微积分答案(上册)(刘迎东版)第七章答案合集

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12.求由抛物线 y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的面积的最小值。 解：焦点为 a, 0 ，过此点的直线为 y k x a ，不妨取 k 0, 。由
2 y 4ax, y k x a
得
交
点
2 a 1 1 k 2 2a 1 1 k 2 a , k2 k
1 x x 1 x 2 dx x x 1 x 2 dx x x 1 x 2 dx 2 .
2 1 2 0 0 1
9.求对数螺线 ae


及射线 所围成的图形的面积。
1 2 2 a 2 2 解： S a e d e e 2 . 2 4
'
y 4 x 3, 3 得交点为 ,3 ，所以 2 y 2 x 6
S
3 2 0
4x 3 x
2
3 9 4 x 3 dx 3 2 x 6 x 2 4 x 3 dx . 4 2



3.求抛物线 y 2 2 px 及其在点
S 4 b 4 1
a
7.求由三叶玫瑰线 r a sin 3 一瓣与极轴所围的面积。 解： S

3 0
1 a2 2 a sin 3 d . 2 12
8.求由曲线 y x x 1 x 2 与 y 0 所围成图形的面积。 解： S
1 y x, 2 ，根据 得 交 点 为 4, 2 ， 所 以 1 y x 1 4
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4 4 1 1 1 12 S 7 2 x x dx 4 x 1 x dx . 0 2 2 7 74
y x2 , y x
得 交 点 为 0, 0 , 1,1 ， 根 据
y x2 , y 2x
得 交 点 为 0, 0 , 2, 4 所 以
1 2 7 S 2 x x dx 2 x x 2 dx . 0 1 6
它与 y 2 2 px 的另一交点为
4.求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1） 2a cos
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10.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） 3cos 及 1 cos .
解
：
联
立
3cos , 1 cos
得
交
点
3 3 , , , 2 3 2 3
，
所
以
1 5 1 2 2 S 2 3 1 cos d 2 3cos d . 0 2 2 4 3
S
1 10 3 1 10 3
2 40 2 10. 1 x x dx 3 81
（6） y 2 x, y
1 1 x, y x 1 ； 2 4
4 8 , 7 7
y 2 x, 解：根据 得交点为 1 y x 1 4
面积最小，为
8 2 a . 3
13.求由曲线 a sin , a cos sin a 0 所围图形公共部分的面积。 解 ： 由
a sin , a cos sin
得
交
点
a, 2
1 2 2a 2 cos d 18 a .

2 2 0
x a cos3 t , 5.求由星形线 所围图形的面积。 3 y a sin t
解： S 4
a sin t d a cos t 12a
3 3 2
0
2
7.2 平面图形的面积 习题 7.2 1. 求由下列各组曲线所围成的图形的面积： （1） y
1 2 ； x 与 x 2 y 2 8 （两部分都要计算） 2
根 据
解
：
1 2 y x , 2 2 x y2 8
得
交
点
为
2, 2 , 2, 2
，
所
以
2 1 4 4 S1 8 x 2 x 2 dx 2 , S2 8 S1 6 . 2 2 3 3
(2) 解 ：
2 sin 及 2 cos 2 .
联 立
2 sin , 2 cos 2
得
交
点
2 2 ,6 ,
所
以
1 S 2 6 0 2

2 sin

2
d
4 6
1 3 1 cos 2 d . 2 2 6
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7.2 体积 习题 7.3 1. 把抛物线 y 4ax 及直线 x x0 x0 0 所围成的图形绕 x 轴旋转， 计算所得旋转体的 体积。 解： V
2 0
3 sin 4 t cos 2 tdt a 2 . 8
6.求由曲线 解：
x4 y4 1 所围图形的面积。 a 4 b4
1 1 5 1 1 1 x4 1 4 4 4 4 dt dx 4 ab 1 x dx ab t 1 t 4 0 0 0 a 1 5 1 2 1 5 4 4 4 abB , ab ab . 3 2 4 4 2
2

x0
0
2 4ax dx 2a x0 .
2.由 y x3 , x 2, y 0 所围成的图形，分别绕 x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体 积。 解： Vx

2
0
x 6 dx
（2） y
1 与直线 y x 及 x 2. x
2 1
解： S

1 3 x dx ln 2. x 2
（3） y e x , y e x 与直线 x 1 。 解： S
e
0
ln b
1
x
1 e x dx e 2. e
p , p 处的法线所围成的图形的面积。 2
解： 2 yy ' 2 p ，所以点
3 p , p 处切线斜率为 1, 所以法线斜率为 1, 法线为 x y p ， 2 2
p 3 y2 16 2 9 ，所以 p, 3 p S y p p. dy 3 p 2 2p 3 2
（7） y x , y x 2 , y 0 ； 解：根据
2 1 2 2 2 y x , 得交点为 1,1 ，所以 S x 2 dx x 2 dx . 2 0 1 3 y x 2
2
2
（8） y x 2 , y x, y 2 x ； 解：根据
11.求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积。 解：曲线 y e 上点 x0 , e 切线为 x
x

x0
处的切线为 y e
x0
e x0 x x0 ，若其过原点，则 x0 1 ，
e y 1 e y ，所以 S ln y dy . 0 e 2 e
（9） y x, y x sin x 0 x ； 解： S
2
x sin
0
2

2
x x dx
. 2
2.求抛物线 y x 4 x 3 及其在点 0, 3 和 3, 0 处的切线所围成的图形的面积。 解： y 2 x 4 ，所以 0, 3 处切线为 y 4 x 3 ， 3, 0 处切线为 y 2 x 6 ，联立




，
所
以
3 2 2 y y2 8 1 k k S a dy a 2 . 2 a 1 1 k k 4a 3 k3 2 a 1 1 k 2
2
k
4 2 2 2 2 2 1 k 2 2 8 2 3k 1 k 3k 1 k ' 2 ， 所以当 k ， 即弦为 x a 时 S a 8a 3 k6 k4
（4） y ln x ， y 轴与直线 y ln a, y ln b b a 0 解： S

ln a
e y dy b a.
2
（5） y 1 x ， y
2 x； 3
y 1 x2 , 1 10 2 2 10 1 10 2 2 10 解：根据 得交点为 , , , ，所以 2 3 9 3 9 y x 3
解： S a . (2) x a cos 3 t , y a sin 3 t
2
解ห้องสมุดไป่ตู้ S 4
a sin t d a cos t 12a
3 3 2
0
2
2 0
3 sin 4 t cos 2 tdt a 2 . 8
(3) 2a 2 cos 解： S 2
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，
于
是
a 3 1 a2 a 2 2 2 S 4 a 2 cos sin d . 2 2 4 4 2
2
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