贝塞尔曲线

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简化贝塞尔曲线

简化贝塞尔曲线

简化贝塞尔曲线摘要:一、贝塞尔曲线的概念与应用1.贝塞尔曲线的定义2.贝塞尔曲线的应用领域二、贝塞尔曲线的简化方法1.直线段表示2.一阶贝塞尔曲线3.二阶贝塞尔曲线三、贝塞尔曲线的实际应用案例1.自动驾驶中的参考线插值2.AE2021 版本中的贝塞尔曲线转换3.CorelDRAW 中的贝塞尔曲线工具正文:贝塞尔曲线是一种由法国数学家皮埃尔·贝塞尔研究的矢量绘图方法,它是一种以节点(锚点)和线段组成的曲线。

贝塞尔曲线广泛应用于各种领域,如计算机图形学、动画制作等。

在实践中,为了简化贝塞尔曲线的计算过程,我们可以采用一些方法对其进行简化。

首先,我们可以通过直线段表示贝塞尔曲线。

在贝塞尔曲线中,有两个端点P0 和P1,我们可以通过这两个端点画出一条直线段。

这是贝塞尔曲线的最简单形式。

其次,我们可以使用一阶贝塞尔曲线。

一阶贝塞尔曲线也称为线性贝塞尔曲线,它只有一个节点。

在这个节点上下,曲线的斜率会发生改变,从而形成一个平滑的曲线。

再次,我们可以使用二阶贝塞尔曲线。

二阶贝塞尔曲线有两个节点,它在每个节点处都有两个方向线,分别连接到相邻的线段。

通过调整这些方向线的位置,我们可以控制贝塞尔曲线的形状。

贝塞尔曲线在实际应用中有很多案例。

例如,在自动驾驶中,贝塞尔曲线可以用于参考线插值,以实现平滑的曲线运动。

在Adobe After Effects 2021 版本中,可以通过转换贝塞尔曲线实现复杂的动画效果。

此外,在CorelDRAW 中,贝塞尔曲线工具也是一种常用的绘图工具,可以实现各种复杂的曲线效果。

总之,贝塞尔曲线是一种强大的数学工具,它可以帮助我们在各种领域实现平滑、自然的曲线运动。

nurbs 贝塞尔曲线

nurbs 贝塞尔曲线

nurbs 贝塞尔曲线
NURBS(非均匀有理B样条)和贝塞尔曲线都是计算机图形学中常用的曲线表示方法。

NURBS是一种扩展的B样条曲线,它结合了非均匀(不是等距分布)和有理(包含分母)的特性。

NURBS曲线能够精确
表示自由曲线和曲面,并且在计算机图形学中广泛应用。

贝塞尔曲线则是由一系列线段或圆弧组成的参数曲线,其参数可以是时间和角度。

贝塞尔曲线通常用于计算机图形、动画、建模和设计等领域。

这两种曲线表示方
法各有特点,但都是计算机图形学中重要的工具。

贝塞尔曲线路径

贝塞尔曲线路径

贝塞尔曲线是一种数学曲线,用于定义平滑的路径。

贝塞尔曲线的路径可以通过多个控制点来确定,控制点的位置和数量会影响曲线的形状。

贝塞尔曲线的路径可以描述二维或三维空间中的曲线。

贝塞尔曲线路径的形状由以下几个因素决定:
1. 控制点的位置:贝塞尔曲线通常由多个控制点组成。

控制点的位置决定了曲线的开始和结束点,以及曲线的弯曲方向和弧度。

2. 控制点之间的连线:贝塞尔曲线路径是由控制点之间的连线和曲线段组成的。

连线的位置和角度也会影响曲线的形状。

3. 控制点类型:贝塞尔曲线可以包括不同类型的控制点,如端点、锚点和处理点。

端点是曲线的起始和结束点,锚点用于控制曲线的形状,处理点用于调整曲线的曲率。

贝塞尔曲线的路径可以根据控制点的位置和连线方式创建平滑的曲线效果。

通过调整控制点和连线,可以创建各种复杂的曲线路径,如弧线、S形曲线、环形路径等。

贝塞尔曲线路径在计算机图形学、动画制作、插值函数等领域有广泛的应用,它提供了一种灵活且平滑的方式来描述和绘制曲线。

贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结

贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结

Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线(Bezier Curve):贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。

贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定,阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。

贝塞尔曲线具有局部控制的特性,即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定,不受其他控制点的影响。

贝塞尔曲线的计算相对简单,但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。

2. B样条(B-Spline): B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。

与贝塞尔曲线不同,B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。

这些基函数决定了曲线上每一点的形状。

B样条曲线的阶数可以是任意的,较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。

B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性,可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。

3. NURBS曲线(Non-Uniform Rational B-Spline Curve):NURBS曲线是对B样条曲线的扩展,它引入了有理权重的概念。

NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重,这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。

NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状,如圆弧和椭圆等。

总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状,而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分,显然B样条提供了更多的灵活性;Bezier和B样条都是多项式参数曲线,不能表示一些基本的曲线,比如圆,所以引入了NURBS,即非均匀有理B样条来解决这个问题;贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计,B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性,适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重,可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例,而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年,由法国工程师皮埃尔·贝济埃(PierreBézier)所广泛发表,他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发,以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

ae中贝塞尔曲线

ae中贝塞尔曲线

AE中贝塞尔曲线在Adobe After Effects(AE)中,贝塞尔曲线是一个非常重要的概念,它用于创建和编辑动画和运动路径。

在这篇文章中,我们将来详细介绍AE中的贝塞尔曲线。

一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线,由法国数学家Pierre Bézier创建。

它被广泛应用于计算机图形学、计算机动画和计算机视觉等领域。

在AE中,贝塞尔曲线用于定义物体的运动路径、形状和动画。

二、贝塞尔曲线的构成贝塞尔曲线由一系列点组成,这些点被称为控制点。

每个控制点都有两个“把手”,一个在控制点的左边,一个在右边。

通过调整控制点的位置和把手的角度和长度,可以改变贝塞尔曲线的形状。

三、贝塞尔曲线的类型在AE中,有两种类型的贝塞尔曲线:Bezier曲线和B-spline曲线。

1. Bezier曲线:Bezier曲线是最常用的贝塞尔曲线类型。

它由两个端点和两个控制点组成。

这两个控制点定义了曲线的形状,而两个端点则确定了曲线的起点和终点。

在AE中,Bezier曲线通常用于创建动画和运动路径。

2. B-spline曲线:B-spline曲线是一种更复杂的贝塞尔曲线类型。

它由多个控制点组成,这些控制点可以沿着曲线移动,从而改变曲线的形状。

B-spline曲线在处理复杂形状和动画时非常有用。

四、如何创建和编辑贝塞尔曲线1. 创建贝塞尔曲线:在AE中,可以通过以下步骤创建贝塞尔曲线:a. 选择一个图层或物体,然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。

这将创建一个新的空对象。

b. 在时间轴中选择空对象,然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。

这将创建一个新的贝塞尔曲线。

c. 在时间轴中选择贝塞尔曲线,然后使用“Ctrl”键拖动控制点以调整曲线的形状。

2. 编辑贝塞尔曲线:在AE中,可以使用以下方法编辑贝塞尔曲线:a. 拖动控制点:选择控制点并拖动它们可以改变曲线的形状。

当鼠标放在控制点的把手上时,会出现一个红色线条,表示可以调整把手的角度和长度。

贝塞尔曲线计算

贝塞尔曲线计算

贝塞尔曲线计算
贝塞尔曲线是一种常见的曲线类型,它由德国数学家贝塞尔于19世纪提出。

贝塞尔曲线具有很好的数学性质,可以应用于各种领域,如计算机图形学、工程建筑等。

计算贝塞尔曲线需要考虑两个因素:控制点和次数。

控制点是贝塞尔曲线的基础,它们定义了曲线的形状。

次数则决定了曲线的平滑度。

一般来说,次数越高,曲线就越平滑。

计算贝塞尔曲线的方法有多种,其中最常见的是递推算法。

递推算法通过递推公式计算出贝塞尔曲线上的点。

递推公式的形式与次数有关,通常使用以下公式:
B(i)(t) = (1-t)B(i-1)(t) + tB(i-1)(t)
其中,B(i)(t)表示曲线上的第i个点,t表示曲线上的参数值(通常在0到1之间)。

B(i-1)(t)表示上一个控制点的贝塞尔曲线坐标。

递推算法可以通过循环计算出所有点的坐标。

在计算过程中,需要考虑控制点的数量和次数。

一般来说,控制点的数量应该大于等于次数加1。

如果控制点数量小于次数加1,则曲线可能会出现“角度”或“振荡”现象。

除了递推算法,还有其他计算贝塞尔曲线的方法,如二分法、线性方程组求解、三角函数等。

这些方法各有优缺点,可以根据具体情况选择使用。

总之,计算贝塞尔曲线需要考虑控制点和次数,递推算法是最常
见的计算方法之一。

贝塞尔曲线具有广泛应用领域,可以用于计算机图形学、工程建筑等。

在实际应用中,需要根据具体情况选择合适的计算方法和参数。

贝塞尔曲线

贝塞尔曲线

贝塞尔曲线
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线(Béziercurve),又称贝兹曲线或贝济埃曲线,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。

一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,贝兹曲线由线段与节点组成,节点是可拖动的支点,线段像可伸缩的皮筋,我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。

贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线,在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具,如PhotoShop等。

在Flash4中还没有完整的曲线工具,而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。

贝塞尔曲线于1962,由法国工程师皮埃尔·贝塞尔
(PierreBézier)所广泛发表,他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线最初由PauldeCasteljau于1959年运用deCasteljau演算法开发,以稳定数值的方法求出贝兹曲线。

贝塞尔曲线详解

贝塞尔曲线详解

贝塞尔曲线详解贝塞尔曲线是一种数学曲线,它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪中期发明。

贝塞尔曲线在计算机图形学、工程学、设计和艺术等领域中得到了广泛应用。

本文将详细介绍贝塞尔曲线的定义、性质和应用。

一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由一系列控制点和一组权重值组成的曲线。

控制点是曲线上的点,它们决定了曲线的形状。

权重值是一个数值数组,它们控制了曲线在控制点之间的弯曲程度。

贝塞尔曲线的公式如下:B(t) = Σi=0n Pi * Bi,n(t)其中,B(t)是曲线上的点,t是参数,Pi是控制点,Bi,n(t)是贝塞尔基函数。

贝塞尔基函数是一个多项式函数,它的形式如下:Bi,n(t) = C(n,i) * ti * (1-t)n-i其中,C(n,i)是组合数,ti是t的i次方,(1-t)n-i是(1-t)的n-i次方。

二、贝塞尔曲线的性质1. 控制点的数量决定了曲线的阶数。

例如,如果有3个控制点,那么曲线的阶数为2。

2. 曲线的起点和终点分别是第一个和最后一个控制点。

3. 曲线在控制点处的切线方向与相邻控制点之间的连线方向相同。

4. 曲线的形状由控制点和权重值共同决定。

权重值越大,曲线在相应控制点之间的弯曲程度越大。

5. 贝塞尔曲线具有局部控制性。

这意味着,如果修改了一个控制点的位置或权重值,只会影响该控制点和相邻控制点之间的曲线段,而不会影响整个曲线。

三、贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中得到了广泛应用。

它们可以用来绘制平滑的曲线和曲面,例如二维图形、三维模型和动画。

贝塞尔曲线还可以用来实现图形编辑工具,例如Photoshop和Illustrator。

2. 工程学贝塞尔曲线在工程学中也有很多应用。

例如,它们可以用来设计汽车、飞机和船舶的外形,以及建筑物的立面和室内设计。

贝塞尔曲线还可以用来优化机器人的运动轨迹和控制系统的响应速度。

3. 设计和艺术贝塞尔曲线在设计和艺术领域中也非常流行。

贝塞尔曲线玩法

贝塞尔曲线玩法

贝塞尔曲线玩法贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线,由法国的数学家贝塞尔发明。

其优秀的特性,如任意阶数、曲线平滑、变形自然等,使它被广泛应用在计算机图形学中。

下面我们来探讨一下贝塞尔曲线的一些玩法与应用。

一、Bezier Curve的基本概念Bezier Curve,中文翻译为贝塞尔曲线,是由一些基于控制点来描述曲线的连续函数。

在计算机图形学界,Bezier曲线有着广泛的应用,如二维绘图,三维模型构建等。

下面,我们来说说Bezier曲线的基本概念:1.控制点Bezier曲线的形状和特性由一组控制点决定。

控制点决定着曲线起点、终点,以及曲线的形状与方向。

控制点的数量通常与曲线的阶数相等。

2.阶数Bezier曲线的阶数由控制点的数量决定。

例如,如果控制点数量为4,则Bezier曲线的阶数为3(n-1)。

当阶数为3时,Bezier曲线也被称为二次Bezier曲线或三次Bezier曲线。

3.点集形式Bezier曲线可以表示成点集的形式,其中一个控制点是Bezier曲线的起点,最后一个控制点是Bezier曲线的终点。

而其余的控制点可以看做是曲线上的中间点。

二、贝塞尔曲线的应用1.平滑曲线在绘制平滑曲线时,常常使用Bezier曲线来完成。

在二维绘图中,利用Bezier曲线可以绘制出一些基本的形状,如椭圆、圆弧等。

利用多条Bezier曲线的组合,可以快速实现对复杂曲线的绘制。

2.模型构建在3D计算机图形学中,Bezier曲面经常用作3D模型构建的基础。

对象为Bezier曲面的控制网格,其内部可由Bezier曲线组成。

通过控制点的移动,可以快速改变其表面曲率,实现3D模型快速构建。

3.路径动画路径动画是一种基于贝塞尔曲线的动画形式。

它指定了一个目标的路径,例如一个移动物体的运动轨迹,然后让目标沿着路径移动。

在游戏中,常常使用路径动画来为角色、弹道和粒子效果设置动画路径。

4.平滑编辑另一个应用Bezier曲线的领域是平滑编辑。

贝塞尔曲线 曲率

贝塞尔曲线 曲率

贝塞尔曲线曲率
贝塞尔曲线是一种数学曲线,由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪提出。

它可以用来描述平面或三维空间中的曲线形状。

贝塞尔曲线的曲率是指在曲线上某一点处的曲线弯曲程度。

贝塞尔曲线的曲率是通过计算曲线在该点处的切线和曲率圆的半径之比来确定的。

曲率圆是与曲线在该点处具有相同切线和曲率的圆。

如果曲线在该点处凸向外部,则曲率为正值;如果曲线在该点处凸向内部,则曲率为负值。

曲率的计算可以使用贝塞尔曲线的导数来实现。

根据贝塞尔曲线的定义,我们可以通过递归地求解贝塞尔曲线的控制点来计算其导数。

一种常用的方法是使用de Casteljau 算法,通过对曲线进行分割来逐步逼近所需点的导数。

需要注意的是,贝塞尔曲线的曲率是在每个曲线段上计算的。

因此,在连接多个贝塞尔曲线段时,每个曲线段的曲率可能不连续。

为了获得连续的曲线,可以使用G1连续或更高阶的曲线插值方法。

总之,贝塞尔曲线的曲率可以通过计算曲线在某一点处的切线和曲率圆的半径之比来确定,它描述了曲线在该点处的弯曲程度。

贝塞尔曲线和弧线的区别

贝塞尔曲线和弧线的区别

贝塞尔曲线和弧线的区别
贝塞尔曲线和弧线的主要区别在于它们的形状和数学定义。

贝塞尔曲线是一个二次参数曲线,由法国工程师Pierre Bézier 在20世纪70年代开发,用于描述复杂曲线的过程。

贝塞尔曲线的形状完全由控制点决定,通过调整控制点的位置和数量,可以生成各种复杂的曲线形状。

贝塞尔曲线在计算机图形学、动画、CAD等领域有广泛的应用。

弧线通常是指圆弧或者弧形线段。

在几何学中,弧线是圆的一部分,由一个点(称为弧线的中心或端点)和通过该点的两条射线组成。

弧线的长度等于圆的半径乘以弧所对的圆心角的大小。

因此,贝塞尔曲线和弧线的主要区别在于它们的形状和数学定义。

贝塞尔曲线是一种参数曲线,通过调整控制点来改变形状,而弧线则是圆的一部分,由一个端点和通过该点的两条射线组成。

贝塞尔曲线

贝塞尔曲线

8.4 Bezier曲面
利用Bezier曲线的性质,张量积形式的Bezier曲面的定 义可以如下定义。两组正交的Bezier曲线的控制顶点 可作为矩形网格。设Pij (i=0,…,n; j=0,…,m)为空间点列, 这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格, 其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的m×n次张量 积形式的Bezier曲线为
4、仿射不变性 Bezier曲线的形状和位置仅与控制点的位置有关。这 是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点 Pi(i=0,1,...,n)的位置有关,它不依赖坐标系的选择 5、凸包性 由于Bernstein多项式的性质, Bezier曲线落在控制点 的凸包内 6、交互能力 移动第k个结点,对Bezier曲线在t=k/n处的影响最大.
13 23
P03 P(u,1) P33
P02
P12
P22 P32
P(0,v)
P11
P21 P31
P(1,v)
P01 P10 P20
P(u,0) P00 P30
是k次Bernstein基函数。在一般实际应用中,n,m不大于4。 Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面。但是,其它许 多性质可推广到Bezier曲面。
根据上述定义, 1.Bezier曲面的几何位置依赖于控制顶点,而与坐标系 无关(几何不变性); 2.Bezier曲面有关于参数的对称性; 3.Bezier曲面有凸包性。 P P
证明:
k (1 − t ) Bk ,n (t ) = Cn t k (1 − t ) n+1−k =
n + 1 − k ( n + 1)! k t k (1 − t ) n+1−k = 1 − Bk ,n+1 (t ) n + 1 k!( n + 1 − k )! n +1

贝塞尔曲线的意义

贝塞尔曲线的意义

贝塞尔曲线的意义
答:贝塞尔曲线(Bézier curve)在计算机图形学中有着非常重要的应用,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。

它通过线段与节点组成,节点是可拖动的支点,线段像可伸缩的皮筋,一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,它也存在于一些比较成熟的位图软件中,如PhotoShop等。

此外,贝塞尔曲线的重要意义在于:它可以通过控制曲线上的四个点 起始点、终止点以及两个相互分离的中间点)来创造、编辑图形。

其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。

这条线是虚拟的,中间与贝塞尔曲线交叉,两端是控制端点。

移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率( 弯曲的程度);移动中间点( 也就是移动虚拟的控制线)时,贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。

贝塞尔曲线

贝塞尔曲线

详细内容定义贝塞尔曲线(B6zier curve),又称贝兹曲线或贝济埃曲线,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。

曲线的定义有四个点:起始点、终止点(也称锚点)以及两个相互分离的中间点,滑动两个中间点,贝塞尔曲线的形状会发生变化。

依据四个位置任意的点坐标可绘制出一条光滑曲线[1]。

对于N次的贝塞尔曲线:设Δbj=bj+1-bj时,有旋转矩阵M,使得:Δbj=MjΔb0i=0…,n-1当t∈[0,1]时,对于任意单位向量,矩阵M满足:则这条曲线是由一系列控制点bi定义的A级贝塞尔曲线。

此时,旋转矩阵M满足以下两个条件:1)矩阵MT+M-2I和MTM-I的特征值必均为非负。

这里I为一个单位矩阵。

2)矩阵M必映射到单位球体外的任一点。

即:M的奇异值δ1,δ2应不小于1。

若旋转矩阵M是由旋转角θ<π/2和一个尺度因子s组成,则满足下列条件:的矩阵M被称为A级矩阵。

由A级矩阵即可产生A级贝塞尔曲线。

特性贝塞尔曲线是一种非常自由的曲线,通过改变其控制点的位置和权重就能改变线条的形状。

相对于传统的直线和圆弧相组合来表达曲线的方式,这是一个巨大的提高。

汽车设计中的曲面形状比较复杂,直线和圆弧不能满足其形状变化的要求。

贝塞尔曲线非常自由,我们可以通过改变控制点来改变线条的形状,有着非常良好的交互性,非常适合汽车曲面设计[2]。

贝塞尔曲线数学原理①线性贝塞尔曲线。

给定两点P0、P,线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。

这条线由下式给出:B(t)=P0+(Pl—Po)t=(1-t)Po+tPl,t∈[0,1]且其等同于线性插值。

②二次方贝塞尔曲线。

给定三点Po、P、P:,二次方贝塞尔曲线由函数B(t)表示:B(t)=(1-t)2Po+2t(1-t)P1+tzp2,t∈[0,1]③三次方贝塞尔曲线。

Po、P、P、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。

曲线起始于P。

走向P,并从P2的方向来到3。

一般不会经过P,或P2,这两个点只是在那里提供方向资讯。

贝塞尔曲线 时间

贝塞尔曲线 时间

贝塞尔曲线时间
贝塞尔曲线是一种数学曲线,通常在二维图形应用程序中使用,通过它我们可以精确地描绘出所需的曲线形状。

该曲线由线段和节点组成,节点可以被视为支点,而线段则像可伸缩的皮筋。

在许多矢量图形软件中,如绘图工具上的钢笔工具就是用来创建贝塞尔曲线的。

贝塞尔曲线的时间参数t定义范围在[0,1],即t∈[0,1]。

这意味着曲线上的任何一点都可以表示为时间t的函数。

换句话说,给定一个特定的t值,我们就可以在曲线上找到一个对应的点。

反之,如果知道某个坐标存在于该贝塞尔曲线上,我们也可以通过一些计算方法来反推或计算出t值。

在实际应用中,贝塞尔曲线可能并不总是满足我们的需求。

例如,当两条贝塞尔曲线需要衔接时,可能会出现不平滑的情况。

在这种情况下,我们可以使用一种称为"分段贝塞尔曲线"的临时解决方案。

不过需要注意的是,两段曲线在衔接处的过渡是否平滑。

如果看起来不太自然,那么可能更好的方法是使用像NURBS 曲线这样的样条曲线。

样条曲线可以很容易地进行局部修改,并且在定义上保证了衔接处的平滑性。

例如,三次B样条曲线的每一截都可以表示为一段三次多项式曲线,而且在衔接处有相同的一阶导数和二阶导数。

贝塞尔曲线 坐标 算法

贝塞尔曲线 坐标 算法

贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线?贝塞尔曲线是一种数学函数,用于描述平滑的曲线形状。

它由两个或多个控制点组成,通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。

贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中,用于绘制平滑的曲线和路径。

2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量,贝塞尔曲线可以分为以下几类:•二次贝塞尔曲线:由两个控制点确定,路径为一条平滑弯曲的直线。

•三次贝塞尔曲线:由三个控制点确定,路径为一条平滑弯曲的曲线。

•高阶贝塞尔曲线:由四个或更多个控制点确定。

在本文中,我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。

3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。

要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标,可以使用以下公式:B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中,t的取值范围为0到1。

当t为0时,B(t)等于起始点P0;当t为1时,B(t)等于结束点P2。

3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。

要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标,可以使用以下公式:B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地,t的取值范围为0到1。

当t为0时,B(t)等于起始点P0;当t为1时,B(t)等于结束点P3。

4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100),一个控制点P1(200, 50),和一个结束点P2(300, 100)。

我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。

首先,我们需要确定曲线上的一系列点。

可以选择一个步长值,例如0.01,然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。

在这个例子中,t的取值范围为0到1,所以我们可以从0开始,每次增加0.01,直到达到1。

svg 贝塞尔曲线 方程

svg 贝塞尔曲线 方程

svg 贝塞尔曲线方程SVG贝塞尔曲线是一种在二维坐标系中表示平滑曲线的方法,它通过控制点来调整曲线的形状。

SVG贝塞尔曲线有两种类型:二次贝塞尔曲线(Quadratic Bezier Curve)和三次贝塞尔曲线(Cubic Bezier Curve)。

1. 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线是由两个控制点定义的,一个是起始点(Start Point),另一个是结束点(End Point)。

这两个点之间的线段被称为“手柄”,用于调整曲线的形状。

二次贝塞尔曲线的方程如下:B(t) = (1 - t)² * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t² * P2其中,t是一个介于0和1之间的参数,表示从起始点到结束点的相对位置;P0、P1和P2分别是起始点、中间点和结束点的坐标。

通过改变t的值,可以得到曲线上不同的点。

2. 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线是由三个控制点定义的,分别是起始点(Start Point)、中间点(Control Point)和结束点(End Point)。

这三个点之间的线段被称为“手柄”,用于调整曲线的形状。

三次贝塞尔曲线的方程如下:B(t) = (1 - t)³ * P0 + 3 * (1 - t)² * t * P1 + 3 * (1 - t) * t² * P2 + t³ * P3其中,t是一个介于0和1之间的参数,表示从起始点到结束点的相对位置;P0、P1、P2和P3分别是起始点、中间点、结束点和另一个控制点的坐标。

通过改变t的值,可以得到曲线上不同的点。

除了二次和三次贝塞尔曲线外,SVG还支持更高阶的贝塞尔曲线,如四次、五次等。

这些高阶贝塞尔曲线的方程可以通过递归或矩阵运算得到。

总之,SVG中的贝塞尔曲线是一种强大的绘图工具,通过控制点的位置和切线方向,可以生成各种平滑的曲线。

在实际应用中,可以根据需要选择合适的贝塞尔曲线类型和阶数,以满足不同的绘图需求。

计算机图形学第7讲贝塞尔曲线

计算机图形学第7讲贝塞尔曲线

并满足方程 Q"(0) 2P"(1) P'(1)。
我们将 、 Q"(0) P"(1) 和 P'(1) ,Q0 Pn 、 Q1 Q2 (Pn Pn1) 代入,并整理,
可以得到:
Q2
2
2
n 1
1
Pn
2 2
2
n
1
A([P(t)] A n Pi Bi,n (t) A[Pi ]Bi,n(t)
i0
即在仿射变换下,的形式不变。
计算机图形学
3.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
计算Bezier曲线上的点,可用Bezier曲线方程,但使
用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
n2
c.)二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时,P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时,P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明:2阶导矢只与相邻的3个顶点有关,事实上,
r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关,与更远点无关。
(i 0,1,..., n)
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernsteini t i (1 t)ni
(Cni 1
C i1 n1
)t
i
(1
t
)
ni
(1 t)Cni 1t i (1 t)(n1)i tCni11t i1(1 t)(n1)(i1)
计算机图形学
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
P1
P11

贝塞尔曲线 c++

贝塞尔曲线 c++

贝塞尔曲线 c++贝塞尔曲线是计算机图形学领域中常用的一种曲线,它可以用来描述平面或三维空间中的曲线路径。

其优点是可以通过少量的控制点来描述出复杂的曲线形状,并且可以被用于曲线的插值和逼近。

在数学上,贝塞尔曲线是由一系列点和辅助点确定的一条曲线。

这些点通常被称为控制点,辅助点用于确定曲线的形状。

贝塞尔曲线通过这些控制点来实现平滑的曲线过渡,它的理论基础是贝塞尔曲线的几何构造。

贝塞尔曲线的数学描述如下:B(t) = Σ(i=0 to n) Cn,i (1-t)n-i ti其中,B(t) 是贝塞尔曲线在参数 t 处的坐标。

Cn,i 是 binomial cofficient,计算公式为:其中,n 是控制点的数量减一,i 是在曲线上的特定位置,t 是介于 0 和 1 之间的参数。

贝塞尔曲线的实现需要在程序中对控制点进行存储,通常可以使用三维坐标系来描述控制点的位置。

在 C++ 中可以用如下结构体来描述控制点:struct Point {float x, y, z;};控制点的坐标可以通过用户输入或者程序生成的方式进行设置。

为了计算贝塞尔曲线的坐标,可以设置一个 t 值范围,将其分成若干个时间片段,依次计算每个点的坐标值,并将其连成曲线。

C++ 代码如下:#include<graphics.h>#include<conio.h>// 计算阶乘函数int factorial(int n) {if (n == 1 || n == 0)return 1;elsereturn n * factorial(n-1);}// 计算贝塞尔曲线的坐标Point calculateBezier(Point* controlPoints, float t, int n) {Point point = {0, 0, 0};for (int i = 0; i <= n; i++) {float bernstein = Bernstein(n, i, t);point.x += controlPoints[i].x * bernstein;point.y += controlPoints[i].y * bernstein;point.z += controlPoints[i].z * bernstein;}return point;}// 绘制控制点for (int i = 0; i <= n; i++)circle(controlPoints[i].x, controlPoints[i].y, 2);getch();closegraph();return 0;}这段程序将创建一个二维图形窗口,并在其中绘制用控制点定义的贝塞尔曲线。

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贝塞尔曲线
20 世纪 70 年代, 雷诺汽车公司的 Pierre Bezier 和雪铁龙汽车公司的 Paul de Casteljau 各自独 立地推导出了 CAD/CAM 中广泛应用的贝塞尔曲线,这些参数多项式是一类逼近样条。 与贝塞尔曲线紧密相关的是伯恩斯坦多项式,这里将 Bernstein 多项式记作 Bi ,n ( x) ,该多项 式定义如下:
n Bi ,n ( x) xi (1 x)ni ,0 x 1 i
其中 i=0,1,2,…n。 在 Mathematica 中构造该函数可以使用语句: Bernstein[x_, i_, n_]: = ExpandAll[Binomial[������, ������] ∗ ������^������ ∗ (1 − ������)^(������ − ������)] Casteljau 最开始是使用递归方法隐式地定义的,该递推关系如下:
P( x) PB i i , n ( x)
i 0
n(1Βιβλιοθήκη 7)该公式中的控制点是表示平面中的 x 和 y 坐标的有序对。x 坐标和 y 坐标可单独由该式推导 出。 例如求控制点(1,2)、(2,-3)、(3,1)、(4,-2)所表出的贝塞尔曲线,则:
Px 1* B0,3 (t ) 2* B1,3 (t ) 3* B2,3 (t ) 4* B3,3 (t ) Py 2* B0,3 (t ) 3* B1,3 (t ) 1* B2,3 (t ) 2* B3,3 (t )
除此之外,还有其他一些性质: 非负性 多项式在[0,1]上是非负的,这个结论是显然的,对于四阶伯恩斯坦多项式,函数图形如下:
1.0
(1.3)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
规范性
B
i 0
n
i ,n
( x) 1
(1.4)
原因很简单,对于二项式:
n n ( x y ) n x i y n i i 0 i
(1.5)
令 x=x,y=1-x,代入得证。 导数
d Bi ,n ( x) n( Bi 1,n 1 ( x) Bi ,n 1 ( x)) dx
(1.6)
基 n 阶伯恩斯坦多项式组成阶数小于等于 n 的所有多项式的一个基空间。 根据该性质, 所有 n 阶多项式都可以被 n 阶伯恩斯坦多项式线性表示。 如果给定一个控制点 集 P,其中 Pi=(xi,yi),则贝塞尔曲线被定义为:
k
yt' -15+54t 48t 2 | |t 0 5 t 0 xt' 3
k 3 2 5 2 1
(1.11)
而:P0=(1,2),P1=(2,-3),所以连线斜率为: (1.12)
展开有:
(1.8)
Px 1 3t Py 2 15t 27t 2 16t 3 其中0 t 1
在 Mathematica 中绘制图形命令: ls = ListLinePlot[{{1, 2}, {2, -3}, {3, 1}, {4, -2}}, Axes -> False]; g = ParametricPlot[{1 + 3 t, 2 - 15 t + 27 t^2 - 16 t^3}, {t, 0, 1}]; Show[ls, g] 绘制图形如下: (1.9)
显然控制点集的第一个点和最后一个点就是贝塞尔曲线的端点。 另外一个性质是,贝塞尔曲线在端点的切线,是平行于过端点和相邻控制点的连线,即有:
P' (0) n( P 1P 0) P' (1) n( Pn Pn1 )
对于前面的一个例子,可以检验一下,在 t=0 时,曲线的斜率是:
(1.10)
(1.1)
B0,0 ( x) 1 Bi ,n ( x) (1 x) Bi ,n1 ( x) xBi 1,n1 ( x)
其中 i=1,2,3,…n-1。 通常,n 阶伯恩斯坦多项式一共有(n+1)个,例如四阶的伯恩斯坦多项式为:
(1.2)
B0,4 ( x) 1 4 x 6 x 2 4 x3 x 4 B1,4 ( x) 4 x 12 x 2 12 x3 4 x 4 B2,4 ( x) 6 x 2 12 x3 6 x 4 B3,4 ( x) 4 x3 4 x 4 B4,4 ( x) x 4
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