高中数学 1.3.1《柱体、锥体和台体的表面积》课件 新人教A版必修2

新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2 必修
1.3.1《柱体、 锥体和台体的表面积》
教学目标
1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的 通过对柱、 台体的研究，掌握柱、 表面积的求法。 表面积的求法。 了解柱、 台的表面积计算公式； 2、了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥 台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 培养学生空间想象能力和思维能力。 3、培养学生空间想象能力和思维能力。
一圆台形花盆，盆口直径20cm 20cm， 例2：(见P25)一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆 底直径15cm 底部渗水圆孔直径1.5cm 15cm， 1.5cm， 底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100 15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100 毫升油漆， 100个这样的花盘要多少油漆 个这样的花盘要多少油漆？ 毫升油漆，涂100个这样的花盘要多少油漆？ 结果精确到1 (π取3.14,结果精确到1毫升) 取3.14,结果精确到 毫升)
20cm
分析、思考： 分析、思考：油漆位置在 什么地方？ 什么地方？→ 如何求花盆 外壁表面积？ 外壁表面积？
15cm
15cm
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆 如图, 外壁的表面积 15 2 15 20 1.5 2 S = π × [( ) + ×15 + ×15] − π × ( ) 2 2 2 2 2 2 ≈ 1000(cm ) = 0.1(m ). 20cm
圆柱 圆锥 圆台
展 开 图 表面 S = 2π r 2 + 2π rl S = π r 2 + π rl S = π ( r '2 + r 2 积 = π r (r + l ) = 2π r (r + l ) + r 'l + rl ) 公式
1.3.1《柱体、 锥体和台体的体积》
探究新知： 探究新知： 回顾：还记得特殊的棱柱 正方体 正方体、 回顾：还记得特殊的棱柱—正方体、长方 以及圆柱的体积计算公式吗？ 体，以及圆柱的体积计算公式吗？ 正方体、长方体， 正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可 以统一为： 以统一为： V = Sh（S为底面面积，h为高） 为底面面积， 为高 为高） （ 为底面面积
圆柱、圆锥、 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公 式之间的关系。 式之间的关系。
r O′
r ' O’
l
O百度文库
r’＝r ＝
上底扩大
l r O
r’＝0 ＝
上底缩小
l
r
O
S柱 = 2πr (r + l )
′2 + r 2 + r ′l + rl ) S 锥 = πr (r + l ) S台 = π (r
示范例题 示范例题
锥体的体积计算公式： 锥体的体积计算公式： S为底面面积，h为高。 为底面面积， 为高。
1 V 体 = Sh 锥 3
讨论：台体的上底面积S ，下底面积S 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由 此如何计算切割前的锥体的高？ 此如何计算切割前的锥体的高？ 如何计算台体的体积？ → 如何计算台体的体积？ 设切割前的锥体的高为 解:设切割前的锥体的高为 设切割前的锥体的高为x, 则:
设疑引课: 设疑引课:
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积， 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积， 你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
方体的表面积等于它们的展开图的面积 正(长)方体的表面积等于它们的展开图的面积 长 方体的表面积
2
圆锥的侧面展开图是扇形
探究圆台的表面积的求法： 探究圆台的表面积的求法：
参照圆柱和圆锥的侧面展开图， 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的 侧面展开图是什么 ．
2πr '
r ' O’
l r O
2πr
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 = π (r ′ + r + r ′l + rl )
2 2
x 2 S′ x S′ ( ) = ⇒ = x+h S h S − S′ S′ 1 1 ∴x = h V = S (h + x) − S ′x S − S′ 3 3
1 V 体 = (S′ + S′S +S)h 台 3 其 S′、 分 为 、 底 积 h为 。 中 S 别 上 下 面 ， 高
上底面 积S′
1 ′ 高h V = (S′ + SS +S)h 3
下底面 积S
有一堆规格相同的铁制（ 例1(P26) 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 六角螺帽共重5.8kg kg， 7.8g/cm3）六角螺帽共重 kg，已知底面是正六 边形，边长为12mm，内孔直径为 边形，边长为 ，内孔直径为10mm，高为 ， 10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）? ，问这堆螺帽大约有多少个（ 取 ） 分析、讨论：六角螺帽 分析、讨论： 的几何结构特征怎样？ 的几何结构特征怎样？ → 如何求其体积？ → 如何求其体积？ 利用哪些数量关系求螺 帽的个数？ 帽的个数？
1、探究柱体的体积公式
结论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积相等. 结论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积相等 归纳： 归纳：一般柱体的体积 V=Sh, 其中S为底面面积 为柱体的高。 为底面面积,h为柱体的高 其中 为底面面积 为柱体的高。
2、探究锥体的体积公式
结论1 等底面积等高的两个锥体的体积相等。 结论1 ：等底面积等高的两个锥体的体积相等。 结论2 结论2：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积 的三分之一。 的三分之一。
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体 积之差， 积之差，即:
3 10 2 2 V= ×12 × 6 × 10 − 3.14 × ( ) ×10 4 2
≈ 2956(mm ) = 2.956(cm )
3
3
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8× ≈252(个 5.8×1000÷(7.8×2.956) ≈252(个)
想一想：如何求圆柱、圆锥、 想一想：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧 面积及表面积？ 面积及表面积？
探究圆柱的表面积的求法： 探究圆柱的表面积的求法：
r O′
l
O
2πr
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 = 2πr + 2πrl = 2πr (r + l )
2
2πr
l r
O
S圆锥表面积 = πr + πrl = πr (r + l )
涂100个这样的花盘需油漆： 100个这样的花盘需油漆： 个这样的花盘需油漆 0.1×100×100=1000(毫升 毫升). 0.1×100×100=1000(毫升). 15cm 100个这样的花盘需油漆 答:涂100个这样的花盘需油漆 15cm 1000毫升 毫升. 1000毫升. 变式训练：若内外涂, 100个这样的花盘需 变式训练：若内外涂,涂100个这样的花盘需 要多少油漆? 要多少油漆?
答：这堆螺帽大约有252个． 这堆螺帽大约有252个 252
侧面展开
h' h'
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组 成的平面图形， 成的平面图形，棱锥的侧面展开图是 由三角形组成的平面图形， 由三角形组成的平面图形，棱台的侧 面展开图是由梯形组成的平面图形。 面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样， 这样，求它们的表面积的问题就可转 化为求平行四边形、三角形、 化为求平行四边形、三角形、梯形的 面积问题。 面积问题。
例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形 已知棱长为a ABC，求它的表面积. 的四面体S-ABC，求它的表面积.
分析： 分析：四面体的表面积等于其中任何一个面面积 S 的4 倍。 先求△SBC的面积 过点S 的面积, 解:先求△SBC的面积,过点S作 SD⊥BC,交BC于点 于点D. SD⊥BC,交BC于点D. A 因为BC=a, 因为BC=a,
提出问题：柱体，锥体， 提出问题：柱体，锥体，台体的侧面展开图 是怎样的？你能否计算？ 是怎样的？你能否计算？ 正棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 棱柱的 表面积 等于它 的侧面 积加底 面积
h
棱锥的展开图
h'
h'
棱台的展开图
a 2 3 B D SD = SB − BD = a − ( ) = a 2 2 1 1 3 3 2 S a= a 所以： 所以： S ΒC = BC ⋅ SD = a × 2 2 2 4
2 2 2
C
3 2 2 因此, 因此,四面体的表面积 S = 4 × a = 3a 4
练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4 练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4， 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. 10,求其表面积 侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. 想一想:三棱柱的 想一想 三棱柱的 展开图是什么? 展开图是什么
练一练：一个圆台， 练一练：一个圆台，上、下底面半径分别 10、20，母线与底面的夹角为60 60° 为10、20，母线与底面的夹角为60°，求 圆台的表面积. 圆台的表面积.
O`
变式：想一想,你能求 变式：想一想, 出切割之前的圆锥的 表面积吗?试试看！ 表面积吗?试试看！
O
思考：圆柱、圆锥、 思考：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系？ 有什么关系？