柱体、锥体、台体的表面积和体积

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
正棱锥的侧面展开图
h
/
h
/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表ຫໍສະໝຸດ Baidu积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
展开图
圆锥 S r (r l )
各面面积之和
知识小结
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S' 0
1 锥体V Sh 3
柱、锥、台体的表面积和体积
l
r' ＝ 0
上底缩小
l
r
O
r
O
S柱 2r (r l )
S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r (r l )
典型例题
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长 15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取 3.14，结果精确到1 cm2 ）？ 20cm 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
r 'O’
l
2r '
2r
r
O
2 2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r rl rl )
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r 'O’
l
O
r'＝r
上底扩大
2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
知识小结
圆柱 S 2r (r l )
r r
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S (r2 r 2 rl rl )
r 0
A
P
D
S
B
C
h
A
D
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
S
C
B
台体体积
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
台体体积
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
1 的 ．即棱锥的体积： 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 ． 3
台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略)．
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S
S为底面面积， h为锥体高
S 0 1 1 V ( S S S S )h V Sh 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 (mm3 )
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ． 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成． S 解：先求 ABC的面积，过点S作 SD BC，
A B D C
3 a 因为BC=a，SD SB sin 60 2

交BC于点D．
S ABC 所以：
2 15 cm 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2
15 cm
1000(cm2 )
2 cm 答：花盆的表面积约是1000 ．
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
圆锥体积
圆锥的体积公式：
1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ． 3
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积．
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )