高中数学必修二第二章-2.1.1-平面课件
高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1，2，3（1）（2）
21
补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
品质来自专业 信赖源于诚信
内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
22
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
2
金实太阳教例育网引入
品质来自专业 信赖源于诚信
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
品质来自专业 信赖源于诚信
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
品质来自专业
信赖源于诚信
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
高中数学必修二第二章第一节课件
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
2020年高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版必修2
【解】 (1)证明：设数轴上的任意三点 A，B，C 的坐标是 xA，xB，xC，
由于 AC＝xC－xA，CB＝xB－xC，AB＝xB－xA， ∴AC＋CB＝xC－xA＋xB－xC＝xB－xA＝AB. (2)∵CB＝3，∴BC＝－3， 又 AC＝AB＋BC＝5－3＝2， ∴AC＝2.
(3)A，B，C 是数轴上的任意三点，讨论点 C 与点 A，B 的 位置关系：
【知识点拨】 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上 的点自左到右对应的实数依次增大．
下列说法：①向量A→B的数量有正、负之
分，其大小为终点坐标减起点坐标；②数轴上 A，B 两点间的距
离 d(A，B)＝|AB|；③起点和终点重合的向量是零向量，它的方
向是任意的，它的坐标是 0；④在数轴上点 A(a)位于点 B(b)的左
当 C 在点 A，B 之间时，有|AC|＋|CB|＝|AB|， 所以|AC|＝|AB|－|CB|＝5－3＝2， 当 C 在点 A，B 之外时，由于|CB|＝3<|AB|＝5， 点 C 只能在 AB 的延长线上， 从而有|AC|＝|AB|＋|CB|＝5＋3＝8， 综上可知，|AC|＝2 或|AC|＝8.
2．数轴上的基本公式 (1)向量A→C，A→B，B→C的关系 _A→_C__＝A→B＋B→C. (2)向量坐标 AC，AB，BC 之间的关系 AC＝_A_B_＋__B__C_. (3)已知 A(x1)，B(x2)，则 AB＝__x_2_－__x_1 _____. (4)数轴上 A(x1)，B(x2)两点之间的距离公式 d(A，B)＝_|_A_B_|____＝__|_x_2－__x_1_| .
典例精析 规律总结
类型 1 数轴上的点的坐标
(1)如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点 相距 1 个单位，点 A，B，C，D 对应的数分别是整数 a，b，c， d，且 d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )
【新教材】2.1.1 从位移,速度,力到向量 课件-北师大版高中数学必修第二册(共16张PPT)
情境 3 如图 2 - 3,汽车沿倾斜角为 的坡路向上行驶，汽车的牵引力为 F
思考交流
上面三个情境中反映的物理量有什么共同的特点？
【结论】位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量
向量概念引入
既有大小又有方向的量统称为向量.
注意：“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 ！
有向线段
在数学中,这种具有方向和长度的线段称为有向线段（如图 2-4）. 以
A 为起点,B 为终点的有向线段,记作 AB ,线段 AB 的长度称为有向线
段 | AB |的长度，记作| AB |
平面向量的表示
1.几何表示 向量常用一条有向线段来表示.
i : 有向线段的长度表示向量的大小. ii: 箭头所指的方向表示向量的方向. iii:向量可以用有向线段的起点和终点字母表示,如：AB
典型例题
【例 1】
小明从学校的教学楼出就餐, 用餐后又从食堂向西走了 2 000 m 来 到操场运动.请选择 适当的比例尺画图，用向量表示小明每次的位 移.
解
设比例尺为 1:50 000,如图(2-6).小明的位移表示如下： 向量 OA 表示从教学楼到图书馆的距离与方向； 向量 AB 表示从图书馆到食堂的距离与方向； 向量 BC 表示从食堂到操场的距离与方向.
【题型扩充】判断下列说法是否正确:
1.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度 是向量.
错误：因为温度没有方向.
2.坐标平面上的 x 轴和 y 轴是向量. 错误： 因为无法刻画 x 轴和 y 轴的大小.
作业
P75页：第1，2题,
掌握向量及向量的有关概念、表示方法，了解两个特殊向量的性质
第二章 平面向量及应用
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其 推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内， 则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 ， 填 入 相 应 的 符 号 ： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
2-1-1 两角和与差的余弦公式(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
＝2×2+
答案： C
2 1
6+ 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
2．两角和的余弦公式
思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？
证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
6− 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
1.给角求值
例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）+cos 560°cos（-280°）；
（3）cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°.
解：（1）sin 285°＝sin（270°+15°）＝-cos 15°＝-cos（60°-45°）
与差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
（2）正用公式求值：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
跟踪训练
1.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝
A.cos 12°
B.sin 12°
（ C ）
1
C.2
1
D.- 2
1
解析：cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°＝cos （24°+36°）＝cos 60°＝2.
几个角的组合.
高中数学必修二2.1.1课件
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
人教版高中数学必修二课件-第二单元
公理1：若一条直线的两点在一个平面内， 则这条直线上所有的点都在这个平面内, 即:这条直线在这个平面内。
即: A∈且B∈ AB
A AB B
作用:用于判定线在面内
A
B
结论2 ：空间中线与面的位置关系
直线a在平面 内 记作：a
直线a在平面外
3.记法: B ①平面α、平面β、平面γ（标记在边上） ②平面ABCD、平面AC或平面BD
A
B
A
巩固: 判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 . 1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、平面是无限延展、没有厚度的 ；
记作：a
强调: 空间中点与线(面)只有∈和 关系 空间中线与面只有 与 的关系 推导符号“”的使用： 条件1 结论 条件结论 条件2
｝
思考2:固定一扇门需要几样东西？
回答:确定一个平面需要什么条件?
公理2：过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面。
B
A
C
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 作用:用于确定一个平面.
1
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形: ① 如果两点在同一支上,那么| AB |=| AF1 | | BF1 | (见图一) ② 如果两交点分别在两支上,那么| AB |=|| AF1 | | BF1 || (见图二)
点A是线段
的中点？ PP 1 2
这样的直线 弦长|
l如果存在，求出它的方程及
高中数学必修二2.1.1平面课件
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面 在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面 内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表 示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面 平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
如果两个不重合的 公 平面有一个公共 理 点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面， 使得A, B,C
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第1课时
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的 取值范围是多少？
【提示】 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距 b，以及与y轴交点P的坐标． 【提示】 ∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y ＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
【答案】 y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为 ________． 【解析】 过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程 为x＝1.
【答案】 y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
4－1 【解析】 k＝ ＝1，l的方程为y－1＝1· (x＋1)，即y＝x＋2. 2－－1
【答案】 y＝x＋2
教材整理2
直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
y＝kx＋b 斜截式方程：__________________ ，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的
截距 ． 直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的______
【导学
【解析】 直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－ 1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135° .
【答案】 135° ，－1
5．求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
【解】 设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)． 当x＝0，y＝4＋3k， 4 当y＝0，x＝－ k－3，
高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 新人教A版必修2
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
精品课件
新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
精品课件
证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
精品课件
问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
精品课件
2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交
人教A版 必修二 第2章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
判断直线与平面的位置关系
例 1：两条相交直线 a、b 都在平面α内且都不在平面β内， ) 且平面α与β相交，则 a 和 b( A．一定与平面β都相交 B．至少一条与平面β相交 C．至多一条与平面β相交 D．可能与平面β都不相交 思维突破：设α∩β＝c，∵若 a、b 都不与β相交，则 a∥c， b∥c，∴a∥b，这与 a、b 相交矛盾，故 a、b 中至少一条与β相 交． 答案：B
高中数学人教版必修2课件
解：(1)(2)是真命题，(3)(4)是假命题．
(3)会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况，所以
这两个平面还可能相交． (4)会出现两个相交平面同时与另外一个平面垂直的情况， 如正方体中共顶点的三个面． 要判断一个命题是假命题，只需举出一个 反例；而要想说明一个命题是真命题，则需理论上的证明．
高中数学人教版必修2课件
1－1.下列命题：①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线， 则 l∥α；②若直线 a 在平面α外，则 a∥α；③若直线 a∥b，直 线 b⊂α，则 a∥α；④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行 于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为( A．1 个 B．2 个 A )
作AB⊥平面α于点B，BC⊥a1 于点C，BD⊥b1 于点D，记∠AOB
＝θ1，∠BOC＝θ2，(θ2＝25°或65°)， 则有cosθ＝cosθ1· cosθ2， 因为0°≤θ≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2.
高中数学人教版必修2课件
当θ2＝25°时，由θ≤cosθ≤cos25°，得 25°≤θ≤90°. 当θ2＝65°时，由θ≤cosθ≤cos65°，得 65°≤θ≤90°. 故当θ<25°时，直线 l 不存在；
高中数学人教版必修2课件
高中数学课件-2 1 从平面向量到空间向量
第二章 2.1
[点评] 求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点 相同处，得到的夹角才是所求．如第(1)问中，将向量A→A1平移 至B→B1处，由于B→1C，B→B1的起点不相同，所以得到的∠BB1C 为 应求两向量夹角的补角．同学们注意体会！
第二章 2.1
如 图 ， M ， N 分 别 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD － A′B′C′D′的棱 BB′，B′C′的中点，求：
第二章 2.1
探索拓研创新
第二章 2.1
法向量
对于平行四边形 ABDC，图 中的五个向量中各个向量之间的关系如 何？在图中画出平行四边形 ABDC 的一个 法向量．
[分析] 分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等、 相反或平行．作平面的法向量，只要作向量b，使之垂直于平 面内两个相交向量即可．
第二章 2.1
向量的有关概念
给出下列五个命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间两向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数
第二章 2.1
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直 线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量， 只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何 问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
第二章 2.1
辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学必修二全册课件2.1.1平面
第五页，编辑于星期日：二十一点 分。
思考2:请你用尺子做实验并回答以下问 题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？
2、过两点有几个平面？
3、过在同一直线上的三点有几个平面？ 4、过不在一直线上的三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
第六页，编辑于星期日：二十一点 分。
公理二：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （文字表示）
第十四页，编辑于星期日：二十一点 分。
3、点与平面的关系 B
A
α
① 点A在平面内，记作A∈ α ② 点B在平面外，记作B α
第十五页，编辑于星期日：二十一点 分。
点、线、平面之间的关系的符号表示（用集合 语言描述）
（1）点A 在直线L上
A
表示为： A L
第十六页，编辑于星期日：二十一点 分。
（2）直线L在平面 内 .
图形表示
No·B
α ·A
·C
Image
符号表示为： C AB
存在唯一平面α，使A∈ α
作用： 可用于确定平面的条件。
第七页，编辑于星期日：二十一点 分。
思考3:把三角板的一个角立在课桌上， 三角板所在平面与桌面所在平面是 否只相交与一点B？为什么？
B
第八页，编辑于星期日：二十一点 分。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它 公共点，且所这些公共点的集合是一条过这个公共点的直 线。（文字表示）
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内； ⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一点Q ； ⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面α内，L和m
相交于点P 。
第十一页，编辑于星期日：二十一点 分。
高中数学北师大版必修2第二章2.1.1直线的倾斜角与斜率说课课件
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板书 设计
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学法分析
3.3.1 倾斜角与斜率
一、倾斜角 三、两点斜率公式 多媒体展示区
二、斜率
四、例题讲授
教材分析
作业 布置
必做题 选做题
教法分析
学法分析
教材分析
教法分析
教学过程
教法
讲授法、探究式教学法
教学手段 多媒体
学法
引导探究、小组讨论、合作交流
k y2 y1 x2 x1
（其中x1 x2 ）
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教学过程
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四、应用举例，巩固提高
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教学过程
变式训练：
教法分析
学法分析
教材分析
课堂小结
教学过程
教法分析
学法分析
从0增大到+∞
从-∞增大到0
4.数学思想：“几何问题代数化”即“坐标化”的思想，倾斜角α从“形” 上反映直线的倾斜程度，而斜率k则从“数”这一角度反映直线的倾斜程度.
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教学过程
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学情 在初中时，学生已经学习过一次函数是一条直 分析 线，知道找到直线上的两个点，然后即可以得
到这条直线的图像。对解析几何已经有了初步 的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下 了基础，但是他们的动手操作能力不强，抽象 概括能力，推理能力还不够，所以接下来要引 导学生思考问题，深入浅出的分析。
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地位 及作用
《直线的倾斜角与斜率》是北师大版高中数学 必修二第二章第一节第一部分的内容。该节是 学习了空间几何后学习用代数方法研究解析几 何的入门课。直线的倾斜角和斜率是解析几何 的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何 要素与代数表示，是在平面直角坐标系内以坐 标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性 质（如直线位置关系、交点坐标、点到线的距 离等）的基础。通过该节内容的学习，帮助学 生初步了解直角坐标平面内的几何要素代数化 的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基础 研究方法。本节有着开启全章，承前启后，奠 定基调，渗透方法作用。
人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》
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2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交 线上 D．两个平面一定有公共点
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例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、 平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
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错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题 的突破口．
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正确地用图形和符号表示点、直线、平面以 及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合， 所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面 与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
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1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把 空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面aa高一数学
2.点、直线、平面之间的位置(wèi zhi)关系及语言表达
文字语言表达
图形语言表达
点A在直线l上
点A在直线l外
点A在平面α内
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第十一页，共四十二页。
符号语言表达
A∈l .
A∉l
.
A∈α .
点 A 在平面α外 直线 l 在平面α内
直线 l 在平面α外
平面α,β相交于 l
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解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内. (2)直线(zhíxiàn)l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.
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第二十四页，共四十二页。
题型二 点线共面
【思考】 过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平 行直线呢? 提示(tíshì):由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.
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第三页，共四十二页。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理
解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 通过直观感知、操作确认,归纳(guīnà)出以下判定定理.
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.
学
知识(zhī shi)探
究
1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的
人教A版高中数学必修2课件2.1.1 平面课件(数学人教A版必修2)课件
A
b
a
表示为：
ab A
直线l在平面内：
l
表示为： (不在呢?)： l
l
课堂探究
直线l在平面 外： (I) (II)
A
l
lL
表示为： l //
表示为： l α = A
课堂探究
平面 与平面 相交于直线l：
l
表示为：
课堂探究
1.平面的概念
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物 体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限延展的． 桌面 黑板面 平静的水面 平面的形象
课堂探究
2、平面的画法：
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板 面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
课堂探究
(1)水平放置的平面
(2)垂直放置的平面
ß
a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
课堂探究
(3)两个相交平面的画法：
①先画两平面基本线
②画两平面的交线 ③分别作三条线的平行线 ④把被遮部分的线段画成 虚线或不画，其他为实线
α β
被遮挡的线用虚线 表示
课堂探究
3.平面的表示方法
(1)平面是无限延展的 （常用平面的一部分表示平面） (2)常用平行四边形表示，如图所示
典型例题
例4 下列命题正确的是（ D ） A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
课堂小结
1.平面的概念；
2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形 语言和符号语言。
高中数学必修2《第2章：点线面的位置关系(2.1空间点、直线、平面之间的位置关系)》学生版
个性化辅导教案学员姓名科目年级高一授课时间课时 3 授课老师教学目标重点难点第二章：点线面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面平面[导入新知]1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑难]几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；平面的基本性质[导入新知]平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l[化解疑难]从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[例1]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.[类题通法]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l ⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.点、线共面问题[例2]证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[解]已知：如图所示，l 1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证法1：(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．证法2：(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．[活学活用]2．下列说法正确的是()①任意三点确定一个平面②圆上的三点确定一个平面③任意四点确定一个平面④两条平行线确定一个平面A．①②B．②③C．②④D．③④共线问题[例3]已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．[证明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．[类题通法]点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．2.证明三线共点问题[典例]如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．[解题流程]欲证EF、GH、BD交于一点，可先证两条线交于一点，再证此点在第三条直线上.由DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3可得GE∥FH且GE≠FH，即EFHG是梯形，由此得到GH与EF交于一点．证明E 、F 、H 、G 四点共面―→EFHG 为梯形―→GH 和EF 交于一点O ―→证O ∈平面ABD ―→O ∈平面BCD ―→平面ABD ∩平面BCD ＝BD ―→O ∈BD ―→得出结论.[规范解答]因为E ，G 分别为BC ，AB 的中点，所以GE ∥AC .又因为DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，所以FH ∥AC ，从而FH ∥GE .∴GE ≠FH .(4分)故E ，F ，H ，G 四点共面．又因为GE ＝12AC ，FH ＝25AC ，所以四边形EFHG 是一个梯形，设GH 和EF交于一点O .(6分)因为O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内，所以O 在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ，(9分)且交线只有这一条，所以点O 在直线BD 上．(10分)这就证明了GH 和EF 的交点也在BD 上，所以EF ，GH ，BD 交于一点．(12分)[名师批注]如何证明四点共面？,根据公理2的推论可知，本题可利用HF ∥GE 即可确定E ，F ，H ，G 四点共面.为什么GH 和EF 交于一点？,因为E ，F ，H ，G 四点共面，且GE 綊12AC ，HF 綊25AC ，所以GE ∥HF 且GE ≠HF ，即EFHG 为梯形，梯形两腰延长线必相交于一点.怎样确定第三条直线也过交点？只要证明交点在第三条直线上，这条直线恰好是分别过GH 和EF 的两个平面的交线.[活学活用]如图所示，在空间四边形各边AD ，AB ，BC ，CD 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，求证：点P 在直线BD 上．[随堂即时演练]1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()A．Q∈b∈βB．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂βD．Q⊂b∈β2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对3．下列对平面的描述语句：①平静的太平洋面就是一个平面；②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；③四边形确定一个平面；④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．其中正确的是________．4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 5．将下列符号语言转化为图形语言．(1)a⊂α，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系[导入新知]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系位置关系 特 点相交 同一平面内，有且只有一个公共点平行 同一平面内，没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[化解疑难]1．对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a 、b 两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB 和B 1C 1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB 与B 1C 1是异面直线．2．空间两条直线的位置关系①若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线，无公共点——⎩⎪⎨⎪⎧平行直线，异面直线.②若从是否共面的角度看，也可分两类：直线⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线，平行直线，不共面直线：异面直线.平行公理及等角定理[导入新知]1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． (2)符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. (3)当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .[化解疑难]对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．两直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________.[解析] 直线D 1D 与直线D 1C 相交于D 1点，所以③应该填“相交”；直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1、B 、B 1在平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面．所以②④应该填“异面”．[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [类题通法]1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断． 2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．(2012·台州高一检测)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是()A．6B．4C．5 D．82．若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是________．平行公理及等角定理的应用[例2]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M、M1分别为AD、A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.[类题通法]1．证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义(2)三角形中位线、平行四边形性质等(3)公理42．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．[活学活用]3．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .两异面直线所成的角[例3] 如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝AB ，E 、F 分别是BD 1和AD 中点，求异面直线CD 1，EF 所成的角的大小．[解] 取CD 1的中点G ，连接EG ，DG ，∵E 是BD 1的中点，∴EG ∥BC ，EG ＝12BC .∵F 是AD 的中点，且AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴DF ∥BC ，DF＝12BC ，∴EG ∥DF ，EG ＝DF ，∴四边形EFDG 是平行四边形， ∴EF ∥DG ，∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角．又∵A 1A ＝AB ，∴四边形ABB 1A 1，四边形CDD 1C 1都是正方形，且G 为CD 1的中点，∴DG ⊥CD 1，∴∠D 1GD ＝90°，∴异面直线CD 1，EF 所成的角为90°. [类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是(0°，90°]． [活学活用]4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，求异面直线A 1C 1与B 1C 所成角的大小．2.探究空间中四边形的形状问题[典例] 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． [证明] 连接BD .因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG . 又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形． [多维探究] 1．矩形的判断本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？证明：由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ， 又BD ⊥AC ， 因此EH ⊥EF ，所以四边形EFGH 为矩形． 2．菱形的判断本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ， 所以EH ＝EF .又EFGH 为平行四边形， 所以EFGH 为菱形． 3．正方形的判断本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ 证明：由探究1与2可知， EFGH 为正方形． 4．梯形的判断若本例中，E 、H 分别是AB 、AD 中点，F 、G 分别是BC ，CD 上的点，且CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝1∶2，那么四边形EFGH 是什么形状？证明：由题意可知EH 是△ABD 的中位线，则EH ∥BD 且EH ＝12BD .又CF FB ＝CG GD ＝12， ∴FG ∥BD ， FG BD ＝FC BC ＝13， ∴FG ＝13BD ，∴FG ∥EH 且FG ≠EH ， ∴四边形EFGH 是梯形． [方法感悟]根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．[随堂即时演练]1．不平行的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．相交或异面2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是________．4．正方体AC1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．5.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．2．1.3 & 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系[导入新知]直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示[化解疑难]1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系．(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行．(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内．2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.空间中平面与平面的位置关系[导入新知]两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l有无数个公共点(在一条直线上)[化解疑难]1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．直线与平面的位置关系[例1]下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B[类题通法]空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[活学活用]1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3平面与平面的位置关系[例2](1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．[类题通法]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.[活学活用]2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．3．如图所示，平面ABC 与三棱柱ABC －A 1B 1C 1的其他面之间有什么位置关系？3.有关截面图形的形状问题[典例] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点Q 是棱DD 1上的动点，判断过A ，Q ，B 1三点的截面图形的形状．[解题流程]欲判断过A ，Q ，B 1三点的截面图形的形状，需分析Q 点的位置.点Q 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1上的动点，首先讨论Q 位置.⎭⎪⎬⎪⎫点Q 与D 1重合点Q 与D 重合点Q 不与D ，D 1重合―→分别判断―→得出结论.[规范解答]由点Q 在线段DD 1上移动，当点Q 与点D 1重合时，截面图形为等边三角形AB 1D 1，如图甲．(4分)甲 [名师批注]因为Q是棱DD1上的动点，所以当Q与D1重合时，D1B1，AB1，AD1均为正方形的对角线，即D1B1＝AB1＝AD1，所以，△AB1D1为正三角形.当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图乙．(8分)乙[名师批注]点Q在DD1上，两个端点是特殊位置，所以Q与D重合时，由DC1∥AB1知，截面是矩形AB1C1D.当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图丙．(12分)丙[名师批注]当Q在DD1两点之间时，延长AQ交A1D1延长线于O点，连接B1O交C1D1于R点，则AB1RQ为截面图形.[活学活用]如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.[随堂即时演练]1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能2.如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．4．(2012·临沂高一检测)经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．5．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．。
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B.最多3条最少1条 D.最多2条最少1条
（3）已知空间四点中，无三点共线，则可确定 A．一个平面 C．一个或四个平面 B．四个平面 D．无法确定平面的个数
例2、求证：两两相交 且不过同一点的三条直 线必在同一个平面内.
B A
C
证明： 因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理2） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ，
α
A
α a P l
l
B β
b
β
①
（2）根据下列描述作图：
②
a α ，b α ，c α 且a∩b=A，b∩c=B，c∩a=C
练习1
(1)两个平面的公共点的个数可能有 ( A.0 B.1 C.2 ) D.０或无数 )
(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数 (
A.最多4条最少3条 C.最多3条最少2条
平面ABCD
，平面AC，平面BD
平面的表示
两个a 平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
a
二、点、线、面的基本位置关系
1、符号表示： 点A、线a、面α A a, A , a , 2、引用集合关系：
图形
zxxkw
P , 且P l , 且P l
如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线 思考5:公理3有哪些理论 作用吗？
确定两平面相交的依据， 判断多点共线的依据.
例1、（1）如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.
a
图形表示：
符号表示：
α A
B C
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
作用：（1）确定一个平面的依据和方法。
（2）证明点线共面的方法。
公理2：不共线的三点确定一个平面
思考:一条直线和直线外一点能点确定一个平面吗？ 两条相交直线能确定一个平面吗？
两条平行直线能确定一个平面吗？
又 P P 平面ABC.
要证明多点共线，只要证明他们 是两个平面的公共点.
同理Q、R也为公共点，所以P、Q、R共线.
小结：
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.三条公理 公理1.
A 且B 直线AB
公理2. A, B, C不共线 有且只有一平面 , 使A , B , C
符号语言
文字语言(读法)
A
A
a
a
A a A a A
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点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A
A
A
A
A
b a
a b A
图形
符号语言
a
a
a
文字语言(读法)
a
a
A
a A
l
直线a在平面 内 直线a与平面 无公共点 直线a与平面 交于点 平面 与 相交于直线 l
推论1、 A l 有唯一平面 , 使A , l 推论2、a b 有唯一平面 , 使a , b 推论3、 a
b 有唯一平面 , 使a , b
公理3. P , 且P l , 且P l
2.1 空间点、直线、平面之间的 位置关系
2.1.1 平 面
构成图形的基本元素----D′ A′ D A B B′ C′
点、线、面
点无大小
C
线无粗细
面无厚薄
直线，平面都是无限延伸的
平面的表示
平面的符号表示 D C A B 1. 单个希腊字母： 平面， 平面，平面
2. 四个顶点或对角顶点大写英文字母：
推论:1、一条直线和直线外 一点能确定一个平面； 2、两条相交直线能确定 一个平面； 3、两条平行直线能确定 一个平面。
B
．
． A ． C
思考
思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌 面上，三角板所在的平面与桌面所在的平 面是否只相交于一点B？为什么？
思考2:如果两条不重合 的直线有公共点，则其 公共点只有一个。如果两个不重合的 平面有公共点，其公共点有多少个？ 这些公共点的位置关系如何？
所以AB，BC，CA三直线共面.
要证多线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内.
练习2
已知 : A, B, C l , D l ,
求证:直线AD,BD,CD共面.
D
证明: D l.
l
A
B
C
l与D确定平面 .
又 A, B, C l ,
l
A, B, C . 又 D , BD , CD , AD ,
B
思考3:根据上述分析可得什么结论？
P
l
公理3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线.
思考4:若两个平面有一条公共直线，则称这 两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平 面的交线.平面α 与平面β 相交于直线l，可 记作 l ，那么公理3用符号语言可怎 样表述?
公理1.如果一条直线上两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有的点都在这 个平面内（即直线在平面内）。
图形表示： 符号表示：
α l B
A
A l, B l , 且A , B , l
作用：判定直线在平面内的依据，同时说明 了平面的无限延展性。
公理2.过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面.
即AD , BD , CD共面.
练习3
已知 : a b, a c M , b c N , 求证:直线a,b,c共面.
N c
b
α
M
a
例3、已知三角形ABC的 三条边AB、BC、AC与平 面α 分别交于P、Q、R. 求证：P、Q、R共线.
A B C R Q
P
证明： P AB 平面ABC P 平面ABC.