接地或间 接地调用自己, 则称这个过程是递归 的过程。
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递归的定义
直接递归 fun_a() { … fun_a() … }

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递归模型
例如，阶乘函数 递归出口
1, 当n 0 时 n! n (n 1)!, 当 n 1时
递归体
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递归的执行过程
实际上，递归是把一个不能或不好 直接求解的“大问题”转化为一个或 几个“小问题”来解决，再把这些 “小问题”进一步分解成更小的“小 问题”来解决，如此分解，直至每一 个“小问题”都可以直接解决（此时 分解到递归出口）。
A
B
C
1 C A B 8 2 A C B 6 0 3 A B C
A
B 6 0
C
2 A C B 3 A B C
3 A B C
0
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main() 3 A B C 0 { int m; printf("Input the number of disks scanf("%d",&m); printf("The steps to moving %3d hanoi(m,'A','B','C'); (0) } void hanoi(int n,char x,char y,char z) (1) { (2) if(n==1) (3) move(1,x,z); (4) else{ (5) hanoi(n-1,x,z,y); (6) move(n,x,z); (7) hanoi(n-1,y,x,z); (8) } (9) }
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回朔法
回溯法在用来求问题的所有解时，要回 溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索 遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一 解时，只要搜索到问题的一个解就可以结 束。这种以深度优先的方式系统地搜索问 题的解的算法称为回溯法。
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递归与回朔的区别——指导思想
回溯法是从问题的某一种可能出发， 搜索从这种情况出发所能达到的所有 可能，当这一条路走到“尽头”的时 候，再倒回出发点，从另一个可能出 发，继续搜索。
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递归模型
递归模型反映一个递归问题的递归结构。 一般地，一个递归模型是由递归出口和递归 体两部分组成，前者确定递归到何时为止， 后者确定递归的方式。
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递归模型
递归出口的一般格式为： f(s0)=m0；这里的s0与m0均为常量，有的递归问 题可能有几个递归出口。 递归体的一般格式为： f(s)=g(f(s1), f(s2),……, f(sn),c1, c2,……， cm) 这里的s是一个递归“大问题”，s1, s2,……, sn是递归“小问题”，c1, c2,……，cm是若干 个可以直接（用非递归方法）解决的问题，g是 一个非递归函数，反映了递归问题的结构。
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适用递归技术的问题

以下三种情况常常用到递归方法。 – 定义是递归的 – 数据结构是递归的 – 问题的解法是递归的
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定义是递归的
例如，阶乘函数 1, 当n 0 时 n! n (n 1)!, 当 n 1时 求解阶乘函数的递归算法 long Factorial ( long n ) { if ( n == 0 ) return 1; else return n * Factorial (n-1); }
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回朔法
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的 的搜索算法。它在包含问题的所有解的解 空间树中，按照深度优先的策略，从根结 点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间 树的任一结点时，总是先判断该结点是否 肯定不包含问题的解。如果肯定不包含， 则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索， 逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子 树，继续按深度优先的策略进行搜索。
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递归技术应用实例——汉诺塔问题
例如，汉诺塔(Tower of Hanoi)问题的解法： 如果 n = 1，则将这一个盘子直接从 A 柱移到 C 柱上。否则，执行以下三步： ① 用 C 柱做过渡，将 A 柱上的 (n-1) 个盘子移 到 B 柱上： ② 将 A 柱上最后一个盘子直接移到 C 柱上； ③ 用 A 柱做过渡，将 B 柱上的 (n-1) 个盘子移 到 C 柱上。
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求解阶乘 n! 的过程
主程序 main : fact(4) 参数 4 递 归 调 用 参 数 传 递 计算 4*fact(3) 返回 24
参数 3
参数 2 参数 1 参数 0
计算 3*fact(2)
计算 2*fact(1) 计算 1*fact(0) 直接定值 = 1
返回 6
返回 2 返回 1 返回 1
1 2 3 A
B 0
C
3 A B C
2 A C B
3 A B C 1 A B C 2 A C B
6
0 6 6
3 A B C
0
A
B 6 0
C
2 A C B C B 6 { int m; 3 A B C 0 printf("Input the number of disks scanf("%d",&m); printf("The steps to moving %3d hanoi(m,'A','B','C'); (0) } void hanoi(int n,char x,char y,char z) (1) { (2) if(n==1) (3) move(1,x,z); (4) else{ (5) hanoi(n-1,x,z,y); (6) move(n,x,z); (7) hanoi(n-1,y,x,z); (8) } (9) }
结 果 返 回
回 归 求 值
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递归设计
递归设计先要给出递归模型，再转换成对应 的C语言函数。从递归的执行过程看，要解决 f(s)，不是直接求其解，而是转化为计算f(s’) 和一个常量c’，求解f(s’)的方法与环境和求解 f(s)的方法与环境是相似的，但f(s)是一个“大 问题”，而f(s’)是一个“较小问题”，尽管f(s’) 还未解决，但向解决目标靠近了一步，这就是一 个“量变”，如此到达递归出口，便发生了“质 变”，递归问题解决了。
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递归到非递归的转换 ——直接转换法
long FibIter ( long n ) { if ( n <= 1 ) return n; long twoback=0, oneback = 1, Current; for ( int i = 2; i <= n; i++ ) { Current = twoback + oneback; twoback=oneback; oneback = Current; } return Current; }
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递归到非递归的转换 ——直接转换法
25 36 72 18 99 49 54 63
void recfunc ( int A[ ], int n ) { if ( n >= 0 ) { printf(“%d ”,A[n]); n--; recfunc ( A, n );//尾递归 } }
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递归到非递归的转换 ——直接转换法
A
B
C
2 B A C
3 A B C
8
0
1 B C A 6
2 B A C
3 A B C
8
0
A
B 8
C
2 B A C
3 A B C
0
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main() 2 B A C 8 { int m; 3 A B C 0 printf("Input the number of disks scanf("%d",&m); printf("The steps to moving %3d hanoi(m,'A','B','C'); (0) } void hanoi(int n,char x,char y,char z) (1) { (2) if(n==1) (3) move(1,x,z); (4) else{ (5) hanoi(n-1,x,z,y); (6) move(n,x,z); (7) hanoi(n-1,y,x,z); (8) } (9) }

2、不能直接求值，需要回溯的：用栈来保 存中间结果。
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递归到非递归的转换 ——直接转换法