实验五人寿保险费额计算问题

二、实验目的 本实验主要涉及概率论，利用概率论中的期望、 本实验主要涉及概率论，利用概率论中的期望、 方差与中心极限定理以及人寿保险等相关知识， 方差与中心极限定理以及人寿保险等相关知识， 给出了计算人寿保险费的一些方法。 给出了计算人寿保险费的一些方法。 三、预备知识
1．概率论，利用概率论中的期望、方差与中心 概率论，利用概率论中的期望、 极限定理。 极限定理。 人寿保险等相关知识。 2. 人寿保险等相关知识。
（1）设年缴保费在整个生存期自契约成立开始 每年年初缴付，保费在死亡那年的年末赔付， 每年年初缴付，保费在死亡那年的年末赔付，试 计算年缴保费以及保险公司亏损的变易程度。 计算年缴保费以及保险公司亏损的变易程度。 假如有100份这种相互独立的保单， 100份这种相互独立的保单 （2）假如有100份这种相互独立的保单，确定年 缴保费的近似值，使得总盈利的概率为0.95 缴保费的近似值，使得总盈利的概率为0.95 即亏损为正的概率等于0.05 0.05）。 （即亏损为正的概率等于0.05）。 设年利率为常数6% 6%， 设年利率为常数6%，计算中所用数据以所附示例 生命表为依据。 生命表为依据。
k +1
••
) = Px E ( a k +1| ) = Px ⋅ a x
年保费精算现值
••
••
Px ，
1 = Px ⋅ ∑ a k +1| ⋅k | q x = Px (1 − Ax ) d k =0
∞ ••
是给定的正数， L>0的概率不超 原则 2 设ε是给定的正数，由L>0的概率不超 过ε，即按 P(L>0)<ε确定一个最小的 P(L>0)<ε确定一个最小的
s ′( x + t ) =− s( x + t )
代入趸缴纯保费， ∞ 代入趸缴纯保费，则表示为
t 0
Ax = E ( Z ) = ∫ ν ⋅ g (t )dt = ∫ ν t ⋅t p x ⋅ µ x +t dt
0
∞
它依赖于被保险人的剩余寿命T(t)的概率密度函 它依赖于被保险人的剩余寿命T(t)的概率密度函 T(t) 数g(t)= t p x ⋅ µ x +t 而关于T(t)的概率分布的信息， T(t)的概率分布的信息 而关于T(t)的概率分布的信息，通常来自于离散 形式的生命表（ 形式的生命表（生命表是利用概率统计方法制定 的表格形式的生存模型）。因此，在寿险实践中， ）。因此 的表格形式的生存模型）。因此，在寿险实践中， 一般使用离散型随机变量。 一般使用离散型随机变量。当死亡效力为常数 µ ，利力 也为常数， δ 也为常数，可以计算出单位保费 年定期寿险、终身寿险和延期m 的n年定期寿险、终身寿险和延期m年终身寿险 的净趸缴保费。 的净趸缴保费。
可以认为T(x)是连续型随机变量。 可以认为T(x)是连续型随机变量。到保单签发时的利息贴现因 称为贴现函数 贴现函数. 子，称为贴现函数 是赔付的给付金额，称为受益函数 受益函数。 bt 是赔付的给付金额，称为受益函数。假定利率 1 为常数,则 为常数 则 常数， bt =常数，年末受益赔付金额的现值为 z t = btν 的一个取值。 它可以看作是随机变量 Z = bTν 的一个取值。
F ( x + t ) − F ( x) t q x = P (T ( x ) ≤ t ) = P ( x ≤ X ≤ x + t | X > x ) = 1 − F ( x) s ( x) − s ( x + t ) s( x + t ) = = 1− s ( x) s( x)
s( x + t ) 2） t p x = 1 − t q x = P(T ( x) > t ) = s( x) =
现值的概念如下： 现值的概念如下： 若投保额为1,年利率为i,1年末， 1,年利率为i,1年末 若投保额为1,年利率为i,1年末，本利和为 2 两年末， 1＋i。两年末，本利和按复利计算为 (1 + i ) k 如此继续下去， 年末， 如此继续下去，第k年末，本利总额为 (1 + i) 现提出相反的问题：如果要使得 年未的本利和 现提出相反的问题：如果要使得1年未的本利和 1 为1，现在应该投资多少？显然为 1 + i ，现在应该投资多少？ 1 称为贴现因子 贴现因子, 记 ν = 1 + i 称为贴现因子 类似地，要使得在t年末的积累为1 类似地，要使得在t年末的积累为1，现时的投 t 资值应为 ν t = 1 称为t年末支付1的现值。 称为t年末支付1的现值。
Px
。
2.利用上述两个原则解决： 2.利用上述两个原则解决： 利用上述两个原则解决 (1) 确定年缴保费以及保险公司亏损的变易程 度。 设有100份这种相互独立的保单， 100份这种相互独立的保单 (2) 设有100份这种相互独立的保单，确定年缴 保费的近似值，使得总盈利的概率为0.95 保费的近似值，使得总盈利的概率为0.95 即亏损为正的概率等于0.05 0.05）。 （即亏损为正的概率等于0.05）。 设年利率为常数6% 6%， 设年利率为常数6%，计算中所用数据以所附 示例生命表为依据。 示例生命表为依据。
T
ν t ≡ ν t , 其中ν =
1+ i
,在终身人寿保险中， 在终身人寿保险中， 在终身人寿保险中
t
在寿险实践中，通常取Z的期望E(Z)， 在寿险实践中，通常取Z的期望E(Z)，即平均值作 E(Z) 为赔付为1单位的现值， 为赔付为1单位的现值，相应的趸缴纯保费记为 Ax 则
Ax = E ( Z ) = ∫ v g (t )dt
t 0
∞
其中g(t)是T的概率密度函数，在寿险理论中使 其中g(t)是 的概率密度函数， g(t) 用的符号与概率论中有所不同， 用的符号与概率论中有所不同，下面是寿险中常 用的概念和符号，本实验采用的都是精算数学中 用的概念和符号， 的通用符号： 的通用符号：
1)
t
q x = P(T ( x) ≤ t ), t ≥ 0 ,即x岁的人在以后的t年内 岁的人在以后的t
p x =1 p x , q x =1 q x , t| q x = t|1 q x
4)
P ( x < X ≤ x + ∆x | X > x) F ′( x) s ′( x) µ x = lim = =− ∆x →0 + 0 1 − F ( x) s ( x) ∆x
称之为死亡效力（ 瞬时死亡率）。由积分， 称之为死亡效力（或瞬时死亡率）。由积分， 死亡效力 ）。由积分
1 + i
在利息理论中，还称满足eδ=1+i的常数δ为与i 在利息理论中，还称满足e =1+i的常数δ为与i 的常数 等价的利息效力 或称利力 利息效力（ 利力）。 等价的利息效力（或称利力）。 由于给付的不确定和利率变化的不确定， 由于给付的不确定和利率变化的不确定，被保险 人的受益额与保费都要按利息理论转换成现值。 人的受益额与保费都要按利息理论转换成现值。 受益额现值与保费现值都是随机变量， 受益额现值与保费现值都是随机变量，其差记为 L，称为保险人的（潜在）亏损随机变量，保险 称为保险人的（潜在）亏损随机变量， 公司一般根据L确定年缴保费。 公司一般根据L确定年缴保费。
但通常是在保险契约成立后一定时期内分期均 衡缴付的，这种方式缴纳的净保费称为均衡纯 衡缴付的，这种方式缴纳的净保费称为均衡纯 保费。 保费。 另一部分是补偿保险人在经营管理上必要开支 的费用，称为附加保险费 附加保险费。 的费用，称为附加保险费。 本实验讨论的保费，仅指纯保费。 本实验讨论的保费，仅指纯保费。 由于保费与受益往往不是同时发生的， 由于保费与受益往往不是同时发生的，受利息 的影响， 的影响，无法从它们的绝对数值比较两者的大 通常根据利息，将它们都化成现时值， 小，通常根据利息，将它们都化成现时值，简 现值。 称现值。
s( x + t ) − s( x + t + u ) s( x + t ) s( x + t ) − s( x + t + u ) = = ⋅ s ( x) s( x) s( x + t ) = t p x × u q x +t
在保险理论中规定， 在保险理论中规定，t＝1时可以省略不写，即 时可以省略不写，
(2) 受益赔付额现值 事实上， 事实上，在保单签发时我们并不知道被保险人何 时死亡， 时死亡，因此从保单签发到被保人死亡的时间长 度是一个随机变量，若一个x岁的被保险人在死 度是一个随机变量，若一个x 亡时得到1单位的赔付，按复利， 亡时得到1单位的赔付，按复利，它的现值与从 投保开始到死亡所经历的时间t( )有关 有关， 投保开始到死亡所经历的时间t( ≥ 0)有关， 可以将它看作随机变量T(x)的一个可能的取值。 可以将它看作随机变量T(x)的一个可能的取值。 T(x)的一个可能的取值 在人寿保险中， (x)表示年龄 的投保人， 表示年龄x 在人寿保险中，用(x)表示年龄x的投保人，T(x) 称为(x) 剩余寿命。 (x)的 称为(x)的剩余寿命。
第二、三篇
实验五：人寿保险费额计算问题 实验五：
实验5 实验5
人寿保险费额计算问题 (Matlab)
一 、问题
有一个现年x岁的人，要购买一份保险金额为5 有一个现年x岁的人，要购买一份保险金额为5 万元的终身寿险保单。 万元的终身寿险保单。 所谓终身人寿保险， 所谓终身人寿保险，即在投保人未来任何时候死 亡时，都提供投保金额（本例为5万元） 亡时，都提供投保金额（本例为5万元）的赔付的 一种保险。 一种保险。 为此，他从契约成立时开始，在一定期限内， 为此，他从契约成立时开始，在一定期限内，每 年需向保险公司缴纳固定数额的保费， 年需向保险公司缴纳固定数额的保费，称这个保 费为均衡年缴保费。 费为均衡年缴保费。