【人教版】高中数学必修二：《柱体、锥体、台体的表面积与体积》ppt课件

圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为____
__1_8_0__度
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教学目标：
1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、 锥、台的体积的求法。 2、了解柱、锥、台的体积计算公式；能运 用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计 算和解决有关实际问题. 3、培养学生空间想象能力和思维能力。
巩固练习：
1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行 于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求 这三部分自上而下的体积之比。
2、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80ｃm2，
截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的
体积。
（答案：2325cm3）
3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截 面的面积为4，求圆锥的体积.
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复习引课： 1. 复习提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积 计算公式是什么？
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
S圆锥表面积 r 2 rl r(r l)
S圆台表面积 (r2 r 2 rl rl)
2. 练一练：若知道正六棱锥的侧棱长为
6, 底面边长为4, 你能求出它的高和表面
大约有多少个(取3.14) ?
个数 V总/V每个螺帽
V螺帽 V棱柱 -V圆柱
V 总2020/6/26
m
/
5.8 1000
7.8
743.59cm3 17
S三角
1 2
12
3 12 36 2
3
V棱柱 sh 6 36 3 10 2160 3
h V 圆柱 r2h 3.14 52 10 785
12
V螺帽 2160 3 785 2956
V总/V螺帽 743.59 2.956 25（2 个）
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练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ A ）
1 2 A . 2
1 4
B . 4
1 2
C.
1 4 D . 2
2 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个
o
r
E
B
S表面 S上底 S下底 S侧面 (r、2 r 2 r、l rl)
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思考：、圆锥、的侧面积公式间的联 系与区别
S圆锥侧= πrl
r1=0 S圆台侧=π（r1+r2)l
r1=r2
S圆柱侧= 2πrl
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例2 如下图,一个圆台形花盆直径为20cm,盆底 直径为15cm, 底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长
O`
l
Or
2r
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圆锥的展开图是一个扇形：
如果圆柱的底面半径为 r，母线为 l
那么圆锥的侧面积为：
S侧
1 2
2r
l
rl
圆锥的表面积为：
S
S r 2 rl r(r l)
l
2r
O
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圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即
S (r'2 r 2 r'l rl)
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1. 柱体、锥体、台体的表面积
20正20/6方/26 体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。2
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？如 何计算它们的表面积？
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棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形
1 3
(S
SS S)h
其中S 2020/6/26 、S分别为上、下底面积，h为高27。
V圆台
1 3
(S
'
S 'S S )h 1 (r2 rR R2 )h
3
想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为 一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相 同时，台成为柱。因此只要分别令S'=S和S'=0便 可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。 从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式
S为底面面积，h为高。
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讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由 此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
解:设切割前的锥体的高为x,
则: ( x )2 S x
S
x h S h S S
x S h V 1 S(h x) 1 Sx
S S
3
3
V台体
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知识小结:
柱体、锥体、 台体的体积
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柱体 V Sh S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
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4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm2, 体积为2800cm3，求它的侧面积。
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知识小结:
柱体、锥体、 台体的表面积
展开图
圆柱 S 2 r(r l)
r r
圆台 S (r2 r2 rl rl)
r 0
圆锥 S r(r l)
各面面积之和
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结论：等底、等高的 棱柱、圆柱的体积相 等. 归纳：一般柱体的体 积 V=Sh,其中S为底 面面积,h为柱体的高。
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2、探究锥体的体积公式
结论1：等底面积等高的两个锥体的体积相等。
结论2：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积
的三分之一。
归纳：锥体的体积计算公式：V锥体
1 3
Sh
Baidu Nhomakorabea
A
B
D
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SSBC
1 2
BC
• SD
1 2
a
3a 2
3 a2 4
四面体S - ABC的表面积 C
S 4SSBC 4
3 a2 4
3a 2
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圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r，母线为l，那么圆柱
的底面积为 r 2，侧面积为 2rl 。因此圆柱的
表面积为
S 2r 2 2rl 2r(r l)
积吗? 2020/6/26
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3. 提问：我们已经学过了柱体、锥体、台 体的表面积的求法及其计算公式,现在的问 题是它们的体积如何求?是否也有相应的计 算公式? 探究新知： 回顾：还记得特殊的棱柱—正方体、长方 体，以及圆柱的体积计算公式吗？
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可 以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
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例题示范：
例1(P26) 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g/cm3）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六 边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为 10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）?
分析、讨论：六角螺帽 的几何结构特征怎样？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求螺 帽的个数？
15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米(取
3.14,结果精确到1cm) ?
10cm
15cm
7.5cm
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2、柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统
一为：
柱
V = Sh（S为底面面积，h为高）
体 一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为
底面面积，h为高（即上下底面的距离）
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解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体
积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10)2 10
4
2
2956(mm3) 2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956) ≈252(个)
答：这堆螺帽大约有252个．
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h
s
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锥 圆锥的体积公式是 V 1 Sh
3
体 (其中S为底面面积，h为高)
它是同底同高的圆柱的体积的 1
3
S h
O S
棱锥的体积公式也是 V 1 Sh 3
h C
A
B
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探究
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？ 它也是同底同高的棱柱的体积的 1
3
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2r、 2r
O`
O
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SA O、A
AB EB
即
SA
AB EB
O、A
r、l r r、
C
S
2r、
o、
A
r、
l
D
S扇SAC
r、 SA
r（、
r
r、l ） r、
S扇SBD r SB r(SA l)
2r
r
(
r
r、l r
、
l
)
r
(
r
rl r
、)
S扇环 S扇SBD - S扇SAC l(r r、)
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台
圆台(棱台)的体积可以利用两个锥体
体 的体积差，得到台体体积公式：
V 1 (S ` S `S S)h 3
其是S‘，S分别为上底面面积，h为圆台（棱台）高。
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例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g / cm3) 六角螺帽(如下图)共重5.8kg,已知底面是正六边形, 边长为12mm,内孔直径10mm,高为10mm,问这堆螺帽
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棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、 三角形、梯形的面积问题。
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例1、已知棱长为a, 各面均为等边三角形的四 面体S ABC(如下图),求它的表面积.
S
SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a 22
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简要介绍祖暅(gèng)原理，(教材P30）
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：
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1、探究柱体的体积公式