第二讲 圆周运动
必修2第二章《 圆周运动》知识要点
高一必修2《第二章 圆周运动》知识要点一、圆周运动01．定义：物体的运动轨迹是圆周的运动，叫做圆周运动。
02．条件：物体受到向心力的作用 向心力始终与速度方向垂直，沿半径指向圆心。
03．特点：⑴、物体上各点围绕某点（即圆心）或某一轴线转动⑵、瞬时速度方向时刻改变——圆周运动是一种变速运动⑶、运动轨迹（或相对起点的位移）具有重复性（周期性）二、匀速圆周运动01．定义：运动速度大小恒定的圆周运动，叫做匀速圆周运动。
（有多种定义） 02．描述物理量设R 为圆周运动的轨道半径，φ为半径转过的圆心角，N 为圆周运动的圈数。
⑴．线速度：V=t S =TR π2 =R ω 单位：m/s ⑵．角速度：ω=t ϕ=Tπ2=2n π 单位：rad/s ⑶．周期：T=ωπ2=n1 单位：s ⑷．转速：n=tN 单位：r/s 或r/min 03．匀速圆周运动的特点：F （或a ）和V 的大小、ω、T 、n 恒定不变，但F （或a ）和V 的方向时刻改变。
04．特性：同一转动物体上各点的角速度相同 ★：传动装置中，两转动物体边缘上各处的线速度大小相等。
三、向心力01．定义：使物体做圆周运动的力，叫做向心力。
02．特点：是效果力，不是性质力，方向时刻改变。
03．作用：只改变V 的方向，不改变V 的大小。
04．大小：F==ma 2ϖmr =r V m 2=ϖmV =224T mr π=mr n 224π 注意：⑴当m 、V 不变时，F ∝r1 ；⑵当m 、ω不变时，F ∝r 05．方向：总是沿半径指向圆心06．来源：来源于某一个力或某一个力的分力或某几个力的合力四、向心加速度01．定义：由向心力产生的加速度，叫做向心加速度。
02．大小：a=2ϖr =r V 2=ϖV =r T 224π =r n 224π 注意：⑴当V 不变时，a ∝r1 ；⑵当ω不变时，a ∝r 03．方向：总是沿半径指向圆心04．意义：反映V 方向改变的快慢五、分析和解决匀速圆周运动问题的步骤01．明确研究对象，确定圆心位置及半径大小；02．对研究对象进行受力分析03．找出向心力的来源及大小；04．代入向心力公式列出方程05．结合其它条件列出相关方程；06．解联合方程组，求出所求物理量。
第2讲：圆周运动
第2讲 圆周运动一、知能要点1、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 （1）、匀速圆周运动①定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
②特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
③条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（2）、描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：定义、意义公式、单位 线速度(v)①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 ②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ①v ＝Δs Δt ＝2πrT②单位：m/s 角速度(ω)①描述物体绕圆心转动快慢的物理量 ②中学不研究其方向①ω＝ΔθΔt ＝2πT②单位：rad/s周期(T)和转速(n)或频率(f) ①周期是物体沿圆周运动一周的时间 ②转速是物体单位时间转过的圈数，也叫频率①T ＝2πrv单位：s②n 的单位：r/s 、r/min ，f 的单位：Hz 向心加速度(a)①描述速度方向变化快慢的物理量 ②方向指向圆心①a ＝v 2r ＝rω2②单位：m/s 22①、作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
②、大小：F ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝mωv ＝4π2mf 2r 。
③、方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
④、来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
3、离心现象①定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
②本质：做圆周运动的物体由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的趋势。
③受力特点当F ＝mrω2时，物体做匀速圆周运动； 当F ＝0时，物体沿切线方向飞出；当F ＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力，如图所示。
2第二讲自然坐标系圆周运动的角量描述
vx
u
dt
dy
gt
vy
dt
v u2 g 2 t 2
2
g
t
dv d
2
2 2
u g t
a
dt dt
u2 g 2 t 2
an a a
2
ug
2
u g t
2
2 2
相对运动
球
垂
直
往
返
运动具有相对性
球作曲线运动
如何变换？
描述运动三参量合成的约定
绝对量
建立自然坐标系：（P的切向）（P的法向）
p
o
ˆ
n̂
规定：切向单位矢量 ˆ ， 指向运动方向
法向单位矢量 n̂
指向轨道的凹侧
用这样一对正交的切向、法向单位矢量构成坐
标系统称为自然坐标系。
在自然坐标系中，切向、法向单位矢量并不固
定，它们随质点的位置而变。
p
ˆ
o
ˆ
n̂
n̂
直角坐标系是静坐标系
教学基本要求：
能计算质点在平面内运动时的速度和加速度；
能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度
、切向加速度和法向加速度。
本节内容提纲
一，自然坐标系
1，运动方程
2，速度
3，加速度
二，圆周运动的角量描述
1，角位置
2，角速度
3，角加速度
三，角量与线量的关系
四，一般曲线运动
一、自然坐标系中的运动方程，速度及加速度表示：
=
tgα
=
−
tgα
第2讲：圆周运动的四个结论
n
v 2πnr t
如图：质点做半径为2m的匀速圆周运动， 周期为4s
求：质点的线速度？
•
o
第一步：写已知量 已知：r=2m，T=4s。求：v=? 第二步：默写线速度的三大公式
v s t
v 2r v r
T
第三步：选择公式 选哪个式子呢？很明显选
v
2r
大圆半径是小圆半径的2倍，通过皮带传动。 则 TA :TB ___
A·
·B
第一步：默写与周期有关的公式
T 2
T 2r
v
第二步：选公式
问：选哪一个式子判断好些？ 答：因为边缘v相等，所以选 T 2r
v
第三步：求周期之比
根据 T 2r 知：因为边缘v相等，所以T
同轴转动时，角速度相等 A B C
问：地球上各位置一天的时间都是24h吗？ 答：是的，T 24h 243600s 因为地球上的各位置都绕地轴旋转，属于
同轴转动。你绕地轴转一圈，我也绕地轴 转一圈。所以时间是最公平的。
问：为什么人站在地球上，感受不到地球 的自转？
则：A : B ___
A·
·B
问：A、B的线速度是否相等？ 答：相等。因为皮带传动时，边缘的线速
度相等。
问：A、B的角速度可相等？ 答：因为线速度v相等，因为半径r不相等 ，
所以角速度ω不相等。
问：大圆的角速度大些还是小些？
答：小些。
根据v r知：半径r越大，角速度ω越小 所以 A : B 1: 2
一圈，所以周期相等。
问：为什么圆盘上各点的角速度 ω相等？ 答： 因为周期相等，根据ω=2π/T知：角
2.第二讲 圆周运动
（2）切向加速度的大小 ；0.40
（3）这两时刻（t1和t1+t2时刻）的法向加速度an1和an2。0.40、0.23
例4．一质点沿圆轨道由静止开始作匀加速圆周运动。试求此质点的加速度与速度的夹角a与其经过的那段圆弧对应的圆心角 之间的关系。tga=2θ
例5．一飞轮的角速度在5s内由900转/min均匀地减到800转/min。求：
符号用f表示，单位是Hz。频率也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，频率低运动慢，频率高运动快。f=1/T
例：某物体做圆周运动的周期为0.5s，则其每秒运动2周，其频率为2Hz。
（3）线速度
周期和频率能粗略描述物体圆周运动的快慢程度，但无法精确衡量物体圆周运动的快慢，如地球绕太阳运转的周期是不变的，但其在近日点和远日点的运动快慢并不相同。因此，要精确衡量圆周运动的快慢还需引入其他物理量。
如图示，质点绕O作半径为R的圆周运动。设t时刻，质点运动到A点，角位置为 ， 时刻质点达到B点，角位置为 。在 时间内质点转过的角度为 （ 称为角位移，单位为弧度rad），则角速度定义为：
（单位为rad/s）
角速度为矢量，其方向可用右手螺旋定则确定。
（5）线速度与角速度的关系
而 时， ，故
以上四个量是物理研究中用以研究物体圆周运动快慢程度的物理量，在工程学上还常用到其他量。
匀速圆周运动的匀速仅指匀速率，其实质上是变速运动。
（3）匀速圆周运动的角速度
对确定的匀速圆周运动， 与所用时间 的比值是恒定不变的。因此匀速圆周运动也可以说成是角速度不变的圆周运动。
（4）角速度、线速度、周期之间的关系
ω=
结论：由v=rω知，当v一定时，ω与r成反比；当ω一定时，v与r成正比；当r一定时，v与ω成正比。
高中物理第2章圆周运动2匀速圆周运动的向心力和向心加速度课件教科版
[后思考] 如图 2-2-4 所示，地球在不停地公转和自转，关于地球的自转，思考以下问题：
图 2-2-4 地球上各地的角速度、线速度、向心加速度是否相同？ 【提示】 地球上各地线速度和向心加速度不同．角速度相同．
[合作探讨] 如图 2-2-5 所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、 B、C 是它们边缘上的三个点，请思考：
内做圆周运动
供向心力，F 向＝F 合
示意图
1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( ) A．合力的大小不变，方向一定指向圆心 B．合力的大小不变，方向也不变 C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小 D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
【解析】 匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度 v 的大小不变，故 F 合只能时刻与 v 的方向垂直，即指向圆心，故 A 对、B 错；由合力 F 合的方向时刻 与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度 的大小，C 错、D 对．
【答案】 AD
2．(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图 2-2-3 所示，下列说法正确的是 ()
图 2-2-3
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用 B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力 C．向心力的大小可以表示为 F＝mrω2，也可以表示为 F＝mgtan θ D．以上说法都正确 【解析】 小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向 心力，因此有 F＝mgtan θ＝mrω2.所以正确答案为 B、C. 【答案】 BC
[后思考] 如图 2-2-1 所示，滑冰运动员转弯时为什么要向转弯处的内侧倾斜身体？
图 2-2-1 【提示】 倾斜身体是为了获得冰面对运动员向内侧的静摩擦力，从而获得 做圆周运动所需要的向心力．
第二讲 圆周运动及其应用
3.(2011·上海市嘉定区一模 如右图所示 ， 洗衣机的脱水桶采用带 上海市嘉定区一模)如右图所示 上海市嘉定区一模 如右图所示， 动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是 动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是( A．脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的 ．脱水过程中， B．水会从桶中甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故 ． C．加快脱水桶转动使角速度增大，脱水效果会更好 ．加快脱水桶转动使角速度增大， D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好 ． 答案： 答案： B )
的齿数n)、自行车后轮的半径 的齿 固定在同一转轴上， 如下图所示， 轮 O1、 O3固定在同一转轴上 ，轮 O1、 O2用皮带连接 且不打滑． 三个轮的边缘各取一点A、 、 ， 且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点 、B、C，已知三个轮 的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求： 的半径比 ∶ ∶ ， (1)A、B、C三点的线速度大小之比 A∶vB∶vC； 、 、 三点的线速度大小之比v 三点的线速度大小之比 (2)A、B、C三点的角速度之比 A∶ωB∶ωC； 、 、 三点的角速度之比ω 三点的角速度之比 (3)A、B、C三点的向心加速度大小之比 A∶aB∶aC. 、 、 三点的向心加速度大小之比a 三点的向心加速度大小之比
F>F向 火车挤压内轨 内轨对车轮的弹力抵消部 分合力
结果 充向心力
1.如右图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说 如右图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动， 如右图所示 法正确的是( 法正确的是 )
A．它们的运动周期都是相同的 ． B．它们的速度都是相同的 ． C．它们的线速度大小都是相同的 ． D．它们的角速度是不同的 ． 解析： 解析 ： 地球上的物体均绕一个轴运动，其角速度、周期都相同， 地球上的物体均绕一个轴运动 ， 其角速度 、 周期都相同 ，
高一物理必修二课件圆周运动
如过山车在竖直平面内做圆周运动，其速度大小和方向都会发生变化。在最高点和最低点 ，过山车的速度和加速度具有特殊性质。
圆锥摆运动
圆锥摆是一种在重力作用下绕水平轴做圆周运动的物体。通过分析圆锥摆的运动规律，可 以深入了解非匀速圆周运动的特点和规律。
变速圆周运动在生活中的应用
如汽车转弯、自行车转弯等实际生活中的例子，这些例子中的物体都在做非匀速圆周运动 。通过分析这些例子，可以加深对非匀速圆周运动的理解和应用。
天体运行规律
天体在万有引力作用下沿着椭圆轨道绕中心 天体运行，遵守开普勒三定律。其中第一定 律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 ，太阳处在椭圆的一个焦点上；第二定律指 出行星向径在相等时间内扫过的面积相等； 第三定律指出行星椭圆轨道半长轴的三次方 与公转周期的二次方成正比。
06
CATALOGUE
非匀速圆周运动特点
01
02
03
速度大小变化
非匀速圆周运动中，物体 的速度大小会发生变化， 即线速度的大小不是恒定 的。
加速度方向变化
非匀速圆周运动的加速度 方向始终指向圆心，但加 速度的大小会随着速度大 小的变化而变化。
动能变化
由于速度大小的变化，非 匀速圆周运动的动能也会 发生变化。
切向加速度和法向加速度
通过实验探究了匀速圆周运动的基本规律，并验证了相关物理
03
公式的正确性。
实验结论和误差来源
01
误差来源
02
03
04
实验器材的精度限制，如测量 尺的刻度误差、计时器的计时
误差等。
实验操作过程中的不稳定因素 ，如电动机的转速波动、细绳
的松动等。
环境因素对实验结果的影响， 如温度、湿度等环境因素对实
高考物理一轮复习讲义 第2讲 圆周运动的基本规律及应用
高考物理一轮复习讲义 第2讲 圆周运动的基本规律及应用一、描述圆周运动的物理量物理量 物理意义定义、公式、单位线速度描述物体沿切向运动的快慢程度①物体沿圆周通过的弧长与时间的比值②v ＝Δl Δt③单位：m/s④方向：沿圆弧切线方向角速度描述物体绕圆心转动的快慢①连接运动质点和圆心的半径扫过的角度与时间的比值②ω＝ΔθΔt③单位：rad/s周期和转速描述匀速圆周运动的快慢程度①周期T ：物体沿圆周运动一周所用的时间，公式T ＝2πrv，单位：s②转速n ：物体单位时间内所转过的圈数，单位：r/s 、r/min向心加速度描述速度方向变化快慢的物理量①大小：a n ＝v 2r＝ω2·r②方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻变化③单位：m/s 2v 、ω、T 、n 、a 的相互关系v ＝ωr ＝2πrTa ＝v 2r ＝ω2r ＝ω·v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2·r 二、向心力1．定义：做圆周运动的物体受到的指向圆心方向的合外力，只改变线速度方向，不会改变线速度的大小．2．大小：F 向＝ma 向＝m v 2R＝mRω2＝mR ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2＝mR (2πf )2.3．方向：总指向圆心，时刻变化，是变力．4．向心力的向心力是按效果来命名的，对各种情况下向心力的来源要明确． 三、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1．匀速圆周运动(1)运动特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都恒定不变的圆周运动．(2)受力特点：合外力完全用来充当向心力．向心力(向心加速度)大小不变、方向时刻指向圆心(始终与速度方向垂直)，是变力．(3)运动性质：变加速曲线运动(加速度大小不变、方向时刻变化)． 2．变速圆周运动(非匀速圆周运动)(1)运动特点：线速度大小、方向时刻在改变的圆周运动．(2)受力特点：变速圆周运动的合外力不指向圆心，合外力产生两个效果(如图所示)．①沿半径方向的分力F n ：此分力即向心力，产生向心加速度而改变速度方向． ②沿切线方向的分力F τ：产生切线方向加速度而改变速度大小． (3)运动性质：变加速曲线运动(加速度大小、方向都时刻变化)． 四、离心运动1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向． 3．受力特点：(1)当F ＝m rω2时，物体做匀速圆周运动； (2)当F ＝0时，物体沿切线方向飞出；(3)当F <m rω3时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力，如图所示．1．关于运动和力的关系，下列说法正确的是( ) A ．物体在恒力作用下不可能做直线运动 B ．物体在恒力作用下不可能做曲线运动 C ．物体在恒力作用下不可能做圆周运动 D ．物体在恒力作用下不可能做平抛运动解析：物体在恒力作用下不可能做圆周运动，选项C 正确． 答案： C2．关于向心力，下列说法中正确的是( ) A ．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小 B ．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的 C ．做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力D ．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力解析：向心力始终指向圆心，所以方向是时刻变化的；做匀速圆周运动的物体，所受合力才等于向心力．答案：AD 3．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm ，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速约为( )A ．1000 r/sB ．1 000 r/minC ．1 000 r/hD ．2 000 r/s解析： 由公式ω＝2πn ，v ＝ωr ＝2πrn ，其中r ＝30 cm ＝0.3 m ，v ＝120 km/h ＝1003m/s ，代入公式得n ＝1 00018πr /s ，约为1 000 r/min.答案： B4.(2013·山西高三月考)荡秋千是儿童喜爱的运动，当秋千荡到最高点时小孩的加速度方向可能是( )A ．1方向B ．2方向C ．3方向D ．4方向解析：小孩在最高点时速度为零，由a ＝v 2R可知，此时的向心加速度为零，小球只沿切线方向加速，切向加速度不为零，所以在最高点时小孩的加速度方向为2方向，B 选项正确．答案： B5．一种新型高速列车转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360 km/h 的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5 km ，则质量为75 kg 的乘客在列车转弯过程中所受到的合力为( )A ．500 NB ．1 000 NC ．500 2 ND ．0 答案： A圆周运动的运动学问题对公式v ＝rω和a n ＝v 2r＝rω2的理解(1)由v ＝rω知，r 一定时，v 与ω成正比；ω一定时，v 与r 成正比；v 一定时，ω与r 成反比．(2)由a n ＝v 2r＝rω2知，在v 一定时，an 与r 成反比；在ω一定时，a n 与r 成正比．如图所示是一个玩具陀螺．A 、B 和C 是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )A ．A 、B 和C 三点的线速度大小相等 B ．A 、B 和C 三点的角速度相等 C ．A 、B 的角速度比C 的大D ．C 的线速度比A 、B 的大解析：A 、B 和C 均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B 对、C 错．三点的运动半径关系r A ＝r B >r C ，据v ＝ωr 可知，三点的线速度关系v A ＝v B >v C ，A 、D 错．答案：B在传动装置中各物理量之间的关系传动类型图示结论共轴传动各点角速度ω相同，而线速度v ＝ωr 与半径r 成正比，向心加速度大小a ＝rω2与半径r 成正比．皮带(链条)传动当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等，由ω＝v r 可知，ω与r 成反比，由a ＝v 2r可知，a 与r 成反比.1－1：如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为r 1r 2nD ．从动轮的转速为r 2r 1n解析：因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A 错误、B 正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以由2πnr 1＝2πn 2r 2，得从动轮的转速为n 2＝nr 1r 2，C 正确、D 错误． 答案：BC匀速圆周运动的实例分析1．汽车转弯类问题汽车(或自行车)在水平路面上转弯如图所示．路面对汽车(或自行车)的静摩擦力提供向心力．若动摩擦因数为μ，则由μmg ＝m v 2R得汽车(或自行车)安全转弯的最大速度为v ＝μgR .2．火车拐弯问题 设火车车轨间距为L ，两轨高度差为h ，火车转弯半径为R ，火车质量为M ，如图所示．因为θ角很小，所以sin θ≈tan θ，故h L＝F n Mg，所以向心力Fn ＝h LMg .又因为Fn ＝Mv 2/R ，所以车速v ＝ghR L.3．汽车过桥问题 项目 凸形桥 凹形桥受力 分析图以a 方向为正方向，根据牛顿第二定律列方程mg －F N 1＝m v 2r F N 1＝mg －m v 2rF N 2－mg ＝m v 2r F N 2＝mg ＋m v 2r讨论v 增大，小车对桥的压力F′N 1减小；当v增大到rg 时，F′N 1＝0 v 增大，小车对桥的压力F′N 2增大；只要v ≠0，F′N 1<F′N 2由列表比较可知，汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损害大，但在凸形桥上，最高点速率不能超过gr .在半径为r 的半圆柱面最高点，汽车以v ＝gr 的速率行驶将脱离桥面． 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )A. gRhL B. gRh d C.gRLh D. gRd h解析：汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F 向＝mg tan θ.根据牛顿第二定律：F 向＝m v 2R，tan θ＝h d ，解得汽车转弯时的车速v ＝gRhd，B 对． 答案：B解决圆周运动问题的主要步骤2－1：“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来．如图所示，已知桶壁的倾角为θ，车和人的总质量为m ，做圆周运动的半径为r .若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，下列说法正确的是( )A ．人和车的速度为gr tan θB ．人和车的速度为gr sin θC ．桶面对车的弹力为mg cos θD ．桶面对车的弹力为mgsin θ解析：对人和车进行受力分析如图所示．根据直角三角形的边角关系和向心力公式可列方程：F N cos θ＝mg ，mg tan θ＝m v 2r.解得v ＝gr tan θ，F N ＝mgcos θ. 答案：AC竖直面内圆周运动中的临界问题有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况.(2012·济南模拟)如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( ) A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g R＋rB．小球通过最高点时的最小速度v min＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N与球重力在背离圆心方向的分力F mg的合力提供向心力，即：F N－F mg＝ma，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误．答案：BC(2012·江西南昌模拟)如图所示，两段长均为L 的轻质线共同系住一个质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间距也为L .现使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点的速率为v 时，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点速率为2v ，则此时每段线中张力为多大？(重力加速度为g )解析：本题属于最高点无支持物的情况．当速率为v 时，mg ＝mv 2R当速率为2v 时，满足mg ＋F ＝m 2v 2R得F ＝3mg则设每根线上的张力为F T ，满足：2F T cos 60°2＝3mg即F T ＝3mg . 答案： 3mg1.如图是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )A ．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用B ．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力C ．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去D ．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去解析：本题考查圆周运动的规律和离心现象．摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A 项错误；摩托车正确转弯时可看做是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B 项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C 、D 项错误．答案：B2．如图所示，用细线拴着一个小球，在光滑水平面上做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是( )A ．小球线速度大小一定时，线越长越容易断B ．小球线速度大小一定时，线越短越容易断C ．小球角速度一定时，线越长越容易断D ．小球角速度一定时，线越短一定越容易断 解析：小球线速度大小一定时，线的拉力大小与线的长度L 的关系可用F ＝m v 2L来判断；小球角速度一定时，线的拉力大小与线的长度L的关系可用F ＝mω2L 来判断．答案：BC3.如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z 1＝24，从动轮的齿数z 2＝8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是( )A ．顺时针转动，周期为2π/3ωB ．逆时针转动，周期为2π/3ωC ．顺时针转动，周期为6π/ωD ．逆时针转动，周期为6π/ω解析：主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T 从＝2π3ω，B 正确．答案：B4．如图所示，长为L 的轻杆一端固定一质量为m 的小球，另一端可绕固定光滑水平转轴O 转动，现使小球在竖直平面内做圆周运动，C 为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点D 的速度大小为6gL ，则小球在C 点( )A ．速度等于gLB ．速度大于gLC ．受到轻杆向上的弹力D ．受到轻杆向下的拉力解析：小球从最低点转到最高点，由2mgL ＝12mv 2D －12mv 2C ，解得v C ＝2gL ，则小球在C 点的速度大于gL ，B 项对．在C 点，由牛顿第二定律得F ＋mg ＝m v 2CL，得F ＝mg ，F 方向向下，故D 项正确．答案：BD5.“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车，简化后的模型如图所示．表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变．摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H 、侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是( )A ．摩托车做圆周运动的H 越高，向心力越大B ．摩托车做圆周运动的H 越高，线速度越大C ．摩托车做圆周运动的H 越高，向心力做功越多D ．摩托车对侧壁的压力随高度H 变大而减小 解析：考查圆周运动向心力相关知识，学生的分析能力、建模能力．经分析可知向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，因摩托车和演员整体做匀速圆周运动，所受合外力等于向心力，因而B 正确．答案：B。
第二讲圆周运动
图 第二讲 圆周运动一．难点突破1.深刻理解匀速圆周运动与非匀速圆周运动典例1：如图3-1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A 、B 两处，上面绳AC 长L=2m ，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s 时，上下两轻绳拉力各为多少？【解析】提示：极值法。
分类谈论法【总结】当物体做匀速圆周运动时，所受合外力一定指向圆心，在圆周的切线方向上和垂直圆周平面的方向上的合外力必然为零。
归纳：a.圆周运动的运动性质；因为（ ）圆周运动也不可能是匀变速运动，因为（ ）。
b.匀速圆周运动只是速度( )改变，而速度( )不变。
做匀速圆周运动的物体，( )提供向心力，其方向一定指向圆心。
非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径方向指向圆心的分力，提供向心力，产生（ ）；其效果改变（ ）;合外力沿切线方向的分力，产生( )，其效果是改变速度的大小。
c.最常见的圆周运动实例子有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；④物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。
2.同轴装置与皮带传动装置在考查皮带转动现象的问题中，要注意以下两点：a 、同一转动轴上的各点角速度相等；b 、皮带不打滑,和同一皮带接触的各点线速度大小相等，这两点往往是我们解决皮带传动的基本方法。
典例2：如图3-2所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r ，小轮半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心距离为r ，c 点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则A ．a 点与b点线速度大小相等B ．a 点与c点角速度大小相等C ．a 点与d点向心加速度大小相等D ．a 、b 、c 、d 四点，加速度最小的是b 点【解析】【总结】主动轮.从动轮摩擦力方向的分析提问：是不是所有的题目都要是例2这种类型的呢？3向心力的来源典例3：如图3-4所示，半径为R 的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A ，A 与碗壁间的动摩擦因数为μ，当碗绕竖直轴OO/匀速转动时，物体A 刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度．图图图3-4【总结】分析受力时一定要明确向心力的来源，即搞清楚什么力充当向心力．本题还考查了摩擦力的有关知识：水平方向的弹力为提供摩擦力的正压力，若在刚好紧贴碗口的基础上，角速度再大，此后摩擦力为静摩擦力，摩擦力大小不变，正压力变大。
大学物理 第一章 第二节圆周运动与一般平面曲线运动
2、角加速度
lim
t 0 t
d
dt
d 2
dt 2
方向？
四、 圆周运动中线量和角量的关系 1、线速度与角速度 v R
角速度 的方向:
按“右旋规则”确定 角加速度 的方向: 加速时与方向相同 减速时与方向相反
y
R
o
x
2、切向加速度与角加速度 3、 法向加速度与角速度
a R
an
v2 R
v
R 2
4、速度分量式
（1）可将抛体运动分解为 沿x和y 两个方向的独立运动。
立进行的运动迭加而成。
※
抛体运动方程的矢量形式
v
(v0cos )i
(v0
sin
gt)
j
v0t
r
1
gt
2
2
v dr dt
r
t vdt
0
t 0
(vxi
vy
j )dt
(v0t
cos
)i
(v0t
sin
1 2
gt2 )
j
（2）也可将抛体运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和
t
a a
ax2
a
2 y
R 2
7
五、匀变速率圆周运动
常量， 故 at r，an r 2
dω 常量，
dt
又
dω dt d dt，
如 t 0 时, 0 ， 0
可得：
0 t θ θ0 0t
1 2
t
2
2
2 0
2 (
0)
匀变速率圆周运动
0 t
θ
θ0
0t
1 2
t
教科必修2《第二章匀速圆周运动1.圆周运动》572PPT课件一等奖
圆周运动的运动学问题
（1） 圆周运动与其他运动结合 01 圆周运动与直线运动结合 02 圆周运动与平抛运动结合 04 圆周运动与圆周运动结合
圆周运动与直线运动结合
2.如图所示, 直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴 O匀速转动（图示为截面）.从枪口发射的子弹沿直径穿过圆 筒。若子弹在圆筒旋转不到半周时,在圆周上留下a、b两个弹 孔.已知aO和bO夹角为θ,求子弹的速度。
圆周运动的运动学问题
（1） 两类转动
01 绕同一轴心转动的圆盘上各点的角速度相等 02 皮带（齿轮）传动的轮子边缘上线速度相等 04 它们的联系 v r
小组展示“寻找生活中的圆周运动”
练一练
1.如图所示装置中，三个轮的半径分别为R、2R、4R，a点到 圆心的距离为R，若皮带不打滑,求图中a、b、c各点的线速 度之比、角速度之比。
教科版 第二章
第1节 圆周运动
第2课时 匀速圆周运动的运动学问题
授课人：陈芊宇 学 校：西安市第三十四中学
描述圆周运动快慢的物理量及关系
01
线速度 v
s t
02
角速度
t
03 周期T和频率f 04 转速n
05 它们之间的关系
v r
2
T
匀速圆周运动
01 不是匀速运动(线速度大小不变，方向改变） 02 不是匀变速运动 03 是一种变加速曲线运动
小组展示“寻找生活中的圆周运动”
圆周运动的运动学问题
同 轴 转 动
圆周运动的运动学问题
同 轴 转 动
结论： 绕同一轴心转动的圆盘上各点的角速度_相__等__
圆周运动的运动学问题
皮 带 齿 轮 传 动
圆周运动的运动学问题
高中物理必修2圆周运动2
圆周运动（2课时）教学目标知识与技能1．认识匀速圆周运动的概念，理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度；理解角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算．2．理解线速度、角速度、周期之间的关系：v=rω=2πr／T3．理解匀速圆周运动是变速运动。
过程与方法1．运用极限法理解线速度的瞬时性．掌握运用圆周运动的特点如何去分析有关问题．2．体会有了线速度后．为什么还要引入角速度．运用数学知识推导角速度的单位．情感、态度与价值观1．通过极限思想和数学知识的应用，体会学科知识间的联系，建立普遍联系的观点．2．体会应用知识的乐趣．激发学习的兴趣．教学重点、难点教学重点线速度、角速度、周期的概念及引入的过程，掌握它们之间的联系．教学难点理解线速度、角速度的物理意义及概念引入的必要性。
教学方法探究、讲授、讨论、练习教学手段教具准备多媒体教学课件；用细线拴住的小球；实物投影仪．教学活动[新课导入]师：先请同学观看两个物体所做的曲线运动，并请注意观察它们的运动特点：第一个：老师用事先准备好的用细线拴住的小球，演示水平面内的圆周运动；第二个：课件展示同学们熟悉的手表指针的走动．学生可能答：它们的轨迹是一个圆．师：对，这就是我们今天要研究的圆周运动．点评：此过程的方法特点是充分调动学生的感性认识，借助于实验和多媒体课件等直观手段，激发学生的学习兴趣．[新课教学]继续请学生举一些生产和生活中物体做四周运动的实例(把物理学与学生的生活实践联系起来) 学生纷纷举例，选出代表发言．生1：行驶中的汽车轮子．生2：公园里的“大转轮”．生3：自行车上的各个转动部分．师：刚才同学们列举了很多例子，都说得很好．日常生活和生产实践中做圆周运动的物体可以说是“举不胜举”．同学们所列举的这些做圆周运动物体上的质点，哪些运动得较慢?哪些运动得更快?我们应该如何比较它们运动的快慢呢?下面就请同学们对自行车上的各个转动部分，围绕课本第44页“思考与讨论”中提出的问题，前后每四人一组进行讨论．[交流与讨论]开始讨论时，学生之间有激烈的争论，各人考虑的出发点不一样，思考的角度不同．有人认为小齿轮、后轮上各点运动的快慢一样，因为它们是一起转动的；有人认为大齿轮、小齿轮各点运动的快慢一样，因为它们是用链条连在一起转动的，等等．这时需要老师的引导．师：你衡量快慢的标准是什么?你从哪个角度去进行比较的?这时学生好像明白了什么．老师听取学生的发育，针对学生的不同意见，从思考的角度出发，通过与直线运动快慢描述的对比，引导学生过渡到对描述圆周运动快慢的物理量——线速度的学习上来．点评：让学生最大限度地发表自己的见解，教师不必急于纠正学生回答中可能出现的错误，要给学生创造发表见解的机会，创设问题情境，拓宽思考问题的空间，保护学生的学习积极性．一、线速度师：我们曾经用速度这个概念来描述物体做直线运动时的快慢，那么我们能否继续用这个概念来描述圆周运动的快慢呢?如果能，该怎样定义?下面就请同学们自主学习课本第45页上有关线速度的内容：给出阅读提纲，学生先归纳，然后师生互动加深学习．(出示课件)阅读提纲(1)线速度的物理意义，(2)线速度的定义(和直线运动中速度定义的比较)；(3)线速度的定义式；(4)线速度的瞬时性；(5)线逮度的方向；(6)匀逮圆周运动的‘匀速”同’匀速直线运动’的‘匀遵”一样吗?学生在老师的指导下，自主阅读，积极思考，然后每四人一组进行讨论、交流，形成共识．生：线速度的物理意义反映了质点在单位时间内通过的弧长的多少．生：线速度是利用物体通过的弧长与所用时间的比值来定义的．生：线速度也是矢量，其运动过程中方向在不断变化着，因此要注意其瞬时性．生：匀速圆周运动的“匀速”，不是真正的匀速，而是指速度的大小不变……老师展示知识点并点评、总结：(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．(2)定义：质点做圆周运动通过的弧长△s和所用时间△t的比值叫做线速度．(比值定义法)(这里是弧长，而直线运动中是位移)(3)大小：v=△l/△t单位：m/s(s是弧长．非位移)．(4)当选取的时间△t很小很小时(趋近零)．弧长△s就等于物体在t时刻的位移，定义式中的v，就是直线运动中学过的瞬时速度了．(5)方向；在圆周各点的切线上．(6)“匀逮圆周运动”中的“匀速”指的是速度的大小不变，即速率不变：而“匀速直线运动”的“匀速”指的速度不变．是大小方向都不变，二者并不相同．结论：匀速圆周运动是一种变速运动．注意点：学生讨论中教师要因势利导，做增强学生思维的“催化剂”．二、角速度教师出示课件展示手表指针的转动，提出问题：(1)根据线速度的定义，请你比较手表指针中点和端点线速度的大小．(2)同一根指针上不同的点，其线速度大小却不一样，而它们是应该有共同点的．因此这就需要我们去思考：描述圆周运动的快慢，除了用线速度外，还有没有其他方法?给出阅读提纲，学生先归纳，然后师生互动加深学习．(出示课件)阅读提纲(1)角速度的物理意义；(2)角速度的定义；(3)角速度的定义式．点评：要让学生体会一个新的物理量的引入，不是凭科学家的想象，而是研究问题的实际需要．生：角速度能把同一物体上各点做圆周运动的共同点反映出来．生：角速度大反映了物体转动的快慢……教师投影知识点并点评、总结：(1)物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢．(2)定义：在匀速圆周运动中．连接运动质点和圆心的半径转过△θ的角度跟所用时间△t的比值，就是质点运动的角速度．(3)定义式：ω＝△θ/△t．三、角速度的单位师：每接触一个新的物理量．我们都要关心它的物理单位是什么．那么线建度的单位是米／秒，角速度的单位又是什么呢?下面就请同学们自主学习课本第46页上有关角速度的内容．课件投影出阅读提纲：(1)怎样度量圆心角的大小?弧度这个单位是如何得到的?在计算时要注童什么?(2)国际单位制中，角速度的单位是什么?(3)有人说，匀速圆周运动是线速度不变的运动，也是角速度不变的运动，这两种说法正确吗?为什么?学生在老师的指导下．自主阅读，积极思考，然后每四人一组进行讨论，交流，形成共识．(教师总结)投影知识点并点评、总结：(1)圆心角θ的大小可以用弧长和半径的比值来描述，这个比值是没有单位的，为了描述问题的方便，我们“给”这个比值一个单位，这就是弧度．弧度不是通常煮义上的单位．计算时，不能将弧度带进算式中．(2)国际单位制中，角速度的单位是弧度／秒(rad／s)．(3)这一句话是错误的，因为线速度是矢量．其方向在不断变化，匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，后一句话是正确的，因为角速度是不变的(如果有学生提出角速度是矢量吗?教师可明确说是矢量，但高中阶段不研究其方向，而不能违背科学说角速度是标量)．点评，教师明确告诉学生角速度是矢量．但高中阶段不研究其方向，让学生体会学习是无止境的．师：教材中还提到了描述圆周运动快慢的两种方法，它们是什么?单位如何?下面请同学们阅读教材第46页的有关内容，掌握转速和周期的概念．四、线速度与角速度的关系师：线速度和角速度都能描述圆周运动的快慢，它们之间有何关系呢?下面请同学们依据刚学过的线速度和角速度的概念和定义，推导出线速度和角速度的关系v=rω．点评：通过推导，加深对所学知识的理解，掌握知识间的联系．到此，教师还需引导学生进一步思考；以上都能描述圆周运动快慢的线速度、角速度、转速和周期，除了有以上的联系外，还有没有不同的地方?如果学生通过讨论发现周期这一概念更能突显出圆周运动的周期性和重复性，将使学生对圆周运动有进一步的认识．例题分析先下一页[小结]师：请同学们在笔记本上根据前面的共同研究和自己的理解概括总结本节课的内容．[交流与讨论]将一同学的小结投影出来，请其他同学评价小结内容。
圆周运动课件
D.角速度一定，线速度与半径成正比
【解析】选B、C、D.根据v=rω可知，r一定时，v与ω 成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反 比，B、C、D选项是正确的.
7.如图1所示为一种早期的自行车，这种下带链条传动的 自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了 （ ）
A.提高速度 C.骑行方便
5.（2010· 冀州检测）质点做匀速圆周运动时，下列说法正 确的是（ ） A.线速度越大，周期一定越小 B.角速度越大，周期一定越小 C.转速越小，周期一定越小 D.圆周半径越大，周期一定越小
6.关于匀速圆周运动的角速度与线速度，下列说法中正确的是（ ） A.半径一定，角速度与线速度成反比 B.半径一定，角速度与线速度成正比 C.线速度一定，角速度与半径成反比
［思考3］向心力对物体做功吗？
(提示:不做功.由于向心力方向始终和物体的线速度 方向垂直，所以向心力对物体不做功.)
三、向心运动和离心运动 1.向心运动
如果物体所受沿半径方向的合外力大于其做圆周运动所需的向心力 ，物体运动半径将减小，则物体做向心运动
2.离心运动
如果物体所受沿半径方向的合外力小于其做圆周运动所需的向心力 ，物体运动半径将增大，则物体做离心运动
(3)齿轮传动
• 说明：如图所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上
的点，两个齿轮用齿啮合.两个轮子在同一时间内转 过的齿数相等，或者说，A、B两点的线速度相等， 但它们的转动方向恰好相反
结论：①运动特点:当A顺时针转动时，B逆时针 转动；当A逆时针转动时，B顺时针转动.
②定量关系: va=vb(线速度)；(n1、n2分别表示两 齿轮的齿数)
2.分类 (1)匀速圆周运动:物体在圆周上运动，在任意相等的时间内 通过的圆弧长度相等，其速度的大小不变. (2)非匀速圆周运动:物体在圆周上运动，在相等的时间内通 过的圆弧长度不相等，其速度的大小时刻发生变化.
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A
B C
这时C的向心加速度最大 这时B物体受的摩擦力最小 若逐步增大圆台转速，C比B先滑动 若逐步增大圆台转速，B比A先滑动
• 答案：ABC
例７.（竖直转筒模型）如图所示， 半径为r的圆筒，绕竖直中心轴 oo，转动，小物块a靠在圆筒的 内壁上，它与圆筒的摩擦因数 为μ.现要使a不下落，则圆筒 转动的角速度ω至少为（设最大
• 答案: • (1)
ωd π −θ
ωd ( 其中n = 1、2、3......) • (2) (2n + 1)π − θ
【变形练习2】一半径为R的雨伞绕柄以 角速度ω匀速旋转，如图所示，伞边 缘距地面高为h，甩出的水滴在地面上 形成一个圆，求此圆半径r为多少？
R
ω
h
• 答案：
2ω h r = R 1+ g
静摩擦力等于滑动摩擦力）
ω
• A. µg
r
B. µg D.Biblioteka g µr• C.µ
g
• 答案：D
例８.（双球模型）如图所示，一根光滑的轻质
圆筒直管，沿水平方向放置，左端O处连接在竖直 的转轴上，a、b为两个可看作是质点的小球，用 细线分别连接Oa和ab，已知a球质量为b球质量的2 倍，线长Ob=2Oa．当轻杆绕O轴在水平面内匀速转 动时，Oa和Ob两线的拉力之比F1:F2为 A．2:1 B．1:2 ω O C．1:1 a b D．3:1
• 答案: • (1)v>0 • (2) gl • (3)0.5mg，方向：竖直向上 • (4)0.5mg，方向：竖直向下
【变形练习５】在质量为M 的电动机上,装有质量为m 的偏心轮,如图所示.飞轮 转动的角速度为ω,当飞 轮重心在转轴正上方时, 电动机对地面的压力刚好 为零.则飞轮重心离转轴 的距离多大？在转动过程 中,电动机对地面的最大 压力多大？
2 2
2 2
• ２.
v 2π 2 2 F = ma = mω R = m = m( ) R = m(2π n) R = mvω R T
三、离心运动
如图所示，F为物体实际 受到的沿半径方向的合力， mv2/R为物体做匀速圆周 运动所需的向心力． • • • •
④ ③
v F ② ① R
(1)若F﹤mv2/R，物体将沿___轨道运动． (2)若F﹥mv2/R，物体将沿___轨道运动． (3)若F＝mv2/R，物体将沿___轨道运动． (4)若F突变为0，物体将沿___轨道运动．
R A B
• 答案：C
O A
B
• 答案： 5 2 匀速直线
自由落体
【变形练习９】如图所 示，一个光滑平台上有 一个光滑小孔O，一不可 伸缩的非弹性绳穿过小 孔O，一端与质量为m的 小球A相连，一端与质量
O
A
B
为M的容器相连，容器内有质量为M的水，小球A 在平台上做半径为r的匀速圆周运动．现将容器B 下方打一小孔，让水缓慢地从容器B中流出，直 到水全部流完，小球A做半径为1.5r的匀速圆周 运动．在此过程中，绳对小球A做了多少功？
gR • 答案:(1) ≤ V < gR 2
• (2) v ≤
gR 2
• (3)8km/s
【变形练习３】一辆载重卡车，在丘陵地区 的公路上行驶，地形如图所示，由于轮胎 太旧，中途爆了胎.你认为在图中所示的A、 B、C、D四处中，哪一处爆胎的可能性最大 （ ） A．A B．B C．C D．D
A B C D
m
r
O
答案： (M+m)g/mω2
2(M+m)g
• 例6.（水平转台模型）如图所示， A、B、C三物体放在旋转水平圆台 上，它们与圆台间的动摩擦因数均 相同.已知A的质量为2m，B和C的质 量均为m，A、B离轴距离为R，C离 轴距离为2R.当圆台转动时，三物 体均没有打滑，则（设最大静摩擦 力等于滑动摩擦力） • • • • A. B. C. D.
• • • • •
答案： (1)若F﹤mv2/R，物体将沿③ 轨道运动． (2)若F﹥mv2/R，物体将沿① 轨道运动． (3)若F＝mv2/R，物体将沿② 轨道运动． (4)若F突变为0，物体将沿④ 轨道运动
四、典型例题 例１.（传动模型）如图所示， 小齿轮 大齿轮 大齿轮、小齿轮、后轮的半 径分别为 R1=10cm,R2=2.5cm,R3=30 链条 cm. (1)设大齿轮、小齿轮、后轮边缘处的线速度 分别为v1、v2、v3，角速度分别为ω1、ω2、 ω3，求： v1:v2:v3， ω1:ω2:ω3． (2)大齿轮转一圈，自行车前进多大的距离？
• 答案：B
例４.（绳模型）用长为l的不可伸缩的非弹性 轻绳系一个半径为r质量为m的金属小球， 在竖直面内绕o点做圆周运动． • (1)小球通过最高点的速度至少为多大？ • (2)小球通过最低点和最高点时所受绳的拉 力分别为F1和F2，试求F1－F2为多大．
• 答案:(1)
g (l + r )
θ
• 答案：B
• 例13.（漏斗模型）如图所 示，一个光滑漏斗，其轴 线竖直，质量相同的两小 球A、B沿漏斗壁在水平面 内做匀速圆周运动．下列 说法正确的是（ ） • A.A球的线速度大 • B.A球的角速度大 • C.A球受到的支持力大 • D.A球的向心加速度大
A B
• 答案：A
【变形练习13】如图所示， 一个光滑漏斗，其轴线竖 直，小球沿漏斗壁在水平 面内做圆周运动时，由于 微弱的空气阻力的作用， 其高度将___，漏斗壁对 小球的支持力将___，向 心加速度将___，角速度 将___，线速度将___（每 一圈都可当作匀速圆周运 动处理）．
• 答案：变低，不变，不变，变大，变小
• 例14.（火车模型）如图A所示，铁轨的弯道半径 为R．如图B所示，两铁轨之间的距离为L，高度 差为h，L比h大很多.下列说法正确的是（当角度 很小时，可认为其正弦值等于其正切值）（ ） • A.若火车通过弯道时的速度为 ghR ，则车轮缘对 L 外侧轨道有挤压． • B.若火车通过弯道时的速度为 ghR ，则车轮缘对 L 内侧轨道有挤压． ghR • C.若火车通过弯道时的速度为 L ，则车轮缘对 两侧轨道均无挤压． • D.火车通过弯道的速度无要求．
• • • •
• 答案：A
例９. （离心运动模型）如图所示，光滑且足够
大的圆盘中心O有一个小孔，用细绳穿过小孔， 两端各系一小球A、B，A、B质量相等，盘上的球 A做半径r＝20cm的匀速圆周运动. 要保持B平衡， A球的角速度是 rad/s（g取10m/s2）. 若 绳子突然断了，则A球做 运动，B球做 运动. •
v
• 答案： • ①1:1:12 • ②2.4πm
1:4:4
【变形练习1】如图所示的皮带传动装置中， 右边两轮粘在一起且同轴，半径RA＝RC＝ 2RB，皮带不打滑，则（ ） • ①vA︰vB︰vC是多少？ • ②ωA︰ωB︰ωC是多少？ ω ω ω • ③aA:aB:aC是多少？
A RA RB RC C B
2
R r S
例３.（桥模型）一凸形桥的半径为R，一辆汽 车的质量为m，此桥所能承受的最大压力为 0.5mg．求： • (1)汽车能安全通过桥最高点的速度范围． • (2)若桥为凹形桥，所能承受的最大压力为 1.5mg，汽车能安全通过桥的最低点的速度 范围． • (3)利用凸形桥模型，求出地球的第一宇宙 速度（地球的半径为6400km，g=10m/s2）．
θ
t
t T= N
N n= t
2π v = ωR = R = 2 π nR T
二、向心加速度和向心力
• １.写出向心加速度的各种表达式，并能证 明． • ２.写出向心力的各种表达式．
vA=v A vA=v θ △v B θ vB=v B θ vB=v A
vB=v
• 答案：
• １.
v 2π 2 2 a =ω R = = ( ) R = (2π n ) R = vω R T
• 答案: • (1)(1.5+cosθ)R • (2)R/3，斜上抛运动
例５.（杆模型）长为l的硬轻杆一端固定一个 质量为m的金属小球，另一端可绕光滑水平 轴转动． • (1)能保证小球通过最高点的速度范围． • (2)若小球通过最高点时，杆对小球无作用 力，求小球的速度． gl • (3)若小球通过最高点的速度为 ,求杆 2 对小球的作用力． • (4)若小球通过最高点的速度为 3gl ,求杆 2 对小球的作用力．
A ω B
• 答案:(1)
mBL mA + mB
mAL mA + mB
• (2)相对于杆静止
• 例11.（狗拉雪撬模型）如图所示，狗拉雪
撬在水平雪地上做匀速圆周运动，可能的 情形是（A表示狗，B表示雪撬）( )
A A B A A B
v
B
v
B
v
v
A
B
C
D
• 答案：A
例12.（圆锥摆模型）如图所示， A、B两圆锥摆的悬线长度不同， 但在同一水平面上做匀速圆周 运动，则有 A • A．两圆锥摆的周期相等 • B．B的线速度大于A的线速度 • C．A的角速度小于B的角速度 • D．A的加速度大于B的加速度
• 答案： • ① 1：1：2 ; • ② 1：2：2 • ③ 1：2：4
例２.（圆周运动与其它运动 相结合）如图所示，直径为 d的纸制圆筒以角速度ω绕 垂直纸面的轴O匀速运动 （图示为截面）.从枪口发 射的子弹沿直径穿过圆筒.
ω O 枪口 a θ b
若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆筒上留 下a、b两个弹孔，已知aO与bO夹角为θ． (1)求子弹的速度． (2)若子弹在圆筒旋转超过半周时，在圆筒 上留下a、b两个弹孔，求子弹的速度．
第二讲 圆周运动
李明军
一、描述圆周运动快慢的物理量
• １.描述圆周运动快慢的物理量有哪些？ • ２.说出这些物理量的定义，并写出它们的 表达式． • ３.写出各个物理量间的关系式．