第一章和第二章复习

C 3 A E 4 D 1 2 B
解：AC=AD
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4
EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
用数学符号表示为： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上．
A C
B
应用举例:
2.如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线 MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周长 为23,且BM=7,求BC的长。
A M
B
N
C
角平分线的性质
1、角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴. 2、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 4、如何用尺规作一个角的平分线.
首先：我们把与三角形全等相关的知识 点大致分成三个层次，以便同学们了解 自己的学习程度和应努力的方向。
二层：两个三角形以较明显的形 式呈现，易发现，几种基本的形 式见下图：
（1）线段相等、平行
A D
B A
C D
E F
F
D
B
C B E C F A
E
（2）公共边、公共角
A O D B B A B
D
C
A
C
D
C D A F
C
B
E
三层：题目的条件、结论都需要 同学们全面考虑，综合所学的知 识点并能灵活运用.
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且 点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
E
证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA
角平分线的性质1
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； M
B
D
（3）PM⊥AB
PN⊥AC
A N
P
符号语言： ∵AD平分∠BAC
C
PM⊥AB PN⊥AC（已知）
∴PM=PN（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相 等。） 作用：判断线段相等的依据.
标相等.
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______ (x, － y) . (－ x, y) 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______ .
• 12.已知点A（x， －4）与点B（3，y） 关于x轴对称，那么x＋y的值为 ____________.
二.线段的垂直平分线
1、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个 端点的距离相等 （纯粹性）。 3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点， 在线段的垂直平分线上。（完备性）
A
7、如下图△ABC中， AC=16cm，DE为AB的垂直平 D 分线， △BCE的周长为26cm， 求BC的长。
B
E
C
4、轴对称的性质：
①关于某直线对称的两个图形是全等 形。 ②如果两个图形关于某条直线对称， 那么对称轴是，任何一对对应点所连线 段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线。
三.用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于x轴对称 的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关 于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐
B
A
C
D
变式：以上条件不变，将
在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
一、全等三角形
1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 2：全等三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
角平分线的性质2
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平 B 分线上. M
应用所具备的条件：
（1）点P在∠BAC的内部； （2）PM⊥AB PN⊥AC； （3）PM=PN A D
符号语言： ∵ PM⊥AB PN⊥AC
1 2
N
P
PM=PN（已知）
∴点P在∠BAC的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.） ∴∠1=∠2（角的平分线的定义）
C
作用： 判断点是否在角平分线上的依据.
• 1、到三角形的三条边距离相等的点是（ ）。 • A、三条角平分线的交点 B、三条中线的交点 • C、三条高的交点 D、三条边的垂直平分 线的交点 • 2、∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5,Q是 OB上任一点，则（ ）。 • A、PQ>5 B、PQ≥5 C、PQ<5 D、 PQ≤5 • 3、△ABC中,AD为角平分线，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F， AB=10厘米，AC =8厘米，△ABC的 面积为45平方厘米，则DE的长为 。 • 4、如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角 平分线，点D到AB的距离是2，求点D的坐标。 •
三.（等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
四.（等边三角形)知识点回顾
线段垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等。 C
E
A
M
B
如图： D ∵AM=BM,CD⊥AB,E是CD上任意一点 (已知), ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等).
结论和符号表示：
到线段两端距离相等的点，线段的垂直平分线 上． P
∵ ∴
• 22．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE交AB、AC于D、 E， ① 若△BCE的周长为8，求BC的 长； ② 若BC=4，求△BCE的周长．
A D E B C
作业布置：
已知，如图：△ABC中 AB=AC E为AC延长线上的一点 且CE=BD DE交BC于F (提示:过D作DG∥AE交BC于G 证△DFG≌△EFC即可) 求证：DF=EF A
D C
E
B
G F
4、如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB， 垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线 于点F，连接CF， （1）求证：AD ⊥CF （2）连接AF，试判断△ACF的形状，并 C 说明理由。
D G A E
B
F
练习：
1、如图，在△ABC中，AB=AC时，
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等
（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等（可简写成“HL”)
1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选 择恰当的判定方法 2.全等三角形在哪两个可能全等的三 角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。 ③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角 的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对 应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
B
D
C
2.如图：在△ABC中，DE是AC的垂直 平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等 于13厘米，则△ABC的周长 18厘米 是 。
A E
B
D
C
3、如图，P、Q是△ABC边上的两点， BP=PQ=QC=AP=AQ， 求∠BAC的度数。 A
B
P
Q
C
4、等腰三角形的一个角为100°， 底角为_____ 5、等腰三角形的周长为16cm，腰比 底长2cm，则腰长为_______ 6、等腰三角形的一边长为3cm,另一边 长为8cm,则它的周长是 。
知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
解题 中常 用的 4种 方法
1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 不包括其它形 状的三角形 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件： HL.
三角形全等的判定方法：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
1.等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都 等于600 。 2、等边三角形的判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它 所对的直角边等于斜边的一半。