常用逻辑用语章节复习

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常用逻辑用语-知识点+习题+答案

常用逻辑用语知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．练习题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（）A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（） A 、51x ＝51yB 、51x <51yC 、51x ＝51y 且51x <51yD 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0 6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（） A 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝07、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（） A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根9、不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）A 、-1<x<3B 、0<x<3C 、-2<x<3D 、-2<x<110.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>511、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是12、:23A x -<, 2:2150B x x --<, 则A 是B 的_____ _条件。

常用逻辑用语(高三一轮复习)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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解析若∠BAD＝90°，则四边形ABCD为矩形或直角梯形，若四边形ABCD为直角梯形，则∠BAD不一定为90°，所以“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分也不必要条件．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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3．(2022·天津南开一模)设a∈R，则“a>3”是“a2>4”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由a2>4，解得a<－2或a>2，∴由“a>3”可推出“a2>4”，而由“a2>4”推不出 “a>3”，∴“a>3”是“a2>4”的充分不必要条件．
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解析 (1)命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为“∃n∈Z，n∉Q”． (2)因为命题p是存在量词命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”．
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考向2 含量词命题的真假判断例4 (多选)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则下列关系一定正确的是( AB ) A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉B C．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B
A．－1<x<－12
B．x>0
C．－1<x<0
D．x<0
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常用逻辑用语试题及答案

第一章常用逻辑用语一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b B x x a +=-,则A 是B 的条件。

3．用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件；③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件。

(完整版)常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p qp∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。

知识讲解_常用逻辑用语全章复习与巩固

《常用逻辑用语》全章复习与巩固【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q ”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】【要点梳理】要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为x M ∀∈，()p x（3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为x M ∃∈，()q x . 要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.（1）p q ∧：用“且”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 且q ”，相当于集合中的交集.（2）p q ∨：用“或”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 或q ”，相当于集合中的并集.（3）p ⌝：对命题p 加以否定，得到的新命题，读作“非p ”或“p 的否定”，相当于集合中的补集.要点三：充分条件、必要条件、充要条件对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图：“ÜA B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点四：四种命题及相互关系如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，用⌝p和⌝q分别表示p和q的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若⌝p则⌝q；逆否命题：若⌝q则⌝p.四种命题的关系①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.要点五：命题真假的判断方法（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断；（2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）：命题的真假判断（利用真值表）：（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.要点诠释：①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”； ③“p ⌝”与p 的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

《第一章集合与常用逻辑用语》章节复习及练习

p 是 q 的充分 p 代表的集合是 q 代列不等式 [思路探究] 不必要条件 → 表的集合的真子集 → 组求解
[解析] 由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由 x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，
得 1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 p⇒q 且 q⇒/ p.
集合的并、交、补运算
【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B ＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．
(1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B)． [解] (1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．
1≤
2
< 1 , ∪B={x|-2<x≤3}.
(2)由已知可求得∁RA
∵(∁RA)∩B=B,∴B⊆∁RA.
< 1 ,或 > 3
2
当B=⌀时,2a≥a+2,解得a≥2;
当 B≠ 时,
2 < +2, +2 ≤ 1 或
2 2
2
< +2, ≥ 3,
解得 a≤
3 2
或
32≤a<2.
综上可得,a 的取值范围是 a≤
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.

选修2-1 常用逻辑用语(全章复习专用)

精心整理基础典型题归类与解析C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．二、题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝.(3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解析：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．．例求使pq是假例ABCD．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．故选D.例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案： B例7．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．例8．．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；y，则非x例∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．六、题型六：判断条件关系及求参数范围例10．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝2kπ＋时，tan x＝1，而tan x＝1得x＝kπ＋，所以“x＝2kπ＋”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A.例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由题意得：故D是A的必要不充分条件例12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？解：p：－1≤x≤10.q：x2－4x＋4－m2≤0⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m>0)⇔2－m≤x≤2＋m(m>0)．因为非p是非q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，即{x|－1≤x≤10}{x|2－m≤x≤2＋m}，故有或，解得m≥8.所以实数m的范围为{m|m≥8}．变式练习1：已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p q．故选A.变式练习2已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．解析：q是p的必要不充分条件，则p⇒q但qp.∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.∴满足条件的a的取值范围为.七、充要条件的论证例13求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．证明：充分性：∵0<a<，∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，∴a＝0或解得0≤a<.例ABCD例变式练习2：(2010年高考安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3变式练习3．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tan x是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.解析：题号判断p的真假非p的形式判断非p的真假(1)假方程x2－x＋1＝0无实数根真(2)真函数y＝tan x不是周期函数假(3)真∅A 假(4)真不等式x2＋3x＋5<0的解集不是∅假十、全称命题与特称命题相关小综合题例16．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x＋1>0.∴命题(4)是假命题．例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．a≤－3或a>2 B．a≥2C．a>－2 D．－2<a<2解析：依题意：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，所以有：⇔⇔a≥2.所以选B变式练习1：已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x0＝时，tan x0＝，∴命题p为真命题；x2－x＋1＝2＋>0恒成立，∴命题q为真命题，∴“p且q”为真命题．所以填：真变式练习2：已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：当x＝时，tan x＝1，∴命题p为真命题．由x2－3x＋2<0得1<x<2，∴命题q为真命题．∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．所以选D十一、综合训练典型题例18．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.由解得即2<x≤3.所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真，则⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)非p是非q的充分不必要条件，即非p⇒非p且非q非q.设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则A B.所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2]．例19．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．(1)(2)即(2)∴m∵f∴mq：关于x＝[∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.即p：a≤－1或a≥2由不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R得，即解得0≤a＜4∴q：0≤a＜4.∵p∧q假，p∨q真．∴p与q一真一假．∴p真q假或p假q真，即或∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．。

01第一章集合与常用逻辑用语(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语答案高频考点高频考点一：集合的含义与表示1．【答案】D【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成，所以{}1,2,3M =.故选：D2．【答案】C【详解】{}24[2,2]A x x =≤=-，{}*1B x x N x A =∈-∈且， {1,2,3}B ∴=,故选：C3．【答案】C【详解】解：因为*6,3Z x N x ∈∈-，可得1,2,4,5,6,9x =；所以66,3,2,1,3,63x∈-----. 故选：C高频考点二：集合间的基本关系1．【答案】B【详解】集合{|33}{0,1}A x N x=∈-=．对于:1A A -∈不对．对于:0B A ∈对；对于:3C A ∈不对；对于:2D A ∈不对．故选：B ．2．【答案】A【详解】解：由题意得：{}{}13,0,1,2A x x x N =-<<∈=，其真子集有：∅，{}0，{}1，{}2，{}0,1，{}0,2，{}1,2，共7个．故选：A ．3．【答案】D【详解】解：因为{}3,4M =且M N ，所以3N ∈，且4N ∈，又()(){}30,N xx x a a =-+=∈R ∣，所以3x =和4x =为方程()()30x x a -+=的两个实数根，所以4a =-；故选：D高频考点三：集合的基本运算1．【答案】C【详解】由子集定义，可知B A ⊆.故选：C2．A.3．C4．【答案】A【详解】A B ⋃={}1,0,1,3-.故选：A.5．【答案】A【详解】由{}{}1,2,1,3A B ==得，A B ={}1.故选：A.6．【答案】B【详解】因为{}{}0,1,2,0,2,3A B ==，阴影部分表示的集合为(){}3U C A B =，故选：B7．【答案】(1){}|25=-≤≤A B x x ；(){}|20R A B x x =-≤<(2)1|4,12m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或（1）选条件①：（1）当1m =时，{}|05A x x =≤≤，{}2B x x =|-2≤≤{}|25A B x x ∴=-≤≤{}|0,5R A x x x =<>或(){}|20R A B x x ∴⋂=-≤<选条件②：此时集合{}2B x x =|-2≤≤与①相同，其余答案与①一致；（2）若A B A =，则A B ⊆当A =∅时，123m m ->+，解得4m <-当A ≠∅时，21123232m m m m -≤-⎧⎪-≤+⎨⎪+≤⎩，即1412m m m ⎧⎪≥-⎪≥-⎨⎪⎪≤-⎩，解得112m -≤≤-综上，实数m 的取值范围为1|412m m m ⎧⎫<--≤≤-⎨⎬⎩⎭或高频考点高频考点一：充分条件与必要条件1．【答案】D【详解】A 选项，命题“存在R x ∈，20x +≤”的否命题是：“不存在R x ∈，20x +>”，所以A 选项错误.B 选项，()()260561x x x x --=+=-，1x =-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，B 选项错误.C 选项，命题“存在R x ∈，使得210x x +-<”的否定是：“任意R x ∈，均有210x x +-≥”，所以C 选项错误.D 选项，命题“若sin sin x y ≠，则x y ≠”的逆否命题为：“若x y =，则sin sin x y =”，这是一个真命题，所以原命题也是真命题，所以D 选项正确.故选：D2．【答案】A【详解】解：“0<x<2”成立时，“2x <”一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的充分条件；“2x <”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的非必要条件.所以“0<x <2”成立是“2x <”成立的充分不必要条件.故选：A3．【答案】B【详解】解：因为R x ∈，故由4x >可得4x >或4x <-，由4x >，可得4x >，故“4x >”是“4x >”必要不充分条件.故选：B.4．【答案】B【详解】因为q 是p 的必要而不充分条件所以(){|24}{|(2)0}x x x x x a －＋＋<<⊂<，所以4a ->，即(4)a ∈∞－，－，答案选B ．5．【答案】(1){|03}A B x x ⋃=≤≤(2)1[,)2+∞ （1）当1a =时，集合{|12}A x x =≤≤，因为{|03}B x x =≤≤，所以{|03}A B x x ⋃=≤≤；（2）若选择①，则由A ∪B ＝B ，得A B ⊆．当A =∅时，即211a a ->+，解得2a >，此时A B ⊆，符合题意；当A ≠∅时，即211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得：122a ≤≤；所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞．若选择②，则由“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，得A ⫋B ．当A =∅时，211a a ->+，解得2a >，此时A ⫋B ，符合题意；当A ≠∅时，211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩且等号不同时取，解得122a ≤≤；所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞．高频考点二：全称量词与存在量词1．【答案】B【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：“()1,x ∀∈+∞，210x ->”的否定是：()1,x ∃∈+∞，210x -≤．故选：B2．【答案】D【详解】命题p 为全称命题，该命题的否定为:p x ⌝∃∈R ，ln 10x x -+≥，故选：D.3．【答案】C【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以p 的否定是：0,20x x e x ∀>+-≤.故选：C4．【答案】(]-,0∞【详解】因为若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，所以min 1min 2()()f x g x ≥，因为2()23=-+f x x x 的对称轴为1x =，[]2,4x ∈所以min ()(2)f x f =，因为2()log g x x m =+，[]8,16x ∈，所以min ()(8)g x g =所以(2)(8)f g ≥，即33m ≥+所以0m ≤5．【答案】()2,-+∞【详解】因为()2f x x x a =++，所以()()()4f f x a af x +>可化为：()()()()()24f x a f x a a af x ++++>，整理得：()()()2222f x a f x a af x +++>，将()2f x x x a =++代入上式整理得：()()2223x x x x a +++>-，令2t x x =+，[]1,1x ∈-，则1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()2223x x x x a +++>-可化为： 23t t a +>-，1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以存在实数[]1,1x ∈-，使得()()()4f f x a af x +>成立可转化成：存在1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得23t t a +>-成立，由函数2y t t =+，1,24t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：22226t t +≤+=，所以63a >-，解得：2a >-.1.3集合与常用逻辑用语实战一、单选题1．【答案】C【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合；2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合.故选：C.2．【答案】C【详解】解：由N 表示自然数集，知0∈N ，故A 正确；由Q 表示有理数集，知12∈Q ，故B 正确；由R 表示实数集，知2∈R ，故C 错；由Z 表示整数集，知1-∈Z ，故D 正确.故选：C3．【答案】B【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是{}{}00,1,2⊆，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，{}1,2∅⊆，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，{}0∅⊆，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B ．4．【答案】C【详解】全称命题的否定为特称命题,∴“[]1,2x ∀∈，2320x x -+≤”的否定为“[]01,2x ∃∈，200320x x -+>”.故选：C.5．【答案】A【详解】解：因为集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，所以{}0,1A B =，故选：A.6．【答案】A【详解】由于不等式2230x x --<的解集为{}13x x -<<，则12x <<可推出13x ，反之不成立，所以“12x <<”是“2230x x --<”的充分而不必要条件．故选：A.7．【答案】C【详解】解：因为M N ，所以25x x =，解得0x =或5，故选：C8．【答案】C【详解】根据全量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“()()0,ln 3sin x x x ∈+∞+>∀，”的否定为“()()0,ln 3sin x x x ∃∈+∞+≤，”. 故选: C.9．【答案】C合C 闭合，灯泡B 也亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件；对于B ，灯泡B 亮当且仅当开关A 闭合，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件；对于C ，开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，而开关A 不闭合，灯泡B 一定不亮，即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；对于D ，开关A 闭合与否，只要开关C 闭合，灯泡B 就亮，“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件．故选：C二、多选题10．【答案】BD11．【答案】AB【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB12．【答案】AC【详解】A.原命题的否定为：x ∀∈R ，2104x x -+≥，是全称量词命题；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程2220x x ++=，22840∆=-=-<，所以2220x x ++>，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x ，都有310x +≠，如1x =-时，310x +=，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC13．【答案】BC【详解】由13x ≤≤得219x ≤≤，因为命题为真，所以9a ≥，记为{|9}A a a =≥，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a 的范围应为集合A 的真子集.故选：BC三、填空题14．【答案】0x >，0y >（答案不唯一）.【详解】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>（答案不唯一）15．【答案】{}1,2,3,6【详解】解：因为6N 1a ∈-且N a ∈，所以11a -=或12a -=或13a -=或16a -=，解得2a =或3a =或4a =或7a =，所以对应的61a -分别为6、3、2、1，即{}6N N 1,2,3,61a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣；故答案为：{}1,2,3,616．【答案】()3,-+∞【详解】若A B =∅是真命题，则3a ≤-，∴当A B =∅是假命题时，3a >-．故答案为：()3,-+∞.17．【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-。

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语知识点总结在数学和日常的逻辑思考中，常用逻辑用语是非常重要的工具，它们帮助我们清晰准确地表达思想、进行推理和判断。

下面就让我们来一起总结一下常用逻辑用语的相关知识点。

一、命题命题是能够判断真假的陈述句。

比如“今天是晴天”，如果今天确实是晴天，那么这个命题就是真的；如果今天不是晴天，那么这个命题就是假的。

需要注意的是，疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。

命题又分为真命题和假命题。

真命题就是判断为真的命题，假命题则是判断为假的命题。

二、四种命题及其关系1、原命题：若 p，则 q。

2、逆命题：若 q，则 p。

3、否命题：若¬p，则¬q。

4、逆否命题：若¬q，则¬p。

其中，原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假。

这两对关系在推理和证明中经常被用到。

三、充分条件与必要条件如果有“若 p，则q”为真命题，那么 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

例如，“如果一个数是偶数，那么这个数能被 2 整除”，“一个数是偶数”就是“这个数能被 2 整除”的充分条件，“这个数能被 2 整除”就是“一个数是偶数”的必要条件。

充分不必要条件：p 能推出 q，但 q 不能推出 p。

必要不充分条件：q 能推出 p，但 p 不能推出 q。

充要条件：p 能推出 q，q 也能推出 p。

四、逻辑联结词1、“且”（∧）：表示两个命题同时成立。

例如，命题 p：今天是星期一；命题 q：今天是晴天。

那么“今天是星期一且今天是晴天”就是用“且”联结的复合命题。

只有当 p 和 q 都为真时，“p 且q”为真。

2、“或”（∨）：表示两个命题至少有一个成立。

例如，“今天是星期一或今天是晴天”，只要 p 和 q 中有一个为真，“p 或q”就为真。

3、“非”（¬）：表示对一个命题的否定。

例如，命题 p：今天是星期一，那么“非p”就是“今天不是星期一”。

当 p 为真时，“非p”为假；当 p 为假时，“非p”为真。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点大全笔记(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点大全笔记单选题1、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.2、设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7}，则M∩N=（）A．{7,9}B．{5,7,9}C．{3,5,7,9}D．{1,3,5,7,9}答案：B分析：求出集合N后可求M∩N.,+∞)，故M∩N={5,7,9}，N=(72故选：B.3、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}答案：B分析：根据交集、补集的定义可求A∩(∁U B).由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}，故选：B.4、已知集合P={x|1<x<4}，Q={x|2<x<3}，则P∩Q=（）A．{x|1<x≤2}B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4}D．{x|1<x<4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 5、已知x ∈R ，则“x ≠0”是“x +|x |>0”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要答案：B分析：由x +|x |>0可解得x >0，即可判断. 由x +|x |>0可解得x >0，∵“x ≠0”是“x >0”的必要不充分条件，故“x ≠0”是“x +|x |>0”的必要不充分条件. 故选：B.6、若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则实数a 的范围是（）A ．a >2B ．a ⩾2C ．a >−2D ．a ⩽−2 答案：A解析：根据命题的否定为真命题可求.若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则命题“∀x ∈[−1,2],−x 2+2<a ”是真命题，当x =0时，(−x 2+2)max =2，所以a >2. 故选：A.7、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（） A ．2B ．1C ．14D ．23答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案.若A=B，则{x=x2y=2y 或{x=2yy=x2，解得{x=0y=0或{x=1y=0或{x=12y=14，由集合中元素的互异性，得{x=12y=14，则x−y=12−14=14，故选：C．8、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、设集合A={x|x=m+√3n,m,n∈N∗}，若x1∈A，x2∈A，x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是（）A．加法B．减法C．乘法D．除法答案：AC分析：先由题意设出x1=m1+√3n1，x2=m2+√3n2，然后分别计算x1+x2，x1−x2，x1x2，x1x2，即可得解.由题意可设x1=m1+√3n1，x2=m2+√3n2，其中m1，m2，n1，n2∈N∗，则x1+x2=(m1+m2)+√3(n1+n2)，x1+x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1−x2=(m1−m2)+√3(n1−n2)，当n1=n2时，x1−x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2=m1m2=3n1n2+√3(m1n1+m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；x1x2=1√3n1m+√3n，当m1m2=n1 n2=λ(λ>0)时，x1x2∉A，所以出发不满足条件，D错误.故选：AC.11、（多选题）已知集合A={x|x2−2x=0}，则有（）A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案：ACD分析：先化简集合A={0,2},再对每一个选项分析判断得解.由题得集合A={0,2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确：因为A={0,2}，所以CD正确，B错误.故选ACD.小提示：本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A．M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素答案：BD分析：根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可.对于选项A，因为M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}，M∪N={x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m,n)使M∪N=Q不成立；若m=n，则M∩N=∅不成立，故C错误；对于选项D，设M={x∈Q|x<√2}，N={x∈Q|x≥√2}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选:BD．13、已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④¬p是¬s的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）A．①B．②C．③D．④答案：ABD分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：¬s⇔¬q⇔¬r⇒¬p且¬p⇏¬r，故④正确.故选：ABD填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、命题p:∀x>2,2x−3>0的否定是___________.答案：∃x>2,2x−3≤0分析：将全称命题否定为特称命题即可命题p:∀x>2,2x−3>0的否定是∃x>2,2x−3≤0，所以答案是：∃x>2,2x−3≤0解答题17、已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.答案：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}解析：根据子集与真子集的定义，即可求解.由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有5个元素：{1，2，3，4，5}.故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.小提示：本题考查集合间的关系，属于基础题.18、设p：|2x+1|<3，q：x−(2a+1)<0.(1)若a=1，且p、q均为真命题，求满足条件的实数x构成的集合；(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.答案：(1){x|−2<x<1}(2)[0,+∞)分析：（1）当a=1时，分别化简p与q，再取交集即得所求（2）p是q的充分条件，则p所表示的取值范围是q所表示的取值范围的子集，利用集合的包含关系即可求解（1）因为p：−2<x<1，q：x−3<0，即x<3，所以p、q均为真命题，则取公共部分得实数x构成的集合为{x|−2<x<1}；（2）（2）因为p是q的充分条件，且p：−2<x<1，q：x<2a+1，所以(−2,1)⊆(−∞,2a+1)，所以2a+1≥1，解得a≥0，故实数a的取值范围是[0,+∞).。

1 第02讲常用逻辑用语

第02讲常用逻辑用语第一部分：思维导图1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件（1）p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件；（2）p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件；（3）p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；第二部分：知识点（4）p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件；（3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件；（4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件；（5）若A B =，则p 是q 的充要条件；（6）若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构（1）p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p （注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序）（2）p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q （注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）2、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. （2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∀∈. ②全称量词命题的否定：,()x M p x ∃∈⌝. （4）存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在M 中的元素x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∃∈. ②存在量词命题的否定：,()x M p x ∀∈⌝. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“0x ∀>，20x x ->”的否定是（）．A ．0x ∀>，20x x -≤B ．00x ∃<，2000x x -≤C ．0x ∀<，20x x -≤D ．00x ∃>，2000x x -≤ 3．命题“0x R ∃∈，00e 1xx -≥”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1xx -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<4．设x ∈R ，则“13x -≤≤”是“|2|13x -≤”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是（）A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0高频考点一：充分条件与必要条件的判断1．祖暅原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 2.若:12p x -≤≤，:11q x -≤≤，则p 为q 的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．已知a ，b R ∈，则“1≥ab ”是“222a b +≥”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．“50k -<<”是“函数2y x －kx －k 的值恒为正值”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件高频考点二：充分条件与必要条件的应用1．已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”，则实数a 的最大值为（） A ．-2B ．-1C ．0D ．12．函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是（）A ．,[)0b ∈+∞B ．(0,)b ∈+∞C ．,)(0b ∈-∞D ．,](0b ∈-∞3．已知集合{}2280A x x x =--<，非空集合{}23B x x m =-<<+，若x B ∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是___________. 4．已知命题p ：122x x -≥-，命题q ：22x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 5．设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>，语句:p x A ∈，语句:q x B ∈. (1)当1a =时，求集合A 与集合B 的交集；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围.高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比1．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件2．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（） A ．1x >-且2x ≠ B ．13x C ．1x <D ．3x >4．使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（） A ．20x -<< B ．23x -<< C ．05x <<D ．24x -<<5．命题：x R ∃∈，20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．(][),80,-∞-⋃+∞B ．()8,0-C ．(],0-∞D ．[]8,0-6．已知0m >，()():120p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．下列四个命题中，是真命题的为（）A ．任意R x ∈，有230x +<B ．任意N x ∈，有21x >C ．存在Z x ∈，使51x <D ．存在Q x ∈，使23x = 2．下列命题中的假命题是（）A ．230,x x x ∃>>B ．,ln 0x R x ∀∈>C ．,sin 1x R x ∃∈>-D ．,20x x R ∀∈>3．在下列命题中，是真命题的是（）A ．2R,30x x x ∃∈++=B ．2R,20x x x ∀∈++>C ．2R,x x x ∀∈>D ．已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，则对于任意的*,n m N ∈，都有A B =∅ 4．下列命题为真命题的是（） A ．,,2x y R x y xy ∀∈+≥ B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．2000,230x R x x ∃∈-+≤ D ．,sin x R x x +∀∈≥5．下列命题中的假命题的是（） A ．B ．C ．D ．高频考点五：含有一个量词的命题的否定1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A ．01x ∃≤，2000x x ->B ．01x ∃>，2000x x -≤ C ．1x ∀>，20x x -≤D ．1x ∀>，20x x ->2．命题“0x ∀>，01xx >-”的否定是（） A ．0x ∃<，01x x ≤- B ．0x ∃>，01x ≤≤ C ．0x ∀<，01x x ≤- D ．0x ∀<，01x ≤≤ 3．命题“x ∀∈R ，都有210x x +>＋”的否定是___________.4．命题“0x R x x ∈∃，”的否定是___________. 高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数1．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞2．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 3．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <-B ．13a -<<C ．3a >-D ．31a -<<4．存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（） A ．1B ．14C ．12D ．-15．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________6．已知()24f x x mx =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________.7．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 8．命题“0x ∃∈R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．9．命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +>恒成立是假命题，则实数a 的取值范围是________________．10．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．1．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨2．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．“x =1”是“2320x x -+=”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件7．下列命题为真命题的是（）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥一、单选题1．设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）.A ．n N ∀∈，22n n >B ．n N ∀∈，22n n ≤C ．n N ∃∈，22n n >D ．n N ∃∈，22n n ≤ 2.若“x R ∃∈，2390ax ax -+≤”是假命题，则a 的取值范围为（） A ．[0,4]B ．(0,4)C ．[0,4)D ．(0,4]3．已知命题“存在()3,27x ∈，使得3log 03xx m +->”是假命题，则m 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)12,+∞D ．()12,+∞4．已知集合{}32,A x x n n Z ==-∈，{}64,B y y n n Z ==+∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知,a b ∈R ，则“1a b -<”是“1a b +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥7．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭8．“函数()221xx f x a =++有零点”的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．0a <二、填空题9．已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值____________.10．已知24:()9,:log (3)1p x m q x -<+<，若￢q 是￢p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是__．11．已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______.12．已知函数2()f x x x a =++，若存在实数[1,1]x ∈-，使得(())4()f f x a af x +>成立，则实数a 的取值范围是_______. 三、解答题13．已知集合()(){}3|10,|12A x x a x a B x x ⎧⎫=--+≤=>⎨⎬+⎩⎭． (1)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)设命题22:,(21)8p x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围．14．在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围．15．在①A B B ⋃=；②“x A ∈”是 “x B ∈”的充分不必要条件；③A B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合{}11A x a x a =-≤≤+，{}2230B x x x =--≤(1)当2a =时，求A B ；(2)若______，求实数a 的取值范围.第02讲常用逻辑用语第一部分：思维导图1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件（1）p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件；（2）p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件；（3）p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；第二部分：知识点（4）p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件；（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件；（3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件；（4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件；（5）若A B =，则p 是q 的充要条件；（6）若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构（1）p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p （注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序）（2）p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q （注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）2、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. （2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∀∈. ②全称量词命题的否定：,()x M p x ∃∈⌝. （4）存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在M 中的元素x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∃∈. ②存在量词命题的否定：,()x M p x ∀∈⌝. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件故选：B2．命题“0x ∀>，20x x ->”的否定是（）．A ．0x ∀>，20x x -≤B ．00x ∃<，2000x x -≤C ．0x ∀<，20x x -≤D ．00x ∃>，2000x x -≤【答案】D解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，故选：D3．命题“0x R ∃∈，00e 1xx -≥”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1xx -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<【答案】D 命题“，”为特称量词命题，其否定为，；故选：D4．设x ∈R ，则“13x -≤≤”是“|2|13x -≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 因为，所以，显然由推不出，由可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5．“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是（）A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0 【答案】A设p: 0＜x ＜4，所求的命题为q ，则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件，即q 推不出p ，但p ⇒q .，显然由: 0＜x ＜4，能推出x ＞0，推不出x ＜0或x ＞4、0＜x ＜3、x ＜0，故选：A高频考点一：充分条件与必要条件的判断1．祖暅原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C已知A ，B 为两个等高的几何体，由祖暅原理知，而p 不能推出，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，第四部分：例题剖析一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则p 是的必要不充分条件故选：C2.若:12p x -≤≤，:11q x -≤≤，则p 为q 的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C对于p ，如果x =1.5，则q 不能成立，如果，则x 必然在区间内，因此p 为q 的必要不充分条件；故选：C.3．已知a ，b R ∈，则“1≥ab ”是“222a b +≥”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 当时，由，故充分性成立，当时，比如，满足，但，故必要性不成立.故选：A4．设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 解不等式可得，，又，反之不成立，所以“”是“111x >-”的必要不充分条件，故选：B.5．“50k -<<”是“函数2y x －kx －k 的值恒为正值”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 函数－kx －k 的值恒为正值，则，∵，∴“”是“函数－kx －k 的值恒为正值”的必要不充分条件.故选：B.高频考点二：充分条件与必要条件的应用1．已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”，则实数a 的最大值为（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】D 由，得或，因为”的必要不充分条件是“或”，所以，解得，所以实数a 的最大值为1，故选：D2．函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是（） A ．,[)0b ∈+∞ B ．(0,)b ∈+∞C ．,)(0b ∈-∞D ．,](0b ∈-∞【答案】B函数2()f x x bx c =++的单调递增区间是，依题意，，于是得，解得，所以函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是. 故选：B3．已知集合{}2280A x x x =--<，非空集合{}23B x x m =-<<+，若x B ∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】由题意得，，由是成立的一个充分而不必要条件，得，即解得，，故答案为：.4．已知命题p ：122x x -≥-，命题q ：22x a -<，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】或（4，6]解析：122x x -≥-移项整理可得，解得．22x a -<得．由题意得：122a -+≤且132a+>，从而得出．故答案为：5．设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>，语句:p x A ∈，语句:q x B ∈. (1)当1a =时，求集合A 与集合B 的交集；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围. 【答案】(1)；(2). (1)由题设，，当时，所以；(2)由题设，，且，若p 是的必要不充分条件，则，又a 为正实数，即，解得，故的取值范围为. 高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比1．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 解不等式得：，即，显然{|13}x x -<< ，所以p 是q 成立的必要不充分条件. 故选：C2．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 解：因为，所以，解得；由，即，解得；所以与互相不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件；故选：D3．使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（） A ．1x >-且2x ≠ B ．13x C ．1x < D ．3x >【答案】D 因为，故不等式的解集为且，故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，显然，满足题意的只有.故选：D.4．使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（） A ．20x -<< B ．23x -<< C ．05x << D ．24x -<<【答案】A 解不等式得：，对于A ，因，即是成立的充分不必要条件，A 正确；对于B ，是成立的充要条件，B 不正确；对于C ，因，且，则是成立的不充分不必要条件，C 不正确；对于D ，因，则是成立的必要不充分条件，D 不正确. 故选：A5．命题：x R ∃∈，20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．(][),80,-∞-⋃+∞B ．()8,0-C ．(],0-∞D ．[]8,0- 【答案】B命题”为假命题，命题“，220ax ax --”为真命题，当时，20-成立，当时，，故方程的解得：80a -<，故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B 满足题意.故选：B6．已知0m >，()():120p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】．因是的充分不必要条件，则p 是q 的必要不充分条件，于是得，解得，所以实数m的取值范围是．高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．下列四个命题中，是真命题的为（）A ．任意R x ∈，有230x +<B ．任意N x ∈，有21x >C ．存在Z x ∈，使51x <D ．存在Q x ∈，使23x = 【答案】C 由于对任意，都有，因而有，故A 为假命题．由于，当时，不成立，故B 为假命题．由于，当时，，故C 为真命题．由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数平方等于3，故D 是假命题．故选：C2．下列命题中的假命题是（）A ．230,x x x ∃>>B ．,ln 0x R x ∀∈>C ．,sin 1x R x ∃∈>-D ．,20x x R ∀∈>【答案】B 解：对A ：取，则成立，故选项A 正确；对B ：当时，没有意义，故选项B 错误；对C ：取，则成了，故选项C 正确；对D ：由指数函数的性质有成立，故选项D 正确.故选：B.3．在下列命题中，是真命题的是（）A ．2R,30x x x ∃∈++=B ．2R,20x x x ∀∈++>C ．2R,x x x ∀∈>D ．已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，则对于任意的*,n m N ∈，都有A B =∅ 【答案】B 选项A ，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；选项B ，，，故该选项正确；选项C ，，而当，不成立，故该选项错误，排除；选项D ，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B.4．下列命题为真命题的是（） A ．,,2x y R x y xy ∀∈+≥ B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．2000,230x R x x ∃∈-+≤ D ．,sin x R x x +∀∈≥【答案】D对于A 选项，当0x <且，，A 选项错误；对于B 选项，当0x <时，，B 选项错误；对于C 选项，，C 选项错误；对于D 选项，构造函数，其中，则()1sin 0f x x '=-≥，所以，函数在区间上单调递增，则，所以，，，D 选项正确.故选：D.5．下列命题中的假命题的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 当时，，显然选项B 错误，故选B. 高频考点五：含有一个量词的命题的否定1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A ．01x ∃≤，2000x x ->B ．01x ∃>，2000x x -≤ C ．1x ∀>，20x x -≤D ．1x ∀>，20x x ->【答案】B∵全称命题的否定是特称命题，即先将量词“”改为量词“”，再将结论否定， ∴“，”的否定为“，”，故选：. 2．命题“0x ∀>，01xx >-”的否定是（） A ．0x ∃<，01x x ≤- B ．0x ∃>，01x ≤≤ C ．0x ∀<，01x x ≤- D ．0x ∀<，01x ≤≤ 【答案】B 由得：0x <或，所以的否定是.所以，命题的否定是“，”.故选：B.3．命题“x ∀∈R ，都有210x x +>＋”的否定是___________. 【答案】，有题“，都有”的否定是：．故答案为：．4．命题“0x R x x ∈∃+≥，”的否定是___________. 【答案】，.特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“，”的否定是“，”，故答案为：，.高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数1．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞- B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞【答案】C 由题意可知，命题“，”是真命题.当时，则有，不合乎题意；当时，由，可得，则有，，当且仅当时，等号成立，所以，.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.2．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】C 先求当命题p ：，为真命题时的的取值范围（1）若，则不等式等价为，对于不成立，（2）若不为0，则，解得13a >，∴命题p 为真命题的的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C3．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <- B ．13a -<<C ．3a >-D ．31a -<<【答案】B 因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选：B ．4．存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C由不等式230x mx m +-≥，可化为，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以函数的最大值为，要使得存在，使得230x mx m +-≥，则，则的最大值为.故选：C.5．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________ 【答案】（由题意知：不等式对x ∈R 恒成立，当时，可得，恒成立满足；当时，若不等式恒成立则需，解得304a <<，所以的取值范围是(，故答案为：（.6．已知()24f x x mx =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】当，有，则，，使得()()12f x g x >成立，等价于，，即，在上恒成立，参变分离可得：，当，，当时取等，所以，故答案为：.7．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 【答案】解：因为命题“，使得不等式”是真命题当时，10≥恒成立，满足条件；当时，则解得综上可得即故答案为：8．命题“0x ∃∈R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．【答案】若，使是假命题，则，使是真命题，当转化，不合题意；当，使即恒成立，即，解得或（舍），所以，故答案为：9．命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +>恒成立是假命题，则实数a 的取值范围是________________．【答案】∵ 命题，恒成立是假命题，∴ ，，∴ ，，又函数在为减函数，∴ ，∴，∴ 实数a 的取值范围是（, 故答案为：（.10．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】存在x ∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，设，，易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数，所以，即，即，即，所以，故答案为：．1．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∨【答案】A 由于，所以命题p 为真命题；由于在R 上为增函数，0x ≥，所以，所以命题为真第五部分：高考真题命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A ．2．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 由题意，若，则，故充分性成立；若，则或6a <-，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．“x =1”是“2320x x -+=”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 将代入中可得,即“”是“”的充分条件；由可得,即或2x =,所以“”不是“”的必要条件,故选:A4．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.5．已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.7．下列命题为真命题的是（）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【答案】D A 项：因为，所以且是假命题，A 错误；B 项：根据、易知B 错误；C 项：由余弦函数性质易知，C 错误；D 项：2x 恒大于等于，D 正确，故选：D.一、单选题1．设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）.A ．n N ∀∈，22n n >B ．n N ∀∈，22n n ≤C ．n N ∃∈，22n n >D ．n N ∃∈，22n n ≤ 【答案】B 因为命题，，所以为，.故选：B.2.若“x R ∃∈，2390ax ax -+≤”是假命题，则a 的取值范围为（） A ．[0,4] B ．(0,4)C ．[0,4)D ．(0,4]【答案】C 因为 “，”是假命题，所以 “，”是真命题，所以当时，90>成立；当时，则，解得04a <<，综上：04a ≤<，所以a 的取值范围为，故选：C3．已知命题“存在()3,27x ∈，使得3log 03xx m +->”是假命题，则m 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)12,+∞D ．()12,+∞【答案】C 因为命题“存在，使得”是假命题，所以命题“对任意，都有”是真命题.令函数，显然在上单调递增，则，故，即12m ≥.故选：C4．已知集合{}32,A x x n n Z ==-∈，{}64,B y y n n Z ==+∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B第六部分：课后测试因为，但，故不充分；因为，所以当时，，故必要；故选:B5．已知,a b ∈R ，则“1a b -<”是“1a b +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B由绝对值三角不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以1a b -<⇒，而1a b +<⇒，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B6．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥【答案】C A.令，由，解得，由二次函数的性质知：t 在上递增，在上递减，又lg y t =在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确；B. 当时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得或，故不必要，故正确；C.若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当时，，当时，，解得，所以或，故错误；D.因为命题p ：.存在0x R ∈，使得是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即p 任意x ∈R ，均有，故正确；故选：C7．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【答案】C，若在上不单调，令，对称轴方程为，则函数与轴在上有交点．当时，显然不成立；当时，有解得或．四个选项中的范围，只有为的真子集，∴在上不单调的一个充分不必要条件是.故选：C ．8．“函数()221xx f x a =++有零点”的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．0a <【答案】B 由得，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B 二、填空题9．已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值____________. 【答案】由，得,令，，“”是“”成立的必要不充分条件，BA ∴.（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.故答案为：中任何一个均可.10．已知24:()9,:log (3)1p x m q x -<+<，若￢q 是￢p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是__．【答案】．因为￢q 是￢p 的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，由不等式，可得，由不等式，可得，所以，因为p 是q 的必要不充分条件，所以，解得，故实数m 的取值范围是．故答案为：．11．已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______. 【答案】因为若对，，使得，所以，因为的对称轴为，所以，因为，，所以所以，即所以12．已知函数2()f x x x a =++，若存在实数[1,1]x ∈-，使得(())4()f f x a af x +>成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】。

常用逻辑用语常考知识点复习小结ppt课件

第一章常用逻辑用语
常考知识点复习小结（资料收集整理人：林文城）
1.掌握充分条件、必要条件的概念;
p是q的充分不必要条件
pq pq
p是q的必要不充分条件
pq pq
p是q的既不充分也不必要条件 p q pq
2.判断的步骤：（1）认清条件（2）分两步：
判断条件是充分条件还是必要条件
1
1.设 p、q 是简单命题,则“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的
答案：A
11
11.已知 c＞0，设命题 p：函数 y＝cx 为减函数.命题 q：当 x
∈[12，2]时，函数 f(x)＝x＋1x＞1c恒成立.如果 p 或 q 为真命
题，p 且 q 为假命题.求 c 的取值范围.
11.解：由命题 p 知：0＜c＜1.
由命题 q 知：2≤x＋1x≤52，
要使此式恒成立，则 2＞1c，即 c＞21.
答案：D
10
10.已知命题 p：“∀x∈，x2－a≥0”，命题 q：“∃x∈R，x2
＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的
取值范围为
()
A.a≤－2 或 a＝1
B.a≤－2 或 1≤a≤2
C.a≥1
D.－2≤a≤1
10.解析：由已知可知 p 和 q 均为真命题，由命题 p 为真得 a≤1，由命题 q 为真得 a≤－2 或 a≥1，所以 a≤－2，或 a＝1.
4.解析 :由题意知 P＝{x|-1＜ f(x+t)＜3}＝{x|-t＜x＜ 3-t},Q＝{x|f(x)＜f(3)}＝{x|x＞3}, ∵“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要条件, ∴P Q.∴-t≥3,t≤-3.故选 C. 答案:C

第一章集合与常用逻辑用语【章节复习专项训练】(原卷版)

第一章集合与常用逻辑用语【章节复习专项训练】【考点1】：集合的概念例题1．下列几组对象可以构成集合的是（）A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7m 以上的人【变式1】下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2】下列描述正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}2y y x =与(){}2,x y y x =集合是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；（4）偶数集可以表示为{}2,x x k k Z =∈.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式3】已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，则集合B 中的元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式4】下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对【考点2】：集合间的基本关系例题1．设集合{|10}P m m =-<≤，2{|440}Q m R mx mx =∈+-<对任意实数x 恒成立，则下列关系中成立的是（）A ．P 是Q 的真子集B ．Q 是P 的真子集C ．P Q=D ．P 与Q 无关【变式1】设集合2{|54}A x x a a a N +==-+∈，，集合2{|22}B y y a a a N +==++∈，，则下列关系正确最准确的是（）A ．A B⊆B ．B A⊆C ．A ÛBD ．B ÛA【变式2】已知集合{}2|1M y y x ==-+，{}|21P x y x ==+，则集合M 与P 的关系是（）A ．M P =B ．P M∈C ．P M ÜD ．M PÜ【变式3】已知集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，则A B =（）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．{0,2}D ．{2,0,2}-【变式4】集合12 1M xx Z N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭∣，，则M 的非空真子集的个数是（）A ．30个B ．32个C ．62个D ．64个【考点3】：集合的基本运算例题1．设全集{|}2U x x ∈≤Z ＝，{|10,}A x x x U =+≤∈，{}2,0,2B =-，则()U A B =ð（）A ．{}1B ．{}0,2C ．{2,0,1,2}-D ．(1,2]{2}-⋃-【变式1】设集合U ={0，1，2，3，4}，A ={1，2}，B ={2，3}，则()()U U A B ⋂=痧（）A ．{0，4}B ．{4}C ．{1，2，3}D ．⌀【变式2】已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则U M N =ð（）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【变式3】设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M =A ．M B ．N C ．U M NI ðD ．U N MI ð【变式4】已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【考点4】：充分条件与必要条件整式的乘法例题1．已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】设P ､Q 是非空集合，命题甲为：P ∩Q =P ∪Q ；命题乙为：P ⊆Q ，那么甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】若a 、b 为实数，则“1ab >”是“1b a>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要【变式4】设x ∈R ，则“210x -<”是“31x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点5】：全称量词命题与存在量词命题例题1．下列说法中，正确的个数是（）①存在一个实数x 0，使－220x ＋x 0－4＝0；②所有的素数都是奇数；③至少存在一个正整数，能被5和7整除．A ．0B ．1C ．2D ．3【变式1】对下列命题的否定说法错误的是（）A ．p ：能被2整除的数是偶数；￢p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；￢p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；￢p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n 0∈N ，02100n ≤；￢p ：∀n ∈N ，2n >100.【变式2】命题“1x ∃>，使2230x x --≤”的否定形式为（）A ．1x ∃≤使2230x x -->B ．1x ∀>均有2230x x -->C ．1x ∀≤均有2230x x -->D ．1x ∃≤使2230x x --≤【变式3】下列存在量词命题的否定中真命题的个数是（）（1）x ∃∈R ，0x ≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，又不是素数；（3）x ∃∈Z ，使345x +=．A ．0B ．1C ．2D ．3【变式4】关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题。

集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语知识点整理（重要部分）：1、集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性2、集合间的基本关系（1）、子集：若对任意X∈A，都有X∈B，则A⊆B或B⊆A （2）、真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A⊂B但A≠B或B⊃A但B≠A（3）、相等：若A⊆B，且B⊆A，则A=B（4）、空集的性质：ϕ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3、集合的运算性质:（1）、A∩A=A，A∩ϕ=ϕ，A∩B=B∩A（2）、A∪A=A，A∪ϕ=A，A∪B=B∪A（3）、A∩(CuA)=ϕ，A∪(CuA)=U，Cu(CuA)=A4、若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n−1个，非空子集有2n−1个，非空真子集有2n−2个。

5、子集的传递性A ⊆B ，B ⊆C ⟹A ⊆C6、四种命题间的关系原命题（若p 则q ）逆命题（若q 则p ）否命题（若¬p,则¬q ）逆否命题（若¬q,z 则¬p ）7、 A 是B 的充分不必要条件⟺¬B 是¬A 的充分不必要条件8、充分条件、必要条件和充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 P 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇏p P 是q 的必要不充分条件p ⇒q 且q ⇒pP 是q 的充要条件 p ⟺q P 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏q9、简单的逻辑联结词互逆互否互否（1）、且（and）把命题p和命题q联结起来，记作p⋀q（且命题）（2）、或（or）用“或”将命题p和命题q联结在一起，记作p∨q （3）、非（not）对于一个命题p的结论的全盘否定，获得新命题，记作¬p。

P的否命题为非条件，非结论（¬p，¬q）10、命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断备注：（1）、对于p∧q而言，全真为真，有假即假（只要有一个假则假）。

第一章集合与常用逻辑用语(第二部分：常用逻辑用语)

【答案】C
A．
0,
3 4
B．
0,
3 4
C
．
0,
3 4
D．
0,
3 4
【详解】当 a 0 时， ax2 4ax 3 3 0 对于 x R 恒成立，满足；
当
a
0 时，
ax2
4ax
3
0
在
x
R
恒成
立，
则
a Δ
0 16a2
12a
0
0
a
3 4
，满足；
综上
，
0
a
3 4
.
故选：C
3 典型例题讲与练
【详解】（1）由于 AB ，
①当 B 时， 2m 1 m ，解得m 1 ， 3
②当
B
时，
2m 1 m
1 1
m
或
2m 2m
1 3
m
，
解得 0 m 1 ． 3
综上所述，实数m 的取值范围为0, ．
（2）命题 p : x A，命题 q : x B ，若 p 是 q 的充分条件，故 A B ，
考点02：全称量词命题与存在量词命题
【期末热考题型2】根据命题的真假求参数值或范围
【专训
1-1】（2023
上·安徽·高一校联考阶段练习）若命题“ x
1 2
， x2
mx 4 0
”是
假命题，则m 的取值范围为（）
【答案】B
A． m m 4 B．m m 4
C．m 4 m 4 D．m m 4
2
又由 2x 1 ，可得 2x 1 x 1 0 ，解得1 x 1 ，
x 1
x 1 x 1
两个不等式的解集没有包含关系，

常用逻辑用语全章复习

（１）p：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分
（２）p：10是自然数 q：10是偶数
例2．分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：
（１）x=2或x=3是方程x25x+6=0的根
（２）既大于3又是无理数
（３）直角不等于90 （４）x+1≥x3 （５）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
知识网络
用常语用
逻
辑
命题及其关系
四种命题
充分条件与必要条件
简单的逻辑联结词
或并集且交集
运算
非补集
全称量词与存在量词
量词
全称量词存在量词
含有一个量词的否定
概念与规律总结
❖ （1）命题的结构 ❖ 命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 ❖ “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结
词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非” 构成的命题是复合命题 ❖ 构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且 q(记作p∧q)；非p(记作┑q)
其他情况时为假； ❖ “p∨q”形式复合命题当p与q同为假时为假，
其他情况时为真．
概念与规律总结
❖ （5）全称量词与存在量词 ❖ 全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，
每一个等； ❖ 存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，
有的，有些等； ❖ 全称命题P:M, p(x）否定为 P: M, P（x） ❖ 特称命题P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）
例11．写出下列命题的否定
❖ （1）对任意的正数x， x >x-1； ❖ （2）不存在实数x，x2+1<2x； ❖ （3）已知集合AB，如果对于任意的元素

常用逻辑用语总复习绝对经典.docx

简单的逻辑联结词.全称量词与存在量词1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非” 表述相关的命题.2.考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能止确地对含有一个量词的命题进行否定.【复习指导】复习时应紧扌II概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法.木讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度屮档偏下.0KAOJIZIZHUDAOXUE ....................................................................................................................................................................................................................... -in " 右昜曰土导字必考必记i教学相长丨—••• • •基础000梳理0001.简单的逻辑联结词⑴命题中的“且” “或” “韭”叫做逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：P q P M P5真真真真假假真假真真真假假真假假假假遐真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给” “所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个” “至少有一个” “有些”“有一个”“某个”“有的”等.⑶全称量词用符号“乂”表示；存在量词用符号“旦”表示.3.全称命题与特称命题(1 )含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有锂量词的命题叫特称命题.4.命题的否定(1)全称命题的否定是価命题；特称命题的否定是全旌命题.(2)p或g的否定为：非p且非g；〃且g的否定为：非D或非Q.^=助#橄惮------一个关系逼琏联结伺占-集佥的关-系.上或丄…旦工…韭二二个迄辑联结词?…对应着一集佥运篡史的上并上…交一、…补二2…區此上… 當常借助一集佥的上赶,…交一、…社二的意义耒解签也上或亠一旦二韭二二个联结遇构成的命题回•題•.…两类否定1.含有一个量词的命题的否定(1 )全称命题的否定是特称命题全称命题p: Vx 6 M, p(x),它的否定->p: m*o€M, -'p(xo).(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p: m“o€M, p(x(y),它的否定ip: Vx € M. ->p(x).2.复合命题的否定⑴絲(p A g)O(-«p) V (->q)；(2)%Vg)*p)/\(「q)・三条规律⑴对于…“卫金題;…二假処假；…(2)对…》Yd命題;…二真则真二⑶对上：?P二金题;…亘疋金题真-假相一反：…双基自测1.(人教A版教材习题改编)己知命题/?：X/xWR, sinxWl,贝tl( ).A.~>p：Bxo^R, sin x()^ 1 B・「p： \/xGR, sin1C. ->p： 3%o^R» sinxo> 1D. -«p： Vx^R» sinx> 1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题.答案C2.(2011•北京)若p是真命题,g是假命题,则().A. p/\q是真命题B. p\/q是假命题C. ip是真命题D. iq是真命题解析本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力.只有「q是真命题.答案D3.命题p：若Q,b^R,贝％l + lbl> 1是\a+b\> 1的充分而不必要条件.命题牛函数尹=寸氏_11_2的定义域是（一a, -1]U[3, +^）则（）.A. “p或g”为假B. “p且广为真C・p真g假D. p假g真答案D4.设p、q是两个命题，贝愎合命题“p'q为真，p\q为假”的充要条件是（）•A. p、"卩至少有一个为真 B. p、g小至少有一个为假C. p、q中有且只有一个为真D. p为真、g为假答案C5・（2010-安徽）命题“对任何x e R , lx - 21 + lx - 41>3”的否定是答案存在x（）WR，使坯一2l + lx（）—4IW3KAOXIANQTANJIUDAOXI ................................................................................................................................................................................................................ .." 右冋珠兖寻祈研析考向X例突破—••• •• • • ■•考向一含有逻辑联结词命题真假的判断【例1】>（2010•新课标全国）已知命题pi：函数y=2x—2~x在R上为增函数,p2：函数y=2x+2~x在R上为减函数，则在命题0：pZ P L qi- p\/\p2, ?3：（-»Pi）V P2 和§4： 7?| A（_I P2）I I,，真命题是（）•A・q\, $3 B. g2，73C. q\, $4D. $2，<74[审题视点]根据复合函数的单调性判断Q,卩2的真假.解析可判断刃为真，卩2为假；则如为真，92为假，93为假，如为真.答案C盡瞬》a p V q v、a p A q n、、q”形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；⑵判断其中命题p、q的真假；（3）确定“ p7 q”、a p A q "、Jq”形式命题的真假.【训练1】已知命题p： Exo^R>使sin x()=^~；命题g： Vx^R,都有x2+x+ l>0.给出下列结论①命题"p是真命题；②命题“「pVrq"是假命题；③命题"rp'Vg"是真命题；④命题“pVrq"是假命题. 其屮正确的是().A.②③B.②④C.③④D.①②③解析命题p是假命题，命题g是真命题，故③④正确. 答案C考向二全称命题与特称命题【例2】•写出下列命题的否定，并判断其真假.9 1(1)p： Vx^R, x+&20；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r： mx()WR, xo+2xo+2^O；(4)5：至少冇一个实数必，使轴+1=0.［审题视点］改变量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假. 解(l)-«p：mx()WR, x$—兀()+魯<0,假命题.(2)-q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.(3)締厂：X/xWR, ” + 2%+2>0,真命题.(4)絲s：0+1HO,假命题.方法总结》全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可.【训练2】写出下列命题的否定，并判断真假.(1)p： VxeR,兀不是3x-5=0 的根;(2)牛有些合数是偶数；(3)r： mx()UR, Ixo—ll>0.解(l)-«p： 3%oR» x()是3x~5=0 的根，真命题.（2bq：每一个合数都不是偶数，假命题.（3）綁人VxeR, lx-ll^O,假命题.考向三根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】>（2012-浙大附中月考）已知命题”方程x2+mx+l= 0冇两个不等的负实数根;命题牛方程4/+4（加一2）兀+1= 0无实数根.若“p或g”为真命题,“p 且g"为假命题，求刃的取值范围.［审题视点］先解不等式将命题p与命题g具体化，然后根据“p或q”与“p且旷的条件可以知道命题p与命题q一真一假，从而求出m的取值范围.［/］=加2—4>0,解rflp 得：1 则777>2.I—加<0,由q得：力2= 16（加—2尸一16= 16（沪一4加+ 3）<0,则l<m<3.又“p或g”为真，“p且g”为假，:・p与g—真一假.①当p真g假时，\ 解得加23；［加W2,②当P假g真时，［—一解得1V/W2.11 777 3 9:.m的取值范围为心3或1V加W2.方洁隸结》含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的（一个或两个）命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.【训练3】己知。

常用逻辑用语章末复习提升课件PPT

解析答案
跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个
不相等的实根，则实数k的取值范围是( B )
A.(0，12)
B.(12，1)
C.(1,2)
D.(2，＋∞)
解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线 g(x)＝kx 过 A 点时斜率为12，故 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).
例1 判断下列命题的真假.
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
解该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，
它为真命题，故原命题为真.
(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
解该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，
故原命题为假.
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.
因为a，b，c，d均为非负数，于是bc＋ad≥0，
故由上式可以知道ac＋bd≤1，
这与已知条件的ac＋bd>1矛盾，
所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数.
解析答案
跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.
已知：在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC边上的中点，求证：AD<12BC(如图所示). 证明假设 AD≥12BC. ①若 AD＝12BC，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知∠BAC＝90°，与题设矛盾.所以 AD≠21BC.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解綈p是綈q的充分不必要条件，即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].