4-1 第一节 频率特性及其几何表示法
38-表41二阶滤波器的标准传递函数,零、极点分布以及幅频特性示意图
[ R ]/ 1k / 51%
10 k
12 V
74 1
10 k
12 V
图4—29 50Hz陷波器的幅频特性及输入输出波形
4—2—5
R
全通滤波器的幅频特性
是平行于频率轴的直线， 所以它对频率没有选择性。
R －
人们主要利用其相位频率 特性，作为相位校正电路
ui
＋
uo
或相位均衡电路。图4—
R1
C
30所示，是一个一阶全通
滤波器或移相器，其传递 图4—30一阶全通滤波器(移相器)电路
函数为
Auf
(s)
1 1
sR1C sR1C
Auf ( j ) 1
( j ) 2 arctan RC
(4—40) (4—41a)
(4—41b)
A (ω ) 1
0 ω
(ω )
0
1 /R 1 C
R1
C4
R5
ui
－
R
C
2
3
A ＋
uo
Rp
(a )
图4—25带通滤波器
| A(jω) |
| A(jω) |
A(ω0) 0.707A(ω0)
R2
0
ω0
ω BW＝ ω0
0
ω01 ω02 ω03
ω
Q
(b)
(c)
图4—25 (a)电路；(b)幅频特性；(c)调节R2,幅频特性移动
4.3.4 带阻滤波电路(BEF)
带阻滤波器。因为
Ao s
Au
f
(s)
1
s2
Q
o s
Q
o2
系统的频率特性分析
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系 统
w0
w w
Im
w 0
w 0 Re
I型系 统
w0
w 0 型系统
w 基准点 ( 1 , L ( 1 ) 2l0 g K ) 第一转折频率之左
斜率 20 v dBdec
的特性及其延长线
⑷ 叠加作图
一阶 二阶
惯性环节 复合微分 振荡环节 复合微分
-20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec
⑸ 修正 根据误差曲线修正
① L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)
(1 w2 )1 1 ( 4 5 w2)jw (1 5 (1 w 2)j2 1 w ( 2 4 )w2)
G (j0) 90G (j)0270
渐近线： RG e(j[0) ] 15
与实轴交点：Im G (j[w) ]0 w1 20.707
15
10
RG (e j0 .[ 7) 0 ]7
(1 0 .5 )1 ( 4 0 .5 ) 3
对数幅频特性记为 对数相频特性记为
单位为分贝（dB) 单位为弧度（rad)
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135
1第一节频率特性的基本概念newPPT课件
Rmቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
() G( j)
9/15/2020
8
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信
号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响
应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了
A()|G(j)|倍，相位移动了() G(j)。 A() 和
() 都是频率的函数。
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9
定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Ym A()|G(j)|
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t，即稳态时：
e p 1 t 0 ， e p 2 t 0 ， ， e p n t 0
ys(t)kc1ejtkc2ejt
式中，kc1, kc2 分别为：
kc1Y(s)s(j)|sjG(s)(sR m j(s) s(jj ))sjRmG2( jj)
kc2Y(s)s(j)|sjG(s)(sR m j(s) s(jj ))sjRmG 2(jj)
Y(j )Ymej(yx)A ( )ej() R (j ) R m
可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比。
表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学 关系。是频率域中的数学模型。
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12
[结论]：当传递函数中的复变量s用jw 代替时，传递函数就转变
为频率特性。反之亦然。
y s( t) k c 1 e j t k c 2 e j t A ()R m e j( t ( )2 )j e j( t ( ))
A () R m si t n ()( Y ) m si t n ()()
式中：Rm 、Ym分别为输入、输出信号的幅值。
（完整版）自动控制原理试题答案
（完整版）⾃动控制原理试题答案∑??=i i i s s Q s H )()(1)(zidpngkongzhi1 闭环系统（或反馈系统）的特征：采⽤负反馈，系统的被控变量对控制作⽤有直接影响，即被控变量对⾃⼰有控制作⽤。
2 典型闭环系统的功能框图。
⾃动控制在没有⼈直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程按照预定的规律运⾏。
⾃动控制系统由控制器和被控对象组成，能够实现⾃动控制任务的系统。
被控制量在控制系统中．按规定的任务需要加以控制的物理量。
控制量作为被控制量的控制指令⽽加给系统的输⼊星．也称控制输⼊。
扰动量⼲扰或破坏系统按预定规律运⾏的输⼊量，也称扰动输⼊或⼲扰掐⼊。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输⼊端，与输⼊信号相⽐较。
反送到输⼊端的信号称为反馈信号。
负反馈反馈信号与输⼈信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差⽤以消除偏差。
将系统的输出信号引回插⼊端，与输⼊信号相减，形成偏差信号。
然后根据偏差信号产⽣相应的控制作⽤，⼒图消除或减少偏差的过程。
开环控制系统系统的输⼊和输出之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作⽤没有影响，这样的系统称为开环控制系统。
开环控制⼜分为⽆扰动补偿和有扰动补偿两种。
闭环控制系统凡是系统输出端与输⼊端存在反馈回路，即输出量对控制作⽤有直接影响的系统，叫作闭环控制系统。
⾃动控制原理课程中所讨论的主要是闭环负反馈控制系统。
复合控制系统复合控制系统是⼀种将开环控制和闭环控制结合在⼀起的控制系统。
它在闭环控制的基础上，⽤开环⽅式提供⼀个控制输⼊信号或扰动输⼊信号的顺馈通道，⽤以提⾼系统的精度。
⾃动控制系统组成闭环负反馈控制系统的典型结构如图1．2所⽰。
组成⼀个⾃动控制系统通常包括以下基本元件．给定元件给出与被控制量希望位相对应的控制输⼊信号(给定信号)，这个控制输⼊信号的量纲要与主反馈信号的量纲相同。
给定元件通常不在闭环回路中。
2．测量元件测量元件也叫传感器，⽤于测量被控制量，产⽣与被控制量有⼀定函数关系的信号。
频率特性的几种表示方法
在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。
极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
Monday, August 05, 2019
2
一、极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线）
Monday, August 05, 2019
6
第二节 频率特性的几种表示方法
Monday, August 05, 2019
1
频率特性可以写成复数形式：G( j) P() jQ() ，也可 以写成指数形式：G( j) | G( j) | G( j)。其中，P() 为实 频特性，Q()为虚频特性；| G( j) |为幅频特性，G( j) 为相频
Monday, August 05, 2019
4
纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以log A()或20log A() 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将log A() 或 20log A() 值标注在纵坐标上。
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
0 由于 | G( j) |是偶函数， 所以当 从 0 和 0变化时，奈 魁斯特曲线对称于实 轴。
Monday, August 05, 2019
3
二、对数频率特性曲线（又称波德图）
它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。
波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：
横坐标分度：它是以频率 的对数值 log 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
机械控制工程之频率特性分析
制作：华中科技大学
1.典型环节的Nyquist图
(4)惯性环节
传递函数： G(s) K
Ts 1
频率特性：G( j )
K
K
jT 1 1 T 2 2
KT j 1 T 2 2
幅频： G( j ) K
1 T 2 2
实频：U (
)
1
K
T 2
2
相频： G(j)=－arctgT
3.频率特性的求法
(1)根据频率响应来求：首先输入正弦信号，求系统的稳态输出， 根据频率特性的定义写出频率特性。
(2)根据传递函数来求：将传递函数中的s换为jω来求。 (3)实验方法
制作：华中科技大学
(1)根据频率响应来求：例（1）
例1中，稳态输出（频率响应）xo(t) XiK sin(t arctgT) 1 T 2 2
)
＝0，U()=－KT，V()=－， G(j)=，G(j)=－90ｏ
＝，U()=0，V()=0， G(j)=0，G(j)=－180ｏ
积分环节改变了起始点（低频段）
制作：华中科技大学
例2 系统的传递函数
K G(s) s2 (1 T1s)(1 T2s)
解 系统的频率特性
G( j )
(
j )2 1
则系统的频率特性为
A( )
Xo ( )
Xi
K
1 T 2 2
() arctgT
或
K
e jarctgT
1 T 2 2
(2)传递函数→频率特性
例1中，系统的传递函数 G(s) K
Ts 1
G( j) G(s)
K
K
e jarctgT
4.2.14.2频率特性的几何表示法
对数频率特性曲线——伯德图
对数相频特性曲线
1 横坐标为的对数lg 分度 2 纵坐标为()
频率每变化十倍，称为十倍频程，记作dec。
对数频率特性曲线——伯德图
对数幅频特性 横坐标表示为：ω 为方便只表示
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω)
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
（3）在一张图上绘制低、中、高频段特 性，对系40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
-20dB/dec
φ (ω )
单位为 dB
0
0.1
1
-90
10 ω
对数相频特性 -180
伯德图的优点
（1）对数运算，将串联环节的幅值相 乘转化为幅值相加的运算
（2）这种方法建立在渐近线的基础上， 简化了幅频特性的绘制过程
频率特性的几何表示法
频率特性法是一种图解分析法，常见的频率 特性曲线有两种：
1 幅相频率特性曲线
2 对数频率特性曲线
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
特点： 以频率ω为变量，将频率特性的幅频特性A(ω)
和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。
Im
= 0 Re
=0
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
作图方法： 取=0和=两点，必要时可在0< < 之间选取
一些特殊点，算出这些点处的幅频值和相频值，然后在 幅相平面上做出这些点，并用光滑的曲线连接起来。
Im
= 0 Re
=0
对数频率特性曲线——伯德图
4-2频率特性图形表示
1 ) 2
ξ
= −90 + arcsin
0
ξ
1−ξ 2
振荡环节的幅值特性曲线如图 所示。在 0 <ω <ωr 的范 围内，随着ω的增加， M(ω) 缓慢增大；当 ω =ωr 时， (ω)达到 M 最大值 Mr ；当 ω > ωr时，输出幅值衰减很快。 当阻尼比 ξ >1 时，此 时振荡环节可等效成两个 不同时间常数的惯性环节 的串联， 即
2
Tω = v(ω) 2 2 1+T ω
则有
1 2 u(ω) − + [v(ω)] 2 1 1 −Tω 1 = − + = 2 2 2 2 2 1+T ω 1+T ω 2
2 2 2
这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 2 ,0 ，半径为 。且 2 当ω由 0 →∞时，∠G( jω) 由 0° → −90° ，说明惯性环节的频率特 性在 [G( jω)] 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。惯性环 节是一个低通滤波环节 相位滞后环节 低通滤波环节和相位滞后环节 低通滤波环节 相位滞后环节。在低频范围内，对 输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内， 幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为90゜ 。
K 即 G(s) = 2 2 ，其对应频率特性 G( jω) 的起点 为 T s + 2ξTs +1
G( j0) = K, ∠G( j0) = 00
(ω = 0)
（五） 一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为
G(s) = τs +1
其中τ为微分时间常数、1为比例项因子，由于实际的物理系 理想微分环节或纯微分环节（即不含比例项）是不存在的， 统中理想微分环节或纯微分环节 理想微分环节或纯微分环节 因此用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。
自动控制原理总复习资料解答题
闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路,即输出量对控制作用有直接影响的系统,叫作闭环控制系统。
自动控制原理课程中所讨பைடு நூலகம்的主要是闭环负反馈控制系统。
1。3对自动控制系统的基本要求
1什么是自动控制：所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置（控制器)，使机器、设备或生产过程（被控对象）的某个工作状态或参数（被控变量)自动地按照预定规律运行。
2自动控制系统是指由控制装置与被控对象结合起来的，能够对被控对象的一些物理量进行自动控制的一个有机整体
控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。
扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量,也称扰动输入或干扰掐入。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。反送到输入端的信号称为反馈信号.
负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。
∞
K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
输入
类型
0型
∞
∞
Ⅰ型
0
∞
Ⅱ型
0
0
第四章：知识点
1、根轨迹中，开环传递函数G（s)H(s)的标准形式是
2、根轨迹方程是
．
相角条件：绘制根轨迹的充要条件
幅值条件:
3、根轨迹法的绘制规则。
4、能用根轨迹法分析系统的主要性能，掌握闭环主导极点与动态性能指标之间的关系.能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。
控制工程基础第四章频率特性分析
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))
频率特性的几种表示方法
Monday, July 06, 2020
1
频率特性可以写成复数形式：G( j) P() jQ() ，也可 以写成指数形式：G( j) | G( j) | G( j)。其中，P() 为实 频特性，Q()为虚频特性；| G( j) |为幅频特性，G( j) 为相频
特性。
Q( )
A( ) ( )
P( )
G(s)
s2
s 1 s 1
根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
0 由于 | G( j) |是偶函数， 所以当 从 0 和0 变化时，乃奎 斯特曲线对称于实轴。
Monday, July 06, 2020
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20 log(幅值)
幅值 1
A( )
增益 0
1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 2 4 6 8 10 15 20
4
二、对数频率特性曲线（又称波德图）
它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。
波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：
横坐标分度：它是以频率 的对数值 log 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
控制系统的频率特性
相位的单位采用度或弧度来表示。 ➢对数幅相特性曲线：Nichols图，对数幅相图，复合坐标图
横坐标为相频特性，采用度或弧度来表示。
纵坐标为幅频特性，采用分贝（dB）来表示。
例：一般系统的传递函数和频率特性
G(s)
b0s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
j0
系统的输出为
Y (s)
(s
p1 )( s
M (s) p2 )(s
pn )
X s2 2
(s
M (s) p1)(s p2 )(s
pn )
(s
X j)(s
j)
稳定系统
n
Y(s)
Ai
A
A
i1 s pi s j s j
A, A 和Ai (i 1,2,n)
待定系数
n
y(t) Ae jt A e jt Aie pit i 1
G( j) G( j) e j()
G( j) G( j) e j() G( j) e j()
式中:
(
)
G(
j
)
arctg
Im Re
[G( [G(
j j
)] )]
将待定系数 A, A 代入式 ys (t) Ae jt A e jt 中,有:
ys (t)
X 2j
G( j) e j () e jt
采用MATLAB绘制比例环节的极坐标图：
K=1; G=tf([K],[1]); nyquist(G,'*'); axis([-2,2,-2,2]);
X G( j) e j () e jt
2j
X G( j ) e j (t ( )) e j (t ( ))
频率特性的几种表示方法1.ppt
Thursday, April 25, 2019
4
二、对数频率特性曲线（又称波德图）
它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。
波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：
横坐标分度：它是以频率 的对数值 log 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
特性。
在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设 计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。
极坐标频率特性曲线（又称乃奎斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图） 对rsday, April 25, 2019
2
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
Q( )
A( ) ( )
P( )
G(s)
s2
s 1 s 1
根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
0 由于 | G( j) |是偶函数， 所以当 从 0 和0 变化时，乃奎 斯特曲线对称于实轴。
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
log
由于 以对数分度，所以零频率线在 处。
Thursday, April 25, 2019
5
纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以log A()或20log A() 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将log A() 或 20log A() 值标注在纵坐标上。
Thursday, April 25, 2019
频率特性图形表示
放大环节的传递函数为 G(s) K
其对应的频率特性是 G( j) K
其幅频特性和相频特性分别为
G( j) K
G( j) 0
频率特性如图所示。 由图可看出放大环节
的幅频特性为常数K，相频特 性等于零度，它们都与频率无 关。理想的放大环节能够无失 真和无滞后地复现输入信号。
Im
.K
Re
0
0
图5-2 放大环节的频率响应
面上是正实轴下方的半个圆周，证明如下：
G( j)
1
jT
1
1
1
T 2
2
T j 1 T 2 2
令
ReG
(
j
)
1
1
T 2
2
u()
则有
ImG
(
j
)
1
T T 2
2
v()
u( )
12 2
v( )2
1
1
T 2
2
1
2
2
1
T T 2
2
2
1
2
2
这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 1 ,0 ，半径为 1 。且
度 线 90o 性 45o 分0
0.01 0.1 -45o
-90o
对数幅频特性
1
10
100
对数相频特性
1
10
100
用伯德图分析系统有如下优点：
（1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；
（2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
1
Ts 1
Ts 1
以上三者的模相等，都是 G( jw)
第四章频率特性
第四章控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统，是一种经典方法。
问题：什么是频率特性，如何描述？如何利用频率特性分析控制系统？5.1 频率特性5.1.1频率特性的基本概念我们知道，系统（包括开环系统和闭环系统）对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。
频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系。
设系统的传递函数为又设其中：的振幅为常值：正弦函数的角频率有一般地A（s），B（s）为s的多项式;为的极点，包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。
（设系统无重极点）其中，待定，是的共扼复数，为待定系数。
由拉氏反变换可得：则输出信号的稳态分量：（对于稳定的系统具有负实部）注：如果系统中含有k个重极点，则在中将会出现象（j=0，1，2，……，k-1）这样一些项，然而对于稳定的系统来说，由于具有负实部，所以各项都将随着趋于无穷大而趋于零。
因此具有重极点的稳定系统的稳态分量具有和上式相同的形式。
可按下式计算：（由留数公式）及其中为一复数，可表示为其中，模幅角同样可以证明，是的偶函数是的奇函数证明：设式中则有是的偶函数是的奇函数稳定的线性定常系统在正弦输入下的稳态响应为：可见：线性定常系统在正弦信作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。
其振幅是输入信号振幅R的倍，在相位上，正弦输出相对于输入的相移，同样是的函数，对确定的来说，振幅C及相移将是确定的。
综上：在正弦输入信号的作用下，线性定常系统的输出信号的稳态分量是和正弦输入信号同频率的正弦函数，其振幅C与输入正弦的振幅R 的比值C/R=是角频率的函数。
它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性，定义这种振幅比依赖于频率的函数为系统的幅频特性。
相对于输入信号r(t)的相移也是的函数，是系统输出信号的稳态分量对正弦输入信号r(t)的相移为该系统的相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前的特性。
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第四章 系统的频率特性分析
第一节 频率特性及其几何表示法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性，准确性和快速性。
根据我们前面介绍的微分方程和传递函数，用拉式变换求解时域函数的方法，显然能完成这一任务。
但
其计算复杂，时域分析法在实际应用时常会遇到一些困难。
1、系统特征方程的次数比较高时，求解困难而且费时。
2、难以研究系统参数和结构变化时对系统性能的影响。
3、当系统中某些元、部件的微分方程难以列出时，整个系统的性能分析无法进行。
因此工程上便出现了频率响应法和根轨迹法，最常用的是频率响应法。
频率响应法能够弥补以上的缺点，而且它本身有着明显的物理意义，即可以通过实验来求得，是工程上研究自动控制系统性能的常用的方法之一。
一、频率特性的基本概念
以电路为例，由复阻抗概念得；
RC
()G s CS
当时
sin i u R w =t ()22i Rw U s S w =+
()()()()()()
()()
22
123
1111o i Rw
U s G s U s TS S w Rw
TS S jw S jw K K
K TS S jw S jw ⇒==⋅++=+−+=+++−+式1 2
122211S T Rw RwT
K S w T w ==⋅=++2
()()21122S jw
S jw Rw K TS S jw R R G S G jw j j ===⋅++=⋅=
()()31122S jw
S jw Rw K TS S jw R R G S G jw j j =−=−=⋅+−⎛⎞=⋅−=−⎜⎟⎝⎠−
又： ()()G jw G jw =−
()(G jw G jw )∠=−∠−
则： ()()()j G jw G jw G jw e ∠=
()()()()()j G jw j G jw G jw G jw e
G jw e ∠−−∠−=−=
将其代入式1 ()()()()()()()
22111212j G jw o j G jw RwT T R U s G jw e T w TS j S jw R G jw e j S jw ∠−∠=⋅+⋅++−−⋅+
()()()()()()()()()1221221
221212sin 1t j G jw j G jw jw t jw t T o j w t G jw j w t G jw t T t
T R w T R u t e G jw e e e e T w j R w T e e
e RG jw T w j R w T e RG jw w t G jw T w −∠−∠−⎡⎤⎡
⎤+∠−+∠⎣⎦⎣⎦−−⎡⎤=+⋅−⎣⎦+⎡⎤−=+⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=+⋅+∠⎣⎦
+
当t 时，前项趋于0，故有稳态值： →∞()()()sin oss U t R G jw wt G jw ⎡⎤=⋅+∠⎣⎦
以上推证方法也适用于一般的稳定系统。
也就是说对于一般的系统，设传递函数为，则当输入量为()G s ()sin r t R wt =时，也同样有稳态值；
()()()sin ss C t R G jw wt G jw ⎡⎤=⋅+∠⎣⎦
即输入量为正弦函数时，输出量的稳态值为同频率的正弦函数，只不过幅值和幅角有所变化而已。
工程上：当输入量为正弦函数时，定义 ()()()
R G jw R
G jw A w ====输出量的稳态模输入量的模幅频特性相频特性 ()()(wt G jw wt G jw w =−==+∠−=∠=Φ输出量的稳态幅角输入量的幅角相位差)w
可见系统的幅频特性和相频特性均是频率的函数，两者合称为系统的频率特性。
复变函数()()()j G jw G jw G jw e ∠=完整的描述了输出量的幅值与幅角随频率变化的规律，用它完全可以同时表征上述幅频特性和相频特性，故也称为系统的频率特性。
因()()s jw G jw G s ==，所以把()G jw 称为
系统的频率传递函数（或正弦、谐波传递函数），对余弦函数也同理。
二、几何表示法
由于()G jw 具有不同的数学表达式
()()()
()()()()()()j G jw j w e m G jw G jw e
A w e R G jw jI G jw u w jv w ∠Φ==⋅⎡⎤⎡=+⎤⎣⎦⎣=+⎦
)
因此可以用不同的几何曲线来表示频率特性。
1、、(A w ()w Φ曲线
为自变量，通常用横坐标轴示之，纵
w
cos u A φ= sin v A φ=
2、幅相特性曲线（乃奎斯特曲线或极坐标图）
成的曲线。
3、对数频率特性曲线（伯德图）
w 为自变量，以常用对数刻度标注在横坐标上；
纵坐标以()()20lg db L w G j =w 均匀刻度得到对数幅频特性曲线；
纵坐标以()()w G jw φ=∠均匀刻度构成对数相频特性曲线。
4、对数幅相特性曲线（尼柯尔斯曲线或增益—相位图）
横相角(w)
φ；纵坐标用对数幅频特性曲线的幅值()
w
L w。
图中为参变量隐含在曲线的各点上。
工程上最常用的是乃氏曲线和伯德图。