函数与几何相结合型综合问题.ppt
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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浙派名师中考
4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
中考数学压轴题,如何解函数与几何综合问题篇：二次函数与正方形.doc
中考数学压轴题，如何解函数与几何综合问题篇：二次函数与正方形什么是正方形？有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
什么是二次函数？一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数。
y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式。
正方形与二次函数作为初中数学最重要知识内容之一，一直是中考数学热点和重点。
像二次函数的重要性，相信不要老师多说，它一直是中考数学必考的热点，超过90%以上的压轴题都和二次函数有关。
正方形作为一种特殊的平行四边形，不仅具有一般平行四边形所有性质，更具自身特殊的性质，如：1、具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等；3、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；4、正方形是轴对称图形，有4条对称轴；5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；6、正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
因此，在中考数学中，若把二次函数和正方形放在一起，就可以“创造”出很多具有综合性强、创新型、解法灵活等鲜明特点的题型。
中考数学，二次函数与正方形相关题型，典型例题分析1：巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．考点分析：二次函数综合题．题干分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t 与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．解题反思：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．二次函数与正方形相关题型本质上就是函数与几何综合类问题，此类问题一直是中考数学的热点。
二次函数与几何综合运用——存在性问题教学设计.doc
二次函数在几何方面的应用——存在性问题一、教学目标：知识与技能：通过本节课的专题学习体会二次函数与几何的综合应用，培养学生综合运用知识的技能，提高学生分析问题解决问题的能力。
过程与方法：利用数形结合思想，把“数''与“形”结合起来，互相渗透.同时熟练运用分类讨论的思想、方程的思想等各种数学思想方法。
情感态度与价值观：鼓励学生要知难而上，敢于挑战，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点重点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题综合应用；利用各种数学思想方法解决问题。
难点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题的分析和解决。
教学方法：自主探索、合作交流。
教学手段：运用多媒体教学三、教学过程：类型一特殊三角形的存在、探究问题【方法指导】1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；（3）设未知量，求边长.在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x, ax2^-hx+c）；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-二，）；），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；2a（4）计算求解.根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式, 根据等量关系求解即可.探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.2.探究直角三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步;分三种情况讨论：①如二朋,c=~3,(2) 当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90° ；(3) 设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标(若所求的点在抛 物线上时，该点的坐标可以设为3 以斗靛+Q ；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为(・=，y)，利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解. 2a【范例解析】例1 (2013铜仁)如图，已知直线尸3/3分别交x 轴、火轴于/、月两点，抛物线y^x+bx^c经过从B 两点、,点。
中考数学一轮复习 第49课 方程、函数与几何相结合型综合问题
(3)△AEF 是等腰直角三角形． 理由：在 y＝－x＋3 中， 令 x＝0，得 y＝3， 令 y＝0，得 x＝3. ∴直线 y＝－x＋3 与坐标轴的 交点是 D(0,3)，B(3,0)． ∴OD＝OB，∴∠OBD＝45° . 又∵点 C(0，－3)，∴OB＝OC. ∴∠OBC＝45° . 由图知∠AEF＝∠ABF＝45° ，∠AFE＝∠ABE＝45° ， ∴∠EAF＝90° ，且 AE＝AF. ∴△AEF 是等腰直角三角形． (4)当点 E 是直线 y＝－x＋3 上任意一点时，(3)中的结论成立．
第49课 方程、函数与几何
相结合型综合问题
基础知识
考题分析
自主学习
以几何量为一元二次方程的根或系数构成方程与几何相
结合型综合题，解决这类问题的关键，是把一元二次方程的
知识与几何图形的性质以及计算与证明有机结合起来． 函数与几何相结合型综合题，各地中考常常作为压轴题 进行考查，这类题目难度大，考查知识多，解这类习题的关 键就是善于利用几何图形的有关性质和函数的有关知识，并 注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．
x 轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且 经过点(2，－3a)，对称轴是直线x＝1，
顶点是M.
(1)求抛物线对应的函数表达式； (2)经过C、M两点作直线与x轴交于点N，
在抛物线上是否存在这样的点P，使以
点P、A、C、N为顶点的四边形为平行 四边形？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由； (3)设直线y＝－x＋3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E(不与B、 D重合)，经过A、B、E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的 形状，并说明理由；
致反映y与 x之间函数关系的图象是( )
解析
二次函数与几何综合题
∴P(－4，6)，此时△PDE
的周长最小，且
S△PDE
＝1×4×6＝12． 2
∴点 P 恰为“好点”．
∴△PDE 的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6)．
6．
解答题突破
(3)设该抛物线的顶点为G，在x轴上是否存在点P，使得PC＋PG的 值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
思路点拨 点C，G在x轴的同侧，求线段和的最小值时，可以作 点 C关于x轴的对称点C′，然后连接C′G，则直线C′G与x轴的交点即为 所求的点P．
解答题突破
解：存在． ∵y＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴G(－1，－4)． ∵C(0，－3)， ∴点 C 关于 x 轴的对称点 C′的坐标为(0，3)． 设过点 C′，G 的直线解析式为 y＝ax＋p． 将点 C′(0，3)，G(－1，－4)代入，
得 dt＋e＝t2＋2t－3.解得 e＝－t－3.
解答题突破
∴直线 AQ 的解析式为 y＝(t＋3)x－t－3．
当 x＝－1 时，yM＝－t－3－t－3＝－2t－6．
∴DM＝0－(－2t－6)＝2t＋6．
设直线 BQ 的解析式为 y＝mx＋n．
将 B(－3，0)，Q(t，t2＋2t－3)代入，
－3m＋n＝0，
∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3．
解答题突破
(2)P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P到直线BC的距离h 最大时，求最大距离和点P的坐标．
解：∵B(3，0)，C(0 ， 3)，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．
如答图3，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点
G，过点P作PF⊥BC于点F，PF＝h，连接PB，PC． 设P(m，－m2＋2m＋3)，则G(m，－m＋3)．
中考数学复习专题十一 二次函数与几何图形综合题
【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得 P1C 和 P2A 的解析式是解答问题(2) 的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题(3)的关键．
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[对应训练] 1．(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(－8，3)，B(－
4，• 0单)，•击C第(此－二4处级，3编)，辑∠A母BC版＝文α°本.抛样物式线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 C，且对称轴为 x＝－45，并与
证：PH＝GH.
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•
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• 第二级
12×（－4）2－4b＋c＝3，
解：(1)根• 第据•三题第级意四• 得级第：五级－2×b 12＝－45，
解得
b＝45， c＝－95，∴抛物线的解析式为：y
Hale Waihona Puke ＝12x2＋45x－95，点 G(0，－95)
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标为(－2，5)．综• 第上五所级述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)
单击此处编辑母版标题样式 (3)如图 2 所示：连接 OD.由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线
段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，即 EF 最短．由(1)可知，在 Rt△AOC 中，∵OC
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• 单三击个此步处骤 编辑母版文本样式
•解第二二次级函数与几何图形综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻
译并转化• 为第显三性级条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于 联想和转化，• 将第四以级上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的
二次函数与几何图形综合归类
【通解通法】
1.知识必备：
(1)S△=
1 ×底×高=
2
1 ×水平宽×铅垂高；
2
(2)二次函数顶点式：
;
(3)符合某种条件的一次函数与二次函数联立求交点坐标和一元二次 方程根的判别式； (4)两直线平行时，k值相等(斜率相等)。 2.抛物线中“两定一动”型面积问题。 注：一动实际上是满足条件的唯一点的存在问题探究，本质上属于 特殊定点的存在性问题。
【通解通法】解特殊三角形点的存在性问题有两种方法： (1)代数法 盲解盲算，代数法一般分三步：罗列三边长、分类列方程(等量关 系有勾股定理、相似、三角函数等)、求解并检验。 (2)几何法：即“两圆一线”和“一圆两线”精准定位，分三步：分类、画图、 计算。解题过程中，二者有效结合，有力彰显数形结合思想。
几何模型特例三 如图17，在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(2,2)， C(0,3)。在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的 四边形为平行四边形。
【简析】如图18，分别过A，B，C三点作对边的平行线，三条平行线互 相交于点D1，D2，D3。 方法一：如图19，以D1点为例，在平行四边形ABD1C中，以AB为一边时， 设D1(xD,yD),这里点A与点D1，点C与点B为对应顶点，利用四顶点坐标公 式，易得D1点坐标；以D3点为例，AB为对角线，这里点A与点B，点C与点D3为
类型1 二次函数与线段最值、面积最值问题
核心素养及解题思想和方法 1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。 2.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。 3.常用解题方法：代数法和几何法。
一、二次函数与线段最值问题
常见模型一
【问题情境】 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点， 与y轴交于点C，在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小或|PA-PC|的值最大， 求适合条件的点P的坐标或最值。 【通解通法】 1.知识必备：(1)两点之间，线段最短；
培优9 一次函数综合类问题四大类
一次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，BM即为水平宽度，则=AMkBM，②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．2.设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1∥l2；②若k1·k2=-1，则直线l1⊥l2．3.一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．二、精讲精练1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．第1题图第2题图第3题图2.如图，直线l1交x轴、y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1____l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．3.如图，直线483y x=-+交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D，则点C的坐标为____________．MAB4.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．探索：若点A的坐标为(3，1)，则它关于直线l的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P的坐标为(m，n)，则它关于直线l的对称点P′的坐标为____________；应用：已知两点B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到B，C两点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为____________．5.如图，已知直线l：y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为__________________．第5题图第6题图第7题图6.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=把△BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F处．若以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则直线FC的表达式为__________________．7.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，过定点Q(0，2)和动点P(a，0)的直线与矩形ABCD的边有公共点．（1）a的取值范围是________________；（2）若设直线PQ为y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范围是________________．8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．第8题图 第9题图9. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方一点，PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1.把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；2.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．二、精讲精练1.如图，直线3y x=+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为_____________．2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且43 OCOB=.（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线122y x=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)，P(x，y)是直线122y x=+上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为278？求出此时点P的坐标．（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA，OB的长．（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．4.如图，直线y=+与x轴交于点A，与直线y=交于点P．（1）求点P的坐标．（2）求△OP A的面积．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动，过点E 作EF⊥x轴交线段OP或线段P A于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t秒，矩形OEFB与△OP A重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．一次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例①割补求面积（铅垂法）：2△APB S ah = 12△APB S ah= ②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．2.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为(-2，2)，则S△P AB=___________．第2题图第3题图3.如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k=__________．4.如图，直线112y x=+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC的面积．5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积．6.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，坐标轴上是否存在点P，使S△ABP =S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知直线m的解析式为112y x=-+，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求△ABC的面积；（2）求点P的坐标．8.如图，直线P A：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积．（2）直线P A上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．一、知识点睛 二、精讲精练 1．232．⊥，-1 3．7(0)3-， 4．(1，3)；(n ，m )；1313()55--， 5．y =+6．4163y x =-+7．（1）-2≤a ≤2；（2）k ≥1或k ≤-1 8．-3≤b ≤-1 9．8:910．（1）y =x -4；（2）M (m +4，-m -8)；（3）Q (-4，0) 【参考答案】 一、知识点睛 二、精讲精练1．33(13()4444或(或，或(，) 2．（1）B (3，0)，43k =（2）A (6，4) （3）123413(120)03P P P P 或(-)或，或(，) 3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3（3）123433(30)(22P P P P +，或或或(，) 4．1261224()(46)5555--，或(，)或，5．（1）33(4)433(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩（2）1217919()2424P P --，或(，) （3）12412124()5555P P ，或(-，)1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）y =+（2）22(04)2(48)t S t <⎪=⎨⎪+<<⎪⎩≤（3）123(08)(08)(0M M M -或或，4(03M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(3P （2） （3）22(03)6(34)2t S t <⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t = （3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤【参考答案】 二、精讲精练1．722．83．524．925．24 6．123451(0)(50)(0)(10)22P P P P --，或，或，或， 7．（1）52；（2）12(13)(12)P P -，或， 8．（1）10；（2）12162242()()3333M M -，或，。
代几综合问题--知识讲解(基础)
代几综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.【思路点拨】过B 作DA 的垂线交DA 的延长线于M，M 为垂足，延长DM 到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE 中，根据AE 2=AD 2+DE 2求x 的值，即CE 的长度．【答案与解析】解：过B 作DA 的垂线交DA 的延长线于M，M 为垂足，延长DM 到G，使MG=CE，连接BG，∴∠AMB=90°，∵AD∥CB，∠DCB=90°，∴∠D=90°，∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°，∴四边形BCDM 为矩形．∵BC=CD，∴四边形BCDM 是正方形，∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，∴Rt△BEC≌Rt△BGM．∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°，且∠ABE=45°∴∠CBE+∠ABM=45°∴∠ABM+∠GBM=45°∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．设CE=x，则AM=10-x，AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，在Rt△ADE 中，AE 2=AD 2+DE 2，∴100=（x+2）2+（12-x）2，即x 2-10x+24=0；解得：x 1=4，x 2=6．故CE 的长为4或6．【总结升华】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．类型二、函数与几何问题2．如图，二次函数y =（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．【思路点拨】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m 求出m 的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B 的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m 得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=－1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．当x=0时，y=4-1=3，故C 点坐标为（0，3），由于C 和B 关于对称轴对称，在设B 点坐标为（x，3），令y=3，有（x-2）2-1=3，解得x=4或x=0．则B 点坐标为（4，3）．设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b 中，得，解得，则一次函数解析式为y=x-1；（2）∵A、B 坐标为（1，0），（4，3），∴当kx+b≥（x-2）2+m 时，1≤x≤4．【总结升华】本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B 点坐标是解题的关键．举一反三：【变式】如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）求△MCB的面积．【答案】解：(1)设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据题意，得058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解之，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴所求抛物线的解析式为245y x x =-++．（2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC＝5．令0y =，则2450x x -++=，解得121,5x x =-=．∴B 点坐标为（5，0）．∴OB＝5．∵2245(2)9y x x x =-++=--+，∴顶点M 坐标为（2，9）．过点M 作MN⊥AB 于点N，则ON＝2，MN＝9．∴11(59)9(52)551522MCB BNM OBC OCMN S S S S ∆∆∆=+-=+⨯⨯--⨯⨯=梯形.类型三、动态几何中的函数问题3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P 与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）把A、B、O 的坐标代入到y=ax 2+bx+c 得到方程组，求出方程组的解即可；（2）根据对称求出点O 关于对称轴的对称点B，连接AB,根据勾股定理求出AB 的长，就可得到AM+OM 的最小值.（3）①若OB∥AP，根据点A 与点P 关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P 的坐标；②若OA∥BP，设直线OA 的表达式为y=kx，设直线BP 的表达式为y=2x+m，由B （2，0）求出直线BP 的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB∥OP，设直线AB 的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可.【答案与解析】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax 2+bx+c，得4420420a b c a b c c -=-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩解得：1,21,0.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数表达式为y=212x x -+（2）由y=212x x -+=211(1)22x x --+可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB 的垂直平分线，连接AB 交直线x=1于点M，M 点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB,作AC⊥x 轴，垂足为C，则|AC|=4，|BC|=4，∴AB=42,∴MO+MA 的最小值为42.答：MO+MA 的最小值为42.（3）①如图1，若OB∥AP，此时点A 与点P 关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．②如图2，若OA∥BP，设直线OA 的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．设直线BP 的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4，∴直线BP 的表达式为y=2x-4.由12⎧⎪⎨⎪⎩２ｙ＝２ｘ－４，ｙ＝－ｘ＋ｘ．解得x 1=-4，x 2=2（不合题意，舍去）,当x=-4时，y=-12，∴点P（-4，-12），则得梯形OAPB．③如图3，若AB∥OP，设直线AB 的表达式为y=kx+m，则4202k m k m -=-+⎧⎨=+⎩，．解得12k m =⎧⎨=-⎩，．∴AB 的表达式为y=x-2．∵AB∥OP，∴直线OP 的表达式为y=x．由2,12y x y x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得x 2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P 不存在．综上所述，存在两点P（4，-4）或P（-4，-12）,使得以点P 与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形．【总结升华】本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，直线434+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为B、C，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S．①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）证明：y=443x -+∵当x=0时，y=4；当y=0时，x=3，∴B（3，0），C（0，4），∵A（-2，0），由勾股定理得：BC=22345+=∵AB=3-（-2）=5，∴AB=BC=5，∴△ABC 是等腰三角形；（2）解：①∵C（0，4），B（3，0），BC=5，∴sin∠B=40.85OC BC ==过N 作NH⊥x 轴于H．∵点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，又∵AB=BC=5，∴当t=5秒时，同时到达终点，∴△MON 的面积是S=12OM NH ⨯⨯∴S=20.4t t -⨯②点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形．理由如下：∵C（0，4），B（3，0），BC=5，∴sin∠B=40.85OC BC ==根据题意得：∵S=4，∴|t-2|×0.4t=4，∵点M 在线段OB 上运动，OA=2，∴t-2＞0，即（t-2）×0.4t=4，化为t 2-2t-10=0，解得：111,111(t t =+=-舍去）∴点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t 是（111t =+）秒．③∵C（0，4）B（3，0）BC=5，∴cos∠B=30.65OB BC ==分为三种情况：I、当∠NOM=90°时，N 在y 轴上，即此时t=5；II、当∠NMO=90°时，M、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t，解得：t=3.125，III、∠MNO 不可能是90°，即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒．类型四、直角坐标系中的几何问题4．（2015•阳山县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M、N，直线m 运动的时间为t（秒）．（1）点A 的坐标是，点C 的坐标是；（2）当t=秒或秒时，MN=AC；（3）设△OMN 的面积为S，求S 与t 的函数关系式．【思路点拨】（1）根据BC∥x 轴，AB∥y 轴即可求得A 和C 的坐标；（2）分成MN 是△OAC 的中位线和MN 是△ABC 的中位线时两种情况进行讨论；（3）根据时间t 值的范围不同，M,N 与矩形的两边相交构成不同的三角形，画出图形进行分类讨论，然后正确表示出△OMN 的面积即可.【答案与解析】解：（1）A 的坐标是（4，0），C 的坐标是（0，3）；（2）当MN 是△OAC 的中位线时，M 是OA 的中点，则t=OA=×4=2；当MN 是△ABC 的中位线时，如图1．则△AME∽△OCA，则AE=OA=×4=2，则E 的坐标是（6，0），即平移了6个单位长度．故答案是：2或6．（3）当0＜t≤4时，OA=t，则ON=t，则S △OMN =×t×t=238t (0＜t≤4).即当4＜t＜8时，如图1．设直线AC 的解析式是y=kx+b，根据题意得，解得：，则直线AC 的解析式是y=﹣x+3．设MN 的解析式是y=﹣x+c，E 的坐标是（t，0），代入解析式得：c=t，则直线MN 的解析式是y=﹣x+t．令x=4，解得y=﹣3+t，即M 的坐标是（4，﹣3+t）．令y=3，解得：x=t﹣4，则N 的坐标是（t﹣4，3）．则S 矩形OABC=3×4=12，S △OCN =OC•CN=×3•（t﹣4）=3 6.2t -S △OAM =OA•AM=×4•（﹣3+t）=﹣6．S △BMN =BN•BM=[4﹣（t﹣4）][3﹣（﹣3+t）]=t 2﹣6t+24．则S=12﹣（﹣6）﹣（t﹣6）﹣（t 2﹣6t+24），即S=﹣t 2+3t(4＜t＜8).【总结升华】本题考查了矩形的性质以及待定系数法求一次函数的解析式，直线平行的条件，正确利用t 表示出M 和N 的坐标是关键．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5．一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.【思路点拨】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标．【答案与解析】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒0123x y 123…数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．【总结升华】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间.举一反三：【变式】（2016•泰山区一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）【答案】B.【解析】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故选；B．。
《反比例函数与几何综合题之解题策略》教学PPT课件【初中数学】公开课
PM 4
t
t
∴t²=3，∴t= 3 （t= - 3舍去）
y (t, 8)
t (2，4) (5，4)
(3，0)
y8 x
x
活动二 链接中考
如图，在平面直角坐标系xOy中，点C(3,0)，函数 y
k x
(k＞0，x>0)的图象经过□OABC
的顶点A(m,n) 和边BC的中点D．（1）求m的值；（2）若△OAD的面积等于6，求k的值；
时，求t的值.
PM 4
解：（1）由题意得A(m,n)，B(m+3,n)
，D
m
2
6
,
n 2
∴mn= m 6·n
(m，n) (m+3，n)
m
2
6
,
n 2
22
∴两边除以n，m=2
(3，0) x
活动二 链接中考
变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，点C(3,0)，函数
x
直线l与x轴上方的□ABCD的一边交于点N，设点P的横坐标为t，当
PN
1时，求t的值.
PM 4
解：（3）设A(2,4)，k=8，P(t，8 )，PM 8 (t＞0)
t
t
①∴直线PlN与O8A交 2于t 点N，yOA=2x，∴N(t,2t)
t
当 PN 1 时，4(8 2t) 8 (0＜t≤2)
G是否在反比例函数的图象上，并说明理由.
拓展作业
1、找找近3年各地中考数学试卷中关于 反比例函数的题目，看看都考查了反比 例函数的哪些知识点，与其他哪些知识 相关联。
2、试着给其他同学出一道反比例函数与 几何图形综合的题目。
二次函数与几何综合压轴题题型归纳
课题二次函数的综合压轴题型归类1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 教学目标2、 掌握特殊图形面积的各种求法1、 利用图形的性质找点 重点、难点2、 分解图形求面积教学内容知识点睛：一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总1、两点间的距离公式22： ABy A y Bx A x Bx A x B y A y B2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：2 ，2直线 yk 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 2）两直线相交k 1 k 2（ 3）两直线重合k 1 k 2 且 b 1 b 2（ 4）两直线垂直k 1k 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于 x 的一元二次方程x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线213 与y mxmx x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定3此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于 x 的方程 mx 23(m 1)x 2m 3 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当 m0 时， x1；当 m0 时，m 3203 m 1， x1 231 ；， x、 x22m m综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 y x2mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
2023年中考数学专项突破之函数的实际应用课件(共50张PPT)
方法点拨
解决这类问题一般遵循这样的方法：
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三
二次函数的实际应用
(1)运用转化的思想.由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性,因此在解决这
类问题时,要善于把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把
“抽象”的问题转化为“具体”的问题,把“复杂”的问题转化为“简单”的问题.
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三
二次函数的实际应用
题型讲解
二次函数在中考数学中常常作为压轴题,具有一定的综合性和较大的难度,学生往往
因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数.事实上,我们只要理清思路,方法得当,稳步
推进,力争少失分、多得分,同时需要心态平和,切忌急躁,当思维受阻时,要及时调整
思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又
解：∵a=0.1时,s=500,
k
∴500= ,解得k=50.
0.1
则该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式是s=
50
.a返回主目录源自(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米？
50
50
解：将a=0.08代入s= ,得s=
=625.
a
0.08
答：当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶625千米.
提高1元,则每天少售出40本乙种笔记本,为使每天获取的利润更多,店主决定把两种笔
记本的价格都提高x元,在不考虑其他因素的条件下,当x定为多少元时,才能使该文具
若y是x的反比例函数,其图象如图所示：
(1)求y与x的函数解析式；
分析：用待定系数法确定反比例函数解析式.
k
解析：设y与x的函数关系式为y= (k≠0),
中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题.doc
中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题下面我们先来看一道典型例题。
中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析1：如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A 的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点分析：一次函数综合题.题干分析：（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB ＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB ＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可。
解题反思：此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键。
动态综合问题一直是中考数学压轴题非常喜欢考查的内容，解决此类问题需要考生根据变量之间的关系，对动态几何中的“变量”进行分类讨论,如运动的点、运动的线等等。
考生要想正确解决此类问题，关键在于要抓住点与线的运动和变化,数量之间的关系也随之发生着变化,再把这些“变化”的几何问题就转化为函数问题。
中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析2：如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B 不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．考点分析：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．题干分析：（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E 的坐标为（t+4，8）；（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，EC/AB=AE/OB可求得EC=t/2，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣t/2），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知，OF/OH=FC/DH即从（t+4）/（t+8）=（8﹣t/2）/8而可解得t的值；（3）三角形OCF的面积=OF•FC/2从而可得S与t的函数关系式．解题反思：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t 的式子表示点C的坐标是解题的关键。
中考复习之二次函数中问题综合-几何旋转问题[1]
![中考复习之二次函数中问题综合-几何旋转问题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b24e1dfabcd126fff6050b9c.png)
最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：mmABmAB mnmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：n mAnnnm（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m n Am nm nmmmmA m（1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________；2.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A ．B ．C ．3 DBAm A B E CBD 图1A D EPB C二次函数常见压轴y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标 或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．因动点产生的三角形相似问题例1.（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．例2．如图，直线3y x=-+与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B C，两点的抛物线2y ax bx c=++与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x=．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P B Q，，为顶点的三角形与ABC△相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线23y x bx=++与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ACO=31．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D（不与点B C，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B O D，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.A BCPOxy2x=AOBCxy和最小差最大如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.面积问题：例题1：如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．yxBA FPx＝1CO例题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．例3：已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．讨论直角三角例1：已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例2：如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数中四边形存在问题研究一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1.【08湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1.如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F . （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.PEOFCDBAxyOCDBA 备用图yx二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．【09福建莆田】已知，如图抛物线23(0)=++>与y轴交于C点，与x轴交于A、By ax ax c a两点，A点在B点左侧。
浅说函数与几何综合题的解题策略及复习
浅说函数与几何综合题的解题策略及复习函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一;函数中的几何问题,能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖,能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法,因而成为近几年各地中考的一类热门试题;这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如200１年的中考压轴题是以直角三角形为背景,揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成;2002年的中考压轴题是以矩形为背景,揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景,揉合直角三角形的知识构成；因此,将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点,也是今后中考命题的一大趋势；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题(这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是:根据已知几何图形间的位置和数量关系(如平行、全等、相似，特别是成比例)建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系,求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题(如三角形、四边形,特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题;本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。
一、函数与几何综合题例析（一） “几函”问题：１、线段与线段之间的函数关系:由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来,并整理成函数关系式,在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题;解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围。
小专题5 二次函数与几何图形综合-线段相关问题-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共12张PPT)
解：令y＝－12x2＋12x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－2. ∴A点坐标为(－2，0)． 连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点． 设直线AD的解析式为y＝kx＋t.将点A，D坐标代入，得 － 2k2＋k＋t＝t＝2. 0，解得tk＝＝112.，
∴直线AD的解析式为y＝12x＋1. ∵抛物线对称轴为直线x＝－2ba＝12， 将x＝12代入y＝12x＋1，得y＝54， ∴点P的坐标为(12，54)．
(1)求直线 AD 及抛物线的解析式； (2)过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何 值时，PQ 最长？
解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入y＝ax2＋bx－3，得 a＋b－3＝0， 9a－3b－3＝0. 解得ab＝＝12，. ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. 当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，
2．如图，抛物线 y＝－x2＋4x＋5 与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(5， 0)，直线 y＝－34x＋3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴 交于点 D.点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点， 过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，交直线 CD 于点 E. 设点 P 的横坐标为 m.若 PE＝5EF，求 m 的值．
解：∵点 P 的横坐标为 m，∴P(m，－m2＋4m＋5)， E(m，－34m＋3)，F(m，0)． ∵点 P 在 x 轴上方，要使 PE＝5EF，点 P 应在 y 轴右侧，∴0<m<5. ∴PE＝－m2＋4m＋5－(－34m＋3)＝－m2＋149m＋2.
分两种情况讨论： ①当点 E 在点 F 上方时，EF＝－34m＋3. ∵PE＝5EF，∴－m2＋149m＋2＝5(－34m＋3)． 即 2m2－17m＋26＝0. 解得 m1＝2，m2＝123(舍去)；
立体几何与函数相结合问题的解法
立体几何与函数相结合问题的解法
夏国华
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2003(000)001
【摘要】在解立体几何时,经常碰到一类与函数相结合的题,对于这类题的求解有不少同学感到困难,本文通过具体的例子来说明其求解的方法.一、与函数图象相结合的题对于这类题的求解,常用的方法有:(1)估算法:(又称估计法)由已知的几何体及其相关的条件估计出相应的曲线.(2)直接法:由已知列出函数关系式,再比较函数的图象.1.估算法例1 (1998年全国高考题)向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 v 与水深 h 的函数关系的图象如图所示。
【总页数】3页(P28-30)
【作者】夏国华
【作者单位】浙江省上于市华维外国语学校312300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.函数与方程相结合问题的常用解法 [J], 李锫贤
2.重温函数综合经典,探究考题思路解法
——以一道二次函数与几何相结合的综合题为例 [J], 江瑜
3.重温函数综合经典,探究考题思路解法——以一道二次函数与几何相结合的综合题为例 [J], 江瑜
4.重视立体几何综合解法培养学生直观想象素养
——以2020年高考立体几何空间角的考查为例 [J], 林胜德
5.立体几何中一类角度存在型问题的解法探究 [J], 张传鹏
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