高中数学必修二3球(ppt)
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高中数学必修二课件:圆的一般方程(42张PPT)

此方程表示以(1,-2)为圆心,2为半径长的圆.
问题2:方程x2+y2+2x-2y+2=0表示什么图形?
提示:对方程x2+y2+2x-2y+2=0配方得
(x+1)2+(y-1)2=0,即x=-1且y=1. 此方程表示一个点(-1,1). 问题3:方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形? 提示:对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方得 (x-1)2+(y-2)2=-1. 由于不存在点的坐标(x,y)满足这个方程,所以这 个方程不表示任何图形.
3.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求 (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径.
解:(1)根据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2- 1 4(m +5m)>0,即4m +4-4m -20m>0,解得m<5,
2 2 2
1 故m的取值范围为(-∞,5).
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准 方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径r= 1-5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开得,x2+y2 -2ax-2by+a2+b2-r2=0,这是一个二元二次方程的形 式,那么,是否一个二元二次方程都表示一个圆呢? 问题1:方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形? 提示:对x2+y2-2x+4y+1=0配方得 (x-1)2+(y+2)2=4.
1.若x2+y2-x+y-m=0表示一个圆的方程,则m的取值 范围是 1 A.m>-2 1 C.m<-2 1 B.m≥-2 D.m>-2 ( )
人教版高中数学必修二课件:1-3-2球的表面积和体积

球外接于正方体
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在 另一个几何体的表面上。
例题讲解
例4:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积.
解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,
O
OO R , ABC是正三角形,
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台 S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
各面面积之和
复习旧知
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体 V 1 Sh
①V 4 R3
3
②S 4R2
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是__1_: 2___2.
4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是__1_:_3__4.
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; 熟练掌握球的体积、表面积公式:
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢满杯子吗?
解:由图可知,半球的半径为4
半球的体积为 4 π43= 256 π
3
3
圆锥的体积为 1 πR2×12= 192 π
3
3
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在 另一个几何体的表面上。
例题讲解
例4:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积.
解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,
O
OO R , ABC是正三角形,
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台 S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
各面面积之和
复习旧知
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体 V 1 Sh
①V 4 R3
3
②S 4R2
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是__1_: 2___2.
4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是__1_:_3__4.
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; 熟练掌握球的体积、表面积公式:
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢满杯子吗?
解:由图可知,半球的半径为4
半球的体积为 4 π43= 256 π
3
3
圆锥的体积为 1 πR2×12= 192 π
3
3
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)

(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等,体积也相等,则它们的高度之比为( A )
(A)2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4:求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1=(273+27) K=300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示,粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管,当t1=31 ℃,大气压强p0=76 cmHg时,
两管水银面相平,这时左管被封闭的气柱长L1=8
10.9150 1635(朵)
答:装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花.
新知探究
例3、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的 2 ; 3
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说:分子间以及分子和器壁间,除碰撞外无其他作用力,分子本身没有体积,即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说:理想气体的微观本质是忽略了分子力,没有分子势能,理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.(多选)关于理想气体的性质,下列说法中正确的是( ABC )
高中数学必修二教学课件:简单组合体的三视图 (共23张PPT)

俯视 左视
主视图
对
左视图 错
主视
俯视图
错
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1
A 1
D A
左视
C
B
D A B
C
正方体
D1
A 1
B1
A
左视图
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1 1
A 1
D A
左视
C
B A
D B
C
正方体
左视图
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1
A 1
D A
左视
C
B A
D B
C
正方体
教材:普通高中课程标准实验教科书(北师大版)(必修2)
授课教师:玉山一中
吴移东
汽车设计图纸
主视图
知识
回顾
左 视 图
俯视图
知识
三视图之间的投影规律
主 视 图 左 视 图 主 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 长 度 左 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 宽 度
回顾
俯 视 图 反 映 了 物 体 的 长 度 和 宽 度
组合体的生成方式
(1)将基本几何体拼接成的组合体 (2)从基本几何体中切掉 或挖掉部分构成组合体
教材:普通高中课程标准实验教科书(北师大版)(必修2)
例2 画出这个组合体的三视图.
主视
例3 请画出立白洗洁精塑料 瓶的视图
主视图
左视图
俯视图
某同学画下图物体的三视图,对吗?若 有错,请指出并改正。
左视图
挑战自我
下图是一个工业轴承架的模 型,画出它的三视图(通孔)
主视图
对
左视图 错
主视
俯视图
错
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1
A 1
D A
左视
C
B
D A B
C
正方体
D1
A 1
B1
A
左视图
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1 1
A 1
D A
左视
C
B A
D B
C
正方体
左视图
D1
C1 B1 A 1
D1
C1 B1
A 1
D A
左视
C
B A
D B
C
正方体
教材:普通高中课程标准实验教科书(北师大版)(必修2)
授课教师:玉山一中
吴移东
汽车设计图纸
主视图
知识
回顾
左 视 图
俯视图
知识
三视图之间的投影规律
主 视 图 左 视 图 主 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 长 度 左 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 宽 度
回顾
俯 视 图 反 映 了 物 体 的 长 度 和 宽 度
组合体的生成方式
(1)将基本几何体拼接成的组合体 (2)从基本几何体中切掉 或挖掉部分构成组合体
教材:普通高中课程标准实验教科书(北师大版)(必修2)
例2 画出这个组合体的三视图.
主视
例3 请画出立白洗洁精塑料 瓶的视图
主视图
左视图
俯视图
某同学画下图物体的三视图,对吗?若 有错,请指出并改正。
左视图
挑战自我
下图是一个工业轴承架的模 型,画出它的三视图(通孔)
高中数学:1.3.2《球的表面积和体积》课件(新人教A版必修2)

答:装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花.
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是 1 :
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是 1 : 2 2 .
高中数学பைடு நூலகம்1.3.2《球的表 面积和体积》课件(新人 教A版必修2)
1.3.2球的表面积和体积
球
人类的家--地球
人类未来的家--火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球,且 涂的油漆厚度相同,问哪一个球所用的油漆多? 为什么?
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球, 球内的气压相同,若忽略球内部材料的厚度,则 哪一个球充入的气体较多?为什么?
3
影响球的表面积及体积的只有一个元素, 就是球的半径.
知识小结 1.球的体积和表面积的推导方法: 分割 求近似和
化为准确和
2.影响球的表面积及体积的只有一个元 素,就是球的半径.
球的体积 已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A A
r3
B2
O
O
C2
r2
r1
r1
2R 2 R 2 2 R R, r2 R ( ) , r3 R ( ) . n n
2
2
球的体积 A
ri
O
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径:
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
提出问题
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)

3
答案:288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边,长为,则以O为3 球心,OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h,则 1
3
2
h
3
2,
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6,
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程:
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,
3
3
答案:(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么? 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系? 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的? 探究提示: 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变,即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案:288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边,长为,则以O为3 球心,OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h,则 1
3
2
h
3
2,
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6,
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程:
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,
3
3
答案:(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么? 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系? 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的? 探究提示: 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变,即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
新人教版高中数学必修二全册教学课件ppt

答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 旋转体的结构特征 例1 判断下列各命题是否正确: (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线; 解 错. 由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴.
解析答案
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几 何体是圆台; 解 错. 直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与 一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
答案
球的结构特征
球
图形及表示
定义:以 半圆的直径 所在直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体, 简称球
相关概念: 球心:半圆的 圆心 半径:半圆的 半径 直径:半圆的 直径
图中的球表示为: 球O
答案
知识点五 简单组合体
思考 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗? 它们是如何构成的?
课
时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体,我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样,也都是由一些简单几何体组合而成的组合体.本节我
开 关
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征.
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 圆柱的结构特征
问题 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱,那么圆
柱是怎样形成的呢?与圆柱有关的几个概念是
为旋转轴,将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转
体叫做圆台
相关概念:
圆台的轴: 旋转轴
圆台的底面: 垂直于轴 的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面: 不垂直于轴 的边旋转一周所形成的曲面 图中圆台表示为:
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
高中数学必修二全册课件ppt人教版

解析答案
反思与感悟
解 (1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面,∴这个几何体不是棱柱. (2)在四边形ABB1A1中,在AA1上取E点,使AE=2;在BB1上取F点,使BF=2;连接C1E、EF、C1F,则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分,其中一部分是棱柱ABC—EFC1,其侧棱长为2;截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F,该几何体的特征为:有一个面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
①③
1.在理解的基础上,要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义,能够根据定义判断几何体的形状.2.各种棱柱之间的关系(1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系,具体见下表:
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
第一 章 § 1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体;2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征;3.了解多面体可按哪些不同的标准分类,可以分成哪些类别.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 新知探究 点点落实
如图棱柱可记作:棱柱
相关概念:底面(底):两个互相 的面侧面: 侧棱:相邻侧面的顶点: 的公共顶点
互相平行
四边形
互相平行
平行
其余各面
公共边
侧面与底面
ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
答案
分类:①依据:底面多边形的 ②类例: (底面是三角形)、 (底面是四边形)……
新人教版高中数学必修二全册课件ppt

(1)三棱柱有 6 个顶点,三棱锥有 4 个顶点;
(2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的
母线;
本 课
(3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几
时 栏
何体是圆台;
目
(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角
开 关
做圆柱侧面的母线.圆柱用表示它的轴的字母表示,如下图中的圆
柱表示为圆柱 O′O.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 如图,平行于圆柱底面的截面,经过圆柱任意两条母线的截 面分别是什么图形?
本
课
时
栏 目
答 分别是圆面、矩形.
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 圆锥的结构特征 问题 1 类比圆柱的定义,结合下图你能给圆锥下个定义吗?
5.简单组合体
(1)概念:由 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组
合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等
本
课
几何结构特征的物体组成的.
时
栏
(2)基本形式:一种是由简单几何体 拼接 而成,另一种是
目
开
由简单几何体 截去 或 挖去 一部分而成.
关
研一研·问题探究、课堂更高效
[问题情境]
本
举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点.它的构造从外形
课 时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体,我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样,也都是由一些简单几何体组合而成的组合体.本节我
开
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征.
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 圆柱的结构特征
新教材高中数学第6章简单旋转体_球圆柱圆锥和圆台课件北师大版必修第二册ppt

2.如图所示的图形中有( ) A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥 C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球 B [根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不 是圆台,故应选 B.]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 旋转体的结构特征 【例 1】 下列命题正确的是________(只填序号). ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是 圆锥; ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆 台;
知识点 1 球、圆柱、圆锥和圆台
球
圆柱、圆锥和圆台
以 半 圆 的 直 径 所 在 的 直 分别以矩形的一边 OO1、直角三角形 线为旋转轴,将半__圆__旋转 的一条直角边 SO、直角梯形垂直于底
定义 一周所形成的曲面称为 边的腰 OO1 所在的直线为旋转轴,其 球面.球面所围成的几何 余各边旋转一周而形成的面所围成的
§1 基本立体图形 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆
锥和圆台
学习任务
核心素养
1.理解旋转体——球、圆柱、圆 1.通过对旋转体结构特征的学习,
锥、圆台的结构特征.(重点) 培养学生直观想象素养.
2.能运用球、圆柱、圆锥、圆台 2.借助于旋转体侧面展开图的相
的结构特征来判断、描述现实生活 关计算,培养学生数学运算素养.
简单旋转体判断问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解 决此类概念问题的关键. (2)解题时要注意两个明确: ①明确由哪个平面图形旋转而成; ②明确旋转轴是哪条直线.
[跟进训练] 1.下列结论正确的是( ) A.用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六 棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
球的表面积和体积(第2课时) 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
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A.64
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案:D.
解:设球的半径为,则由题意可知42 = 16,故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
,则它的表面积为_____.
3
答案:100.
4
解:设球的半径为,由已知得 3
如图所示.在∆1 中,1 = 5 ,1 = 2 ,
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3(),
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面,它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ,且1 ,2 为两截面圆的圆心,则1 ⊥ 1 ,
2 ⊥ 2 .设球的半径为,
∵ ∙ 2 2 = 49,∴2 = 7 .同理,得1 = 20 .
设1 = ,则2 = (9−) .
在∆1 中,2 = 2 + 400.在∆2 中,2 = (9−)2 +49,
2
=
3
,
3
=
1
,所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ,故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案:D.
解:设球的半径为,则由题意可知42 = 16,故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
,则它的表面积为_____.
3
答案:100.
4
解:设球的半径为,由已知得 3
如图所示.在∆1 中,1 = 5 ,1 = 2 ,
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3(),
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面,它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ,且1 ,2 为两截面圆的圆心,则1 ⊥ 1 ,
2 ⊥ 2 .设球的半径为,
∵ ∙ 2 2 = 49,∴2 = 7 .同理,得1 = 20 .
设1 = ,则2 = (9−) .
在∆1 中,2 = 2 + 400.在∆2 中,2 = (9−)2 +49,
2
=
3
,
3
=
1
,所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ,故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
新教材2023版高中数学北师大版必修第二册:球的表面积和体积课件
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跟踪训练 1 圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm,两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器的水 面将下降多少?
解析:设取出小球后,容器中水面下降 h cm,两个小球的体积为 V 球 =2×43π×523=1235π,此体积即等于它们在容器中排出水的体积 V= π×52×h,
要点三 球的体积和表面积公式 V 球=___34_π_R_3__,S 球面=___4_π_R_2__.
状元随笔 两个结论
(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方. (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方.
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)用一个平面去截球所得截面都是圆.( √ ) (2)正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等.( √ ) (3)正方体的外接球的直径与正方体的棱长相等.( × ) (4)球面展开一定是平面的圆面.( × )
解析:(1)将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球时,球的 直径等于正方体的棱长 2,则球的半径 R=1.
∴V 球=34πR3=43π. 答案: A
(2)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为________.
解析:长方体外接球如图,长方体的体对角面是矩形,该矩形的对角线 就是球的直径,此对角线也是长方体的体对角线,长方体的体对角线长为
状元随笔 (1)解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球
的半径,一般作出球的一个大圆来处理问题. (2)大圆半径等于球的半径 R,大圆面积 S=πR2,是球的表面积的
1 4.
(3)利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
同步导学高中数学人教必修二课件:1-3-3 球的体积和表面积
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【变式训练 2】 某几何体的三视图如图 3 所示,它的体积为________.
A.72π
B.48π
图3 C.30π D.24π
解析:该几何体是圆锥和半球体的组合体,则它的体积 V=V 圆锥+V 半球体=13π×32 ×4+12×43π×33=30π.
答案:30π
导悟 3 几何体的外接球
【例 3】 (1)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
解:①当截面在球心的同侧时,如图 1 所示为球的轴截面,由球的截面性质知, AO1∥BO2,且 O1、O2 分别为两截面圆的圆心,则 OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球的半 径为 R.
图1 ∵π·O2B2=49π, ∴O2B=7.
∵π·O1A2=400π, ∴O1A=20. 设 OO1=x,则 OO2=x+9. 在 Rt△OO1A 中,R2=x2+202, 在 Rt△OO2B 中,R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2, 解得 x=15,∴R2=x2+202=252. ∴R=25,∴V 球=43πR3=623500π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=64π, ∴R2=16,即 R=4. ∴V 球=43πR3=43π×43=2536π. (3)∵V 球=43πR3=5030π, ∴R3=125,R=5. ∴S 球=4πR2=100π.
【变式训练 1】 一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面.它们的面积分别为 49π cm2 和 400π cm2,求球的体积.
________.
(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 6,底面边长为 4,则该球的
表面积为( )
A.434π
B.4894π
C.841π
人教版高中数学必修二3.2__球的体积和表面积ppt模板
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(3)∵V 球=43πR3=5030π ∴R3=125,R=5, ∴S 球=4πR2=100π.
探究点二
球的接切问题
球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体,主要包括“内切”和 “外接”等有关的问题,像长方体内接于球,正方体内接于球,正四面体 内接于球,球内切于正方体,球内切于正四面体,球内切于圆台等组合 体.解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把 空台的两底面半径分别是3和4, 求圆台的体积.
[错解] 如图,由球的截面的性质知, 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1= 52-32=4,d2= 52-42=3. ∴圆台的高为 d1-d2=h=4-3=1. ∴圆台的体积为 V=13πh(r21+r22+r1r2) =13×π×1×(32+42+3×4)=337π.
O1O2= R+r2-R-r2=2 Rr, ∴S 圆台全=π(R+r)2+πR2+πr2=2π(R2+r2+Rr),
S 球=4πRr,
∴SS圆台 球全=R2+2rR2+ r Rr=k.
1 故V圆台=3·2π
V球
R43πrR2R+rR3 r+r2=R2+2RRrr+r2=k.
2.若半球内有一内接正方体,则这个半球的表面积与正
提示:根据表面积和体积公式容易知道,当表面积变为原来的 2 倍时,球的半径变为原来的 2倍,体积变为原来的 2 2倍.
探究点一
球的体积和表面积的计算
1.球的体积是球体所占空间的大小的度量,设球的半径为R, 它的体积只与半径R有关,是以R为自变量的函数即 V= π43R3.
2.球的表面积是对球的表面大小的度量,它也是球半径的 函数即S=4πR2.
[解] 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须 V 圆锥≥V 半球,V 半 球=12×43πr3=12×43π×43, V 圆锥=13Sh=13πr2h=13π×42×h. 依题意:13π×42×h≥12×43π×43,解得 h≥8. 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm,高大于或等于 8 cm 时,冰淇 淋融化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=πrl=πr h2+r2, 当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小,所以高为 8 cm 时,制造的 杯子最省材料.