学会从“数”与“形”两个角度认识数学——从北京中考数学压轴题看初中数学课堂能力的培养

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动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)

动点的函数图象问题数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边作Rt△PMN，点N在AB 上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致为（）A．B．C．D．本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两段，用排除法解决．解：分析平移过程，①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，过点M作MT⊥BC于点T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD==BT=12BM=t，∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四边形CTMP为矩形，∴PM=CT=BC―BT=4―t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM2=4―t2，∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2，∵E为CD中点，∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数；②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，由①可得QN=ED=DM=2―2t，DN=32t，S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD==，∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1，∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数；③当1<t ≤2，即从点M 与点D 重合至点M 到达终点，如图，由①可得DN =32t ，MN =4―t 2，∵AD ==6， DG =12AD =3，∴NG =DG ―DN =3―32t ，∴QF =NG =3―32t ，∴PQ==，∴HQ ==1―12t ，∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数，综上，只有选项A 的图象符合，故选：A ．1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ,AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD －DC －CB 以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设△AMN的面积为y (cm2)，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x<4）分别求解y与x的解析式，从而求解．【解题过程】解：当0<x<1时，M、N分别在线段AB、AD上，此时AM=x cm，AN=2x cm，y=S△AMN=12×AM×AN=x2，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当1≤x<3时，M、N分别在线段、CD上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为AD=2cm，y=S△AMN=12×AM×AD=x，为一次函数，图象为直线；当3≤x<4时，M、N分别在线段AB、BC上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为BN=(8―2x)cm，y=S△AMN=12×AM×BN=12x(8―2x)=―x2+4x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有A选项符合题意，故选：A．2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=P为BC边上一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PB=x，S△BPQ=y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，根据S△BPQ=y=12QE⋅BP列出解析式再判断即可．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，∵AC =BC =∴∠A =∠ABC∵PQ∥AB ，∴∠CQP =∠A,∠CPQ =∠ABC∴∠CQP =∠CPQ∴CQ =CP =―x ．∵∠ACB =135°∴∠ECQ =45°在Rt △CEQ 中，∠ECQ =45°，∴QE ==―x )=2―，∴y =12QE ⋅BP =12x 2x =―2+x =――2+∴当x =y 最大值=故选：C.3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，点A 从点D 运动到点E 的过程中，AB 和DF 相交于点G ，AC 和EF 相交于点H ，(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ，点A 移动的距离为横坐标x ，则y 与x 关系的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，证明四边形ACFD 为平行四边形，可得AD =CF =x ，BF =4―x ，求解CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，再利用面积公式建立函数关系式即可判断．【解题过程】解：如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，由题意可得：AD∥CF ，DF∥AC ，∴四边形ACFD 为平行四边形，∴AD =CF =x ，∴BF =4―x ，∵△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，AD∥CF ，∴∠D =∠DFB =60°，而∠B =60°，∴△BGF 为等边三角形，同理：△CFH 为等边三角形，∵HT ⊥BC ，∴CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，∴y =12x +12(4―x )⋅―x )=2―+故选B4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B→C→D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象．根据矩形的性质求出点O 到BC 的距离等于4，到CD 的距离等于6，求出点Q 到达点C 的时间为6s ，点P 到达点C 的时间为12s ，点Q 到达点D 的时间为14s ，然后分①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，表示出CP 、CQ ，然后根据S ΔOPQ =S ΔCOP +S ΔCOQ ―S ΔPCQ 列式整理即可得解；③12<t ≤14时，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解题过程】解：∵矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离=12AB =4，到CD 的距离=12AD =6，∵点M 是BC 的中点，∴CM =12BC =6，∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s，点P到达点C的时间为12÷1=12s，点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s，①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×4=12；②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，CP=12―t，CQ=t―6，SΔOPQ=SΔCOP+SΔCOQ―SΔPCQ，=12×(12―t)×4+12×(t―6)×6―12×(12―t)×(t―6)，=12t2―8t+42，=12(t―8)2+10，③12<t≤14时，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×6=18；纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函数关系的图像大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点Q在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得AE =BE =12AB ，然后分①点Q 在CD 上时，表示出BP 、CP 、CQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，列式整理即可得解；②点Q 在AD 上时，表示出BP 、AQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．【解题过程】解：∵点P 、Q 的速度均为每秒1个单位，∴点P 在BC 上运动的时间为6÷1=6（秒），点Q 在CD 上运动的时间为4÷1=4（秒），∵E 为AB 中点，∴AE =BE =12AB =12×4=2，①如图1，点Q 在CD 上时，0≤x ≤4，则BP =x,CP =6―x,CQ =x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，=12(2+x )×6―12×2x ―12(6―x )⋅x =12x 2―x +6=12(x ―1)2+112②如图2，点Q 在AD 上时，4<x ≤6，则BP =x,AQ =6+4―x =10―x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，=12(x +10―x )×4―12×2x ―12(10―x )⋅2=10，综上所述，y =2―x +6(0≤x ≤4)10(4<x ≤6)，函数图象为对称轴为直线x =1的抛物线的一部分加一条线段，只有A 选项符合．故选：A ．6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC 中，∠B =60°，点D 从点B 出发，沿BC 运动，速度为1cm/s ．点P 在折线BAC 上，且PD ⊥BC 于点D ．点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．△PBD 的面积S (cm 2)与运动时间t (s)的函数关系图象如图2所示，E 是函数图象的最高点．当S (cm 2)取最大值时，PD 的长为（）A ．B ．(1+cm C ．(1+cm D ．(2+cm【思路点拨】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．先根据点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．从而求得PD ==，再由函数图象求得BC =(2+×1=(2+cm ，从而求得DC =BC ―BD =2+2=，得出PD =DC ，然后根据由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．所以当2≤t ≤2+点P 在AC边上，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，根据三角形面积公式求得S △PBD =―12t ―(13)2+2+【解题过程】解：由题意知，点D 运动2s 时，点P ，D 的位置如图1所示．此时，在Rt △PBD 中，BD =2cm ，∠B =60°，PD ⊥BC ，∴PB =2BD =4(cm)，∴PD ==．由函数图象得BC =(2+×1=(2+cm ，∴DC =BC ―BD =2+2=，∴PD =DC ．由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．当2≤t ≤2+P 在AC 边上，如图2，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，∴S △PBD =12×BD ×PD =12×t ×(2+t )=―12t 2+(1+t ．∵S △PBD =――(1+3)2+2+又∵―12<0，∴当t =1+S △PBD 的值最大，此时PD =CD =2+―(1+=(1+cm ．故选：B ．7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，CD ⊥AD ，∠BCD =90°, AB =BC =4，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A ―B ―C 向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，△APQ 的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分当0≤x <2时，点Q 在AB 上和当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：过Q 作QN ⊥AD 于N ，当0≤x <2时，点Q 在AB 上，∵∠A =60°，∴∠AQN =90°―60°=30°,∴AN = 12AQ =12×2x =x ，∴QN ==，∴y =12×AP ×NQ =12×x ×=2，当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，∵BM ⊥AD ，∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM = 12AB =12×4=2，∴BM ==∵CD ⊥AD ，QN ⊥AD ，∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD, CD ⊥AD ，∴四边形BMNQ 是矩形，∴QN =BM = ,y =12AP ⋅QN =12x ×=，综上所述，当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x ≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：D ．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD =，D 为AC 上一点，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C→B→A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF ，设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，当点P 由点C 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻t 1，t 2，t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等，当t 3=5t 1时，则正方形DPEF 的面积为（）A ．3B ．349C ．4D ．5【思路点拨】由题意可得：CD =CP =t ，当点P 在BC 上运动时S =t 2+2，由图可得，当点P 与点B 重合时，S =6，求出t=2，即BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，求出抛物线解析式为S=(t―2)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，t1+t2=4①，t2+t3=8②，结合t3=5t1③，求出t的值即可得出答案．【解题过程】解：由题意可得：CD=CP=t，当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2，由图可得，当点P与点B重合时，S=6，∴t2+2=6，∴t=2或t=―2（不符合题意，舍去），∴BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，则抛物线的表达式为S=a(t―4)2+2，将2，6代入得：a(2―4)2+2=6，∴a=1，∴抛物线的表达式为：S=(t―4)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，∴t1+t2=4①，t2+t3=8②，∵t3=5t1③，由①③③解得t1=1，∴S=t2+2=1+2=3，故选：A．9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，点O为AC 中点，点D为线段AB上的动点，连接OD，设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ，先根据直角三角形的性质求得AB =12,AC =OA =12AC =AE ==92可得DE =152―x ，然后再根据勾股定理求得函数解析式，最后确定函数图像即可．【解题过程】解：如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E∵∠C =90°，∠ABC =60°∴∠A =30°∵BC =6∴AB =2BC =12∴AC ===∵点O 为AC 中点∴OA =12AC =∵∠A =30°∴OE =12AO =∴AE ===92∴DE =|152―x |∴OD 2=OE 2+DE 2,即y =+―x 2=x +274当x =0时，y =0―+274=63当x =152时，y =―+274=274当x =12时，y =12+274=27则函数图像为．故选C ．10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =8，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 和点E 出发，沿着A→C→B 方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设△DMN 的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC 的中点F,连接DF 根据题意得到DF 和DE ，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<t ≤6时，得MN =AE =6，结合三角形面积公式求解即可；（2）当6<t ≤12时，得AM ，MC ，CN 和BN ，结合S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN ；（3）当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，结合DF 和MN 求面积即可．【解题过程】解：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，∴DF ∥AC ，DF =12AC =6∵点D 、E 是中点，∴DE =12BC =4，DF ∥CB ，∵∠C =90°，∴四边形DECF 为矩形，当0<t ≤6时，点M 在AE 上，点N 在EC 上，MN =AE =6，∴S =12MN ⋅DE =12×6×4=12；如图，当6<t ≤12时，点M 在EC 上，点N 在BC 上，∵AM =t ，∴MC =12―t ，CN =t ―6，BN =14―t ，∴S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN=12×8×12―12×4t ―12×6(14―t)―12(12―t)(t ―6)=12t 2―8t +42；如图，当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，∴S =12MN ⋅DF =12×6×6=18，综上判断选项A 的图象符合题意．故选：A ．11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是菱形的四个顶点，∠A =60°．现有两个机器人(看成点)分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C 和C→D→A ．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则 d²与t 之间的函数关系用图象表示大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】设菱形的边长为2，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质即可解答．【解题过程】解：①设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴CK=1，FT=KB=∴AE=t，CF=2―t，∴FK=2―t―1=1+t，∴ET=2―t―(1+t)=1+2t，∴在Rt△EFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+2=4t2+4t+4；②设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴BM=t―2，CM=2―(t―2)=4―t，CP=1，PD=LQ=∴MQ=CM―CQ=(4―t)―1=―t，∴在Rt△LMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3―t)2+2=t2―6t+12，∴函数图像为两个二次函数图象；③当从A出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是BD；从A出发的机器人在A点，从C出发的机器人在C点，此时距离是AC；∵设AD=2，∠A=60°，∴BD=2，AE=∴AC=2AE=∴BD<AC，∴函数图象的起点和终点高于中间点；综上所述：A项符合题意；故选A．12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作AQ⊥BC于点Q，可知AQ=0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．【解题过程】解：如图①，设AC与DE交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,BC=1,过点A作AQ⊥BC于点Q，则BQ=CQ=12∴AQ===∵四边形DEFG 是矩形，∴∠DEF =90°,DE =AQ ==OF ―OE =5―2=3,当0<x ≤1时，在Rt △HCE 中，∠ACE =60°,EC =x,∴∠CHE =30°,∴HC =2x ，∴HE ===∴S =12EC ×HE =12x ×=2，所以，S 关于x 的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<x ≤1内的一段；当1<x ≤2时，如图，设AB 与DE 交于点P ，∵EC =x,BC =2,∴BE =BC ―EC =2―x,同理可得，PE =x ―2)，∴S =S △ABC ―S △PBE =12×2―12(2―x )⋅―x )=―x ―2)2+所以，图象为1<x ≤2时开口向下的一段抛物线索；当2<x ≤3时，如图，S =12×2×=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段，即S=<x≤3)，故选：C13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将△BCD 沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移距离为x，当点B1与点A重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点D作DM⊥AB于M，由△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，可设AB=BC=2，可得AD=CD=BD=DM=AM=BM=1，然后分情况讨论：当0<x≤1时，当1<x≤2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解．【解题过程】解：过点D作DM⊥AB于M，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴ AB =BC ，设AB =BC =2，∴ AD =CD =BD =DM =AM =BM =1，当0<x ≤1时，设B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交BD 于N ，∴ AB 1=AB ―BB 1=2―x ，由平移知B 1G ∥BD ，∠AB 1G =∠ABD ，∴ △AB 1G 是等腰直角三角形，∴ S △AB 1G =12AB 1·12AB 1=14(2―x )2，又∵ S △ABD =12×12×2×2=1，S △BB 1N =12x 2∴ S =S △ABD ―S △AB 1G ―S △BB 1N =1―14(2―x )2―12x 2=―34x 2+x ，当x =―=23时取得最大值，故排除A 、B 选项当1<x ≤2时，B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交AC 于点H ，∵ B 1H ∥BC ，∴ ∠B 1HG =∠ACB =45°，又∵ ∠D 1B 1C 1=45°，∴ △B 1GH 为等腰三角形，∵ ∠AB 1D 1=∠ABD =45°=∠A ，∴ AB 1G 为等腰三角形，∴ B 1G =1=―x )，∴ S =S △B 1GH =12·―x )―x )=14(2―x )2，即当1<x ≤2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C 选项故选：D ．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在AD上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案．【解题过程】解：设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，①当0≤x≤1时，点P在BC上时，过点P作PE⊥BA，，∵根据题知：∠B =60°，PB =3x,BQ =x ，∴BE =32x ，PE =，∴y =12BQ·PE =12x·=2；②当1<x ≤2时，点P 在CD 上时，过点P 作PH ⊥BA ，，∵根据题知：∠B =60°，BC =3,BQ =x ，∴PH =∴y =12BQ·PH =12x·=；③当2<x ≤3时，点P 在AD 上时，过点P 作PF ⊥BA 交DA 延长线于F ，，∵根据题知：∠B =60°，即∠FAD =60°，∵BC +CD +AD =3+3+3=9cm ，BC +CD +DP =3x ，∴AP =(9―3x)cm ，∴PF =9―3x 2·∴y =12BQ·PF =12x·9―3x 2·=―2；∴结合三种情况，图像如下所示：，故选：D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D，P(―1,―1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【解题过程】解：∵菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，∴ AB =AD =2，OA=∴ OB===1，∴ OC =OB +BC =1+2=3，∴ A ，B (1,0)，C (3,0)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A ，B (1,0)代入，得：k +b = ，解得k =b =∴直线AB 的解析式为y =―+∵ MN∥y 轴，∴N 的横坐标为x ，（1）当M 的横坐标x 在0∼1之间时，点N 在线段AB 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，∴ N (x,―+，∴ MN=(―+=，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=⋅(1+x)=2+，∴该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M 的横坐标x 在1∼2之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN =MN 上的高为1+x ，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x)=(1+x)=∴该段图象为直线；（3）当M 的横坐标x 在2∼3之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，由D ，C (3,0)可得直线CD 的解析式为y =―+∴ M (x,―+，N (x,0)，∴ MN =―+∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=12(+⋅(1+x )=―2∴该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A 满足条件，故选A ．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (2,0)，点B，点C (―，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，运动时间为t秒，则正确表达y与t 的关系图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．【解题过程】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，∴OA=2，OB∴AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，则OM =BM CM =3，∴OC =BC ∴△OBC 是等边三角形，∠BOC =60°，∴点P 在OA 上运动用时2s ，在AB 上运动用时4s ，点Q 在OC 上运动用时2s ，在OC 上运动用时2s ，即点P 和点Q 共运动4s 后停止；由此可排除D 选项．当点P 在线段OA 上运动时，点Q 在线段OC 上运动，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，由点P ，点Q 的运动可知，OP =t ，OQ ，∴QN =12OQ ==32t,∴PN =52t,∴y =PQ 2=(52t)2+2=7t 2.即当0＜t ＜2时，函数图象为抛物线，结合选项可排除A ，C ．故选：B ．17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情形∶①当0＜x≤2时，△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【解题过程】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，BC＝2，AM＝∴BM＝CM＝12BC•AM＝∴S△ABC＝12①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DGCD•DG2；∴S＝12②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG4﹣x），×（4﹣x）4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝﹣12∴S＝2﹣x﹣4）2③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（）A ．AB:AD =4:5B ．当t =2.5秒时，PQ =C ．当t =294时，BQ PQ =53D ．当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 或475秒【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =5cm ，然后由5<t <7时，y =10可知△BPQ的面积是定值10cm 2、BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，AE ==4cm ，可以判定A ；当0<t ≤5时，根据y =25t 2得到y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，根据y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2求得PH =2，设QH =x cm ，根勾股定理计算QH =1cm ，可计算PQ =根据AB =CD =4cm ，得到再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，确定直线HN 或475秒；当t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，把t =294代入直线HN 的解析式计算BQ PQ =43．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y =at 2，当t =5时，y =10，∴10=25a ，解得a =25，∴y =25t 2，由图2中的函数图像得当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =BE =5cm ，∵5＜t ＜7时，y =10，∴△BPQ 的面积是定值10cm 2且BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，∴AE =5―2==4cm,AD=BC =5cm ，∴AB:AD =4:5，故A 正确，不符合题意；当0<t ≤5时，∵y =25t 2，t =2.5，∴BP =BQ =2.5cm ，y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，∴y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2解得PH =2，设QH =x cm ，则BH =BQ ―QH =(2.5―x )cm ，∴2.52=22+(2.5―x )2，解得x =1,x =4（舍去），∴QH =1cm ，∴PQ==故B 正确，不符合题意；根据AB =CD =4cm ，∴再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，设直线HN 的解析式为y =kt +b ，根据题意，得11k +b =07k +b =10 ，解得k =―52b =552 ，∴直线HN 的解析式为y =―52t +552，∵△BPQ 的面积为4cm 2，故4=25t 2或4=―52t +552解得t==―t =475，故D 正确，不符合题意；∵t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，当t =294时，y =―52×294+552=758，12PQ·BC =758解得PQ=154∴BQ PQ =5154=43．故C错误，符合题意．故选：C．19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【解题过程】解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，∴△ABC是边长为6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0<x≤3，∵EG∥AC，∴∠MAD=∠AGE=30°，∴∠NAD=∠AGE=30°，∴AE=EG=x，在Rt△AEF中，∠EAF=60°，∴EF==，∴S=2；②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，x=6，解得x=4，则x+12由图2到图3，此时3<x≤4，如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，∴EQ=EB=BQ=6―x，∴GQ=x―(6―x)=2x―6，而∠PQG=60°，∴PG==2x―6)，∴S=S矩形EFHG―S△PQG=2x 2―12×(2x ―6)×2x ―6)=―2― ③如图6时，x =6，由图3到图6，此时4<x ≤6，如图5，同理△EKB 是正三角形，∴EK =KB =EB =6―x ，FC =AC ―AF =6―12x ，EF =， ∴S =S 梯形EKCF=―x +6―12x 2=―2，因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，故选：A ．20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，现将菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为t （秒），菱形ABCD 位于y 轴右侧部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示，由菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，分①当0≤t ≤2时；②当2<t <4时；③当4≤t ≤6时；④当t >6时；四种情况，作图求解S 关于t 的函数解析式，作出图像即可得到答案．【解题过程】解：过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示：∵菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，∴OE =2,OB =4，∴∠OBE =30°，∴∠BOE =60°，BE =①当0≤t ≤2时，如图（1）所示：S =12OA ⋅OF =12×t ×=2；②当2<t <4时，如图（2）所示：S =S △ABE +S 矩形OEBG =12AE ⋅BE +BE ⋅OE =12×2×t ―2)=―③当4≤t ≤6时，如图（3）所示：∵∠C =60°，OD =OA ―AD =t ―4，∴∠KDO =60°,OK=t ―4)，∵HO =BE =∴HK =HO ―OK =―t ―4)=―+∵HB =OE =OA ―AE =t ―2，∴CH =BC ―HB =4―(t ―2)=―t +6，S =S 菱形ABCD ―S △CHK =AD ⋅BE ―12CH ⋅HK =4×―12(―t +6)(―+=―2―+=―2―当t >6时，S =S 菱形ABCD =AD ⋅BE=综上所述S =20≤t ≤2―2<t <4t2+―4≤t ≤6t >6 ，∴第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行于x轴的射线，故选：A．。

北京中考数学几何压轴题

北京中考数学几何压轴题
北京中考数学几何压轴题可以是以下题目之一：
1. 已知正方形ABCD的边长为2cm，点E是BC边的中点，连接AE交BD于F，求线段BF的长度。

2. 在直角三角形ABC中，角A为直角，BC边长为6cm，AC 边长为8cm，求角B的度数。

3. 已知矩形ABCD的长为8cm，宽为6cm，点E是AB边的中点，连接CE，求线段DE的长度。

4. 在等边三角形ABC中，点D是AB边的中点，点E是BC 边的中点，连接AE交CD于F，求线段BF的长度。

5. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AD边长为5cm，BC边长度为10cm，AC边长为4cm，求BD边的长度。

这些题目都是以北京中考中常见的数学几何知识为基础，考察学生的理解和运用能力。

中考数学压轴题含解答与几何画板课件

（20XX 年北京市）25.如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－6,0),B (6,0),C (0,4 3 )延长AC 到点D ,使CD ＝12 AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC的延长线于点E .（1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点,点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点,若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短.（要求：简述确定G 点位置的方法,但不要求证明）答案2009年北京市（20XX 年重庆市）26.如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA ＝2,OC ＝3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA 于点E .（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为 65,那么EF ＝2GO 是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；（3）对于（2）中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.答案2009年重庆市(20XX年山西省)26.如图,已知直线l1:y＝23x＋83与直线l2:y＝－2x＋16相交于点C,l1、l2分别交x轴于A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合.（1）求△ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t(0≤t≤12)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于的t函数关系式,并写出相应的t的取值范围.答案2009年山西省（20XX年重庆綦江县）26.如图,已知抛物线y＝a(x－1)2＋33 (a≠0)经过点A(－2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.答案2009年重庆綦江县（20XX年河北省）26.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,AB＝5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）.（1）当t ＝2时,AP＝ ,点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形？若能,求t的值.若不能,请说明理由；t的值.（4）当DE经过点C时,请直接．．写出答案2009年河北省（20XX年河南省）23.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B（4,0）、C（8,0）、D（8,8）.抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.答案2009年河南省（20XX 年山西省太原市）29. 如左图,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ,D 重合）,压平后得到折痕MN .当CE CD ＝12 时,求AM BN 的值. 方法指导：为了求得AM BN 的值,可先求BN 、AM 的长,不妨设：AB ＝2.类比归纳：在左图中,若CE CD ＝13 则AM BN 的值等于；若CE CD ＝14 则AM BN 的值等于；若CE CD ＝1n (n 为整数),则AM BN 的值等于 .(用含n 的式子表示）联系拓广：如右图将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ,D 重合）,压平后得到折痕MN ,设 AB BC ＝1m (m ＞1) CE CD ＝1n ,则AM BN 的值等于 .（用含m ,n 的式子表示）答案2009年山西省太原市（20XX 年江西省）25.如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 是AB 的中点,过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F .AB ＝4,BC ＝6,∠B ＝60°.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ,过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP ＝x .①当点N 在线段AD 上时（如图2）,△PMN 的形状是否发生改变？若不变,求出△PMN 的周长；若改变,请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3）,是否存在点P ,使△PMN 为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由.答案2009年江西省（20XX 年广东广州）25. 如图,二次函数y ＝x 2＋px ＋q (p ＜0)的图象与x 轴交于A 、B两点,与y 轴交于点C （0,－1）,△ABC 的面积为54.（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0,m ）作y 轴的垂线,若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD 为直角梯形？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由.（20XX年广东省中山市）22.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.市（20XX年哈尔滨市）28.如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为（－3,4）,点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S（S≠0）,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.答案2009年哈尔滨市(2009山东省泰安市)26.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC＝90°,AD∥BC,AB＝BC,E是AB的中点,CE⊥BD.（1）求证：BE＝AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由.答案2009山东省泰安市（20XX年烟台市）26.如图,抛物线y＝a2＋bx－3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C 点,且经过点(2,－3a),对称轴是直线x＝1,顶点是M.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；(3)设直线y＝－x＋3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E（不与B,D重合）,经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F,试判断△AEF的形状,并说明理由；(4)当E是直线y＝－x＋3上任意一点时,（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）.（20XX年山东省日照）24.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF ⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由. （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（20XX年潍坊市）24.如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y＝a2＋bx＋c与y轴交于点D,与直线y＝x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长. （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.答案2009年潍坊市（20XX年山东临沂市）26.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,－2)三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.答案2009年山东临沂市(20XX年山东省济宁市)26.在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A 点第一次落在直线y＝x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y＝x于点M,BC边交x 轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN 的周长为p ,在旋转正方形OABC 的过程中,p 值是否有变化？请证明你的结论.答案2009年山东省济宁市（20XX 年四川遂宁市）25.如图,二次函数的图象经过点D (0,79 3 ),且顶点C 的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P ,使P A ＋PD 最小,求出点P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q ,使△QAB 与△ABC 相似？如果存在,求出点Q 的坐标；如果不存在,请说明理由.答案2009年四川遂宁市（20XX 年四川南充市）21.如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A (3,3). （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点B (6,m ),求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E ,使四边形OECD 的面积S 1与四边形OABD 的面积S 满足：S 1＝23S ?若存在,求点E 的坐标；若不存在,请说明理由.答案2009年四川南充市（20XX 年四川凉山州）26.如图,已知抛物线y ＝a 2＋bx ＋c 经过A (1,0),B (0,2)两点,顶点为D .（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后,点B 落到点C 的位置,将抛物线沿y 轴平移后经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后,所得抛物线与y 轴的交点为B 1,顶点为D 1,若点N 在平移后的抛物线上,且满足△NBB 1的面积是△NDD 1面积的2倍,求点N 的坐标.答案2009年四川凉山州（20XX 年鄂州市）27.如图所示,将矩形OABC 沿AE 折叠,使点O 恰好落在BC 上F 处,以CF 为边作正方形CFGH ,延长BC 至M ,使CM ＝｜CE —EO ｜,再以CM 、CO 为边作矩形CMNO .(1)试比较EO 、EC 的大小,并说明理由.(2)令m ＝S 四边形CFGHS 四边形CNMO ,请问m 是否为定值？若是,请求出m 的值；若不是,请说明理由(3)在(2)的条件下,若CO ＝1,CE ＝13 ,Q 为AE 上一点且QF ＝23,抛物线y ＝mx 2+bx +c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下,若抛物线y＝mx2＋bx＋c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由.答案2009年鄂州市（20XX年贵州安顺市）27.如图,已知抛物线与x交于A(－1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积；(3)△AOB与△DBE是否相似？如果相似,请给以证明；如果不相似,请说明理由.答案2009年贵州安顺市（20XX年湖北省黄石市）24、如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.（1）如果AB＝AC,∠BAC＝90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合）,如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 .②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么？（2）如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动.试探究：当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形,并说明理由.（画图不写作法）（3）若AC＝4 2 ,BC＝3,在（2）的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.答案2009年湖北省黄石市（20XX年武汉市）25.如图,抛物线y＝a2＋bx－4a经过A(－1,0)、C(0,4)两点,与x 轴交于另一点B.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m,m＋1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP＝45°,求点P的坐标.答案2009年武汉市（20XX年湖北省荆门市）25.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2,0),B(m＋2,0)两点,记抛物线顶点为C ,且AC ⊥BC . (1)若m 为常数,求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点,问是否存在实数m ,使得△BOD 为等腰三角形？若存在,求出m 的值；若不存在,请说明理由.答案2009年湖北省荆门市（20XX 年湖北省孝感市）25. 如图,点P 是双曲线y ＝k 1x(k 1＜0,x ＜0)上一动点,过点P作x 轴、y 轴的垂线,分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,交双曲线 y ＝k 2x（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点.（1）图1中,四边形PEOF 的面积S 1＝ ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；（2）图2中,设P 点坐标为（－4,3）.①判断EF 与AB 的位置关系,并证明你的结论；②记S 2＝S △PEF －S △OEF ,S 2是否有最小值？若有,求出其最小值；若没有,请说明理由.答案2009年湖北省孝感市（20XX 年襄樊市）26.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝2,BC ＝4点M 是AD 的中点,△MBC 是等边三角形.（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动,且∠MPQ ＝60°保持不变.设PC ＝x ,MQ ＝y ,求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时,以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时,判断△PQC 的形状,并说明理由.答案2009年襄樊市（20XX 年湖南省株洲市）23.如图,已知△ABC 为直角三角形,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为（3,m ）（m ＞0）,线段AB 与y 轴相交于点D , 以P （1,0）为顶点的抛物线过点B 、D . （1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结 BQ 并延长交AC 于点F ,试证明：FC (AC ＋EC )为定值.答案2009年湖南省株洲市（20XX年衡阳市）26.如图,直线y＝－x＋4与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外）,过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D. （1）当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a(0＜a＜4),正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象.答案2009年衡阳市（20XX年湖南娄底市）25.如图在△ABC中,∠C＝90°,BC＝8,AC＝6,另有一直角梯形DEFH（HF∥DE,∠HDE＝90°）的底边DE落在CB上,腰DH落在CA上,且DE ＝4,∠DEF＝∠CBA,AH:AC＝2:3.（1）延长HF交AB于G,求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC,将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动,直到点D与点B重合时停止,设运动的时间为t秒,运动后的直角梯形为DEFH （如图2）.探究1:在运动中,四边形CDH'H能否为正方形？若能,请求出此时t的值；若不能,请说明理由.探究2:在运动过程中,△ABC与直角梯形DEFH'重叠部分的面积为y,求y与t的函数关系.答案2009年湖南娄底市（20XX年陕西省）25.问题探究:P,并说明理由.（1）请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB＝90°的一个．．点P,并说明理（2）请在图②的正方形ABCD内（含边）,画出使∠APB＝60°的所有．．的点由.问题解决:（3）如图③,现在一块矩形钢板ABCD,AB＝4,BC＝3.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP'D钢板,且∠APB＝∠CP'D＝60°.请你在图③中画出符合要求的点P和P',并求出△APB的面积（结果保留根号）.答案2009年陕西省（20XX年福建宁德市第26题）如图,已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P,与x 轴相交于A、B两点（点A在点B的左边）,点B的横坐标是1.（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1）,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式；（3）如图（2）,点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C 4.抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边）,当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标.答案2009年福建宁德市第26题(2009贵州省黔东南苗族侗族自治州)26.已知二次函数22-++=a ax x y . （1）求证：不论a 为何实数,此函数图象与x 轴总有两个交点.（2）设a ＜0,当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时,求出此二次函数的解析式. （3）若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点,在函数图象上是否存在点P ,使得△P AB 的面积为2133,若存在求出P 点坐标,若不存在请说明理由. 答案(20XX 年湖南省益阳市第20题)阅读材料：如图,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆,即三角形面积图等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； (3)是否存在一点P ,使S △P AB ＝89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标；若不存在,请说明理由. 答案（20XX 年江苏省）28.如图,已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D (3,0)和点E (0,4).动点C 从点M (5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动,与此同时,动点P 从点D 出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动.设运动时间为t 秒.（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,连接P A 、PB .①当⊙C 与射线DE 有公共点时,求t 的取值范围； ②当△P AB 为等腰三角形时,求t 的值.答案2009年江苏省(2009浙江省杭州市)24. 已知平行于x 轴的直线y ＝a (a ≠0)与函数y ＝x 和函数y ＝1x的图象分别交于点A 和点B ,又有定点P （2,0）.（1）若a ＞0,且tan ∠POB ＝19,求线段AB 的长；图2xCOy AB D1 1（2）在过A ,B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中,已知线段AB ＝83,且在它的对称轴左边时,y 随着x 的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过A ,B ,P 三点的抛物线,平移后能得到y ＝95x 2的图象,求点P 到直线AB 的距离.答案2009浙江省杭州市（20XX 年台州市）24.如图,已知直线121+-=x y 交坐标轴于A ,B 两点,以线段AB 为边向上作正方形ABCD ,过点A ,D ,C 的抛物线与直线另一个交点为E . （1）请直接写出点C ,D 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑,直至顶点D 落在x 轴上时停止.设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ,求S 关于滑行时间t 的函数关系式,并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D 停止,求抛物线上C ,E 两点间的抛物线弧所扫过的面积.答案2009年台州市（20XX 年浙江丽水市）24. 已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图,C ,D 两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发,点P 沿线段AD 向终点D 运动,点Q 沿折线CBA 向终点A 运动,设运动时间为t 秒.(1)填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、高BE 的长是 ▲ ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位,点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时,求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式,以及S 的最大值；②若点P 的速度为每秒1个单位,点Q 的速度变为每秒k 个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值,使得△APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t ＝4秒时的情形,并求出k 的值.答案2009年浙江丽水市（20XX 年浙江省湖州市）24.已知抛物线y ＝x 2－2x ＋a (a ＜0)与y 轴相交于点A ,顶点为M .直线a x y -=21分别与x 轴,y 轴相交于B ,C 两点,并且与直线AM 相交于点N . (1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则M ( , ), N ( , )； (2)如图,将△NAC 沿y 轴翻折,若点N 的对应点N '恰好落在抛物线上, AN '与x 轴交于点D ,连结CD ,求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线y ＝x 2－2x ＋a (a ＜0)上是否存在一点P ,使得以P ,A ,C ,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出P 点的坐标；若不存在,试说明理由.答案2009年浙江省湖州市（20XX 年浙江省湖州市自选题）25.若P 为△ABC 所在平面上一点,且∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°,则点P 叫做△ABC 的费马点.(1)若点P 为锐角△ABC 的费马点,且∠ABC ＝60°,P A ＝3,PC ＝4,则PB 的值为_____； (2)如图,在锐角△ABC 外侧作等边△ACB '连结BB '.求证：BB '过△ABC 的费马点P ,且BB '＝P A ＋PB ＋PC .答案2009年浙江省湖州市自选题B(20XX 年甘肃省兰州市)29.（本题满分9分）如左图,正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为（0,10）,（8,4）,点C 在第一象限.动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒.(1)当P 点在边AB 上运动时,点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如右图所示,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的t 的值；若不能,请说明理由.答案2009年甘肃省兰州市（20XX 年威海市）25.一次函数y ＝ax ＋b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点M ,N ,与反比例函数y ＝k x的图象相交于点A ,B .过点A 分别作AC ⊥x 轴,AE ⊥y 轴,垂足分别为C ,E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴,BD ⊥y 轴,垂足分别为F ,D ,AC 与BD 交于点K ,连接CD .（1）若点A ,B 在反比例函数y ＝k x的图象的同一分支上,如左图,试证明： ①S 四边形AEDK ＝S 四边形CFBK ；②AN ＝BM .（2）若点A ,B 分别在反比例函数y ＝kx的图象的不同分支上,如右图,则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论.答案2009年威海市(20XX 年浙江省嘉兴市)24.如图,已知A 、B 是线段MN 上的两点,MN ＝4,MA ＝1, MB ＞1.以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成△ABC ,设AB ＝x . （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形,求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？答案2009年浙江省嘉兴市（20XX 年安徽省）23.已知某种水果的批发单价kg ））第23题图（1）第23题图（2）与批发量的函数关系如图（1）所示.（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义.（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.（3）经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示,该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.答案。

中考数学压轴题解题方法大全和技巧

2015年中考数学压轴题解题技巧练习如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B4,0、C8,0、D8,8.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.1直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；2动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长②连接EQ．在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值.解：1点A的坐标为4,8 …………………1分将A 4,8、C8,0两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b得0=64a+8b解得a=-12,b=4∴抛物线的解析式为：y=-12x2+4x …………………3分2①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=12AP=12t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为4+12t,8-t.∴点G的纵坐标为：-124+12t2+44+12t=-18t2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-8-t =-18t 2+t. ∵-18＜0,∴当t=4时,线段EG 最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分t 1=163, t 2=4013,t 3= 8525+． …………………11分一、对称翻折平移旋转1．2014年南宁如图12,把抛物线2y x =-虚线部分向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线1l ,抛物线2l 与抛物线1l 关于y 轴对称.点A 、O 、B 分别是抛物线1l 、2l 与x 轴的交点,D 、C 分别是抛物线1l 、2l 的顶点,线段CD 交y 轴于点E .1分别写出抛物线1l 与2l 的解析式；2设P 是抛物线1l 上与D 、O 两点不重合的任意一点,Q 点是P 点关于y 轴的对称点,试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形说明你的理由.3在抛物线1l 上是否存在点M ,使得ABM AOED S S ∆∆=四边形,如果存在,求出M 点的坐标,如果不存在,请说明理由.2．福建2013年宁德市如图,已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,点B 的横坐标是1．1求P 点坐标及a 的值；4分 2如图1,抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的解析式；4分3如图2,点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点点E 在点F 的左边,当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标．5分12yxAO B PM图1C 2C 321 yxAO B PN图C 1C 4Q EF 22二、动态：动点、动线3．2014年辽宁省锦州如图,抛物线与x 轴交于Ax 1,0、Bx 2,0两点,且x 1＞x 2,与y 轴交于点C 0,4,其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． 1求这条抛物线的解析式；2点P 是线段AB 上的动点,过点P 作PE ∥AC ,交BC 于点E ,连接CP ,当△CPE 的面积最大时,求点P 的坐标；3探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点, 是否存在这样的点Q ,使△QBC 成为等腰三角形若存在,请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．4．2013年山东省青岛市已知：如图①,在Rt △ACB 中,∠C B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,速度为1cm/s ；点Q 由A 为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为ts0＜t ＜2,解答下列问题： 1当t 为何值时,PQ ∥BC2设△AQP 的面积为y 2cm ,求y 与t 之间的函数关系式；3是否存在某一时刻t,使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分若存在,求出此时t 的值；若不存在,说明理由；4如图②,连接PC,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形PQP ′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP ′C 为菱形若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由．5．09年吉林省如图所示,菱形ABCD 的边长为6厘米,∠B ＝60°．从初始时刻开始,点P 、Q 同时从A 点出发,点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动,点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动,当点Q 运动到D 点时,P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为x秒时,△APQ 与△ABC 重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米这里规定：点和线段是面积为0的三角形,解答下列问题：1点P 、Q 从出发到相遇所用时间是__________秒；B 图C2点P 、Q 从开始运动到停止的过程中,当△APQ 是等边三角形时x 的值是__________秒； 3求y 与x 之间的函数关系式．6．2012年浙江省嘉兴市如图,已知A 、B 是线段MN 上的两点,4=MN ,1=MA ,1>MB ．以A为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成△ABC ,设x AB =． 1求x 的取值范围；2若△ABC 为直角三角形,求x 的值； 3探究：△ABC 的最大面积8．2009年中考天水如图1,在平面直角坐标系xOy ,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca ＞0的图象顶点为D ,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、B ,点A 在原点的左侧,点B 的坐标为3,0,OB ＝OC ,tan ∠ACO ＝错误!．1求这个二次函数的解析式；2若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ,且以MN 为直径的圆与x 轴相切,求该圆的半径长度；3如图2,若点G 2,y 是该抛物线上一点,点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点,当点P 运动到什么位置时,△AGP 的面积最大求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．9．14年湖南省张家界市在平面直角坐标系中,已知A －4,0,B 1,0,且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ,过点C 作圆的切线交x 轴于点D ． 1求点C 的坐标和过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式； 2求点D 的坐标；3设平行于x 轴的直线交抛物线于E ,F 两点,问：是否存在以线段EF 为直径的圆,恰好与x 轴相切若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由．xOy坐标O 相切于点A 和点C ．1求抛物线的解析式；2抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连结DE ,并延长DE 交圆O 于F ,求EF 的长． 3过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ,判断点P 是否在抛物线上,说明理由．第24题四、比例比值取值范围11．2014年怀化图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M1,-4.1求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； 2在二次函数的图象上是否存在点P,使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在,求出P 点的坐标；若不存在,请说明理由；3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.12．湖南省长沙市2013年如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上,82OA = cm, OC=8cm,现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发,P在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动,Q在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．1用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；2求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值；3当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时,抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点,过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ,当线段MN 的长取最大值时,求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．13．成都市2010年在平面直角坐标系xOy ,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点点A 在点B 的左侧,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为(30)-，,若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线2x =-．1求直线AC 及抛物线的函数表达式；2AC ABP ∆BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆,且:2:3ABP BPC S S ∆∆=,求点P 的坐标；图9 图1BA P x CQ O y第26题图3设Q 的半径为l,圆心Q 在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况若存在,求出圆心Q 的坐标；若不存在,请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ,圆心Q 在抛物线上运动,则当r 取何值时,⊙Q 与两坐轴同时相切五、探究型14．内江市2010如图,抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于C 点.1请求出抛物线顶点M 的坐标用含m 的代数式表示,A B 、两点的坐标； 2经探究可知,BCM △与ABC △的面积比不变,试求出这个比值；3是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线若存在,请求出；如果不存在,请说明理由.15．重庆市潼南县2010年如图,于A 、B,点A 的坐标为2,0,点C 1求抛物线的解析式；2点E 是线段AC 上一动点,过点D 的坐标； 3在直线BC 上是否存在一点P,说明理由.16．2008年福建龙岩如图,抛物线y 轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC BC =．1求抛物线的对称轴；2写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；3探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形．若存在,求出所有符合条件的点P 坐标；不存在,请说明理由．题图2617．09年广西钦州26．本题满分10分如图,已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点, A 点的坐标为－1,0,过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ,且0＜t ＜1．1填空：点C 的坐标是_▲_,b ＝_▲_,c ＝_▲_； 2求线段QH 的长用含t 的式子表示；3依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似若存在,求出所有t 的值；若不存在,说明理由．18．09年重庆市已知：如图,在平面直角坐标系xO y 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA ＝2,OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA 于点E ．1求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；2将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC交于点G ．如果DF 与1中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为56,那么EF ＝2GO 是否成立若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；3对于2中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．ax 2＋bx,12P3在2的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得以B ,N ,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．20．08江苏徐州如图1,一副直角三角板满足AB ＝BC,AC ＝DE,∠ABC ＝∠DEF ＝90°,∠EDF ＝30°操作将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上,再将三角板．．．．DEF ．．．绕点．．E ．旋转．．,并使边DE 与边AB 交于点P,边EF 与边BC 于点Q 探究一在旋转过程中, （1）如图2,当CE1EA＝时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系并给出证明. （2）（3）如图3,当CE2EA＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系, （4）并说明理由. （5）（6）根据你对1、2的探究结果,试写出当CEEA＝m 时,EP 与EQ 满足的数量关系式为_________,其中m 的取值范围是_______直接写出结论,不必证明探究二若,AC ＝30cm,连续PQ,设△EPQ 的面积为Scm 2,在旋转过程中：（1） S 是否存在最大值或最小值若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由. （2）随着S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化不出相应S 值的取值范围. （3）六、最值类综合题;一函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形,求已知函数的解析式即在求解前已知函数的类型,然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质;初中已知函数有：①一次函数包括正比例函数和常值函数,它们所对应的图像是直线；②反比例函数,它所对应的图像是双曲线；③二次函数,它所对应的图像是抛物线;求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法图形法和代数法解析法;此类题基本在第24题,满分12分,基本分2－3小题来呈现;二几何型综合题：是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点或动线段运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的未知函数的解析式即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线圆与圆的相切时求自变量的值等;求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系即列出含有x、y的方程,变形写成y＝fx的形式;一般有直接法直接列出含有x和y的方程和复合法列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y ＝fx的形式,当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求;找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法;求定义域主要是寻找图形的特殊位置极限位置和根据解析式求解;而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值;几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现;在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高;解中考数学压轴题秘诀二具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活;解数学压轴题,一要树立必胜的信心,二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能,三要掌握常用的解题策略;现介绍几种常用的解题策略,供初三同学参考;1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想：纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答;2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想：直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表示的图形;因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思想;例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得;3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想：分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点;4、综合多个知识点,运用等价转换思想：任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用;中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面;因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略;5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第1小题较易,第2小题中等,第3小题偏难,在解答时要把第1小题的分数一定拿到,第2小题的分数要力争拿到,第3小题的分数要争取得到,这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性;6、分段得分：一道中考压轴题做不出来,不等于一点不懂,一点不会,要将片段的思路转化为得分点,因此,要强调分段得分,分段得分的根据是“分段评分”,中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分,踏上知识点就给分,多踏多给分;因此,对中考压轴题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平,把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏;近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐,它不仅综合考查初中数学骨干知识,如三角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数一次函数、二次函数与反比例函数与方程等,更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法;此类题型也往往起到了考试的选拔作用,使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离,所以准确快速解决此类问题是赢得中考数学胜利的关键;如何准确、快速解决此类问题呢关键是把握解决此类题型的规律与方法――以静制动;另外,需要强调的是此类题型一般起点低,第一步往往是一个非常简单的问题,考生一般都能拿分,但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法,是特殊到一般数学思想和方法的具体应用,所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案,更重要的是明确此题的方法和思路;下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法;一、利用动点图形位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例1：北京市石景山区2010年数学期中练习在△ABC中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, 1求△ABC的面积；2现有动点P从A点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从C点出发,沿射线CB也向点B方向运动;如果点P的速度是4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ 的面积是△ABC的面积的一半3在第2问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少点评：此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置,有三种情况;1当0﹤t≦6时,P、Q分别在AB、BC边上；2当6﹤t≦8时,P、Q分别在AB延长线上和BC边上；3当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上.然后分别用第一步的方法列方程求解.A例2: 北京市顺义2010年初三模考已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从A点出发,沿A→B→C→E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数y,1写出y与x的关系式2求当y＝13时,x的值等于多少点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.第一是以静化动,把问的某某秒后的那个时间想想成一个点,然后再去解,第二是对称性,如果是二次函数的题,一定要注意对称性;第三是关系法：你可以就按照图来,就算是图画的在不对,只要你把该要的条件列成一些关系,列出一些方程来;中等的动点题也就没问题了;但是在难一点的动点题就要你的能力了,比如让你找等腰三角形的题,最好带着圆规,这样的题你要从三个顶点考虑,每一条边都要想好,然后再求出来看看在不在某个范围内1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答;2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表示的图形;因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思想;例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得;3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点;4、综合多个知识点,运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用;中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面;因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略;5、分题得分:中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第1小题较易,第2小题中等,第3小题偏难,在解答时要把第1小题的分数一定拿到,第2小题的分数要力争拿到,第3小题的分数要争取得到,这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性;6、分段得分:一道中考压轴题做不出来,不等于一点不懂,一点不会,要将片段的思路转化为得分点,因此,要强调分段得分,分段得分的根据是“分段评分”,中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分,踏上知识点就给分,多踏多给分;因此,对中考压轴题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平,把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏;二. 重点难点：1. 重点：利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律;2. 难点：探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律;三. 具体内容：通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1. 条件探索型——结论明确,而需探索发现使结论成立的条件的题目;2. 结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一,而需探索发现与之相应的结论的题目;3. 存在探索型——在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目;4. 规律探索型——在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目;由于题型新颖、综合性强、结构独特等,此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路,但是可以从以下几个角度考虑：1利用特殊值特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律;2反演推理法反证法,即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致;3分类讨论法;当命题的题设和结论不惟一确定,难以统一解答时,则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏,分门别类加以讨论求解,将不同结论综合归纳得出正确结果;4类比猜想法;即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法,并加以严密的论证;以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略,因而具体操作时,应更注重数学思想方法的综合运用;5. 如图所示,抛物线()23m x y --=m >0的顶点为A ,直线l ：m x y -=33与y 轴交点为B . 1写出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标用含m 的代数式表示；2证明点A 在直线l 上,并求∠OAB 的度数；3动点Q 在抛物线对称轴上,问抛物线上是否存在点P ,使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与⊿OAB 全等若存在,求出m 的值,并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在,请说明理由.6. 在平面直角坐标系xOy 中,将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位,再沿x 轴向右平移两个单位,平移后抛物线的顶点坐标记作A ,直线3x =与平移后的抛物线相交于B ,与直线OA 相交于C ．1求△ABC 面积；2点P 在平移后抛物线的对称轴上,如果△ABP 与△ABC 相似,求所有满足条件的P 点坐标．7. 设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A 一1,0、Bm,0,与y 轴交于点C.且∠ACB=90°．1求m 的值和抛物线的解析式；2已知点D1,n 在抛物线上,过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x轴上,以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似,求点P 的坐标．3在2的条件下,△BDP 的外接圆半径等于________________．。

2024年北京市中考数学押题预测试卷

2024年北京市中考数学押题预测试卷一、单选题1．下列几何体中，三视图都是圆的是（）A ．B ．C ．D ． 2．2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（）A ．110.110⨯B ．10110⨯C ．11110⨯D ．91010⨯ 3．如图，ABCD Y 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()0,1,2,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()4,1D ． 2,14．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A ．a ＞bB ．a + b ＞0C ．bc ＞0D ．a ＜﹣c 5．已知点12(1,),(2,)P y Q y 是反比例函数3y x =图像上的两点，则（）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y << 6．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点E ，若 ⊙O 的半径为5，CD =8，则AE 的长为（）A．3 B．2 C．1 D7．小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（）A．13B．23C．19D．298．如图，一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，则该正六边形地基的面积是（）A．224m B．2C．248m D．2二、填空题9有意义，则a的取值范围是．10．分解因式：2818a-=．11．方程43312x x=--的解为.12．已知x2-+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．某居民小区共有300户家庭，有关部门对该小区的自来水管网系统进行改造，为此该部门通过随机抽样，调查了其中20户家庭，统计了这20户家庭的月用水量，如下表：根据上述数据，估计该小区300户家庭的月总用水量约为m3．14．如图，若AD 是ABC V 的高线，DBE DAC ∠=∠，BD AD =，120AEB ∠=︒，则C ∠=．15．如图，在ABC V 中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A 得1A ∠，1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，…，5A BC ∠的平分线与5A CD ∠的平分线交于点6A ，得6A ∠，则6A ∠=．16．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝5，BC ＝CD 且BC ＞AB ，BD ＝8．给出以下判断： ①AC 垂直平分BD ；②四边形ABCD 的面积S ＝AC •BD ；③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；④将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F ，当BF ⊥CD 时，四边形ABCD 的内切圆半径为227．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题17．计算：112sin 605⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭． 18．解不等式组： 232113x x x x +≤+⎧⎪+⎨>-⎪⎩ 19．已知320x y --=，求代数式22264693x y x xy y x y-+-+-的值． 20．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，CE AB ∥，EB CD ∥，连接DE 交BC 于点O ．(1)求证：四边形CDBE 是矩形；(2)如果5AC =，1tan 2ACD ∠=，求BC 的长． 21．小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A 处放一平面镜，从A 处沿NA 方向后退1米到点B 处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M ，再将平面镜沿NA 方向继续向后移动15米放在D 处（即15AD =米），从点D 处向后退1.6米，到达点E 处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M 、已知小明眼睛到地面的距离 1.74CB EF ==米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN （平面镜大小忽略不计）22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由正比例函数y x =的图象向上平移2个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当1x >-时，对于x 的每一个值，正比例函数()0y ax a =≠的值小于一次函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出a 的取值范围．23．为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛．(1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的_____；（填：平均数或众数或中位数）(2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下：2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！”14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！” 请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______；(3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38．你认为______号选手的成绩比较稳定．24．如图，AB 是O e 的直径，AC 是弦，D 是»AB 的中点，CD 与AB 交于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 为O e 的切线；(2)连接BD ，取BD 的中点G ，连接AG ．若4CF =，1tan 2BDC ∠=，求AG 的长． 25．如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即BA ＝2.88m ．这时水平距离OB ＝7m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x 轴垂直于底线），求球运动的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式（不必写出x 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P （如图1，点P 距底线1m ，边线0.5m ），问发球点O 1.4）26．已知二次函数()2430y ax ax a =-+≠．(1)求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．(2)已知点()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --都在该二次函数图象上，①请判断1y 与2y 的大小关系：1y 2y （用“>”“=”“<”填空）；②若1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．27．在ABC V 中，D 是BC 的中点，且90≠︒∠BAD ，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，作CE AB ∥交直线AB '于点E ．(1)如图，若AB AC >，①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；(2)若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．28．如图，(1)【提出问题】将一次函数24y x =-+的图象沿着y 轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______；(2)【初步思考】将一次函数24y x =-+的图象沿着x 轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点(04)A ，，(20)B ，，将它们沿着x 轴向左平移3个单位长度，得到点A '，B '的坐标分别为______，从而求出经过点A '，B '的直线对应的函数表达式为______；(3)【深度思考】已知一次函数24y x =-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ． ①将一次函数24y x =-+的图象关于x 轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线24y x =-+绕点A 逆时针旋转60o ，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线24y x =-+绕点A 逆时针旋转45︒，求所得图象对应的函数表达式．。

中考数学解题方法及技巧

中考数学解题方法及技巧中考数学答题技巧篇一方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

方法二、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

方法三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

方法四、“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2.先熟后生。

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。

初中数学重点考点分布及压轴题答题技巧

初中数学重点考点分布及压轴题答题技巧初一上册有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。

（1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。

考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。

（2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。

考察内容：①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值②完全平方公式，平方差公式的几何意义③利用提公因式发和公式法分解因式。

（3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。

中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。

考察内容：①方程及方程解的概念②根据题意列一元一次方程③解一元一次方程。

题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。

（4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础初一下册相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。

（1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。

通常以填空，选择题形式出现。

分值为3-4分，难易度为易。

考察内容：①平行线的性质（公理）②平行线的判别方法③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。

（2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。

考察主要内容：①考察平面直角坐标系内点的坐标特征②函数自变量的取值范围和球函数的值③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。

（3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。

考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。

（4）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。

中考数学旋转压轴题解题方法(详解答案)

中考数学旋转压轴题解题方法一、图形旋转知识与方法1、图形的变换是新课标中“空间与图形”领域的一个主要内容，体现运动变换的理念与思想，是教材中的一大亮点．初中数学所学的图形变换包括平移、轴对称、旋转、位似。

2、旋转，它是一种数学变换．生活中的旋转也是随处可见，汽车的轮子，钟表的指针，游乐园里的摩天轮，都是旋转现象．3、图形的旋转有三个要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．4、旋转具有以下性质：①对应点到旋转中心的距离相等，即边相等。

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即角相等③旋转前、后的图形全等。

5、旋转是近几年中考数学的热点题型，对旋转的特例“中心对称”的考查多以选择题或填空题的形式出现，题目比较简单，大多数属于送分题；利用旋转作图，是格点作图题中的重点。

利用旋转构造复杂几何图形，通常将旋转融合在综合题中，题目难度中等，在选择题、填空题、解答题中都有出现。

有旋转点的，有旋转线段的，更多的是旋转图形的。

旋转三角形，旋转平行四边形，旋转矩形，旋转正方形，其中，近两年的各地中考试题中，旋转矩形出现的最频繁，深受出题老师的青睐。

其实旋转的题目还有一个好听的名字就是“手拉手问题”，本文将对这一类问题分类汇总，以这三个性质为突破口，就能快速解决问题。

二、典例精讲典例．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC 交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE 的长．思路点拨：（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解；（2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得1==4AF CDAB CB、1==2AF CDAB CB，代入数据求解即可；满分解答：（1）问题发现：如图1中，设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案为：①AF＝BE，②90°．（2）拓展探究：结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解决问题①如图（3）中，当点D在BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴1==4 AF CDAB CB，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴1==2 AF CDAB CB，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的长为2或4．名师点评：（1）本题考查等腰直角三角形的判定和性质、平行线的性质、等边对等角的性质和等角对等边的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及其性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理，涉及到的知识点较多，解题的关键是综合运用所学知识．（2）旋转问题三步走：第一步：我们要观察图形，看看这个图形的旋转中心，找到它的旋转方向，这是我们看到一个几何图形的第一印象．第二步：看看是什么旋转？因为旋转的种类有很多，你看它是点旋转还是线旋转或者是平面图形旋转·第三步：你再观察出有哪些三角形全等，从已知中找到两个三角形全等的条件（包括隐藏的对顶角、公共角、公共边等）．变式题．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点O是边AC的中点．（1）在图1中，将△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A1B1C1，使边A1B1经过点C．求n的值．（2）将图1向右平移到图2位置，在图2中，连结AA1、AC1、CC1．求证：四边形AA1CC1是矩形；（3）在图3中，将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A2B2C2，使边A2B2经过点A，连结AC2、A2C、CC2．①请你直接写出m的值和四边形AA2CC2的形状；②若AB＝，请直接写出AA2的长．三、中考押题1．（1）问题感知如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB 交BC于点E，则图中与△BEP全等的三角形是，∠BAD＝°；（2）问题拓展如图2，在△ABC中，AC＝BC＝43AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间存在的数量关系为CP＝43AD，请给予证明；（3）问题解决如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB ＝30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP 的周长．2．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时ADCP的值．3．在正方形ABCD 中，AB ＝6，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是AB 所在直线上一点（不与点B 重合），将线段OE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ．（1）如图1，当点E 和点A 重合时，连接BF ，直接写出BF 的长为；（2）如图2，点E在线段AB上，且AE＝1，连接BF，求BF的长；（3）若DG：AG＝2：1，连接CF，H是CF的中点，是否存在点E使△GEH是以EG 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出EB的长；若不存在，试说明理由．4．观察猜想：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明：（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸：（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．5．如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．6．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α角(0°＜α＜180°)至△AB'C'的位置．问题探究：（1）如图1，当旋转角为60°时，连接C'C与AB交于点M，则C'C=，CM ．（2）如图2，在（1）条件下，连接BB'，延长CC'交BB'于点D，求CD的长．问题解决：（3）如图3，在旋转的过程中，连线CC'、BB'，CC'所在直线交BB'于点D，那么CD 的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大值：如果没有，请说明理由．7．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MGBE；＝2（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB 于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．8．已知:如图①，将60∠=的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将ADC沿射线DCDBCE点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM 方向平移，得到,绕点A逆时针旋转60，与EB的延长线交于点N，连接MN．()1①求证:ANB AMC∠=∠；②探究AMN的形状；()2如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45，原题其他条件不变，()1中的①和②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．9．已知点P 是线段AB 上与点,A B 不重合的一点，且,AP PB AP <绕点A 逆时针旋转角()090αα︒︒<≤得到1,AP BP 绕点B 顺时针旋转角α得到2BP ，连接12.PP PP 、（1）如图1，当90α︒=时，求12PPP ∠的度数；（2）如图2，当点2P 在1AP 的延长线上时，求证： 22122PP PP P A =⋅；（3）如图3，过BP 的中点E 作1l BP ⊥，过2BP 的中点F 作22l BP ⊥， 1l 与2l 交于点Q ，连接1,PQ PO ，若6,1BP AP QE ===，求1PQ 的长度.10．在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．11．有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A 顺时针旋转90︒后得到矩形AMEF （如图1），连接BD ，MF ，若8BD cm =，30ADB ∠=︒．（1）试探究线段BD 与线段MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把BCD ∆与MEF ∆剪去，将ABD ∆绕点A 顺时针旋转得11AB D ∆，边1AD 交FM 于点K （如图2），设旋转角为()090ββ︒<<︒，当AFK ∆为等腰三角形时，求β的度数；（3）若将AFM ∆沿AB 方向平移得到222A F M ∆（如图3），22F M 与AD 交于点P ，22A M 与BD 交于点N ，当//NP AB 时，求平移的距离．12．问题发现：（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC ， ∠BCD 的度数是；线段BD ，AC 之间的数量关系是．类比探究：（2）在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC ，请问（1）中的结论还成立吗？；拓展延伸：（3）如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，∠BDC ＝90°，若点P 满足PB ＝PC ，∠BPC ＝90°，请直接写出线段AP 的长度．13．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，ABC 和DEC 是两个全等的直角三角形纸片，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，30B E ∠=∠=︒，4AB DE ==．解决问题（1）如图①，智慧小组将DEC 绕点C 顺时针旋转，发现当点D 恰好落在AB 边上时，DE AC ，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE AD BD 、、，当DEC C 绕点C 继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出BDCAECSS=，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转DEC ，当B A E 、、三点共线时，求BD 的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为2的三角形（可添加字母）．14．探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有EF BE DF =+;（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,AB AC ==点D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．15．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E 、F 分别在正方形的边CB 、CD 上，连接AF ．取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD 、MN ．（1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM 、MN 的数量关系是；结论2：DM 、MN 的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．16．已知，把45°的直三角板的直角顶点E放在边长为6的正方形ABCD的一边BC 上，直三角板的一条直角边经过点D，以DE为一边作矩形DEFG，且GF过点A，得到图1．（1）求矩形DEFG的面积；（2）若把正方形ABCD沿着对角线AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC，把45°的直三角板的一个45°角的顶点与等腰直角三角形ABC的直角顶点B重合，直三角板夹这个45°角的两边分别交CA和CA的延长线于点H、P，得到图2．猜想：CH、PA、HP之间的数量关系，并说明理由；（3）若把边长为6的正方形ABCD沿着对角线AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC，点M是Rt△ABC内一个动点，连接MA、MB、MC，设MA+MB+MC＝y，直接写出2y 的最小值．17．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．（发现证明）小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的=1.41=1.73）18．如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF 的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．（4）如图3，连接CE交FG于点H，若13HFHG，请求出CF的长．参考答案变式题．思路点拨：（1）利用等腰三角形的性质求出∠COC1即可．（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．（3）①求出∠COC2即可，根据矩形的判定证明即可解决问题．②解直角三角形求出A2C2，再求出AA2即可．满分解答：（1）解：如图1中，由旋转可知：△A1B1C1≌△ABC，∴∠A1＝∠A＝30°，∵OC＝OA，OA1＝OA，∴OC＝OA1，∴∠OCA1＝∠A1＝30°，∴∠COC1＝∠A1+OCA1＝60°，∴n＝60°．（2）证明：如图2中，∵OC＝OA，OA1＝OC1，∴四边形AA1CC1是平行四边形，∵OA＝OA1，OC＝OC1，∴AC＝A1C1，∴四边形AA1CC1是矩形．（3）如图3中，①∵OA＝OA2，∴∠OAA2＝∠OA2A＝30°，∴∠COC2＝∠AOA2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴m＝120°，∵OC＝OA，OA2＝OC2，∴四边形AA2CC2是平行四边形，∵OA＝OA2，OC＝OC2，∴AC＝A2C2，∴四边形AA2CC2是矩形．＝6，②∵AC＝A2C2＝AB•cos30°＝×2∴AA2＝A2C2•cos30°＝＝名师点评：本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．中考押题1．证明：（1）∵点P是边AC的中点，PE∥AB，∴点E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AC＝BC，∴BE＝AP，∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．∴PB＝PD，∵∠APD+∠BPC＝90°，∠EBP +∠BPC＝90°，∴∠EBP＝∠APD，又∵PB＝PD，∴△PAD≌△BEP（SAS），∴∠PAD＝∠BEP，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵PE∥AB，∴∠ABC＝∠PEC＝45°，∴∠BEP＝135°，∴∠BAD＝∠PAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，故答案为：△PAD，90；（2）如图，过点P作PH∥AB，交CB的延长线于点H，∴∠CBA＝∠CHP，∠CAB＝∠CPH，∵CB＝CA，∴∠CBA＝∠CAB，∴∠CHP＝∠CPH，∴CH＝CP，∴BH＝AP，∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．∴PB＝PD，∵∠BPD＝∠C，∴∠BPD+∠BPC ＝∠C+∠BPC ， ∴∠PBH ＝∠APD ， ∴△APD ≌△HBP （SAS ）， ∴PH ＝AD ， ∵PH ∥AB ， ∴△CAB ∽△CPH ，∴H AC PC ABP = ∴HAC AB CPP = ∵AC ＝BC ＝43AB ，∴43CP PH =， ∴CP ＝43PH ＝43AD ；（3）当点P 在CA 的延长线上时， ∵AC ＝BC ＝AB ＝2， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝60°，∵将线段PB 绕点P 顺时针旋转60°到线段PD ， ∴BP ＝PD ，∠BPD ＝60°＝∠ACB ，过点P 作PE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ，∵∠ACB ＝∠APB+∠ABP ， ∴∠ABP ＝∠APB ＝30°， ∴AB ＝AP ＝2， ∴CP ＝4， ∵AB ∥PE ，∴PAB PE CAC = ∴CP ＝PE ＝4，由（2）得，PE ＝AD ＝4， ∵∠APD ＝∠APB+BPD ＝90°，∴DP =∴△ADP 的周长＝AD+AP+DP ＝，当点P 在AC 延长线上时，如图，同理可求△ADP 的周长＝6+综上所述：△ADP 的周长为6+2．解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠， CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆，PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠，AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒，故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=，PAC DAB ∴∠=∠，AB ADAC AP== DAB PAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB∴∥，45EFC ABC︒∴∠=∠=，45PAO︒∠=，PAO OFH∴∠=∠，POA FOH∠=∠，H APO∴∠=∠，90APC︒∠=，EA EC=，PE EA EC∴==，EPA EAP BAH∴∠=∠=∠，H BAH∴∠=∠，BH BA∴=，45ADP BDC︒∠=∠=，90ADB︒∴∠=，BD AH∴⊥，22.5DBA DBC︒∴∠=∠=，90ADB ACB︒∠=∠=，∴A，D，C，B四点共圆，22.5DAC DBC︒∠=∠=，22.5DCA ABD︒∠=∠=，22.5DAC DCA︒∴∠=∠=，DA DC∴=，设=AD a，则DC AD a==，2PD a=，2ADCP∴==-c．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：=DA DC，设=AD a，则CD AD a==，PD=，2PC a a ∴=-，22ADPC∴==+．3．解：（1）如图1，由旋转得：90OEF ∠=︒，OE EF =，四边形ABCD 是正方形，且边长为6， 62ACBD，45OAB ∠=︒，904545FEBOAB ，AB AB ，()AOBAFB SAS ，113222BFOBBDAC ，故答案为：（2）如图2，过O 作OG AB ⊥于G ，过F 作FHAB⊥于H ，四边形ABCD 是正方形，45OAB OBA ∴∠=∠=︒，90OGAOGB，AOG ∴∆和OGB 是等腰直角三角形，3AGBGOG，1AE =，2EG，90OEF ， 90OEG FEH，90FEHEFH，OEGEFH ，OE EF ，90OGEEHF，()OEG EFH AAS ，3OG EH，2EG FH ==，6132BHAB AE EH ，Rt FHB 中，由勾股定理得：22222222BFBH FH ；（3）存在GEH ∆是以EG 为直角边的直角三角形；6AD =，且:2:1DG AG ， 2AG ∴=，4DG =，分三种情况：①当90EGH ∠=︒时，E 在A 的左侧时，如图3，过F 作FM BC ⊥，交CB 的延长线于M ，过H 作HNFM 于N ，交AB 于P ，过H 作HQ AD ⊥于Q ，过O 作OKAB ⊥于K ，过F 作FL AB 于L ，设AE x =，同理得()OEK EFL AAS ，3OKEL，3EK FL x ，H 是CF 的中点，//HN CM ，113(63)222xFN MN BL x ，1639222x xHN CM ，93(3)22xxHPHNPN x ，Rt EGH 中，222EG GH EH ，∴22222233332(2)(6)(6)()2222x x x x x x，2720x x -+=，17412x ，27412x ，当17412x 时，7411941622BE （如图6所示），当27412x 时，7411941622BE；②当90GEH ∠=︒时，如图4，过F 作FM BC ⊥，交CB 的延长线于M ，过H 作HN FM于N ，交AB 于P ，过O 作OK AB ⊥于K ，过F 作FLAB 于L ，设BE x =，则6AE x ，同理得：3OK EL，3BLFMx ，3(6)3FL EKx x ，1322xHNCM ，3322x x EPBEPBx，39(3)22xxHP HN PNx，90GEH AEG PEH，90AEG AGE ∠+∠=︒，AGEPEH ，90EAG EPH ，GAE EPH ∽， ∴AG AEEPPH，即263922x x x ，250x x -=，解得：0x =（舍)或5，即5BE =；③如图5，当E 与B 重合时，90GEH∠=︒，此种情况不符合题意；综上，BE 的长是5． 4．【详解】（1）如图①中，∵∠EAF ＝∠BAC ＝90°， ∴∠BAF ＝∠CAE ， ∵AF ＝AE ，AB ＝AC ， ∴△BAF ≌△CAE ， ∴∠ABF ＝∠C，BF ＝CE ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为BF⊥BE，BC；（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H，∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝，∴BF+BE＝BH＝；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M，∵AC∥DH，∴∠ACH＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF ＝DE ，DB ＝DH ， ∴△BDF ≌△HDE ， ∴BF ＝EH ，∴BF +BE ＝EH +BE ＝BH ， ∵DB ＝DH ，DM ⊥BH ， ∴BM ＝MH ，∠BDM ＝∠HDM ， ∴BM ＝MH ＝BD •sin2α．∴BF +BE ＝BH ＝2n •sin 2α． 5．解：（1）如图，过点C′作C′H ⊥OF 于H ．∵△A′B′C′是由△ABC 绕点O 逆时针旋转得到， ∴C′O=CO=4，在Rt △HC′中， ∵∠HC′O ＝α＝30°，∴C′H ＝C′O•cos30°＝，∴点C′到直线OF 的距离为（2）①如图，当C′P ∥OF 时，过点C′作C′M ⊥OF 于M ．∵△A′B′C′为等腰直角三角形，P为A′B′的中点，∴∠A′C′P=45°，∵∠A′B′O=90°，∴∠OC′P=135°.∵C′P∥OF，∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，∴△OC′M是等腰直角三角形，∵OC′＝4，=∴C′M＝C′O•cos45°=4×2∴点C′到直线DE的距离为如图，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．同法可证△OC′N是等腰直角三角形，∴C′N＝∵GD=2，∴点C′到直线DE的距离为2．②设d为所求的距离．第一种情形：如图，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．∵OC=4，AC=2，∠ACO=90°，=∴=OA=∵OM＝2，∠OMA′＝90°，∴A′M4，又∵OG=2，∴DM=2，∴A′D＝A′M-DM=4-2=2，即d＝2，如图，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．∵P为A′B′的中点，∠A′C′B′=90°，∴PQ∥A′C′，∴12 B P CQ PQB A BC A C'=== ''''''∵B′C′=2∴PQ＝1，CQ=1，∴Q点为B′C′的中点，也是旋转前BC的中点，∴OQ=OC+CQ=5∴OP，∴PM=∴PD＝2PM DM-=-，∴d2，∴2．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝2，即d＝2，如图，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR∥OQ 交OB′于R，连接OP．由上可知OP OF＝5，∴FP1，∵OF＝OT，PF＝PT，∠F＝∠PTO＝90°，∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL），∴∠FOP＝∠TOP，∵PQ∥OQ，∴∠OPR＝∠POF，∴∠OPR＝∠POR，∴OR＝PR，∵PT2+TR2＝PR2，22215PR PR∴+（﹣）＝∴PR＝2.6，RT＝2.4，∵△B′PR∽△B′QO，∴B ROB''＝PRQO，∴3.46＝2.6OQ，∴OQ＝78 17，∴QG＝OQ﹣OG＝4417，即d＝4417∴2≤d＜44 17，第三种情形：当A′P经过点F时，如图，此时FG=3，即d＝3．综上所述，﹣2或d ＝3．6．解：（1）如图1中，作MH AC ⊥于H ．当旋转角为60︒时，60CAC ，AC AC ='， ACC 是等边三角形，2CC AC ，60MCH ，设CH x =，则3MH AH x ，2x ∴=，1x ∴=，2232CM CH ．故答案为2，2．（2）如图2中，作BH CD ⊥于H ．AB AB ='，60BAB ，ABB 是等边三角形，60DBM ACM ， DMB AMC ，45BDC BAC ∴∠=∠=︒， 30BCH BCA ACC ，1BH DH BC，CH=12CD CH DH．13（3）CD的长有最大值．理由：如图3中，B AC BAC，45B ABC AC，='，AB AB'=，AC AC∴AB AB，AC AC∴△B AB∽△C AC，DBM ACM，DMB AMC，45BDM MAC，取AB的中点H，以H为圆心，HB为半径作H，连接CH．=，90CA CB∠=︒，ACB∴⊥，CH BH AH，CH ABBHC，901BDC BHC，2∴=时，CD的值最大，此时CD=．点D的运动轨迹是H，当CD AB7．【详解】（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4，∴AO＝CO＝OB＝，∵BE ，∴OE ，∵AC ⊥BD ，∴∠COE ＝90°，∴CE ==,由旋转得：CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴△CEF 的面积＝211522CE ==；（2）证明：如图2，过E 作EN ⊥AB 于N ，作EP ⊥BC 于P ，∵EP ⊥BC ，FM ⊥CD ，∴∠EPC ＝∠FMC ＝90°，∵∠BCD ＝∠ECF ＝90°，∴∠PCE ＝∠MCF ，∵CE ＝CF ，∴△CPE ≌△CMF （AAS ），∴EP ＝FM ，∵EP ⊥BC ，EN ⊥AB ，BE 平分∠ABC ，∴EP ＝EN ，∴EN ＝FM ，∵FM ⊥CD ，∴∠FMG ＝∠ENH ＝90°，∵AB ∥CD ，∴∠NHE ＝∠MGF ，∴△NHE ≌△MGF （AAS ），∴NH＝MG，∴BH+MG＝BH+NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，BE，∴BN＝2BE；∴BH+MG＝2BE，理由是：（3）解：BH﹣MG＝2如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，∴EP⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠M＝∠ECF＝90°，∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠ECP＝∠CFM，∵CE＝CF，∴△CPE≌△FMC（AAS），∴PC＝FM，∵△DPE是等腰直角三角形，∴PE＝PD，∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，∵AB ∥CD ，∴∠H ＝∠FGM ，∵∠ENH ＝∠M ＝90°，∴△HNE ≌△GMF （AAS ），∴NH ＝MG ，∴BH ﹣MG ＝BH ﹣NH ＝BN ，∵△BEN 是等腰直角三角形，∴BN ＝2BE ，∴BH ﹣MG ＝2BE ． 8．【详解】（1）如图1，①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，∵∠D =60°，∴△ADC 和△ABC 是等边三角形，∴AB AC =，∠BAC =60°，∵∠NAM =60°，∴∠NAB =∠CAM ，由△ADC 沿射线DC 方向平移得到△BCE ，可知∠CBE =60°， ∵∠ABC =60°，∴∠ABN =60°，∴∠ABN =∠ACB =60°∴△ANB ≌△AMC ，∴∠ANB =∠AMC ； ②如图1，△AMN 是等边三角形，理由是：由△ANB≌△AMC，∴AM=AN，∵∠NAM=60°，∴△AMN是等边三角形；（2）①如图2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：在正方形ABCD中，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，∵∠NAM=45°，∴∠ANB=∠AMC，由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=180°-90°−45°=45°，∴∠ABN=∠ACM=45°，∴△ANB∽△AMC，∴∠ANB=∠AMC；②如图2，不成立，△AMN是等腰直角三角形，理由是：∵△ANB∽△AMC，∴AN AB AM AC=，∴AN AM AB AC=，∵∠NAM=∠BAC=45°，∴△NAM∽△BAC，∴∠ANM =∠ABC =90°， ∴△AMN 是等腰直角三角形. 9．【详解】（1）解：由旋转的性质得：AP=AP 1，BP=BP 2． ∵α=90°，∴△PAP 1和△PBP 2均为等腰直角三角形， ∴∠APP 1=∠BPP 2=45°，∴∠P 1PP 2=180°-∠APP 1-∠BPP 2=90°；（2）证明：由旋转的性质可知△PAP 1和△PBP 2均为顶角为α的等腰三角形， ∴∠APP 1=∠BPP 2=90°2α-， ∴∠P 1PP 2=180°-（∠APP 1+∠BPP 2）=180°-2(90°2α-)=α，在△P 2P 1P 和△P 2PA 中，∠P 1PP 2=∠PAP 2=α，又∵∠PP 2P 1=∠AP 2P ，∴△P 2P 1P ∽△P 2PA ， ∴12222PP P P P P P A=， ∴22122PP PP P A =⋅；（3）证明：如图，连接QB ，并过A 作1AM PP ⊥，垂足为M ，则12PAM α∠=，112PM PP =， ∵l 1，l 2分别为PB ，P 2B 的中垂线，2BP BP =，∴QP=QB ，PE=BE=BF=12BP = 又∵BQ=BQ ，90QEB QFB ∠=∠=︒，∴()Rt QEB Rt QFB HL ∆∆≌， ∴21122QPE QBE QBF P BP α∠=∠=∠=∠=， ∴12111909090222APP QPE PAM P BP αα∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒， ∴190PPQ ∠=︒， ∵12QPE PAM α∠=∠=∠，90AMP PEQ ∠=∠=︒， ∴AMP PEQ ∆∆， ∴AP PM PQ QE=，在Rt PEQ ∆中，4PQ ===，且AP=6，QE=1， ∴32AP QE AP QE PM PQ PQ ⋅⋅===，123PP PM ==， ∴1Rt PPQ ∆中，15PQ ===． 10．解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°．∴∠CC 1A 1=∠CC 1B+∠A 1C 1B=45°+45°=90°．（2）∵由旋转的性质可得：△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1． ∴11BA BA BC BC =，∠ABC+∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1 ∴∠ABA 1=∠CBC 1．∴△ABA 1∽△CBC 1∴1122ABA CBC S AB 416S CB 525∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵S △ABA1=4，∴S △CBC1=254．（3）过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，∵△ABC 为锐角三角形，∴点D 在线段AC 上．在Rt △BCD 中，BD=BC×sin45°①如图1，当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小．最小值为：EP 1=BP 1﹣BE=BD ﹣2．②如图2，当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大．最大值为：EP 1=BC+BE=5+2=7．11．【详解】（1）解：BD MF =，BD MF ⊥．延长FM 交BD 于点N ，根据旋转的性质得：AB=AM ，AD=AF ，∠BAD=∠MAF=90°∴BAD MAF ∆∆≌．∴BD MF =，ADB AFM ∠=∠．又∵DMN AMF ∠=∠，∴90ADB DMN AFM AMF ∠+∠=∠+∠=︒，∴90DNM ∠=︒，∴BD MF ⊥（2）解：如图2，①当AK FK =时，30KAF F ∠=∠=︒，则111180*********BAB B AD KAF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，即60β=︒；②当AF FK =时，75FAK ∠=︒，∴19015BAB FAK ∠=︒-∠=︒，即15β=︒；∴β的度数为60︒或15︒（3）如图3，由题意得矩形2PNA A ．设2A A x =，则PN x =，在222Rt A M F ∆中，∵228F M FM ==，∴224A M =，22A F =∴2AF x =．∵290PAF ∠=︒，230PF A ∠=︒，∴2tan 3043AP AF x ︒=⋅=-．∴43PD AD AP x =-=+． ∵//NP AB ，∴DNP B ∠=∠．∵D D ∠=∠，∴DPN DAB ∆∆∽． ∴PN DP AB DA=．∴44x x =，解得6x =-26A A =-答：平移的距离是(6cm -．12．【详解】解：（1）如图3，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，设BC=m ．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，由BC=AB ·tan30°，BC=AC ·sin30°，得AC=2m ，， ∵AC=AD ，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m ，∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt △DEC 中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m ，∴CE=CD·cos60°=m ，DE=CE ·tan60°，∴在Rt △BED 中，，∴BD AC ，故AC ．故答案为：120°；AC ．（2）不成立，理由如下：设BC=n ，在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m ，n ，∵AC=AD ，∠CAD=90°，∴△CAD 为等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，AC= 2n ，∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt △BCD 中，，∴BD AC ，故AC ．答案为：90°；．故结论不成立．（3）AP 或；解答如下：∵PB=PC ，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A 、B 、C 、P 四点共圆，以线段BC 的中点为圆心构造⊙O ，如图4，图5，分类讨论如下：①当点P 在直线BC 上方时，如图4，作PM ⊥AC ，垂足为M ，设PM=x ．∵PB=PC ，∠BPC=90°，∴△PBC 为等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP 为等腰直角三角形，∴AM=PM=x ，x ，在Rt △ABC 中，AB=2，AC=4，∴PC=BC·sin45°，在Rt △PMC 中，∵∠PMC=90°，PM=x ，PC=，CM=4-x ，∴()2224x x +-=，解得：11x =，23x =（舍），∴；②当点P 在直线BC 的下方时，如图5，作PN ⊥AB 的延长线，垂足为N ，设PN=y ．同上可得△PAN 为等腰三角形，∴AN=PN=y ，∴BN=y-2，在Rt △PNB 中，∵∠PNB=90°，PN=y ，BN=y-2，，∴()2222y y +-=，解得：13y =，21y =-（舍），∴=AP 或 13．【详解】（1）如图①中，∵△DEC 绕点C 旋转点D 恰好落在AB 边上，∴AC=CD ，∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE ，∴DE ∥AC ；（2）如图②中，作DM ⊥BC 于M ，AN ⊥EC 交EC 的延长线于N ．∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到∴BC=CE ，AC=CD ，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM ，在△ACN 和△DCM 中，90ACN DCM CMD N AC CD ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ACN ≌△DCM （AAS ），∴AN=DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S △BDC =S △AEC ．（3）如图③中，作CH ⊥AD 于H ．∵，∵B ，A ，E 共线，∴∠BAC+∠EAC=180°，∴∠EAC=120°，∵∠EDC=60°，∴∠EAC+∠EDC=180°，∴A ，E ，D ，C 四点共圆，∴∠CAD=∠CED=30°，∠BAD=90°，∵CA=CD ，CH ⊥AD ，AC=CD=12AB=2∴∴，∴BD ===（4）如图①中，设DE 交BC 于T ．因为含有30°的直角三角形的三边之比为12，由（1）可知△BDT ，△DCT ，△ECT 都是含有30°的直角三角形，∴△BDT ，△DCT ，△ECT 符合条件．14．【详解】（1）①如图1，∵把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，BE DG =∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴45BAE DAF ∠+∠=︒，∴45DAG DAF ∠+∠=︒，即45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS ≌，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；②180B D ∠+∠=︒，理由是：把ABE △绕A 点旋转到ADG ，使AB 和AD 重合，则AE AG =，B ADG ∠=∠，BAE DAG ∠=∠，∵180B ADC ︒∠+∠=，∴180ADC ADG ∠+∠=︒，∴C ，D ，G 在一条直线上，和①知求法类似，45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS △≌△，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；故答案为：180B D ∠+∠=︒（2）∵ABC中，AB AC ==90BAC ∠=∴45ABC C ∠=∠=︒，由勾股定理得：4BC === ，把AEC 绕A 点旋转到AFB △,使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF AE =，45FBA C ∠=∠=︒，BAF CAE ∠=∠，∵45DAE ∠=︒，∴904545FAD FAB BAD CAE BAD BAC DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∴45FAD DAE ∠=∠=︒，在FAD △和EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FAD EAD △≌△，∴DF DE =，设DE x =，则DF x =，∵1BC =，∴413BF CE x x ==--=-，∵45FBA ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴90FBD ∠=︒，由勾股定理得：222DF BF BD =+，。

2023年北京中考数学重难题型专题02以三角形为载体的几何压轴问题(真题模考题共34题)练习版

2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题02以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟共34题）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢北京市中考的倒数第二道大题多数是已三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三角形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．（2）涉及到计算边的关系解题要领：①线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；②在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；③根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；④已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；⑤直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理．（3）涉及角平分线问题的解题要领：①已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；②角平分线的性质常常与三角形的面积相结合．解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：①已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；②通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；③熟记特殊直角三角形的三边关系：30°角的直角三角形的三边的比为1∶∶2，等腰直角三角形的三边关系为1∶1∶；④锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．6．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．2．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.3．（2019·北京·中考真题）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P 为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．4．（2020·北京·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长（用含a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点P为射线BC 上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，的值；①依题意在图1中补全图形：②求出此时α的值和BPPC(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有AP的值为定值，并证明；PM2．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．(1)求证：△ABH≌△EAF；(2)如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求BE的值．EC3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P 在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．5．（2022·北京密云·二模）如图，在等边△ABC中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD 于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．8．（2022·北京顺义·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京北京·二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．10．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA=90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC=m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF 成立，补全图形并证明．11．（2022·北京昌平·二模）如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点B在射线ON上，连接AB交OP于点C，过点A作ON的垂线，分别交OP，ON于点D，E，作∠OAE的平分线AQ，射线AQ与OP，ON分别交于点F，G．(1)①依题意补全图形；②求∠BAE度数；（用含α的式子表示）(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=√2AF（点A不与点O重合），并证明．12．（2022·北京海淀·二模）已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC 重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE +DE =AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．13．（2022·北京市十一学校二模）如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE，DP+PE=5．(1)当DP=PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断射线OA上是否存在一个定点M，使得DM的值不变？并证明你的判断．ME14．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．15．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．16．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．17．（2022·北京·二模）如图，在等边ΔABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．(1)如图1，当点E与点D重合时．①依题意补全图形；②判断AB与EG的位置关系；(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．18．（2022·北京朝阳·一模）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系（不需证明）．19．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．20．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．21．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°<α<90°），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE 的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE（其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为B′，求线段B′E与CD的数量关系；(2)当α=32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．23．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．24．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝√5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．25．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．26．（2012·北京顺义·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．27．（2015·北京·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝√2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．28．（2021·北京·二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α (0°＜α＜60°)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．。

初中数学解题方法实例解析与压轴题答题技巧

初中数学解题方法实例解析与压轴题答题技巧配方法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。

配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

例：用因式分解法解一元二次方程换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

例：换元法化简整式（x+2y）2 -（x-2y） 2换元法1令a= x+2y，b= x-2y原式=a 2 -b 2=（a+b）（a-b）a+b=2x，a-b=4y∴原式=2x•4y=8xy换元法2令a=x，b=2y原式=（a+b）2 -（a-b） 2=（a 2 +2ab+b 2 ）-（a 2 -2ab+b 2 ）=4ab=8xy判别式&韦达定理一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

北京中考数学二次函数综合题难题压轴题解析汇总

北京中考数学----二次函数综合题24、（2007•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过P（，5），A（0，2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标．考点：二次函数综合题。

专题：代数综合题。

分析：（1）把P，A坐标代入抛物线解析式即可．（2）先设出平移后的直线l的解析式，然后根据（1）的抛物线的解析式求出C点的坐标，然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式．（3）本题关键是找出所求点的位置，根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等，因此这类点应该有4个，均在△OBC的内角平分线上（△OBC外有3个，三条角平分线的交点是一个），可据此来求此点的坐标．解答：解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为：．（2）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），依题意，可得C（，﹣1），且直线过原点，设直线的解析式为y=kx，则，解得，所以直线l的解析式为．（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形．易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点，作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点，反向延长线交x轴于M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点．可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：①OM1==×2=，所以点M1的坐标为（，0）．②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0，2），③点M3与点A关于x轴对称，所以点M3的坐标为（0，﹣2），④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，M4N=，且ON=M4N，所以点M4的坐标为（，0）综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：M1（，0）、M2（0，2）、M3（0，﹣2）、M4（，0）．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，一次函数的平移以及角平分线定理的应用等知识点．综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法24、（2008•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．考点：二次函数综合题。

中考数学压轴题解题技巧

关于中考数学压轴题的思考思考一：中考数学压轴题如何攻克对中考数学卷，压轴题是考生最怕的，以为它一定很难，不敢碰它。

其实，对历年中考的压轴题作一番分析，就会发现，其实也不是很难。

这样，就能减轻做“压轴题”的心理压力，从中找到应对的办法。

压轴题难度有约定：历年中考，压轴题一般都由3个小题组成。

第（1）题容易上手，得分率在0.8以上；第（2）题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第（3）题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。

近十年来，最后小题的得分率在0.3以下的情况，只是偶尔发生，但一旦发生，就会引起各方关注。

控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识，“起点低，坡度缓，尾巴略翘”已成为各地区数学试卷设计的一大特色，以往茂名卷的压轴题大多不偏不怪，得分率稳定在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。

由此可见，压轴题也并不可怕。

压轴题一般都是代数与几何的综合题，很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识。

如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。

方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式，就是根据已知的几何条件列出代数方程而得解的，这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。

动态几何问题中有一种新题型，如北京市去年的压轴题，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。

在这类动态几何问题中，锐角三角比作为几何计算的一种工具，它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。

总之，压轴题有多种综合的方式，不要老是盯着某种方式，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。

分析结构理清关系：解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的，还是“递进”的，这一点非常重要。

如果（1）、（2）、（3）三个小题是平列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，（1）的结论与（2）的解题无关，（2）的结论与（3）的解题无关，整个大题由这三个小题“拼装”而成。

中考数学几何压轴题解题技巧

初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

北京 2023 中考数学压轴题

北京2023中考数学压轴题1. 介绍北京2023年的中考数学压轴题备受关注，各方学生和教师都在紧张地备战之中。

今天，我们将深入探讨这个备受瞩目的数学压轴题，并从多个角度进行全面评估，以便更深入地理解和准备。

2. 考题内容概述据相关消息透露，北京2023年中考数学压轴题将涉及几何、代数、概率与统计等多个知识领域，难度相对较大。

这对考生的综合应用能力和解题技巧提出了更高的要求。

为了更好地理解这些内容，让我们分模块来进行深入探讨。

3. 几何部分分析在几何部分，考生可能会面对关于平行线、相似三角形、圆的性质等问题。

这些内容需要考生具备较强的几何图形分析和推理能力，更加注重细节和逻辑性。

4. 代数部分分析代数部分可能涉及方程与不等式、函数与图像、数列与级数等内容，要求考生能够熟练掌握代数式的运算规律和解题技巧，应用数学语言描述图像，推导数列的通项公式等。

5. 概率与统计部分分析概率与统计部分往往会考察学生对概率计算和统计分析的能力，包括概率事件、频率分布、样本调查等内容。

这部分考题需要考生具备较强的数据分析和逻辑推理能力。

6. 总结和回顾北京2023年中考数学压轴题所涉及的内容十分广泛，难度较大。

考生们在备战中需要加强对各个知识点的掌握和综合应用能力的提升。

对于备考的过程中也要注重总结和回顾，以便更全面、深刻和灵活地理解主题。

7. 个人观点和理解作为我个人的观点和理解，北京2023年中考数学压轴题是对学生综合数学素养的一次大考验。

学生们需要以全面的知识储备、深刻的理解和优秀的解题技巧，迎接这一挑战。

而备战考试也是一个巩固知识的过程，希望每一位学生都能够在备考中收获更多。

8. 结语通过本文的全面评估和讨论，相信读者对北京2023年中考数学压轴题有了更深入的了解。

希望所有学生在备战中都能充分发挥自己的潜力，取得优异的成绩。

基于上述内容，我们可以进一步探讨备战北京2023年中考数学压轴题的一些具体建议和策略，以帮助学生们更好地应对这一挑战。

初中数学压轴题的教学实践与思考

初中数学压轴题的教学实践与思考摘要：随着新课标和新课改的普遍实施，中学生的数学能力不断增强，“压轴题的教学”也成为很多学生和家长及教师所关注的一个重要环节。

从以往的考试和教学情况来看，压轴题在考试中至少占十分，若是学生在考试中把握好这道题目，必将很大程度上提高数学成绩。

因此，作为一名初中数学老师，就要对压轴题如何进行教学进行思考和实践，对学生进行系统的压轴题训练，提高学生的答题质量、答题速度，本文将围绕初中数学压轴题的教学实践与思考展开一个研究分析。

关键词：初中数学，压轴题，教学实践，教学思考引言：初中数学设置压轴题主要目的是为了考查学生综合运用数学知识的能力。

相对于其它题目来说，压轴题型是比较难的，因为它属于一种选拔性的题目，大多数的同学在解这道题目的过程中既费时又耗力，却仍然无法计算出正确的答案。

这个现象是压轴题教学实践的一个重难点，需要教师在教学中额外的关注，进而提高全体学生的解题能力。

本文结合日常数学教学经验，对如何提高学生压轴题解题能力进行分析和研究，并总结出以下提高初中数学压轴题教学质量的策略。

一、学会抓住题目的真正意图，提高做题效率初中数学考试考查学生的逻辑能力、思维能力、运算能力等，因此出题人必须设置一道综合性的题目来判断学生的数学知识综合运用水平。

由此得出，出题人在设置压轴题的时候，一定会将许多的知识联系起来，如果学生不经过系统的训练，无法理解出题人的意图，那在短时间内根本不可能正确的解答完毕，所以在教学的时候，教师不仅要教给学生做题方法，更要教给学生学会看透题目的本质，从而有效且快速的解答出来。

例如，根据近几年以来中考数学压轴题的发展趋势，很多出题人都偏向于将函数与几何、坐标与几何图形结合起来考查学生的数学综合能力，一旦将两种或两种以上的知识综合起来，题目的复杂程度就会相对增加，很多同学甚至在理解题目的时候就出现了一定的困难。

比如在一道压轴题中，题目内容是这样的：“点Q是二次函数图像上的一个动点，同时y轴上的另外两个定点M、P与点Q构成一个三角形……”很多学生在一看到这个问题的时候，就会认为涉及动点的题目太过复杂，因此就很难继续分析下去。