2018版数学考点32二面角试题解读与变式

考点32：二面角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】二面角的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【典型高考试题变式】（一）常规法求二面角的平面角例1.【2014安徽卷（理）】如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD .四边形ABCD 为梯形，BC AD //,且BC AD 2=.过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q .（1）证明：Q 为1BB 的中点；（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（3）若A A 14=，2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角大小.【解析】试题分析：（1）利用面面平行来证明线线平行QC ∥1A D ，则出现相似三角形，于是根据三角形相似即可得出1112BQ BQ BC BB AA AD ===，即Q 为1BB 的中点.（2）连接,QA QD .设1AA h =，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，=BC a ，则2AD a =.先表示出17=+12Q A AD Q ABCD V V V ahd --=下和11113=2A B C D ABCD V ahd -，就可求出11113711==21212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd ---=下上，从而11=7V V 上下.（3）常规法，作出二面角.在ADC ∆中，作AE DC ⊥，垂足为E ，连接1A E .又1DE AA ⊥且1AA AE A =，所以DE ⊥平面1AEA ，于是1DE A E ⊥.所以1AEA ∠为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角.（1）证：因为BQ ∥1AA ，BC ∥AD ,1,BCBQ B ADAA A ==，所以平面QBC ∥平面1A AD .从而平面1ACD 与这两个平面的交线相互平行，即QC ∥1A D . 故QBC ∆与1A AD ∆的对应边相互平行，于是1QBC A AD ∆∆.所以1112BQ BQ BC BB AA AD ===，即Q 为1BB 的中点. （2）解：如图，连接,QA QD .设1AA h =，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，=BC a ，则2AD a =.11112323Q A AD V a h d ahd -=⋅⋅⋅⋅=，1213224Q ABCD a a h V d ahd -+⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，所以17=+12Q A AD Q ABCD V V V ahd --=下， 又11113=2A B C D ABCD V ahd - 所以11113711==21212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd ---=下上，故11=7V V 上下.【方法技巧归纳】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；求二面角一是传统方法，“一作，二证，三求”，如本题的解析，二是建立空间直角坐标系，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.求二面角的常见方法有：1、利用定义找到二面角的平面角，根据平面几何知识求解；2、利用公式'cos S Sθ= ，求出二面角的余弦，从而求得二面角的大小；3、利用空间相夹角余弦公式．【变式1】【改编例题中条件】【2017届安徽省马鞍山市中加学校三模】如图，三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA BB 是菱形， 113BB A π∠=， 1111C B AA BB ⊥面,二面角11C A B B --为6π， 1CB =. （Ⅰ）求证：平面1ACB ⊥平面1CBA ; （Ⅱ）求二面角1A AC B --的余弦值.【解析】试题分析：（1）由菱形可得11AB A B ⊥，由棱柱和1111C B AA BB ⊥面，可得1CB AB ⊥，由直线与平面垂直判定定理，可得11AB A BC ⊥面,可证。

（2）过11,AB A B 交点O 作1OE AC ⊥,垂足为E ,连AE 则AEO ∠为二面角1A AC B --的平面角。

由二面角11C A B B --为6π， 1CB =，可求得各线段长，即可算出二面角的平面角。

（2）由题意得11A B B ∆为正三角形， 取11A B 得中点为D ，连CD,BD, 则11BD A B ⊥,又11CB A B ⊥易得11CD A B ⊥,则CDB ∠为二面角11C A B B --的平面角，因1BC =, CDB ∠=6π,所以BD =, 所以11112A B BB A B ===过11,AB A B 交点O 作1OE AC ⊥,垂足为E ,连AE 则AEO ∠为二面角1A AC B --的平面角，又OE AO ==得AE =所以1cos 4AEO ∠=【变式2】【改编例题中条件】【2014湖南卷（理）】如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,ACBD O AC B D O ==,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形.(1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.【解析】试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明,AC BD 与1O O 垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到1,O O 均为中点,得到111,,A A O O B B 三者相互平行,四边形1111,BDD B ACC A 均为矩形与平行相结合即可得到,AC BD 与1O O 垂直,进而证明线面垂直.(2)要求二面角,此问可以以以O 为坐标原点,1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点H ,连接11,HO HC .利用(1)得到111O O A C ⊥,在利用四边形1111A B C D 为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到11AC垂直于平面11BDD B ,进而得到111B O O C ⊥,结合11B O O H ⊥得到线面垂直,说明角11O HC 即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为2a ,利用勾股定理求出相应边长即可得到角11O HC 的余弦值,进而得到二面角的余弦值.(1)证明:四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,ACBD O AC B D O ==∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又AC BD O =且,AC BD ⊆底面ABCD1OO ∴⊥底面ABCD .又111OC OO ⊥且1111OO O C O =,111,O O O B ⊆面1OB D 11O C ∴⊥面1OB D又1B O ⊆面1OB D111B O OC ∴⊥又11B O O H ⊥且1111OC O H O =,111,O C O H ⊆面11O HC 1B O ∴⊥面11O HC∴11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O HO HC HC ∠= 060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形11O C a ∴=,11,BO112,OO a B O ===, 则111111111221sin 37OO O H B OO B O B O aa B O a=∠=== 再由11O HC ∆的勾股定理可得1HC===, 则1111cos O H O HC HC ∠=19==,所以二面角11C OB D --.（二）向量法求二面角的平面角例 2.【2017全国1卷（理）】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=DCBAP(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，求二面角A PB C --的余弦值. 【解析】（1）证明：因为90BAP CDP ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥.又因为AB CD ∥，所以PD AB ⊥，又因为PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD 所以AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD （2）取AD 中点O ，BC 中点E ，联结PO ，OE ，因为AB CD ∥，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以OE AB ∥. 由（1）知，AB ⊥平面PAD ，所以OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ，所以OE PO ⊥，OE AD ⊥.又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO 、OE 、AD 两两垂直， 所以以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -设2PA =，所以()00D ，，)20B ，，(00P ，，()20C ，，所以(0PD =，，(22PB =，，()00BC =-，设()x y z =n ,,为平面PBC 的法向量，由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y +=-=⎪⎩.令1y =，则z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量(01=n ,. 因为90APD ∠=︒，所以PD PA ⊥，又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以PD AB ⊥，又PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB ，即PD 是平面PAB 的一个法向量，(0PD =,,所以cosPD PD PD ⋅===⋅n n n,.由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为【方法技巧归纳】1.利用向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 2．利用法向量求二面角时的两个注意点(1)对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着，不用单独求．(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论错误.【变式1】【改编例题条件】【2017全国2卷（理）】如图所示，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值.EM DCBAP（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，则()000O ，，，()010A -，，，()110B -，，，()100C ，，，()010D ，，，(00P ，．M 在底面ABCD 上的投影为M '，所以M M BM ''⊥．因为45MBM '∠=， 所以MBM '△为等腰直角三角形． 因为POC △为直角三角形，OC =，所以60PCO ∠=． 设MM a '=，CM '=，1OM '=-．所以100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，，．BM a a '==⇒=．所以11OM '=-=．所以100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，10M ⎛ ⎝⎭，11AM ⎛= ⎝⎭，(100)AB =，，． 设平面ABM 的法向量11(0)y z =，，m．110y +=，所以(02)=，m ， ()020AD =，，，()100AB =，，．设平面ABD 的法向量为()200z =，，n ， (001)=，，n．所以cos ,⋅==⋅m n m n m n 所以二面角M AB D --．【变式2】【改编函数条件和问法】【2017全国3卷（理）】如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角––D AE C 的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，联结BO ，DO ；BEC DAO因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，所以AB BC =.AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ABD CBD ≅△△.所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形， ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥.令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得：OD =，OB = 所以222OD OB BD +=，由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥.OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC . ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=，即B ，D 到平面ACE 的距离相等，即E 为BD 中点. 以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ， 则110AE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，解得1=n ，220AE OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，解得(20,1,=n .若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则1212cos θ⋅=⋅n n n n .【数学思想】1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。