高中数学必修1_PPT演示课件
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高中数学必修一必修1全章节ppt课件幻灯片
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22
(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素. (3)组成单词china的字母组成一个集合.
【解题探究】 1.集合中的元素有哪些特性? 2.集合中的元素能重复吗?
探究提示: 1.集合中的元素有三个特性,即确定性、互异性和无序性. 2.构成集合的元素必须是不相同的,即集合元素具有互异性, 相同的元素只能算作一个. 【解析】1.①不正确.因为成绩较好没有明确的标准. ②正确.中国海洋大学2013级大一新生是确定的,明确的. ③正确.因为参加2012年伦敦奥运会的所有国家是确定的, 明确的. ④不正确.因为高科技产品的标准不确定. 答案:②③
(3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,如由元素a,b, c与由元素b,a,c组成的集合是相等的集合.这个性质通常 用来判断两个集合的关系.
3.元素和集合之间的关系 (1)根据集合中元素的确定性可知,对任何元素a和集合A,在 a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系. 4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点
第一章 集合与函数概念 1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、元素与集合 1.定义: (1)元素:一般地,把所研究的_对__象_统称为元素,常用小写的 拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:一些元素组成的总体,简称为_集_,常用大写拉丁字 母A,B,C,…表示. 2.集合相等:指构成两个集合的元素是_一__样_的. 3.集合中元素的特性:_确__定__性_、_互_异__性__和_无__序__性__.
类型 一 集合的判定
【典型例题】
1.下列说法中正确的序号是
.
①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合;
(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素. (3)组成单词china的字母组成一个集合.
【解题探究】 1.集合中的元素有哪些特性? 2.集合中的元素能重复吗?
探究提示: 1.集合中的元素有三个特性,即确定性、互异性和无序性. 2.构成集合的元素必须是不相同的,即集合元素具有互异性, 相同的元素只能算作一个. 【解析】1.①不正确.因为成绩较好没有明确的标准. ②正确.中国海洋大学2013级大一新生是确定的,明确的. ③正确.因为参加2012年伦敦奥运会的所有国家是确定的, 明确的. ④不正确.因为高科技产品的标准不确定. 答案:②③
(3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,如由元素a,b, c与由元素b,a,c组成的集合是相等的集合.这个性质通常 用来判断两个集合的关系.
3.元素和集合之间的关系 (1)根据集合中元素的确定性可知,对任何元素a和集合A,在 a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系. 4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点
第一章 集合与函数概念 1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、元素与集合 1.定义: (1)元素:一般地,把所研究的_对__象_统称为元素,常用小写的 拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:一些元素组成的总体,简称为_集_,常用大写拉丁字 母A,B,C,…表示. 2.集合相等:指构成两个集合的元素是_一__样_的. 3.集合中元素的特性:_确__定__性_、_互_异__性__和_无__序__性__.
类型 一 集合的判定
【典型例题】
1.下列说法中正确的序号是
.
①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合;
人教版高中数学必修1《函数的零点与方程的解》PPT课件
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•题型二 判断零点所在的区间
• [探究发现]
• (1)什么是函数的零点? • 提示:函数的零点是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标.
• (2)f(a)f(b)<0是连续函数f(x)在区间(a,b)上存在零点的 什么条件?f(a)f(b)>0时函数在区间上一定没有零点吗? • 提示:f(a)f(b)<0是连续函数f(x)在(a,b)上存在零点的 充分不必要条件.f(a)f(b)>0时函数在区间(a,b)上不一定 没有零点.
• (2)函数零点存在定理是不可逆的.因为由f(a)·f(b)<0可 以
•推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是,已知函 数y
•=f(x)在区间(a,b)内存在零点,不一定能推出f(a)·f(b)<0. 如图,
• (二)基本知能小试
• 1.判断正误:
•(1)函数的零点是一个点.
()
•(2)任何函数都有零点.
• [方法技巧] 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是 解方程法
否落在给定区间上 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看 函数零点 是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必 存在定理 有零点 数形 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 结合法
()
•(3)函数y=x的零点是O(0,0).
()
•(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0,则函数在区间[a,b]上至少
有一个零点.
()
•(5)函数的零点不是点,它是函数y=f(x)的图象与x轴交点 的横坐标,是方程f(x)=0的根.
•2.函数f(x)=log2x的零点是 (
人教版高中数学必修1《奇偶性》PPT课件
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• (二)基本知能小试
• 1.判断正误:
•(1)f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是
偶函数.
()
•(2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数
y=f(x)一定是奇函数.
()
•(3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函 数就是偶函数.( )
()
•A.-1
B.0
•C.1
D.无法确定
• 解析:∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a-1=0,即a =1.
•答案:C
• 4.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1, 则当x<0时,f(x)=________.
• 解析:当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)+1=x+1=- f(x),所以f(x)=-x
又 f(0)=0,所以 f(x)=x-1x+x-x,1,x≥x0<,0.
• 3.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x, 求函数f(x),g(x)的解析式.
• 解:∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
• ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
• 由f(x)+g(x)=2x+x2,
• [方法技巧]
• 比较大小的求解策略
• (1)若自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性 比较大小.
• 3.2.2 奇偶性
明确目标
发展素养
1.理解奇函数、偶函数的定义,了解 1.借助奇(偶)函数的特征,培养直
奇函数、偶函数图象的特征.
观想象素养.
2.掌握判断函数奇偶性的方法,会根 2.借助函数奇偶性的判断方法,
人教版高中数学必修一一集合PPT课件
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集合相等:只要构成这两个集合的元素 是一样的,则这个集合是相等的。
例:{两边相等的三角形}和{等腰三角形}
问题
如果用A表示高一(3)班学生组成的集合,a表示高 一(3)班的一位同学,b表示高一(4)班的一位同 学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看出元 素与集合之间有什么关系?
元素与集合的关系
为_______;用描述法表示为 .
(2)集合{(x, y) | x y 6, x N, y N}
用列举法表示为
.
复习回顾
1、元素和集合的定义 2、集合的特性 3、元素和集合的关系 4、集合的表示方法
实数有相等关系,大小关系, 类比 实数之间的关系,集合之间是否具备类 似的关系?
新课
常用的数集
数集 自然数集(非负整数集)
正整数集 整数集
有理数集 实数集
符号
N N* 或N+
Z Q R
判断Q与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题
解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 弄清这个集合由哪些元素组成的.
集合的表示方法
问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?
(2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组 成的集{合太? 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} {1,-2}
③ A={x|x2-3x+2=0}, B={1,2}.
练习1:观察下列各组集合,并指明两个
集合的关系
① A=Z ,B=N;
AB
② A={长方形}, B={平行四边形方形};AB
③ A={x|x2-3x+2=0}, B={1,2}.
练习1:观察下列各组集合,并指明两个
集合的关系
人教版高中数学必修1课件:第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件
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(1)y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称; (2)y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称; (3)y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称; (4)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y轴对称; (5)如果函数y=f(x)对定义域内的一切x值,都满足 f(a+x)=f(a-x),其中a是常数,那么函数y=f(x)的图象关
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0,方程(※)有两相等
实根⇔Δ=0,方程(※)无实根⇔Δ<0,方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c=0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1+x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x=
-b- 2a
Δ >0 (a>0)
⇔-f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y=x 上的点的集合,集合 B 是抛物线 y=x2 的图象上点的集合,∴A∩B 是方程组yy= =xx2 的解为坐 标的点的集合,∴A∩B={(0,0),(1,1)}.
2.熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果.
[例2] 集合A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+p<0}, 若B A,则实数p的取值范围是________.
当 a≠0 时,应有 a=1a,∴a=±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1.解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) = x2+4x 的 单 调 增 区 间 为 ________.
[解析] 由x2+4x≥0得,x≤-4或x≥0,又二次函数u =x2+4x的对称轴为x=-2,开口向上,故f(x)的增区间为 [0,+∞).
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0,方程(※)有两相等
实根⇔Δ=0,方程(※)无实根⇔Δ<0,方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c=0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1+x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x=
-b- 2a
Δ >0 (a>0)
⇔-f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y=x 上的点的集合,集合 B 是抛物线 y=x2 的图象上点的集合,∴A∩B 是方程组yy= =xx2 的解为坐 标的点的集合,∴A∩B={(0,0),(1,1)}.
2.熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果.
[例2] 集合A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+p<0}, 若B A,则实数p的取值范围是________.
当 a≠0 时,应有 a=1a,∴a=±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1.解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) = x2+4x 的 单 调 增 区 间 为 ________.
[解析] 由x2+4x≥0得,x≤-4或x≥0,又二次函数u =x2+4x的对称轴为x=-2,开口向上,故f(x)的增区间为 [0,+∞).
高中必修一数学第一章集合间的基本关系ppt课件-人教版
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高中数学
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
高中数学
⊆ ⊆
高中数学
[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是:集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{-1,0,1},则 0∈{0,1},0∈{-1,0,1}.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与 列顺序无关.
高中数学
真子集 [提出问题] 给出下列集合: A={a,b,c},B={a,b,c,d,e}. 问题1:集合A与集合B有什么关系? 提示:A⊆B. 问题2:集合B中的元素与集合A有什么关系? 提示:集合B中的元素a,b,c都在A中,但元素d,e不
高中数学
[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B),且集合 B A 的 子集 (B⊆A),此时,集合 A 与集合 B 中的元素 的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B,又 B⊆A,则 A=B;反之,如果 A= ⊆B,且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法,即 =B,只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可.
(2)若 A 不是 B 的子集,则 A 一定不是 B 的真子集
高中数学
空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1:含有32天的月份存在吗? 提示:不存在. 问题2:集合T存在吗?是什么集合? 提示:存在,是空集.
高中数学
[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合,叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
高中数学
⊆ ⊆
高中数学
[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是:集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{-1,0,1},则 0∈{0,1},0∈{-1,0,1}.
(2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与 列顺序无关.
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真子集 [提出问题] 给出下列集合: A={a,b,c},B={a,b,c,d,e}. 问题1:集合A与集合B有什么关系? 提示:A⊆B. 问题2:集合B中的元素与集合A有什么关系? 提示:集合B中的元素a,b,c都在A中,但元素d,e不
高中数学
[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B),且集合 B A 的 子集 (B⊆A),此时,集合 A 与集合 B 中的元素 的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B,又 B⊆A,则 A=B;反之,如果 A= ⊆B,且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法,即 =B,只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可.
(2)若 A 不是 B 的子集,则 A 一定不是 B 的真子集
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空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1:含有32天的月份存在吗? 提示:不存在. 问题2:集合T存在吗?是什么集合? 提示:存在,是空集.
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[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合,叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2
人教版高中数学必修1《分段函数》PPT课件
![人教版高中数学必修1《分段函数》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/ec0e880d5627a5e9856a561252d380eb62942324.png)
()
解析:∵f(x)=|x-1|=x1- -1x, ,xx≥ <11, , 当 x=1 时,f(1)=0,可排除 A、C. 又 x=-1 时,f(-1)=2,排除 D. 答案:B
3.函数 y=x-2,2,x>x<0,0 的定义域为__________,值域为____________. 答案:(-∞,0)∪(0,+∞) {-2}∪(02],- 3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2], 知 f(-5)=-5+1=-4,
f(- 3)=(- 3)2+2×(- 3)=3-2 3. ∵f-52=-52+1=-32,且-2<-32<2, ∴ff-52=f-32=-322+2×-32=94-3=-34. (2)当 a≤-2 时,a+1=3,即 a=2>-2,不合题意,舍去; 当-2<a<2 时,a2+2a=3,即 a2+2a-3=0. ∴(a-1)(a+3)=0,得 a=1 或 a=-3. ∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2),∴a=1 符合题意;
答案:(-3,1)∪(3,+∞)
题型二 分段函数的图象 【学透用活】
[典例 2] (1)已知 f(x)的图象如图所示,求 f(x)的解析式. (2)已知函数 f(x)=1+|x|-2 x(-2<x≤2). ①用分段函数的形式表示函数 f(x); ②画出函数 f(x)的图象; ③写出函数 f(x)的值域.
x+2,x<0. 根据函数解析式作出函数图象,如图所示. 由图象可以看出,函数的值域为{y|y≤2}. 答案:{y|y≤2}
3.作出函数 f(x)=- x2-x-x-1,2,x≤--1<1,x≤2, x-2,x>2
的图象.
解:画出一次函数 y=-x-1 的图象,取(-∞,-1]上的一段;画出二次 函数 y=x2-x-2 的图象,取(-1,2]上的一段;画出一次函数 y=x-2 的图 象,取(2,+∞)上的一段,如图所示.
高中数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
![高中数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/f9fd517684868762cbaed586.png)
由题可得m2—m+1=1,解得m=0或1满足题意。
②若函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,则实数a 的取值范围是什么?
1
由题可得2a-1>0且2a-1≠1, 解得a> 2 且a≠1满足题意。
③已知指数函数f(x)的图象经过点(2,9), 则f(0)、 f(1)、 f(-2)的值分别为多少?
设这f种(x)求=a解x(析a式>0方且法a≠叫1)做,由待f(定2)=系9得数a法2=。9,解得a=3
例2.在同一直角坐标系中,观察函数 y 2 x , y 3x ,
y
(1)x 2
,
y
(1)x 3
y
的图象。
y
1
x
yy
3
3x
y
1 2
x
4
3
y 2x
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
指数函数图象的性质
y=ax 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点
o
x
ox
(--∞,+∞) (左右无限延伸)
-1 2 2、若函数 y (k 2)a x 2 b(a 0,且a 1) 是指数函数,则 k
,b
。
3、若指数函数的图象经过点 (4, 1 ), 则 f (3)
8
16
(3,4) 4、函数 y a x3 3(a 0,且a 1) 的图象恒经过定点
。
课堂小结
1.说说指数函数的概念。 2.记住指数函数图象和性质。
特别提醒:
(1) 有些函数貌似指数函数,实际上却不是, 如 y 3x 1
②若函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,则实数a 的取值范围是什么?
1
由题可得2a-1>0且2a-1≠1, 解得a> 2 且a≠1满足题意。
③已知指数函数f(x)的图象经过点(2,9), 则f(0)、 f(1)、 f(-2)的值分别为多少?
设这f种(x)求=a解x(析a式>0方且法a≠叫1)做,由待f(定2)=系9得数a法2=。9,解得a=3
例2.在同一直角坐标系中,观察函数 y 2 x , y 3x ,
y
(1)x 2
,
y
(1)x 3
y
的图象。
y
1
x
yy
3
3x
y
1 2
x
4
3
y 2x
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
指数函数图象的性质
y=ax 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点
o
x
ox
(--∞,+∞) (左右无限延伸)
-1 2 2、若函数 y (k 2)a x 2 b(a 0,且a 1) 是指数函数,则 k
,b
。
3、若指数函数的图象经过点 (4, 1 ), 则 f (3)
8
16
(3,4) 4、函数 y a x3 3(a 0,且a 1) 的图象恒经过定点
。
课堂小结
1.说说指数函数的概念。 2.记住指数函数图象和性质。
特别提醒:
(1) 有些函数貌似指数函数,实际上却不是, 如 y 3x 1
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
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k(x1 x2 ).
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 ). 由 x1 x2,得 x1 x2 0.所以
①当k 0时,k(x1 x2 ) 0.
只要 x1 x2,就有 f (x1) f (x2 ).
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
所有的 x1 x2,有 f (x1) f (x2 ).
你能由例 1、例 2 的证明过程,归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗?
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤:
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数
的单调性证明.
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数 的单调性证明.
思考:“体积V 减小时,压强 p增大”的含义?
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 ). 由 x1 x2,得 x1 x2 0.所以
①当k 0时,k(x1 x2 ) 0.
只要 x1 x2,就有 f (x1) f (x2 ).
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
所有的 x1 x2,有 f (x1) f (x2 ).
你能由例 1、例 2 的证明过程,归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗?
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤:
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数
的单调性证明.
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数 的单调性证明.
思考:“体积V 减小时,压强 p增大”的含义?
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
高中数学必修一全册课件人教版(共99张PPT)
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例如:1∈N, -5 ∈ Z, Q 1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意:1、元素间要用逗号隔开; 2、不管次序放在大括号内。
例如:book中的字母组成的集合表示为:{b,o,o,k}{b,o,k} 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。{1,4}{(1,4)}
的关系f则成为对应法则,则上面两个例子中,对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
?
2
?
3
?
5
?
6
?
7
?
8
?
二、映射
通过上面的两个例子,我们说明了什么是函数,上面的两个例子都是研究的 数值的情况,那么进一步扩展,如果集合A和集合B不是数值,而是其他类型的 集合,则这种对应关系就称为映射。具体定义如下:
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集, 记作A∩B,即
A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意:1、元素间要用逗号隔开; 2、不管次序放在大括号内。
例如:book中的字母组成的集合表示为:{b,o,o,k}{b,o,k} 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。{1,4}{(1,4)}
的关系f则成为对应法则,则上面两个例子中,对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
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8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
?
2
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3
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5
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7
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8
?
二、映射
通过上面的两个例子,我们说明了什么是函数,上面的两个例子都是研究的 数值的情况,那么进一步扩展,如果集合A和集合B不是数值,而是其他类型的 集合,则这种对应关系就称为映射。具体定义如下:
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集, 记作A∩B,即
A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
人教版高中数学必修1全套课件
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函数与方程
函数与方程的基本概念
包括函数定义、函数值、自变量、因 变量等概念的介绍。
函数的表示方法
解析法、列表法、图象法等表示方法 的特点和适用范围。
函数的性质
单调性、奇偶性、周期性等性质的定 义和判断方法。
方程与不等式的解法
一元一次方程、一元二次方程、分式 方程等方程和不等式的解法,以及函 数与方程的联系。
对数函数
对数函数的定义与性质
01
介绍对数函数的基本概念、性质,包括底数、对数的定义和运
算规则。
对数函数的图像与性质
02
通过图像展示对数函数的增减性、奇偶性、周期性等性质,帮
助学生直观理解函数特点。
对数函数的应用
03
列举对数函数在生活中的实际应用,如音量的分贝计算、地震
震级的计算等,培养学生运用数学知识解决问题的能力。
数列的项与通项公式
数列中的每一个数称为数列的项;表示数列第n项的公式称为数列 的通项公式。
数列的表示方法
列表法、图象法和通项公式法。
等差数列和等比数列
等差数列的定义与性质
从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列的定义与性质
从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
正切函数、余切函数的图象和性质 三角函数的最值问题
三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦 公式
半角公式及其应用
二倍角公式及其应用 积化和差与和差化积公式
解三角形及其应用举例
01
正弦定理及其应用
02
余弦定理及其应用
03
解三角形的常用方法:面积法、正弦定理 法、余弦定理法等
04
解三角形的实际应用举例:测量、航海、 地理等问题
人教版高中数学必修1《指数》PPT课件
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3)2]
1 2
的结果是
A.-
3 3
B. 3
答案:C
3 C. 3
D.- 3
3.化简( 3+ 2) 3- 2·( 3- 2) 3- 2=________. 解析:原式= 3+ 2 3- 2 3- 2=1 3- 2=1. 答案:1
()
题型一 根式的化简与求值 【学透用活】
根式的性质与应用的关键是在理解根式的基础上熟记根式的意义与性质,
[典例 4]
已知
a
1 2
+a
1 2
=
7,求下列各式的值:
(1)a2+a-2;
[解]
(1)将
a
1 2
+a
1 2
=
7两边平方,得 a+a-1+2=7,
所以 a+a-1=5,
再将 a+a-1=5 两边平方,得 a2+a-2+2=25,
故 a2+a-2=23.
(2)由(1)得 a+a-1=5.
[方法技巧]
的是 A.①② C.①②③④
B.①③ D.①③④
()
解析: (-4)2n>0,故①有意义;(-4)2n+1<0,故②无意义;③显然有意
5
义;当 a<0 时,a5<0,此时 a4无意义,故④不一定有意义.
答案:B
5
2.化简 x2-2xy+y2+ y-x5=________.
解析:原式= x-y2+y-x=|x-y|+y-x. 当 x≥y 时,原式=x-y+y-x=0; 当 x<y 时,原式=y-x+y-x=2(y-x).
价值.
mn
32
②若 a<0,a n = am不一定成立,如(-2) 2 = -23无意义,故为了避
免上述情况规定了 a>0.
人教版高中数学必修1《对数函数的图像与性质》PPT课件
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液的酸性就越强.
新知运用
例 3 溶 液 酸 碱 度 是 通 过 pH 计 量 的 .pH 的 计 算 式
pH=− + ,其中 + 表示溶液中氢离子的浓度,单位是
摩尔/升.
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为 + = − 摩尔/升,
计算纯净水的 pH 值;
【解析】 = −− = ,所以纯净水的 pH 值
反思总结
1.思想方法:
(1)数形结合:由解析式到图象(由数到形,以形读数),
由图象到性质(由形到数,以数观形);
(2)分类整合:底数的两个范围对单调性的影响.
2.知识联系:指、对不分家!指数函数与对数函数不仅在概念、
图象与性质上有联系,在解决问题的类型上也有联系,所以
要将两者作为一个整体学习与应用.
所以. < − + < . ,即−. < + < −. ,
所以−. < + < −. ,
所以−. < + < −. ,
所以这种饮用水中氢离子的浓度范围是−. < + <
−. (单位:摩尔/升).
x 0.5 1
log2x −
2
(2)描点画图.
3
1.6
4
5
6
7
2.3 2.6 2.8
8
新知探求
2.画函数 = 的图象.
由换底公式得 = Байду номын сангаас =
= − ,所以
函数 = 的图象与 = 的图象关于
新知运用
例 3 溶 液 酸 碱 度 是 通 过 pH 计 量 的 .pH 的 计 算 式
pH=− + ,其中 + 表示溶液中氢离子的浓度,单位是
摩尔/升.
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为 + = − 摩尔/升,
计算纯净水的 pH 值;
【解析】 = −− = ,所以纯净水的 pH 值
反思总结
1.思想方法:
(1)数形结合:由解析式到图象(由数到形,以形读数),
由图象到性质(由形到数,以数观形);
(2)分类整合:底数的两个范围对单调性的影响.
2.知识联系:指、对不分家!指数函数与对数函数不仅在概念、
图象与性质上有联系,在解决问题的类型上也有联系,所以
要将两者作为一个整体学习与应用.
所以. < − + < . ,即−. < + < −. ,
所以−. < + < −. ,
所以−. < + < −. ,
所以这种饮用水中氢离子的浓度范围是−. < + <
−. (单位:摩尔/升).
x 0.5 1
log2x −
2
(2)描点画图.
3
1.6
4
5
6
7
2.3 2.6 2.8
8
新知探求
2.画函数 = 的图象.
由换底公式得 = Байду номын сангаас =
= − ,所以
函数 = 的图象与 = 的图象关于
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点在直线上或点在直线外。
点与平面的位置关系
点在平面内、点在平面外或点在平面上(即点在平面的边界上)。
直线与平面的位置关系
直线在平面内、直线与平面相交或直线与平面平行。
2024/1/25
31
直线、平面平行的判定及其性质
直线平行的判定
同一平面内,不相交的两条直线互相平行。
平面平行的判定
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个 平面平行。
。
幂函数增长模型
函数值随自变量幂次增长,增 长速度介于线性和指数之间,
如幂函数。
2024/1/25
19
函数模型的应用实例
经济学中的应用
利用函数模型研究成本、收益 、利润等经济问题。
2024/1/25
物理学中的应用
利用函数模型描述物体的运动 规律、波动现象等。
工程学中的应用
利用函数模型进行工程设计、 优化等问题。
2023 WORK SUMMARY
人教版高中数学必修 一全套PPT课件
REPORTING
2024/1/25
1
目录
• 高中数学必修一概述 • 集合与函数概念 • 基本初等函数(Ⅰ) • 空间几何体 • 点、直线、平面之间的位置关系
2024/1/25
2
PART 01
高中数学必修一概述
2024/1/25
以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余各边旋转 形成的曲面所围成的几何体。
球
半圆以它的直径为旋转轴,旋转一周形成的曲面所围成的几何体 。
2024/1/25
24
空间几何体的三视图和直观图
三视图
正视图(从正面看)、侧视图(从左面看)、俯视图(从上面看)。
点与平面的位置关系
点在平面内、点在平面外或点在平面上(即点在平面的边界上)。
直线与平面的位置关系
直线在平面内、直线与平面相交或直线与平面平行。
2024/1/25
31
直线、平面平行的判定及其性质
直线平行的判定
同一平面内,不相交的两条直线互相平行。
平面平行的判定
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个 平面平行。
。
幂函数增长模型
函数值随自变量幂次增长,增 长速度介于线性和指数之间,
如幂函数。
2024/1/25
19
函数模型的应用实例
经济学中的应用
利用函数模型研究成本、收益 、利润等经济问题。
2024/1/25
物理学中的应用
利用函数模型描述物体的运动 规律、波动现象等。
工程学中的应用
利用函数模型进行工程设计、 优化等问题。
2023 WORK SUMMARY
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2024/1/25
1
目录
• 高中数学必修一概述 • 集合与函数概念 • 基本初等函数(Ⅰ) • 空间几何体 • 点、直线、平面之间的位置关系
2024/1/25
2
PART 01
高中数学必修一概述
2024/1/25
以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余各边旋转 形成的曲面所围成的几何体。
球
半圆以它的直径为旋转轴,旋转一周形成的曲面所围成的几何体 。
2024/1/25
24
空间几何体的三视图和直观图
三视图
正视图(从正面看)、侧视图(从左面看)、俯视图(从上面看)。
人教 高中数学必修第一册第一章《1.1集合的概念》课件(共17张ppt)
![人教 高中数学必修第一册第一章《1.1集合的概念》课件(共17张ppt)](https://img.taocdn.com/s3/m/16061da7fab069dc502201c0.png)
如:(1)小于5的答自案然:数{1组,成-的1}集合可表示为____. (2)方程x2-1=0的解集可表示为_{_x_∈__R_|_x_2-.1=0}
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线,用 它的内部表示一个集合.
例如,图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素,称为空集,记为;
(4) 两个集合的元素若一样,则称它们相等。
4.几个常用数集:
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N+* : 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集 (5) R:实数集
5.集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法:适用对象:有限、有规律
取值范围.a≠-2 (互异性应用)
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示:分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0,x},求实数x的值.
(3)无序性:集合中的元素是无
先后顺序的.
3.集合与元素的关系:
(1) 如果a是集合A的元素,就说a属于集 合A,记作a ∈ A;
如果a不是集合A的元素,就说a不属
于集合A,记作a A.
(2) 集合中的元素可以是数,点,式, 图,人,物……;
(3) 集合中的元素个数如果有限,称为有 限集;如果个数无限,称为无限集;如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合; (6)1~20以内的所有素数组成的集合;
2、用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被3除余2的正整数集合; (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集.
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线,用 它的内部表示一个集合.
例如,图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素,称为空集,记为;
(4) 两个集合的元素若一样,则称它们相等。
4.几个常用数集:
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N+* : 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集 (5) R:实数集
5.集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法:适用对象:有限、有规律
取值范围.a≠-2 (互异性应用)
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示:分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0,x},求实数x的值.
(3)无序性:集合中的元素是无
先后顺序的.
3.集合与元素的关系:
(1) 如果a是集合A的元素,就说a属于集 合A,记作a ∈ A;
如果a不是集合A的元素,就说a不属
于集合A,记作a A.
(2) 集合中的元素可以是数,点,式, 图,人,物……;
(3) 集合中的元素个数如果有限,称为有 限集;如果个数无限,称为无限集;如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合; (6)1~20以内的所有素数组成的集合;
2、用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被3除余2的正整数集合; (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集.
人教版高中数学必修1《简单的三角恒等变换》PPT课件
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α2,cos
α2,tan
α 2
的值;
1-sin (2)化简:
α-2c-os2αcossiαnα2+cosα2(-π<α<0).
[解] (1)∵sin α=-187,π<α<32π,∴cos α=-1157.
∵cos2α=1-2sin2α2=2cos2α2-1,又π2<α2<34π,
∴sin α2=
1-cos 2
6 A. 3
B.-
6 3
C.±
6 3
解析:∵cos θ=13,且 θ∈(0,π),
D.±
3 3
∴θ2∈0,π2,∴cosθ2>0,
∴cos θ2=
cos2θ2=
1+cos 2
θ=
1+2 13= 36.
答案:A
()
3.已知 cos α=45,α∈32π,2π,则 sin α2等于
A.-
10 10
10 B. 10
【学透用活】
[典例 2] (1)求证:1+2cos2θ-cos 2θ=2;
(2)求证:
sin
x+cos
2sin xcos x-1sin
x x-cos
x+1=1+sincoxs
x .
[证明] (1)左边=1+2cos2θ-cos 2θ=1+2×1+c2os 2θ-cos 2θ=2=右边,
所以原等式成立.
• (一)教材梳理填空 • 1.半角公式:
半角公式
正弦 sinα2= ±
1-cos α 2
余弦 cosα2= ±
1+cos α 2
续表
正切 tan α2=±
1-cos 1+cos
αα,tanα2=1+sincoαs
= α
高中数学必修一集合 PPT课件 图文
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A、1 B、2 C、3 D、4
例题4:已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条
件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ) A、1 B、2 C、3 D、4
例题5:若规定E={a1,a2,a3,…a10}的子集{ai1,ai2,…ain}为E的第K个子集,其中
K=2i1-1+2i2-1+…+2in-1,则 (1){a1,a3}是E的第_____个子集; (2)E的第211个子集为________
例题2:已知 A { x 集 |a x 1 合 0 }且 ,1 A ,求 a 的 实 . 值 数 例题3:设 y x 2 a b , x A { x |y x } { a } M , { a , b ) ( 求 } M ., 例题4:已知集A合 {xR|ax2 3x20,aR}.
第二节 集合间的基本关系 —考试题型及要点解析
1、判断两个集合之间的关系
解题要点:考察其中一个集合的所有元素是否全都在另一个集合; 考察其中一个集合是否为空集;
例题1:判断下列两个集合之间的关系:
(1) A={2,3,6},B={x| x是12的约数} ( 2) A={0,1},B={x|x2+y2=1,y∈N}
(1)若A中不含有任何元a的 素取 ,值 求范 . 围 (2)若A中只有一个元a素 的, 值求 ,并把这个出元来 .素写 (3)若A中至多有一个元a的 素取 ,值 求范 . 围
第二节 集合间的基本关系 —知识点总结
1、子集的三种语言
2、空集
(1)空集的概念:不含任何元素的集合,记作_∅__. (2)_空__集__是任何集合的子集, _空__集__是任何非空集合的 真子集.
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全集:某集合含有我们所研究的各个 集合的全部元素,用U表示
三、集合的并集、交集、全集、补集
1、A B {x | x A或x B} A
B
2、A B {x | x A且x B}
3、CU A {x | x U且x A}
全集:某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素,用U表示
是R上的增函数
是R上的减函数
比较下列各题中两数值的大小
(1)1.72.5,1.73.
(2) 0.8-0.1 ,0.8-0.2 (3) 2.13.4 ,0.42.8
11
(4) 2 3 ,33
对数函数y=logax (a>0,且a≠1)
a>1
0<a<1
图y
y
0 (1,0)
象
x
0 (1,0)
x
定义域 : ( 0,+∞)
一、集合 二、函数 三、初等函数 四、函数应用 五、函数的零点与二分法
一、集合的概念
1、集合:把研究对象称为元素, 把一些元素组成的总体叫做集合
2、元素与集合的关系: 或
3、元素的特性:确定性、互异性、无序性 4、常用数集: N 、N、Z、Q、R
二、集合的表示
1、列举法:把集合中的元素一一列举出 来,并放在{ }内
例13 已知f x是R上的奇函数, 且当x 0时,f x x(1 x),
(1)求f (x); (2)求x 0时,f (x)表达式 ; (3)求 f (x).
指数幂与根式运算
1.指数幂的运算性质 (1)am • an am n
(2)(am )n amn
(3)
am an
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
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已知函数f x的图象是连续不断的, 且有如下的x, f x的对应值表:
x 1 2 3 4 5 67 89
f x 14 8 2 2 7 3 2 1 8
问:函数f x在哪几个区间内有零点 ?为什么?
(1) loga (M N) loga M loga N;
(2)
M
log
a
N
loga M loga N;
(3) log a Mn n log a M(n R).
几个重要公式
(1) logam
bn
n m
log
a
b
(2) loga
b
log c log c
b a
1 (3) loga b logb a
函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 x I ,都有 f (x) f (x) 2.偶函数:对任意的 x I ,都有 f (x) f (x)
3.奇函数和偶函数的必要条件:
定义域关于原点对称.
注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定 义域区间是否关于原点对称!
例1、判断下列函数的奇偶性
图 象 间 的 关 系
例1.
设f(x)= loga
1 1
x x
a>0 ,
且a≠1, (1) 求f(x)的定义域;
(2) 当a>1时,求使f(x)>0的
x的取值范围.
函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变 量,α是常数.
零点
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫 做该函数的零点。即f(x)=0的解。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、
x2,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。
函数单调性:
用定义证明函数单调性的步骤:
(1). 设x1<x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)-f(x2) ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号: (4). 作结论.
数值的集合f (x) x A叫做函数的值域。
例2、下列题中两个函数是否表示同一个函数
2
1) f (x) x g(x) ( x ) 2) f (x) x g(x) x2 3) f (x) x g(x) 3 x3 4) f (x) x2 4 g(x) x 2
(1) f x x 1 x 1
(2)
f
x
3 x2
(3) f x x 1
x
(4) f x x2 , x 2,3
例2、已知f x是奇函数,且在3,7是
增函数,且最大值是4,那么f x
在 7, 3上是
函数
且最
值是
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2、描述法:用文字或公式等描述出元素 的特性,并放在{ }内
例1、已知x {1,2, x2}, 则x 0或2
例2、已知集合A {x | ax2 2x 1 0, a R}, 若A中元素至多只有一个,求a的取值范围
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三、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素,我 们称A为B的子集
(换底公式)
指数函数的概念
指数 自变量
函数 y = a x 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
a>1
图
0<a<1
象
性 定义域为(-∞,+ ∞ ),值域为(0,+ ∞ ) 图像都过点(0,1),当x=0时,y=1
质 当x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1;x<0时,y>1
三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法
例 (1)已知f (x) x2 4x 3,求f (x 1) (2)已知f (x 1) x2 2x,求f (x)
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x2 3
(3)已知f
(
x)Biblioteka 1x 4
x0 x 0 ,求f [ f (4)] x0
(1)正数的分数指数幂:
m
a n n am
m
,a n
1
n am
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5.对数
a x N x loga N.
负数和零没有对数;
常用关系式:
log a 1 0, log a a 1, aloga N N
loga ax x
对数运算性质如下:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么:
x2 5) f (x) (x 2)2 g(x) x 2
二、函数的定义域
例3、求下列函数的定义域
1) f (x) 3 4 x (x 4)0 x 1 log2(x 1)
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2、抽象函数的定义域
1)已知函数y=f(x)的定义域是[1,3], 求f(2x-1)的定义域
(4)已知f [ f (x)] 4x 1,求一次函数 f (x)的解析式
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函数单调性
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、
x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) ,那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。
amn
(4)(ab)n an • bn
2.a的n次方根
如果 xn a,(n>1,且n N ),那么x就叫做a
的n次方根.
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3.根式
当n为正奇数时,n an a ,
当n为正偶数时,
n
an
| a |
a
,a 0
a , a 0
4.分数指数幂
(2) log0.31.8 , log0.32.7;
(3) log3 , log20.8.
(4) log67, log76;
2.填空题:
(1)y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是
(2)y= lg(8 x2 ) 的定义域是
3.已知3lg(x-3)<1,求x的范围.
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指数函数与对数函数
值域: R
性
过点(1 ,0), 即当x =1时,y=0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
质 当x>1时,y>0
当x=1时,y=0
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0
例1.比较下列各组数中两个值 的大小:
(1) log23.4 , log28.5 ;
Q1 2x 1 3,1 x 2,函数的定义域为x |1 x 2.
2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,5), 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
Q
0 0
x x
1 1
5, 5,
1 1
x
6, 1
x 4,
x
4,
函数的定义域为x |1 x 4.
例6、已知集合A {x | 1 x 2}, B {x | x k 0},
(1)若A B ,求k的取值范围
(2)若A B A,求k的取值范围
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一、函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应, 那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个 函数。记作y f(x),x A 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函
三、集合的并集、交集、全集、补集
1、A B {x | x A或x B} A
B
2、A B {x | x A且x B}
3、CU A {x | x U且x A}
全集:某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素,用U表示
是R上的增函数
是R上的减函数
比较下列各题中两数值的大小
(1)1.72.5,1.73.
(2) 0.8-0.1 ,0.8-0.2 (3) 2.13.4 ,0.42.8
11
(4) 2 3 ,33
对数函数y=logax (a>0,且a≠1)
a>1
0<a<1
图y
y
0 (1,0)
象
x
0 (1,0)
x
定义域 : ( 0,+∞)
一、集合 二、函数 三、初等函数 四、函数应用 五、函数的零点与二分法
一、集合的概念
1、集合:把研究对象称为元素, 把一些元素组成的总体叫做集合
2、元素与集合的关系: 或
3、元素的特性:确定性、互异性、无序性 4、常用数集: N 、N、Z、Q、R
二、集合的表示
1、列举法:把集合中的元素一一列举出 来,并放在{ }内
例13 已知f x是R上的奇函数, 且当x 0时,f x x(1 x),
(1)求f (x); (2)求x 0时,f (x)表达式 ; (3)求 f (x).
指数幂与根式运算
1.指数幂的运算性质 (1)am • an am n
(2)(am )n amn
(3)
am an
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
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已知函数f x的图象是连续不断的, 且有如下的x, f x的对应值表:
x 1 2 3 4 5 67 89
f x 14 8 2 2 7 3 2 1 8
问:函数f x在哪几个区间内有零点 ?为什么?
(1) loga (M N) loga M loga N;
(2)
M
log
a
N
loga M loga N;
(3) log a Mn n log a M(n R).
几个重要公式
(1) logam
bn
n m
log
a
b
(2) loga
b
log c log c
b a
1 (3) loga b logb a
函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 x I ,都有 f (x) f (x) 2.偶函数:对任意的 x I ,都有 f (x) f (x)
3.奇函数和偶函数的必要条件:
定义域关于原点对称.
注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定 义域区间是否关于原点对称!
例1、判断下列函数的奇偶性
图 象 间 的 关 系
例1.
设f(x)= loga
1 1
x x
a>0 ,
且a≠1, (1) 求f(x)的定义域;
(2) 当a>1时,求使f(x)>0的
x的取值范围.
函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变 量,α是常数.
零点
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫 做该函数的零点。即f(x)=0的解。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、
x2,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。
函数单调性:
用定义证明函数单调性的步骤:
(1). 设x1<x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)-f(x2) ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号: (4). 作结论.
数值的集合f (x) x A叫做函数的值域。
例2、下列题中两个函数是否表示同一个函数
2
1) f (x) x g(x) ( x ) 2) f (x) x g(x) x2 3) f (x) x g(x) 3 x3 4) f (x) x2 4 g(x) x 2
(1) f x x 1 x 1
(2)
f
x
3 x2
(3) f x x 1
x
(4) f x x2 , x 2,3
例2、已知f x是奇函数,且在3,7是
增函数,且最大值是4,那么f x
在 7, 3上是
函数
且最
值是
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2、描述法:用文字或公式等描述出元素 的特性,并放在{ }内
例1、已知x {1,2, x2}, 则x 0或2
例2、已知集合A {x | ax2 2x 1 0, a R}, 若A中元素至多只有一个,求a的取值范围
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三、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素,我 们称A为B的子集
(换底公式)
指数函数的概念
指数 自变量
函数 y = a x 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
a>1
图
0<a<1
象
性 定义域为(-∞,+ ∞ ),值域为(0,+ ∞ ) 图像都过点(0,1),当x=0时,y=1
质 当x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1;x<0时,y>1
三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法
例 (1)已知f (x) x2 4x 3,求f (x 1) (2)已知f (x 1) x2 2x,求f (x)
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x2 3
(3)已知f
(
x)Biblioteka 1x 4
x0 x 0 ,求f [ f (4)] x0
(1)正数的分数指数幂:
m
a n n am
m
,a n
1
n am
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5.对数
a x N x loga N.
负数和零没有对数;
常用关系式:
log a 1 0, log a a 1, aloga N N
loga ax x
对数运算性质如下:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么:
x2 5) f (x) (x 2)2 g(x) x 2
二、函数的定义域
例3、求下列函数的定义域
1) f (x) 3 4 x (x 4)0 x 1 log2(x 1)
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2、抽象函数的定义域
1)已知函数y=f(x)的定义域是[1,3], 求f(2x-1)的定义域
(4)已知f [ f (x)] 4x 1,求一次函数 f (x)的解析式
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函数单调性
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、
x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) ,那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。
amn
(4)(ab)n an • bn
2.a的n次方根
如果 xn a,(n>1,且n N ),那么x就叫做a
的n次方根.
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3.根式
当n为正奇数时,n an a ,
当n为正偶数时,
n
an
| a |
a
,a 0
a , a 0
4.分数指数幂
(2) log0.31.8 , log0.32.7;
(3) log3 , log20.8.
(4) log67, log76;
2.填空题:
(1)y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是
(2)y= lg(8 x2 ) 的定义域是
3.已知3lg(x-3)<1,求x的范围.
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指数函数与对数函数
值域: R
性
过点(1 ,0), 即当x =1时,y=0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
质 当x>1时,y>0
当x=1时,y=0
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0
例1.比较下列各组数中两个值 的大小:
(1) log23.4 , log28.5 ;
Q1 2x 1 3,1 x 2,函数的定义域为x |1 x 2.
2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,5), 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
Q
0 0
x x
1 1
5, 5,
1 1
x
6, 1
x 4,
x
4,
函数的定义域为x |1 x 4.
例6、已知集合A {x | 1 x 2}, B {x | x k 0},
(1)若A B ,求k的取值范围
(2)若A B A,求k的取值范围
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一、函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应, 那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个 函数。记作y f(x),x A 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函