柱体锥体和台体的表面积的计算
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图139. 因 为 弧 长 2R等 的于 扇圆 形 的 面 积 为
R2,所 以 弧 长d的 为扇 形 的 面 积 为 S扇 形 2dRR212Rd.
圆锥侧面展开图是扇形,这 个扇形的半径为圆锥的母线长l,扇形的
弧长等于圆锥底面的周长c2r,故圆
锥的侧面积为 1
S圆 锥侧2clrl.
2r
l rO
圆锥的侧面展开图是扇形
这样，求它们的表面积的问题就可转 化为求平行四边形、三角形、梯形的 面积问题。
正棱 柱、 正棱锥 和正 棱 台的侧 面积公 式之间 的关 系 可用图 表示.
S正棱柱 侧 ch
c`c
S正 棱 台侧 12cc`h`
c` 0
1 S正 棱 锥 侧2ch`
例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形
的四面体S-ABC，求它的表面积.
分析：四面体的表面积等于其中任何一个面面积
的4倍。
S
解:先求△SBC的面积,过点S作
SD⊥BC,交BC于点D. 因为BC=a,
A
SDSB2BD 2a2(a)2 3aB 22
DC
所以：SS C1B C SD 1a3a3a2
2
22 4
因此,四面体的表面积 S4 3a2 3a2
4
练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4， 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. 想一想:三棱柱的 展开图是什么?
柱体锥体和台体的表面积的计算
提出问题：柱体，锥体，台体的侧面展开图 是怎样的？你能否计算？ 正棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱柱的
h
表面积
等于它
的侧面
积加底
面积
棱锥的展开图
h'
h'
棱台的展开图
侧面展开
h' h'
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组 成的平面图形，棱锥的侧面展开图是 由三角形组成的平面图形，棱台的侧 面展开图是由梯形组成的平面图形。
想一想：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧 面积及表面积？
探究圆柱的表面积的求法：
rO l
2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S 圆柱 2 表 r 2 2 面 r 积 l2 r (r l)
d R
c2r
l r
圆 锥 、 圆 台 侧 面 积 公 式 的 推 导
先 考 察 半R,径 弧为 长d为 的 扇 形 的 面 积
(π取3.14,结果精确到1毫升)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ20cm
分析、思考：油漆位置在 什么地方？→ 如何求花盆 外壁表面积？
15cm
15cm
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆
外壁的表面积
S[(15)215152015](1.5)2
22 2
2
1000(cm2)0.1(m2).
20cm
涂100个这样的花盘需油漆：
0.1×100×100=1000(毫升). 答:涂100个这样的花盘需油漆 1000毫升.
圆柱 圆锥 圆台
展 开 图
表面 积
S 2 r 2 2 rl S r 2 rl S ( r '2 r 2
公式 2 r(r l) r ( r l )
r 'l rl )
初中阶段所学的有关公式
矩形面积公式：S ab
三角形面积公式：S 1 a h
2
圆面积公式： S r2
S 圆台 表 (r2面 r2 积 rl r)l
练一练：一个圆台，上、下底面半径分别 为10、20，母线与底面的夹角为60°，求 圆台的表面积.
O`
变式：想一想,你能求
O
出切割之前的圆锥的
表面积吗?试试看！
思考：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系？
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间的关系。
圆周长公式： C2r
扇形面积公式： S 1 r l 2
梯形面积公式：S 1 (a b)h 2
扇环面积公式：S 1(l l ')(rr') 2
谢谢！
S 圆锥 表 r2 面 r积 lr(r l)
c2r c`2r`
x r` rl
圆 台 侧 面 展 开 图 是 扇 环,其 面
积 为 两 个 扇 形 面 积 之 差 ,即
S圆
台侧
1 2
cl
x
1 2
c`x
1 2
cl
1 2
c
c`x,
其中 ,x为图 1311中小圆锥的.母线
由相似三角形的性质可 知,
rO
r’
l 上底＝扩大r
O
r 'O’
rO
l r’＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
示范例题
例2：(见P25)一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆 底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长
15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100
毫升油漆，涂100个这样的花盘要多少油漆？
15cm
15cm
变式训练：若内外涂,涂100个这样的花盘需
要多少油漆?
练习加深：指导学生完成P27页练习第1、2题。
小结归纳： 多面体的表面积 棱柱 ：棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积 棱锥：棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积 棱台：棱台的表面积等于它的侧面积加底面积 旋转体的表面积 圆柱：见下图 圆锥：见下图
r x l,即 c x l,所 c c 以 `l,
r` x c ` x
c ` x
故 cc`xc`l.
于是 S 圆 1 2 台 c 1 2 d 侧 c ` l 1 2 c c ` l ,或 S 圆 台 r r ` 侧 l .
探究圆台的表面积的求法
2r'
r 'O’
2r
l
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圆台的侧面展开图是扇环
R2,所 以 弧 长d的 为扇 形 的 面 积 为 S扇 形 2dRR212Rd.
圆锥侧面展开图是扇形,这 个扇形的半径为圆锥的母线长l,扇形的
弧长等于圆锥底面的周长c2r,故圆
锥的侧面积为 1
S圆 锥侧2clrl.
2r
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圆锥的侧面展开图是扇形
这样，求它们的表面积的问题就可转 化为求平行四边形、三角形、梯形的 面积问题。
正棱 柱、 正棱锥 和正 棱 台的侧 面积公 式之间 的关 系 可用图 表示.
S正棱柱 侧 ch
c`c
S正 棱 台侧 12cc`h`
c` 0
1 S正 棱 锥 侧2ch`
例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形
的四面体S-ABC，求它的表面积.
分析：四面体的表面积等于其中任何一个面面积
的4倍。
S
解:先求△SBC的面积,过点S作
SD⊥BC,交BC于点D. 因为BC=a,
A
SDSB2BD 2a2(a)2 3aB 22
DC
所以：SS C1B C SD 1a3a3a2
2
22 4
因此,四面体的表面积 S4 3a2 3a2
4
练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4， 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. 想一想:三棱柱的 展开图是什么?
柱体锥体和台体的表面积的计算
提出问题：柱体，锥体，台体的侧面展开图 是怎样的？你能否计算？ 正棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱柱的
h
表面积
等于它
的侧面
积加底
面积
棱锥的展开图
h'
h'
棱台的展开图
侧面展开
h' h'
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组 成的平面图形，棱锥的侧面展开图是 由三角形组成的平面图形，棱台的侧 面展开图是由梯形组成的平面图形。
想一想：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧 面积及表面积？
探究圆柱的表面积的求法：
rO l
2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S 圆柱 2 表 r 2 2 面 r 积 l2 r (r l)
d R
c2r
l r
圆 锥 、 圆 台 侧 面 积 公 式 的 推 导
先 考 察 半R,径 弧为 长d为 的 扇 形 的 面 积
(π取3.14,结果精确到1毫升)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ20cm
分析、思考：油漆位置在 什么地方？→ 如何求花盆 外壁表面积？
15cm
15cm
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆
外壁的表面积
S[(15)215152015](1.5)2
22 2
2
1000(cm2)0.1(m2).
20cm
涂100个这样的花盘需油漆：
0.1×100×100=1000(毫升). 答:涂100个这样的花盘需油漆 1000毫升.
圆柱 圆锥 圆台
展 开 图
表面 积
S 2 r 2 2 rl S r 2 rl S ( r '2 r 2
公式 2 r(r l) r ( r l )
r 'l rl )
初中阶段所学的有关公式
矩形面积公式：S ab
三角形面积公式：S 1 a h
2
圆面积公式： S r2
S 圆台 表 (r2面 r2 积 rl r)l
练一练：一个圆台，上、下底面半径分别 为10、20，母线与底面的夹角为60°，求 圆台的表面积.
O`
变式：想一想,你能求
O
出切割之前的圆锥的
表面积吗?试试看！
思考：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系？
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间的关系。
圆周长公式： C2r
扇形面积公式： S 1 r l 2
梯形面积公式：S 1 (a b)h 2
扇环面积公式：S 1(l l ')(rr') 2
谢谢！
S 圆锥 表 r2 面 r积 lr(r l)
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圆 台 侧 面 展 开 图 是 扇 环,其 面
积 为 两 个 扇 形 面 积 之 差 ,即
S圆
台侧
1 2
cl
x
1 2
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其中 ,x为图 1311中小圆锥的.母线
由相似三角形的性质可 知,
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上底缩小
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S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
示范例题
例2：(见P25)一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆 底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长
15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100
毫升油漆，涂100个这样的花盘要多少油漆？
15cm
15cm
变式训练：若内外涂,涂100个这样的花盘需
要多少油漆?
练习加深：指导学生完成P27页练习第1、2题。
小结归纳： 多面体的表面积 棱柱 ：棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积 棱锥：棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积 棱台：棱台的表面积等于它的侧面积加底面积 旋转体的表面积 圆柱：见下图 圆锥：见下图
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故 cc`xc`l.
于是 S 圆 1 2 台 c 1 2 d 侧 c ` l 1 2 c c ` l ,或 S 圆 台 r r ` 侧 l .
探究圆台的表面积的求法
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