2016-2017高三高考命题比赛数学试卷1 (28)

2016-2017年高考模拟试卷数学卷（理）考试时间：120分钟 满分：150分选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合{}3|≥=x x A ，}2log {2<=x x B ，则()=B A C U （ ） A ．{}13x x << B ．}3{<x xC ．}43{<≤x xD ．}30{<<x x （原创）2．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸， 则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．123．命题“]1,2[-∈∀x ，02≤-a x 恒成立”为真命题的一个充分不必要 条件是（ ）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤ （改编）4．无穷等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，其中*N n ∈，则下列命题不正确．．．的是（ ） A ．若0>n a ，则n S 0> B ．若n S 0>，则0>n aC ．若0>n a ，则}{n S 是单调递增数列D ．若}{n S 是单调递增数列，则0>n a5．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是（ ）A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+>6．已知1=xy ，且220<<y ，则yx y x 2422-+的最小值为（ ）A ．4B ．29C ．22D ．24 （改编）7．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ） A ．}4|),{(=+μλμλB ．}4|),{(22=+μλμλ C ．}44|),{(2=-μλμλD ．}4|),{(22=-μλμλ俯视图2（第4题）侧视图正视图（第2题图）8．已知1F ，2F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，4||21=F F ，点A 在双曲线的右支上，线段1AF 与双曲线左支相交于点B ，AB F 2∆的内切圆与边2BF 相切于点E ．若||2||12BF AF =，22||=BE ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．22 B ．2C ．3D ．2（改编）非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知圆04222=++-+m y x y x C ：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是___________． （原创） 10．已知)cos (sin 212cos ααα+=，则cos sin αα-= ，sin 2α= ． （根据2016届嵊州市高三上期末试卷第9题改编）11．知函数()21,0,=1,0,x x f x x x ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩()=21x g x -，则()()2f g = ，()g f x ⎡⎤⎣⎦的值域为 ．12．正项等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)(412312-+++=n n a a a S ，且27321=a a a ，则=5a ___________．13．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点，则直线MC 与平面1ACD 所成角的正弦值为___________．（根据2015年浙江省数学竞赛第3题改编）14．设R m ∈，实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥.0623,0632,y x y x m y ，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．（根据2016届金丽衢十二校第一次联考第6题改编）15．已知向量,a b 的夹角为3π，6=-b a，向量c a - ，c b - 的夹角为23π，c a -= 则a 与c 的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．（根据2015年浙江省高中数学竞赛16题改编）三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知A 1 （第13题图）cos (cos )cos 0C A A B +=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2=+c a ，求b 的取值范围．（根据慈溪中学2016届高三上期中试卷16题改编）17．（本题满分15分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ，M 为DC 的中点． 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ． （Ⅰ）求证：BM AD ⊥；（Ⅱ）若)10(<<=λλ，当二面角D AM E --大小为3π时，求λ的值．18．（本题满分15分）已知函数c bx ax x f ++=2)(，当1≤x 时，1)(≤x f 恒成立． （Ⅰ）若1=a ，c b =，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）若a bx cx x g +-=2)(，当1≤x 时，求)(x g 的最大值．（原创）19．（本题满分15分）设点P 是椭圆14:221=+y x C 上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t yt x C 交于B A ,两点．（Ⅰ）求证：PB PA =；（Ⅱ）OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值； 若不是，请说明理由． （原创）20．（本题满分15分）正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ，11=a ．A（第17题图）（Ⅰ） 求2a 的值；（Ⅱ） 证明：对任意的*N n ∈，12+≤n n a a ；（Ⅲ）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*N n ∈，32121<≤--n n S ．（根据宁波效实中学2015届高考模拟测试卷20题改编）2016年高考模拟试卷数学（理）答题卷本次考试时间120分钟，满分150分，所有试题均答在答题卷上一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9、，；10、，；11、，；12、；13、；14、；15、，.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A（第17题图）2016年高考模拟试卷数学（理）参考答案和评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分40分． 1． D 【命题意图】 考查集合、交集、补集的概念．由}3{<=x x A C U ，}40{<<=x x B ，所以()}30{<<=x x B A C U ，故选D ．2． B 【命题意图】 考查几何体的三视图和体积公式，同时考查空间想象能力． 三视图对于的几何体是四棱锥，其体积42224231=⨯⨯+⨯=V ，故选B ．3． C 【命题意图】 考查命题真假的判定以及充分必要条件有关概念．]1,2[-∈∀x ，02≤-a x 恒成立⇔4≥a ，所以5a ≥为其充分不必要条件，故选C ．4． D 【命题意图】 考查等差数列通项与前n 项和之间的关系．若0>n a ，021>+++=n n a a a S ，且01>=--n n n a S S ，}{n S 是单调递增数列； 若n S 0>，且}{n a 为无穷等差数列，则011>=S a 且0≥d ，故0>n a ； 若32-=n a n ，则}{n S 是单调递增数列，但0>n a 不成立．故选D ． 5． B 【命题意图】 考查函数图象和性质．当0<a 时，如图所示，()y f x =的图象与()y g x =图象交于B A ,两点，),(11y x A ，),(22y x B ，点A 关于原点的对称点为),(11y x A --'．所以，0)(1221>--=+x x x x ，0)(1221<--=+y y y y ．故选B ．6． A 【命题意图】 考查运用基本不等式求最值． 1=xy 且220<<y ，可知2>x ，所以02>-y x ． 424224)2(24222≥-+-=-+-=-+yx y x y x xy y x y x y x ，当且仅当213,13-=+=y x 时等号成立．故选A ．7． C 【命题意图】 考查元素与集合的概念、不等关系、方程的几何意义． 由题意可知，对任意的y x ,满足11222222≤+⇒≤+y x y x μλ恒成立．当0,1==y x 时，12≤λ；当1,0==y x 时，12≤μ． 而当⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.1,122μλ时，1222222≤+≤+y x y x μλ成立．当1,0-==μλ时，442=-μλ成立．故选C ．8． C 【命题意图】 考查双曲线的几何性质．设t BF AF 2212==，由双曲线定义知a t BF 22+=，a t AF 221+=．所以a t AB 2+=，244222==-+=a AF BF AB BE ， 故2=a ，222==e ，故选B ．二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分． 9． )2,1(-，5<m 【命题意图】 考查圆的方程及其几何圆心坐标．圆C 的标准方程为m y x -=++-5)2()1(22，所以圆心坐标为)2,1(-，052>-=m r ，所以5<m ．10．21，43【命题意图】 考查二倍角公式、三角恒等变换． )c o s (s i n 21s i n c o s 2c o s22ααααα+=-=，所以21sin cos =-αα． 412sin 1)sin (cos 2=-=-ααα，432sin =α．11．2，[)1-+∞， 【命题意图】 考查指数函数、分段函数的概念，函数值域． 2)3())2((==f g f ．设),1()(+∞-∈=x g t ，当0>t 时，1)(->t f ；当01≤<-t 时，0)(1<≤-t f ．所以1)(-≥t f ．12．81 【命题意图】 考查等比数列的通项与前n 项和公式．)(4))(1(123112312--+++=++++=n n n a a a a a a q S ，所以公比3=q ，2732321==a a a a ，故32=a ．所以815=a ．13．515【命题意图】 考查直线与平面所成角的概念，同时考查空间想象能力．设AC 中点为N ，连接D B MN 1,，因为⊥D B 1平面1ACD ，所以⊥MN 平面1ACD ．设正方体边长为a ，a D B MN 2321==，a MC 25=．所以A 1 （第13题图）515sin =∠MCN ． 14．63≤≤-m 【命题意图】 考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围，同时考查数形结合思想． 二元不等式（组）表示的区域如图所示（ABC ∆及其内部区域），52y x d +=表示原点)0,0(O 到直线02:=+y x l 的距离，点)6,6(A 到直线l 的距离5185612≤+=d 成立．点),263(m m B -到直线l 的距离518563≤+-=mm d ，解得63≤≤-m ．15．6π，31218+ 【命题意图】 考查向量运算的几何意义以及解斜三角形，同时考查数形结合的思想． ,,OA a OB b OC c ====c a -==6=-b a．又3π=∠AOB ，32π=∠ACB ，此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得6π=∠=∠BAC ABC ．在ACO ∆中，AOC ABC ∠=∠6π=．由余弦定理得2222cos AC a c a c AOC =+-∠ ，即)32(123212+≤⇒-≥c a c a c a ，所以31218cos +≤∠=⋅AOC c a c a，当623+==c a时取“=”，因此a c ⋅ 的最大值为31218+．三、解答题：本大题共5小题，共74分． 16．【命题意图】考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．满分14分．（Ⅰ）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，即sin sin cos 0A B A B =， （3分）且sin 0A ≠，故sin 0tan B B B =⇒=3B π⇒=； （6分）（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-，又因为2=+c a ，1cos 2B =，所以1)1(322+-=a b ， （10分） 且20<<a ，故412<≤b ，即21<≤b ． （14分）17．【命题意图】 考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考察空间想象能力和运算求解能力．满分15分．（Ⅰ）由于2,2===BM AM AB ，则AM BM ⊥，又平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ，故⊥BM 平面ADM ． （3分） 又⊂AD 平面ADM ，从而有BM AD ⊥． （6分）（Ⅱ）（方法一）过点E 作MB 的平行线交DM 于F ，由⊥BM 平面ADM 得⊥EF 平面ADM;在平面ADM 中过点F 作AM 的垂线，垂足为H ，连接HE ，则EHF ∠即为二面角D AM E --的平面角，大小为3π． （9分） 设x FM =，则,22,1x FH x DF =-=在FHM Rt ∆中，由︒︒=∠=∠60,90EHF EFH ，则x FH EF 263==． 由324322,11226,,2,//-=+=-===x x xDM DF MB EF MB MB EF 解得即则．（12分） 故当二面角D AM E --大小为3π时，332-=DB DE，即332-=λ． （15分） （方法二）以M 为原点，MB MA ,所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)22,0,22(D ，且)22,2,22(--==λλDB DE ， 所以，))1(22,2),1(22(λλλ--E ， （9分）设平面EAM 的法向量为),,(z y x =，则02==⋅x MA m ，0)1(222)1(22=-++-=⋅z y x λλλ， 所以，)2,1,0(λλ-=．又平面DAM 的法向量为)0,1,0(=， （12分）Ayzx所以，214)1(1,cos 22=+--=><λλλ，解得332-=λ或332--=λ（舍去）． 所以，332-=λ． （15分） 18．【命题意图】 考查函数单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）由1=a 且c b =，得4)2()(222b b b x b bx x x f -++=++=，当1=x 时，11)1(≤++=b b f ，得01≤≤-b ． （3分） 故)(x f 的对称轴]21,0[2∈-=b x ， 所以当1≤x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≤=-=-≥-=-=.11)1()(,14)2()(max 2min f x f b b b f x f ， （5分） 解得 222222+≤≤-b综上，实数b 的取值范围为]0,222[-． （7分） （Ⅱ）由当1≤x 时，1)(≤x f 恒成立，可知1)1(≤-f ，1)0(≤f ，1)1(≤f ，且由 c b a f +-=-)1(，c f =)0(，c b a f ++=)1(， 解得2)0(2)1()1(f f f a -+-=，2)1()1(--=f f b ，)0(f c =． （10分）故2)0(2)1()1(2)1()1()0()(2f f f x f f x f xg -+-+---= })1(,)1(m a x {1)0(2)1()1(2)1()1()1)(0(22f f x f f f x f f x f -+-≤+-+--+-≤211=+≤ （13分）且当1,0,2-===c b a 时，若1≤x ，则112)(2≤-=x x f 恒成立，且当0=x 时，2)(2+-=x x g 取到最大值2．所以，)(x g 的最大值为2． （15分）19．【命题意图】 考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．（Ⅰ）若直线AB 斜率不存在，则点P 在x 轴上，由对称性可知，PB PA =； （1分） 若直线AB 斜率存在，设m kx y AB +=:，),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x P联立.)1(4,22⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=λλy x m kx y 可得0448)14(222=-+++λm kmx x k （3分） 当1=λ时，直线AB 与椭圆1C 切于点P ，0)1)(14(16642222=-+-=∆m k m k ，解得 1422+=k m ，14420+-=k kmx ； （5分）当2t =λ时，线段AB 中点的横坐标02211442x k kmx x =+-=+． 所以，点P 为线段AB 中点，PB PA =． （7分） （Ⅱ）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，故122-=∆t S OAB ． （9分）若若直线AB 斜率存在，由（Ⅰ）可得148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ， 141141222212+-+=-+=k t k x x k AB ， （11分）点O 到直线AB 的距离2221141kk km d ++=+=， （13分）所以，12212-=⋅=∆t d AB S OAB ． 综上，OAB ∆的面积为定值122-t ． （15分） 20．【命题意图】 考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）由2231212=+=+++n n n n a a a a 及02>a ，所以3172-=a ． （3分）（Ⅱ）由22221111113242(2)2n n n n n n n n a a a a a aa a +++++++=+<+=+（6分）又因为2y x x =+在(0,)x ∈+∞上递增，故12n n a a +≤． （8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，112n n a a -≥，1212n n a a --≥，…，2112a a ≥，相乘得1111122n n n a a --≥=，即112nn a -≥ 故121111112222n n n n S a a a --=+++≥+++=- （11分）另一方面，（方法一）222211111132222()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+>+=+， 令2n n n a a b +=，则12n n b b +>于是112n n b b -<，1212n n b b --<，…，2112b b <，相乘得1121122n n n b b --≤=，即2212n n n n a a b -+=≤ （13分） 故1222111()1(1)33222n n n n S a a a --=+++<++++=-<综上，11232n n S --≤<． （15分）（方法二）由121223+++=+n n n n a a a a 且12+≤n n a a ，可得32233422311111=++≤++=++++n n n n nn a a a a a a ， （13分） 于是321≤-n n a a ，3221≤--n n a a ，…，3212≤a a ，相乘得 111)32()32(--=≤n n n a a ．故3323)32(3211121<-=+++≤+++=--n nn n n a a a S ． 综上，11232n n S --≤<． （15分） （方法三）由121223+++=+n n n n a a a a 且12+≤n n a a ，可得32233422311111=++≤++=++++n n n n nn a a a a a a ， 故n n a a 231≤+，可得133+-≤n n n a a a ， （13分） 所以，n n a a a S +++= 21333)33()33()33(1113221<-=-++-+-≤++n n n a a a a a a a a综上，11232n n S --≤<． （15分）。