2014年高考数学信息卷(常州版)
2014届江苏高考数学信息卷01
2014届江苏高考数学信息卷01数学Ⅰ一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}2340A x x x =--≤，{}04B x x =≤≤，则A B =ð ▲ ． 2．复数i (1i)z =⋅+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 3．函数()f x 的定义域为 ▲ ．4．甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 ▲ 组．5．已知某算法的伪代码如图所示，则可算得(1)(e)f f -+的值为 ▲ ． 6．一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的 概率是 ▲ ．7．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A 点沿表面经过棱1BB ，1CC 爬到点1A ，蚂蚁乙从B 点沿表面经过棱1CC 爬到点1A ．如图，设PAB α∠=，QBC β∠=，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则αβ+= ▲ ．8．已知函数212,1,()e , 1x x x f x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集是 ▲ ．9．若过点(3,4)P 的直线与圆22(2)(2)4x y -+-=数a 的值为 ▲． 10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示．若()1f α=，π(0,)3α∈，则sin 2α= ▲ ． 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是公差为(0)d d ≠的等差数列，则1a = ▲ ．12．已知平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ， ||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为 ▲ ． 13．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x >是函数3()f x x x =-图象上的两个不同点，（第5题图）（第7题图）ABCQ R A 1PB 1C 1 乙53甲6789847456690294866431（第4题图）且在A ，B 两点处的切线互相平行，则12x x 的取值范围为 ▲ ． 14．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且11a ≥，2424a ≥，12168S ≤， 则29a d -的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，向量(tan tan A C =+m ，(tan tan 1,1)A C =-n ，且//m n ．（1）求角B ；（2）若2b =，求ABC Δ的面积的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB a ===，o 60ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AE a =，点M 在线段EF 上． （1）求证：BC ⊥平面ACEF ；（2）当FM 为何值时，//AM 平面BDE ？证明你的结论．M BACDE（第16题图）F17．（本小题满分14分）第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为10米．（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB ⊥于点M ．设2AO M q ?，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA NB =，24NO =米．若2[,]64AO M p pq ? ，求喷泉的面积的取值范围．（第17题图乙）（第17题图甲）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作直线l 与椭圆C交于点M 、N ．（1）若椭圆C 的离心率为12，右准线的方程为4x =，M 为椭圆C 上顶点，直线l 交右准线于点P ，求11PM PN+的值； （2）当224a b +=时，设M 为椭圆C 上第一象限内的点，直线l 交y 轴于点Q ，11F M F Q ⊥，证明：点M 在定直线上．19．（本小题满分16分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．已知函数()ln ()f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设函数()f x 的图象在点11(,())P x f x 、22(,())Q x f x 两处的切线分别为1l 、2l ．若1x =，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值．数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题．．．．．．．．．．．．纸．指定区域内作答．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC Δ中，23AB AC =，BM 是ABC ∠的平分线，AMC Δ的外接圆交BC 边于点N ．求证：32CN AM =．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值13λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ． （1）求,a b 的值；（2）求曲线22:4131C x xy y ++=在M 对应的变换作用下的新曲线的方程．C ．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程为22,x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．若直线l与曲线C 交于A 、B 两点，试求线段AB 的垂直平分线的极坐标方程．C（第21-A 题图）D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（本小题满分10分）徐州古称彭城，三面环山，历来是兵家必争之地，拥有云龙山、户部山、子房山和九里山等四大名山．一位游客来徐州游览，已知该游客游览云龙山的概率为23，游览户部山、子房山和九里山的概率都是12，且该游客是否游览这四座山相互独立．（1）求该游客至多游览一座山的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的山数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的各项均为正整数，且11a =，24a =，n a =2n ≥，*n ∈N ． （1）求3a ，4a 的值；（2）求证：对一切正整数n ，121n n a a ++是完全平方数．。
2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】
2014 年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参照公式 :圆柱的侧面积公式 :S 圆柱 =cl, 此中 c 是圆柱底面的周长， l 为母线长 .圆柱的体积公式 :V 圆柱=Sh,此中 S 是圆柱的底面积， h 为高 .一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应地点．．．．．．．上.．1．已知会合 A { 2， 1，3，4} ， B { 1，2 ，3} ，则 A B．【答案】 {1，3}2．已知复数z (5 2i ) 2 (i 为虚数单位 )，则 z 的实部为．【答案】 213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是．【答案】 54．从1，2，3，6这4个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是．1【答案】35．已知函数y cosx 与y sin(2 x )(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是．3【答案】66．为了认识一片经济林的生长状况，随机抽测了此中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频次散布直方图如下图，则在抽测的 60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】 24．在各项均为正数的等比数列{ a n } 中，若 a2 1 ，a8 a6 2a4，7则 a6的值是．【答案】 48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1 9，则V1的值是．S2 4 V2【答案】329 ．在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2 y 3 0 被圆 (x 2)2 ( y 1)2 4 截得的弦长为．【答案】255510．已知函数 f ( x) x2 mx 1 ，若对随意 x [ m，m 1] ，都有 f (x) 0 建立，则实数 m 的取值范围是．【答案】 2 ，211．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 y ax2 b( a ，b 为常数 )过点 P(2 ， 5) ，且该曲线在x点 P 处的切线与直线7 x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是．【答案】 312．如图，在平行四边形ABCD中，已知，AB 8 ，AD 5 ，CP 3PD ，AP BP 2，则 ABAD 的值是．【答案】 2213．已知f (x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x [0 ，3) 时， f (x) x2 2x1 ．若函2数 y f ( x) a 在区间 [ 3，4 ]上有 10 个零点 ( 互不相同 ) ，则实数 a 的取值范围是．【答案】 10 ，214．若ABC 的内角知足 sin A 2 sin B 2sin C ，则 cosC 的最小值是．【答案】 6 24二、解答题：本大题共6小题 , 合计 90 分 . 请在答题卡指定地区内作答 , 解答时应写出文字．．．．．．．．。
2014江苏高考数学试卷及答案
2014江苏高考数学试卷及答案2014年江苏高考数学试卷如下：第一部分选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 设四边形ABCD 是正方形，AB=1，则$\overrightarrow{DC}$的坐标是____。
A.（1,0）B.（-1,0）C.（2,0）D.(0,-1)2．已知函数$f(x)=x^2-3x+a$,当$x\in(1,2)$时，$f(2x)=x+1$，求$f(x)$的解析式。
3. 某种电子元件的寿命$X$（以小时计）的概率密度函数为$$f(x)=\begin{cases}e^{-x} &x>0\\0 &x\leq 0\end{cases}$$则$X$的均值为____。
4．某小组同学参加数学比赛，70\%的同学参加了选择题考试，80\%的同学正确完成了选择题考试．若已知至少有1位同学正确完成了选择题考试，则该小组同学参加选择题考试的概率为____．5．设函数$f(x)=(1+x)e^{x+1}$在$x=0$处的切线方程为y=2x+1，则$f(0)=____$．第二部分主观题（共8小题，每小题10分，共80分）6．如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，直线PQ交线段AD、A'D'的中点分别为M、N，求MN的长。
7．如图，ABC是正三角形，AE是平面内一直线，点D在BC上，M是AE上的一动点，连接BM交AC于P，AN交BC于Q，求证：$\angle{PKG}=\angle{EPQ}$。
8．讨论不等式$x^2\leq4x+2$的解集。
9．已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，$f(-1)=-2$，$f(2)=4$，且在区间[-1,2]上有$f(x) \geq 0$，求a、b的值。
10．设三角形ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，若sin(A)＝a，sin(B)＝b，cos(C)＝c，则$\vec{c}$的方向与$\vec{a} ×\vec{b}$的方向_________且与$\vec{a} ×\vec{b}$的夹角为_________。
2014年江苏高考数学卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象 有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别 为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.（第3题）100 80 90 110 120 130 底部周长/cm（第6题）（第12题）16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河 岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上 并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO . (1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？（第16题）P D CE F B A（第18题）19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+=（2）=12=，=2==+=+（）=16. （1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA 又∵DE⊂平面PAC ，PA ⊄平面PAC∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF ²=EF ²+DE ²=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ⋂ EF=E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17.（1）∵BF 2 =，将点C （，）代入椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，∴221611(0)99a b a b+=>>，且c ²+b ²=a ²∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为2212x y +=（2）直线BA 方程为y=x+b,与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>联立得x ²x=0. ∴点A （，），∴点C （，），F 1（）直线CF 1 斜率k= ，又∵F 1C ⊥AB ，∴·=∴=1，∴e=18. （1）过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点F 。
2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一测试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I _______． 【答案】{13}-，【分析】由题意得{1,3}A B =-I ．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______． 【答案】21【分析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】5【分析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =． （4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【分析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =和sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______． 【答案】6π【分析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24【分析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，测试时间为120分钟．测试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________． 【答案】4【分析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【答案】255【分析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-=． （10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】20⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【分析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得20m -<<． （11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线和直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【分析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是________． 【答案】22【分析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2213216AD AD AB AB =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即1322564216AD AB =-⋅-⨯u u u r u u u r ，解得22AD AB ⋅=u u u r u u u r ．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】()102，【分析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象和直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =和函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．62-【分析】由已知sin 22sin A B C =及正弦定理可得22a b c =，2222222()2cos 22a b a b a b c C ab ab ++-+-==2232222622628a b ab ab ab ab +---=，当且仅当2232a b =，即23a b =所以cos C 62- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，5sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()5sin 2ααπ∈π，，，∴225cos 1sin αα=--=， ()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=．（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =I ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=． （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴5c a = 5． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 和河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并和BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC 22(17080)(0120)150-+-=．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 和直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠， 从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AFcos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ．（2）设保护区的边界圆M 和BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -和e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a aa a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-， 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+．当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 和3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ． 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵和变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系和参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2122x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 和抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长． 解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．测试时间30分钟．测试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：X 2 3 4P11141363 1126 故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()12444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===-⎪⎝⎭， 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+， 故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立．（i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以12()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。
2014年江苏高考数学卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象 有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别 为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆 4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.（第3题）100 80 90 110 120 130 底部周长/cm（第6题）（第12题）如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河 岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上 并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？ 19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.（第16题）P D CE F B A设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+=（2）=12=，=2==+=+（）=16. （1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA 又∵DE⊂平面PAC ，PA ⊄平面PAC∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF ²=EF ²+DE ²=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ⋂ EF=E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17.（1）∵BF 2 =，将点C （，）代入椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，∴221611(0)99a b a b +=>>，且c ²+b ²=a ²∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为2212x y +=（2）直线BA 方程为y=x+b,与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>联立得x ²x=0. ∴点A （，），∴点C （，），F 1（）直线CF 1 斜率k= ，又∵F 1C ⊥AB ，∴·=∴=1，∴e=18. （1）过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点F 。
2014年江苏高考数学试题(含详解)
识，考查运
算求解能力. 满分 14 分.
16 1
（1）∵C
4，1
，∴
9 a2
9 b2
9
33
∵ BF22 b2 c2 a ，∴ a ( 2)
2
2
2
∴椭圆方程为 x2 y2 1 2
2 ，∴b 1
2
（2）设焦点 F ( c ，0)，F (c ，0)，C(x ，y)
1
2
∵ A，C 关于 x 轴对称，∴ A(x ， y)
a2
2
化简得5c 2
a2
，∴
c a
55 ,
2
b2bc2 b2c
故2 离心2 率为1 ，55
b
0) 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为 (0，b) ，连结 BF 并延长交椭圆于
2
点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 F1C ．
（1）若点 C 的坐标为
43 ，13
，且 BF 2
2 ，求椭圆的方程；
（2）若 FC AB ，求椭圆离心率 e 的值． 1
【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知
（2）∵sin 2 2sin cos
4，cos 2 cos 2 sin2 53 5
∴ cos 6 2
cos 6 cos 2 sin 6 sin 2
23 3 1 52
4 5
3 130 4 ．
16．(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 P ABC 中， D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中
的值；
2 ， ， sin
5． 5
（2）求 cos 6 2 的值．
【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算
2014年常州市 高三数学试题及答案
2014年常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2． 若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a 的值为 ▲ ．4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5． 某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6． 函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8． 已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9． 若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ． 10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则q 的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若t a n 7t a n A B =，223a b c-=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+ ，则PQ 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c = ，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ； （3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆（第18题）FBCEA1A 1B 1C （第16题）E :22221(0)x y a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线y kx m =+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ =． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当607x ≤≤时，()100t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分） 已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos()4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ． （1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －C，求 PA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．A BCDOP（第22题）常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31.6（写成1585也对） 6．p 7．7108．12 9．13e 10．（1）（2） 11．9-p12．12(log 9,4) 13．4 14．- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=， 从而A C =（舍）或2A C p +=．∴2B p=． ………………………………4分在Rt △ABC 中，tan a A c ==，6A p=． …………………………………6分 （2）∵3cos m n b B ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=． ∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分∵sin sin A B >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，cos 3B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+=431553-+⨯=． …………………………………14分 16．证明：（1）连结1AC ． ∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AAC C 是矩形， ∴点F 在1AC 上，且为1AC 的中点．在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分 又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分 （2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ………………………………6分 ∵1B B AB B = ，∴EF ⊥平面11ABB A ． ………………………………8分 ∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． ………………………………10分 （3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯ ………………………………12分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． ………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，， 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ …………………4分∴21n a n =-． ……………………………………………………………6分 （2）p ，q 为正整数， 由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分 进一步由已知，得21p b p -=，21q b q -=． ………………………………………10分 ∵{}n b 是等差数列，p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =．∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分 18． 解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21b e a a c=，化简，得1b =．………2分∵OQ =，∴22a c a =2a =．由22212a b c b a ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，， 解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251M my k =+， 从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分 所以直线OM 的方程15y x k=-． 由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551P k x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅， 从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+． ……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k =-，从而2m k=-，满足△0>． ……………15分 ∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分 19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ 即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分 （注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则 2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得18u =-28(50,51)u =+．……………7分当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分 ∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分 当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． … ………………………………14分 综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分 答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分 20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分 列表：x (0,1)1(1,)+∞()f x ' + 0 - ()f x↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分 (2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12x x =， ①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为)，)+∞，单调增区间为； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；当0a ≥时，()f x 单调减区间为)+∞，单调增区间为． ………………………………………………………10分 （3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--． ∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分 由()2()2a bg b g +=得， 1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为112a b -+-， 所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得1t =（舍），1t =，列表：t(1,1 (1)+∞ ()h t '-+ ()h t↘↗所以，()h t 在(1,1+单调减，在(1)++∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ． 从而AD BC =． ∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分 ∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分 ∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P的直角坐标为， …………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y --=， ………………………………………8分从而点P 到直线l=…………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分 =(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分 ∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分 从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ． ∵AC =BC ，点O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB．且OA OB OC a ==． ……………2分如图，建立空间直角坐标系O xyz -． （1）2PA a =，PO ．(0,,0)A，,0)B，,0,0)C ，)P，D ． …………4分从而(0,)PA =- ，，()CD = ．∵2cos ,PA CD PA CD PA CD ⋅<>===∴异面直线PA 与CD． ……………………………6分 （2）设PO h =，则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥O C ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面P AB ．从而,0,0)OC =是平面PAB 的一个法向量． 不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵(0,)PB h =-，,0)BC = ，0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴,.hz x y ==⎪⎩ 不妨令x =1，则y =1，z =n = ． ………………………8分OC n OC n⋅==，化简，得2223h a =．∴PA ． …………………………………10分 23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分（2）集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ,B )有2(21)n n-个．若A ⊂≠B ，并设B 中含有*(1,)k k n k ∈N ≤≤个元素，则满足A ⊂≠B 的有序集合对 (A ,B ) 有1(21)232nn nkkkkkn n nnn k k k CC C ===-=-=-∑∑∑个 ． …………………6分 同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n-个． …………………8分故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(32)4223n n n n n n n ---=+-⨯ ………………………………………………10分。
2014年江苏省高考数学试卷(含答案)
2014年江苏省高考数学试卷解析参考版答案仅供参考一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）．【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}A B =-．【考点】集合的运算【答案】21【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． 【考点】复数的概念．【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解．220n>整数解为5n ≥,因此输出的5n =【考点】程序框图．【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 【考点】古典概型．【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．6。
【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=． 【考点】频率分布直方图．【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．【考点】等比数列的通项公式．【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==,所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．【考点】圆柱的侧面积与体积．【答案】2555【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=．【考点】直线与圆相交的弦长问题．【答案】2(2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<． 【考点】二次函数的性质．【答案】2-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -,则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,1,a b =-⎧⎨=-⎩所以b=—2，a+b=-3．【考点】导数与切线斜率．【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-， 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-， 即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=． 【考点】向量的线性运算与数量积．【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象,可见1(0)2f =,当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点,则有1(0,)2a ∈．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．62- 【解析】由已知sin 22sin A B C =及正弦定理可得22a b c +=，2222222(2cos 22a b a b a b cC abab++-+-==223222262262a b ab ab ab +---=≥=，当且仅当2232a b =即23a b =时等号成立，所以cos C 62- 【考点】正弦定理与余弦定理．二、解答题 （本大题共6小题，共90分。
2014年高考江苏卷试题及答案
南通数学网 初高中课件、教案、习题应有尽有 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版数学Ⅰ江苏苏州 何睦 江苏扬州 孟伟业 江苏南京 王刚 整理提供一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I ▲ . 【答案】{1,3}-【解析】由题意得{1,3}A B =-I 【考点】交集、并集、补集 (B).2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ . 【答案】21【解析】由题意2(52i)=25+20i 42120i z =+-=+，其实部为21. 【考点】复数的概念 (B).3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ . 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解，220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =. 【考点】流程图 (A).4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 【答案】13【解析】从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概念为2163P ==. 【考点】古典概型 (B).5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ▲ . 【答案】6π 【解析】由题意cos sin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=， 所以2236k ππϕπ+=+或252()36k k ππϕπ+=+∈Z ，即22k πϕπ=-或2()6k k πϕπ=+∈Z . 又0ϕπ≤<，所以6πϕ=.【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 (B)，三角函数的概念(B). （三角函数图象的交点与已开始 0←n 1+←n n 202>n输出n 结束 （第3题）NY知三角函数值求角）6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015+0.025)⨯10⨯60=24. 【考点】总体分布的估计 (A). （频率分布直方图）7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ▲ .【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q q =+，4220q q --=， 解得22q =或21q =-（舍），所以4624a a q ==. 【考点】等比数列 (C). （等比数列的通项公式）8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ . 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为1r 、1h ，2r 、2h ，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =， 又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==. 【考点】柱、锥、台、球的表面积与体积 (A).9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 ▲ . 255【解析】圆4)1()2(22=++-y x 的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-【考点】直线与圆、圆与圆的位置关系 (B). （直线与圆相交的弦长问题）10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .组距频率100 80 90 110 0.0100.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm（第6题）【答案】2,0⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【解析】画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数()f x在[],m n上恒小于0的充要条件为()0,()0.f mf n<⎧⎨<⎩开口向下的二次函数()f x在[],m n上恒大于0的充要条件为()0,()0.f mf n>⎧⎨>⎩22()0,2(1)0.230.2mf mmf mm⎧<<⎪⎛⎫<⎧⎪⇒⇒∈ ⎪⎨⎨ ⎪+<⎩⎝⎭⎪-<<⎪⎩. （江苏苏州何睦）【考点】一元二次不等式(C). （一元二次方程根的分布、二次函数的性质）【变式】变式1已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意()1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,22（江苏苏州何睦）变式 2 已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意[)1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ .⎥⎦⎤⎝⎛-0,22（江苏苏州何睦）变式3 已知函数,1)(2-+=mxxxf若存在]1,[+∈mmx，使得0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,23（江苏苏州何睦）变式 4 已知函数12)(2++=xxxf，若存在实数t，当],1[mx∈时，xtxf≤+)(恒成立，则实数m的最大值是__________ . 4 （江苏苏州陈海锋）变式5 若关于x的不等式012≥-++mmxx恒成立，则实数=m________. 2（江苏苏州陈海锋）变式6 设)(xf是定义在R上的奇函数，且当0≥x时,2)(xxf=,若对任意的]2,[+∈t tx，不等式)(2)(xftxf≥+恒成立，则实数t的取值范围是________.[)+∞,2（江苏苏州陈海锋）11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy+=2(a，b为常数)过点)5,2(-P，且该曲线在点P处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452ba +=-①，又22b y ax x '=-，所以7442b a -=-②，由①、②解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-.【考点】导数的几何意义 (B).12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP BP ⋅=u u ur u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是 ▲ . 【答案】22【解析】解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的,AP BP u u u r u u u r向量用基底,AB AD u u u r u u u r表示，而后实施计算.14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，34BP BC CP AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .则2213132()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅==+⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为8,5AB AD ==，则3122564162AB AD =-⨯-⋅u u ur u u u r ，故22AB AD ⋅=u u u r u u u r . （江苏苏州 何睦）解法二：（坐标法）不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设(0,0),(8,0),(.),(2,),(8,)A B D a t P a t C a t ++，则(2,)AP a t =+u u u r ，(6,)BP a t =-u u u r. 由2AP BP ⋅=u u u r u u u r，得22414a t a +-=，由5AD =，得2225a t +=，则411a =，所求822AB AD a ⋅==u u u r u u u r. （江苏苏州 何睦）【考点】平面向量的加法、减法及数乘运算 (B)，平面向量的数量积 (C).13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可知1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =的图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象有4个交点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. A B DP（第12题）（江苏扬州 孟伟业）【考点】函数与方程 (A)，函数的基本性质 (B). （函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ▲ . 62-【解析】由正弦定理得22a b c =，由余弦定理结合基本不等式有： 2222222222231231(2242242cos 2222a b a b a b a b a b cC abab ab ab ++-+++-====2231226242a b -≥=，当且仅当6a =时等号成立. （江苏苏州 何睦） 【考点】正弦定理、余弦定理及其应用 (B)，基本不等式 (C). 变式1 △ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________.21（江苏无锡 张芙华） 变式2 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A CB B AC C B A cos sin sin cos sin sin cos sin sin +=，若2ab c的最大值为_______. 23（江苏无锡 张芙华） 变式3 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b cc b+的取值范围是________． []5,2 （江苏苏州 陈海锋）变式4 已知三角形ABC ∆的三边长c b a ,,成等差数列，且84222=++c b a ，则实数b 的取值范围是_________. (]72,62（江苏南通 丁勇）拓展 在△ABC 中，已知(),0,1m n ∈，且sin sin sin m A n B C +=，求cos C 的最小值. 解：由正弦定理得ma nb c +=，由余弦定理结合基本不等式有：222222222(1)(1)21cos [(1)(1)]222a b c m a n b mnab a bC m n mnab ab b a+--+--===-+--22(1)(1)m n mn --.（当且仅当2222(1)(1)m a n b -=-时等号成立）.（江苏常州 封中华）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈，55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.【解析】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分14分.(1) 因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α5，所以cos α＝2251sin α-.故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α2252510⎛+= ⎝⎭. (2) 由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝525425⎛=- ⎝⎭， cos2α＝1－2sin 2α＝1－25325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝3314433525⎛+⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【考点】同角三角函数的基本关系式 (B)，两角和（差）的正弦、余弦及正切 (C)，二倍角的正弦、余弦及正切 (B)，运算求解能力.16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 满分14分.(1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点， PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，（第16题）PDCEFBA所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .【考点】直线与平面平行、垂直的判定及性质 (B)，两平面平行、垂直的判定及性质 (B)，空间想象能力和推理论证能力.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分.设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c .(1) 因为()0,B b ，所以222BF b c a =+=，又22BF =故2a =因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =.故所求椭圆的方程为2212x y +=.(2) 解法一（官方解答）：（垂直关系的最后表征）因为()0,B b ，2(,0)F c 在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为1x yc b+=. 解方程组22221,1,x y c b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得()2122221222,a c x a c b c a y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 220,.x y b =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标为22222222(),a c b c a a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222(),a c b a c a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为直线1F C 的斜率为()()()22222222322023b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c-，且1F C AB ⊥， 所以()222313b a c b a c c c -⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭，又222b a c =-，整理得225a c =. F 1 F 2Oxy BCA故215e =，因此5e =.解法二：（垂直关系的先行表征）设000012(,),(.),(,0),(,0)C x y A x y F c F c --， 由1,FC AB ⊥得001y b x c c ⋅=-+-，由A 在2BF 上，则001x y c b-+=； 联立20000,.cx by c bx cy bc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩解得：20222022,2.ca x b c bc y b c ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩又00(,)C x y 在椭圆上，代入椭圆方程整理得2242224(2)c a c a c +=-，即225a c =， 所以椭圆的离心率为5e =【考点】中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 (B)，直线的平行关系与垂直关系 (B)，直线方程 (C)，运算求解能力. （椭圆的标准方程、椭圆的离心率）18. (本小题满分16分)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分16分.解法一（官方解法一）：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xOy . 由条件知()()0,60,170,0A C ， 直线BC 的斜率4tan 3BCk BCO =-∠=-.170 m60 m 东北OA BM C170 m60 m xyOA BM C（第18题）又因为AB BC ⊥，所以直线AB 的斜率34AB k =. 设点B 的坐标为(),a b ，则041703BC b k a -==--，60304AB b k a -==-解得80,120a b ==.所以22(17080)(0120)150BC -+-. 因此新桥BC 的长为150m.(2) 设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM d = m (060)d ≤≤. 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=.由于圆M 与直线BC 相切，故点()0,M d 到直线BC 的距离是r ，即2236806803543d dr --==+. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ， 所以80(60)80r d r d -≥⎧⎨--≥⎩，，即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩，解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.解法二（官方解法二）：(1) 如图，延长OA ，CB 于点F . 因为4tan 3FOC ∠=，所以4sin 5FOC ∠=，3cos 5FOC ∠=.因为OA = 60，OC = 170，所以680tan 3OF OC FOC =∠=，850cos 3OC CF FOC ==∠. 从而5003AF OF OA =-=.因为OA OC ⊥，所以4cos sin 5AFB FCO ∠=∠=.又因为AB BC ⊥，所以400cos 3BF AF AFB =∠=.从而150BC CF BF =-=.因此新桥BC 的长为150 m.(2) 设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD BC ⊥，且MD 是圆M 的半径，并设MD r = m ，OM d = m (060)d ≤≤. 因为OA OC ⊥，所以sin cos CFO FCO ∠=∠. 故由(1)知3sin 68053MD MD r CFO MF OF OM d ∠====--，所以68035dr -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，170 m60 m xyOA BM C（第18题）F D所以80(60)80,r d r d -≥⎧⎨--≥⎩, 即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩,解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大.(1)的解法三：连结AC ，由题意知6tan 17ACO ∠=，则由两角差的正切公式可得： 2tan tan()3ACB BCO ACO ∠=∠-∠=，故cos 150BC ACB AC =∠⋅= m. 所以新桥BC 的长度为150m. （江苏苏州 何睦）(2)的解法三：设BC 与圆切于点N ，连接MN ，过点A 作//AH BC 交MN 于点H . 设OM a =，则60AM a =-，由古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ， 那么80(60)80r a r a -≥⎧⎨--≥⎩，解得1035a ≤≤. 由4tan tan 3AMH OCN ∠=∠=，可得3(60)5MH a =-，由(1)的解法二可得100AB =，所以33100(60)13655MN x x =+-=-+，故MN 即圆的半径的最大值为130，当且仅当10a =时取得半径的最大值.综上可知，当10OM = m 时，圆形保护区的面积最大. （江苏兴化 顾卫）【考点】直线方程 (C)，直线与圆、圆与圆的位置关系 (B)，解三角形 (B)，建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.(1) 因为对任意x ∈R ，都有()()()e e e e xx x x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是R 上的偶函数.(2) 解法一（官方解答）：由条件知()()e e 1e 10,x x x m --+-≤-+∞在上恒成立. 令e (0)x t x =>，则1t >，所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对于任意1t >成立.因为()()1111211311t t t t -++≥-⋅=--，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当2t =，即ln2x =时等号成立.因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.解法二：考虑不等式两边同乘x e ，则不等式转化为2[(e )1]1(1)e x x m m +≤+-在(0,)+∞上恒成立. 令e (1)x t t =>，则问题可简化为：2(1)10mt m t m +-+-≤在()1,t ∈+∞上恒成立. 构造函数2()(1)1g t mt m t m =+-+-，由图象易得当0m ≥时不符合题意. 当0m <时，11,2(1)0.m m g -⎧≤⎪⎨⎪<⎩或11,21()0.2m m m g m-⎧≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得13m ≤-.综上可知，实数m 的取值范围为1(,]3-∞-. （江苏苏州 陈海锋）(3) 令函数()()31e 3e x x g x a x x =+--+，则()()21e 31e x x g x a x '=-+-.当1x ≥时，1e 0ex x ->，210x -≥，又0a >，故()0g x '>，所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞上的最小值是()11e e 2g a -=+-.由于存在[)01,x ∈+∞，使0030e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值()10g <， 故1e e 20a -+-<，即1e e 2a -+>.令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()e 11h x x-'=-，令()0h x '=，得e 1x =-. 当()0,e 1x ∈-时，()0h x '<，故()h x 是()0,e 1-上的单调减函数. 当()e 1,x ∈-+∞时，()0h x '>，故()h x 是()e 1,-+∞上的单调增函数. 所以()h x 在()0,+∞上的最小值时()e 1h -.注意到()()1e 0h h ==，所以当()()1,e 10,e 1x ∈-⊆-时，()()()e 110h h x h -≤<=. 当()()e 1,e e 1,x ∈-⊆-+∞时，()()e 0h x h <=，所以()0h x <对任意的()1,e x ∈成立. ①当()1e e ,e 1,e 2a -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时，()0h a <，即()1e 1ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当e a =时，1e 1e a a --=；③当()e,(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，()()e 0h a h >=，即()1e 1ln a a ->-，故1e 1e a a -->.综上所述，当1e e ,e 2a -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<，当e a =时，1e 1e a a --=，当()e,a ∈+∞时，1e 1e a a -->. (3)的民间思路：难题分解1：如何根据条件求出参数a 的取值范围？ 分解路径1：直接求函数的最值.解：令30000()()(3)g x f x a x x =--+，只要在0[1,)x ∈+∞上，0min ()0g x <即可. 002200()1'()3(1)x x e g x a x e-=+-. 当01x =时，0'()0g x =.； 当01x >时，2010x ->，02()10x e ->，则0'()0g x >.故在区间[1,)+∞上，0'()0g x ≥，即函数0()g x 为[1,)+∞的增函数，则1min 0()(1)20g x g e e a -==+-<，解得12e e a -+>.（江苏苏州 何睦）分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则)03x ⎡∈⎣，此时3030x x -+>，则0300()3f x a x x >-+， 构造函数00300()()3f x g x x x =-+，即求此函数在03x ⎡∈⎣上的最小值. 0003200003200()(3)()(33)()(3)o x x x x e e x x e e x g x x x ----+-+-+'=-+. 因为03x ⎡∈⎣，000032000,30,0,330x x x x e e x x e e x --->-+>+>-+<， 则000032000()(3)()(33)0x x x x e e x x e e x ----+-+-+>. 则0()0g x '>在03x ⎡∈⎣上恒成立，故10min()(1)2e e g x g -+==， 故12e e a -+>（江苏苏州 何睦）难题分解2：如何根据求得的参数a 的取值范围比较1e -a 与1e -a 的大小？ 分解路径1：（取对数）1-a e 与1-e a 均为正数，同取自然底数的对数， 即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，即比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小. 构造函数ln ()(1)1xh x x x =>-，则211ln ()(1)x x h x x --'=-， 再设1()1ln m x x x =--，21()xm x x-'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xh x x =-在(1,)+∞上单调递减.当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当a e >时，11e a a e --<.（江苏苏州 何睦） 分解路径2：（变同底，构造函数比大小） 要比较1ea -与e 1a-的大小，由于e 1(1)ln e aae--=，那么1[(1)ln (1)]1e e a a a a e e-----=，故只要比较1a -与(1)ln e a -的大小.令()(1)ln (1)h x e x x =---，那么1'()1e h x x-=-. 当1x e >-时，'()0h x <；当01x e <<-时，'()0h x >.所以在区间(0,1)e -上，()h x 为增函数；在区间(1,)e -+∞上，()h x 为减函数.又()0h e =，(1)0h =，则(1)0h e ->，1()02e e h -+>；那么当12e e a e -+<<时，()0h a >，()1h a e >，11e a a e -->；a e >当a e ≥时，()0h a ≤，()01h a e <≤，11e a a e --≤.综上所述，当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当时，11e a a e --<. （江苏苏州 王耀）【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.20. (本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”；(2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.【解析】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力. 满分16分.(1) 证明：由已知，当1n ≥时，111222n n n n n n a S S +++=-=-=，于是对任意的正整数n ，总存在正整数1m n =+，使得2n n m S a ==，所以{}n a 是“H 数列”.(2) 解法一（官方解答）：由已知，得2122S a d d =+=+，因为{}n a 是“H 数列”，所以存在正整 数m ，使得2m S a =，即()211d m d +=+-，于是()21m d -=.因为0d <，所以20m -<，故1m =，从而1d =-. 当1d =-时，2n a n =-，()32n n n S -=是小于2的整数，*n ∈Ν.于是对任意的正整数n ，总存在正整数()3222n n n m S -=-=-，使得2n m S m a =-=，所以{}n a 是“H 数列”，因此d 的值为1-.解法二：由{}n a 是首项为1的等差数列，则1(1)m a m d =+-，22n n n S n d -=+，又数列是“H 数列”，不妨取2n =时，存在满足条件的正整数m ，使得1(1)2m d d +-=+，即(2)1m d -=，（i ）当3m ≥时，此时0d >，不符合题意，应舍去； （ii ）当2m =时，不存在满足条件的d ；（iii ）当1m =时，1d =-. 此时数列{}n a 的通项公式为2n a n =-， 下面我们一起来验证{}n a 为“H 数列”:2n a n =-；232n n n S -=，此时2432n n m -+=，容易验证m 为正整数. （江苏苏州 何睦） 解法三：由题意设1(1)m a m d =+-；又等差数列{}n a 的前n 项和22n n nS n d -=+；由题意知对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，21(1)2n nm d n d -+-=+（*）；那么m 随着n 的变化而变化，可设满足函数关系式()m f n =.又0d <，那么要使（*）对任意自然数n 恒成立，则21()2m f n n Bn C ==++；代入得：221(1)(1)222d n n d Bnd d Cd n d ++-+=-+，即有1210d Bd d Cd ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩； 又当1n =时，1m n ==，即112B C ++=，由此可以解得3,22B C =-=,1d =-. 此时2n a n =-. （江苏苏州 王耀）解法四：,n m n N S a ∀∈=，所以1(2)n m S a n '-=≥，由题意得1n n S S -≤，所以m m a a '≤，即m m '≥. 对于任意的n ，存在,m m '使得n m m a a a '=-， 即1(1)1(1)[1(1)]n d m d m d '+-=+-=+-， 化简可得11n m m d'=--+.（*） 当1d <-时，此时1d不是整数，此时（*）式不满足； 当10d -<<时，此时11d ->，而0m m '-≥，所以113n m m d'=--+≥恒成立，不对n N ∀∈恒成立，所以1d =-. （江苏兴化 顾卫）解法五：由}{n a 是首项为1的等差数列，且数列}{n a 是“H 数列”，则2221S a a =+>，又0d <，所以22111S a a =+==，则20a =，从而211d a a =-=-，此时2n a n =-，21322n S n n =-+，由n m S a =得，2342n n m -+=为正整数，从而数列}{n a 是“H 数列”.（江苏常州 封中华） (3) 解法一（官方解答）：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()()()*11111()n a a n d na n d a n =+-=+--∈Ν. 令()()11,1n n b na c n d a ==--，则*()n n n a b c n =+∈Ν. 下证{}n b 是“H 数列”.设{}n b 的前n 项和为n T ，则()()*112n n n T a n +=∈Ν， 于是对任意的正整数n ，总存在正整数()12n n m +=，使得n m T b =，所以{}n b 是“H 数列”. 同理可证{}n c 也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得*()n n n a b c n =+∈Ν成立.解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列{}n b 中若111b d =-时, {}n b 是“H 数列”， 则1111(1)2n b b n d b b n =+-=-. 同理等差数列{}n c 中若121c d =时，{}n c 是“H 数列”，121(1)n c c n d c n =+-=. 任意的等差数列{}n a ，则可表示为n a An B =+. 令11b c A -+=，12b B =，此时12B b =，12B c A =+.所以对任意的等差数列{}n a ，总存在两个等差“H 数列”{}n b 和{}n c ， 使得*()n n n a b c n N =+∈成立.【考点】数列的概念 (A)、等差数列 (C)，探究能力及推理论证能力.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．【解析】本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力. 本小题满分10分.证明：因为,B C 是圆O 上的两点，所以OB OC =. 故OCB B ∠=∠.又因为,C D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故,B D ∠∠为同弧所对的两个圆心角， 所以B D ∠=∠. 因此OCB D ∠=∠.B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 【解析】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解：由已知，得1222212y x y xy --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦A α，1122214y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦B α. 因为=A αB α，所以22224y y xy y -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，故222,24,y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩ 解得1,24.x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以72x y +=.(第21—A 题)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程21,2)(2;x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解析】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解法一（官方解答）：将直线l 的参数方程21,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线方程24y x =， 得222(2)4(1)22+=-. 解得120,2t t ==-所以1282AB t t =-=解法二：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4x y y x +=⎧⎨=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，或97.x y =⎧⎨=-⎩，即交点,A B 分别为()1,2和()9,6-，所以22(19)(26)8 2.AB =-++= （江苏镇江 陈桂明） 解法三：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4,x y y x +=⎧⎨=⎩ 消去y 有21090x x -+=，则121210,9x x x x +==.所以2212121()411100368 2.AB k x x x x =++-+-=（江苏镇江 陈桂明）D ．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【解析】本小题主要考查算术－几何平均不等式,考查推理论证能力.本小题满分10分.证明：因为0,0x y >>，所以223130x y xy ++≥， 故222233(1)(1)339x y x y xy x y xy ++++≥.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．【解析】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力. 满分10分.解：(1) 取出的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以222432296315.3618C C C P C ++++=== (2) 随机变量X 的所有可能的取值为2,3,4.{}4X =表示的随机事件是取到的4个球是4个红球，故44491(4)126C P X C ===；{}3X =表示的随机事件是取到的4个球是3个红球和1个其它颜色的球，或3个黄球和1个其它颜色的球，故313145364913(3)63C C C C P X C +===；于是13111(2)1(3)(4)1.6312614P X P X P X ==-=-==--= 所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P111413631126因此随机变量X 的数学期望120()234.14631269E X =⨯+⨯+⨯=23. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ2()()444n n nf f -+=都成立．【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及应用数学归纳法的推理论证能力.(1) 解：由已知102sin cos sin ()()()x x x f x f x x x x''===-， 故21223cos sin sin 2cos 2sin ()()()x x x x x f x f x x x x x x '⎛⎫''==-=--+ ⎪⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，即122f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2) 证明一（官方解法）：由已知得：0()sin xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得：122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. (ⅰ) 当1n =时，由上可知等式成立；(ⅱ) 假设当n k =时等式成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x kf x k f x xf x --+'''+=++=++， (1)sin()cos()()sin 2222k k k k x x x x ππππ'+⎡⎤⎡⎤'+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以1(1)(1)()()sin 2k k k k f x xf x x π++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦.因此当1n k =+时，等式成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. 令4x π=，可得1()()sin()()44442n n n nf f x n πππππ*-+=+∈Ν.所以12)444n n nf f n πππ*-⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ν. 解法二：令=)(x g n *1),()(N n x xf x nf n n ∈+-所以x x xf x f x g cos )()()(101=+=，又)()()()1()()()()(111x g x xf x f n x f x x f x f n x g n n n n n n n++-=++='++'=' 故ΛΛ,sin )(,cos )(,sin )()(4312x x g x x g x x g x g -=-=-='= 所以)()(4x g x g n n =+，即22)4(=πn g ，命题得证.（江苏南通陆王华）。
2014江苏高考数学试卷及答案
2014年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）参考公式：圆柱的侧面积公式：d S =圆柱侧,其中c 是圆柱地面的周长，l 为母线长.. 圆柱的体积公式：V Sh =圆柱，其中S 是锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}A B =-．【考点】集合的运算2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 【答案】21【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． 【考点】复数的概念．3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解．220n>整数解为5n ≥， 因此输出的5n = 【考点】程序框图4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ .【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 【考点】古典概型．5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，（第3题）()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角． 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．【考点】频率分布直方图．7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==． 【考点】等比数列的通项公式．8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是 ▲ . 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222rh r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．【考点】圆柱的侧面积与体积．9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为▲ .【答案】5【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）230x y +-=的距离为d ==，所求弦长为l ==． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ .【答案】(2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得0m <<． 【考点】二次函数的性质．11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数) 过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .【答案】2-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,1,a b =-⎧⎨=-⎩所以2a b +=-．【考点】导数与切线斜率．12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅，则⋅的值是 ▲ .【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-， 即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．【考点】向量的线性运算与数量积．（第12题）13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .【答案】4【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =，222222()2cos 22a a b a b cC abab++-+-==22328a b ab +-=≥=，当且仅当2232a b =即a b =时等号成立，所以cos C的最小值为4． 【考点】正弦定理与余弦定理．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.【答案】（1）；（2） 解： sin α55,α∈），（ππ2 ∴cos α=2)55(1--=552- (1) sin）（απ+4=sin4πcos α+cos 4πsin α=1010-（2）cos）（απ2-65=)26cos(απ+-=—（cos 6πcos2α—sin 6πsin2α）=23-cos2α+21sin2α=23-)sin 21(2α-+21(2sin αcos α)=104-33- 【考点】同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC . 【解析】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE，又P A D ⊄平面，DE DEF ⊂平面，所以//PA DEF 平面．（2）由（1）//PA DE ，又P A A C ⊥，所以PE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以（第16题）P DCEFBADE ABC ⊥平面，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．【考点】线面平行与面面垂直．17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.【答案】（1）2212xy +=；（2）12．【解析】（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b，2BF a ===，又41(,)33C ，∴22241()()3312b+=，解得1b =．∴椭圆方程为2212x y +=． （2）直线2BF 方程为1x y c b +=，与椭圆方程22221x y a b+=联立方程组，解得A 点坐标为2322222(,)a c b a c a c -++，则C 点坐标为2322222(,)a c b a c a c++，133222232222F C b b a c k a c a c cc a c +==+++，又ABb kc =-，由1FC AB ⊥得323()12b b a c c c⋅-=-+，即42242b a c c =+， ∴222224()2a c a c c -=+，化简得12c e a ==． 【考点】（1）椭圆标准方程；（2）椭圆离心率．18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？ 【答案】（1）150m ；（2）10m ． 【解析】yx（1）如图，以,OC OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则(170,0)C ，(0,60)A ，由题意43BC k =-，直线BC 方程为4(170)3y x =--．又134AB BC k k =-=，故直线AB 方程为3604y x =+，由4(170)33604y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得80120x y =⎧⎨=⎩，即(80,120)B ，所以150BC ==()m ；（2）设OM t =，即(0,)M t (060)t ≤≤，由（1）直线BC 的一般方程为436800x y +-=，圆M 的半径为36805t r -=，由题意要求80,(60)80,r t r t -≥⎧⎨--≥⎩，由于060t ≤≤，因此36805t r -=6803313655t t -==-，∴313680,53136(60)80,5t t t t ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---≥⎪⎩∴1035t ≤≤，所以当10t =时，r 取得最大值130m ，此时圆面积最大．【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离．19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）13m ≤-；（3）当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e ea --=，当a e >时，11a e e a -->．【解析】（1）证明：函数()f x 定义域为R ，∵()()x x f x e e f x --=+=，∴()f x 是偶函数．（2）由()1xmf x e m -≤+-得(()1)1x m f x e --≤-，由于当0x >时，1x e >，因此()2xxf x e e -=+>，即()110f x ->>，所以11()11x x x x e e m f x e e -----≤=-+-211x x xe e e -=+-，令211x x xe y e e -=+-，设1xt e =-，则0t <，21(1)11t t t y t t-+==+-，∵0t <，∴12t t +≤-（1t =-时等号成立），即1213y≤--=-，103y -≤<，所以13m ≤-．(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论. （3）由题意，不等式3()(3)f x a x x <-+在[1,)+∞上有解，由3()(3)f x a x x <-+得330x x ax ax e e --++<，记3()3x x h x ax ax e e -=-++，2'()3(1)x x h x a x e e -=-+-，显然'(1)0h =，当1x >时，'()0h x >（因为0a >），故函数()h x 在[1,)+∞上增函数，()(1)h x h =最小，于是()0h x <在[1,)+∞上有解，等价于1(1)30h a a e e=-++<，即11()12a e e >+>．考察函数()(1)l n (1),(1g x e x x x =---≥，1'()1e g x x -=-，当1x e =-时，'()0g x =，当11x e <<-时，'()0g x >，当1x e >-时'()0g x <，即()g x 在[1,1]e -上是增函数，在(1,)e -+∞上是减函数，又(1)0g =，()0g e =，11()12e e+>，所以当11()2e x e e+<<时，()0g x >，即(1)ln 1e x x ->-，11e x x e -->，当x e >时，()0g x <，，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，因此当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e ea --=，当a e >时，11a e e a -->．【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.【答案】（1）证明见解析；（2）1d =-；（3）证明见解析．【解析】（1）首先112a S ==，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，所以对任意的*n N ∈，2n n S =是数列{}n a 中的1n +项，因此数列{}n a 是“H 数列”．（2）由题意1(1)n a n d =+-，(1)2n n n S n d -=+，数列{}n a 是“H 数列”，则存在*k N ∈，使(1)1(1)2n n n d k d -+=+-，1(1)12n n n k d --=++，由于(1)*2n n N -∈，又*k N ∈，则1n Z d-∈对一切正整数n 都成立，所以1d =-． （3）首先，若n d bn =（b 是常数），则数列{}n d 前n 项和为(1)2n n n S b -=是数列{}n d 中的第(1)2n n -项，因此{}n d 是“H 数列”，对任意的等差数列{}n a ，1(1)n a a n d =+-（d是公差），设1n b na =，1()(1)n c d a n =--，则n n n a b c =+，而数列{}n b ，{}n c 都是“H 数列”，证毕．【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．。
2014年江苏高考数学卷及答案
2014年江苏高考数学卷及答案2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则B A I2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{na 中,,12=a4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 为1V ，2V 的值是 ▲ .（第39. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx xx f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xb axy +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅，则⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x xx f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是▲ .14. 若△ABC 的内角满足CB A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α. B（第12(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且（第16题）PDCEF BA22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA上 并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位 于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向 170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO . (1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？（第18题）19.(本小题满分16分)已知函数xxx f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{na 的前n 项和为nS .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{na 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n nS 2=(∈n N *),证明: }{na 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{na 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{na ，总存在两个“H 数列”}{nb 和}{nc ，使得nn n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+= （2）=12=，=2==+=+（）=16. （1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA又∵DE ⊂平面PAC ，PA ⊄平面PAC ∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF ²=EF ²+DE ²=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ⋂ EF=E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17.（1）∵BF 2 = ，将点C （，）代入椭圆22221(0)x y a b a b+=>>， ∴221611(0)99a b a b+=>>，且c ²+b ²=a ²∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为2212x y +=（2）直线BA 方程为y=x+b,与椭圆22221(0)x y a b ab+=>>联立得x ²x=0. ∴点A （，），∴点C （，），F 1（）直线CF 1 斜率k= ，又∵F 1C ⊥AB ，∴·= ∴=1，∴e=18. （1）过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点F 。
2014江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)
2014年江苏省高考数学试卷标准答案一、填空题1已知集合A ＝｛－2，－1，，3，4｝，B ＝｛－1，2，3｝，则A ∩B ＝ 【解析】由题意得{1,3}A B =-I ．2．已知复数z ＝（5＋2i ）2 （i 为虚数单位），则z 的实部为【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是（图略）【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n>整数解为5n ≥，故输出的5n = 4．从1，，2，3，6这4个数字中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘机为6的概率是【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，故所求概率为2163P ==． 5．已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜л)，他们的图象有一个横坐标为л/3的交点，则φ的值是 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因0ϕπ≤<，故6πϕ=．6．莫种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有（）株树木的底部周长小于100cm【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．7．在各项均值为正数的等比数列｛a n ｝中，若a 2＝1，8642a a a =+，则624a a q ==的值是 【解析】设公比为q ，因21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，故4624a a q ==．8设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1V1．若它的侧面积比为21122294S r S r ππ==21122294S r S r ππ==，则 222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==的值为 【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，故1232r r =，则9．在平面直角坐标系中xOy中，直线x ＋2y －3＝0被圆22(2)(1)4x y -++=截得弦长为 【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为22512d ==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=．10已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得202m -<<． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+（a ，b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是 【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，故7442b a -=-②，由①②解得1,1a b =-⎧⎨=-⎩故b ＝－2，a ＋b ＝－3．12如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是 【解】由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD→－34AB →．∴AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22．13．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12．若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12．14．若三角形ABC 的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是【解析】由已知sin 2sin 2sin A B C +=及正弦定理可得22a b c +=，2222222()2cos 22a b a b a b cC abab++-+-==2232222622628a b ab ab ab ab +---=≥=，当且仅当2232a b =即23a b =时等号成立，故cos C 的最小值为624-． 二、解答题15．已知(,)2παπ∈，5sin 5α=． ⑴．求2252510sin()sin cos cos sin ()444252510πππααα+=+=⨯-+⨯=-的值； ⑵．求5553314334cos(2)cos cos 2sin sin 2()666252510πππααα+-=+=-⨯+⨯-=-的值． 【解析】⑴．由题意2525cos 1()5α=--=-， 故2252510sin()sincos cossin ()444πππααα+=+=⨯-+⨯=-． ⑵．由⑴得，4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=，故5553314334cos(2)cos cos 2sin sin 2()666525πππααα+-=+=-⨯+⨯-=-． 16如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F ，分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA AC ⊥，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5．求证：⑴．直线//PA DEF 平面； ⑵．平面BDE ⊥平面ABC【解析】⑴．由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA DEF ⊄平面，DE DEF ⊂平面，故//PA DEF 平面．⑵．由⑴．//PA DE ，又PA AC ⊥，故PE AC ⊥，又F 是AB 中点，故132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，故222DE EF DF +=，故DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，故DE ABC ⊥平面，又DE ⊂平面BDE ，故平面BDE ⊥平面ABC ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1F C ．⑴．若点C 的坐标为41(,)33C ，且22BF =，求椭圆的方程；⑵．若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 【解】⑴．由题意，2(,0)F c ，(0,)B b ，222||2BF b c a =+==，又41(,)33C ，故22241()()3312b +=，解得1b =．故椭圆方程为2212x y +=．⑵．直线2BF 方程为1x yc b +=，与椭圆方程22221x y a b +=联立方程组，解得A 点坐标为2322222(,)a c b a c a c -++，则C 点坐标为2322222(,)a c b a c a c++，133222232223F C b b a c k a c a c cc a c +==+++，又ABb k c=-，由1F C AB ⊥得，323()13b b a c c c ⋅-=-+，即42243b a c c =+，故222222()()3b c b c a c -+=，即224b c =，化简得5c e a ==． 18．如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=． ⑴．求新桥BC 的长．⑵．当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-6【解】⑴．【法一】如图所示，以O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知，(0,60)A ，(170,0)C ，直线BC 的斜率4tan 3BC k BCO =-∠=-．又AB BC ⊥，故直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(,)a b ，则43BC k =-，34AB k =，解得80a =，120b =，故150BC =．故新桥BC 的长是150 m ．【法二】过点B 作BE OC ⊥于点E ，过点A 作AD BE ⊥于点F ．因4tan 3BCO ∠=，设5BC x =，3CE x =，4BE x =，故1703OE x =-，1703AF x =-，60EF AO ==，460BF x =-，又AB BC ⊥，且2BAF ABF π∠+∠=，2CBE BOC π∠+∠=，故2ABF CBE π∠+∠=，故2CBE BAF π∠+∠=，故3460tan 41703BF x BAF AF x-∠===-，故30x =，5150BC x ==m ，故新桥BC 的长为150m ．【法三】如图所示，延长 OA ，BC 交于点F ．因 tan ∠FCO ＝43，故sin ∠FCO ＝45，cos ∠FCO ＝35．因OA ＝60，OC ＝170，故OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803，CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503，从而AF ＝OF －OA ＝5003．因OA ⊥OC ，故cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45．又AB ⊥BC ，故BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003，从而BC ＝CF－BF ＝150．故新桥BC 的长是150 m ．⑵．【法一】设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0．由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d5．因O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，故⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d 5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35．故当d ＝10时，r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，故当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 【法二】设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因OA ⊥OC ，故sin ∠CFO ＝cos ∠FCO ．故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35，故r ＝680－3d 5．因O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，故⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d 5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35．故当d ＝10时，r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，故当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 【法三】以OC 方向为x 轴，OA 为y 轴建立直角坐标系．设点(0,)M m ，点(0,60)A ，(80,120)B ，(170,0)C ，直线BC 方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，故半径68035m R -=，又古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，故80R AM -≥且80R OM -≥，故6803(60)805m m ---≥，6803805m m --≥，故1035m ≤≤，故68031305mR -=≤，此时圆面积最大．故当10OM =时圆形保护区面积最大．19．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．(1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)＜a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e－1的大小，并证明你的结论．(1)证明 因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e－(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令t ＝e x (x ＞0)，则t ＞1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t ＞1成立．因为t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3，所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．因此实数m 的取值范围是(－∞，－13]．(3)令函数g (x )＝e x ＋1e x －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x －1e x ＞0，x 2－1≥0，又a ＞0，故g ′(x )＞0．所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a ．由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e－x0－a (－x 30＋3x 0)＜0成立，当且仅当最小值g (1)＜0．故e ＋e －1－2a ＜0，即a ＞e ＋e －12．令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x ．令h ′(x )＝0，得x ＝e －1，当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )＜0，故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数．所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )＜h (1)＝0．当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )＜h (e)＝0．所以h (x )＜0对任意的x ∈(1，e)成立． ①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时，h (a )＜0，即a －1＜(e －1)ln a ，从而e a －1＜a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )＞h (e)＝0，即a －1＞(e －1)ln a ，故e a －1＞a e －1．综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1＜a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a－1＞a e －1．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．⑴．若数列{}n a 的前n 项和*2()n n S n N =∈，证明{}n a 是“H 数列”；⑵．设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； ⑶．证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ．使得n n n a b c =+，*n N ∈成立．【解析】⑴．首先112a S ==，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，故12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故对任意的*n N ∈，2n n S =是数列{}n a 中的1n +项，故数列{}n a 是“H 数列”．⑵．由题意1(1)n a n d =+-，(1)2n n n S n d -=+，数列{}n a 是“H 数列”，则存在*k N ∈，使(1)1(1)2n n n d k d -+=+-，1(1)12n n n k d --=++，由于*(1)2n n N -∈，又*k N ∈，则1n Zd-∈对一切正整数n 都成立，故1d =-．⑶．首先，若n d bn =（b 是常数），则数列{}n d 前n 项和为(1)2n n n S b -=是数列{}n d 中的第(1)2n n -项，故{}n d 是“H 数列”，对任意的等差数列{}n a ，1(1)n a a n d =+-（d 是公差），设1n b na =，1()(1)n c d a n =--，则n n n a b c =+，而数列{}n b ，{}n c 都是“H 数列”，证毕．。
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2014年高考信息卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.解析:(1)(43)34(43)z i i i i +-=+=-1z i ∴=-+z ∴的虚部为1.2.解析:依题意12345,,,,a a a a a 的均值为3a52311()85i i a a =∴-=∑,228d ∴=,2d ∴=± A B B =,则3.解析:,20,sin [1,1]x y >∈-,124,sin 3x y ∴==- 12,sin 3x y ∴==- 227cos()cos(2)12sin 1xy y y ∴==-=-=4.解析:依题意212221023M +++⋅⋅⋅+=1211023M +∴-=,9M ∴=5.解析:穷举可知田忌获胜的概率为166.解析:由图可知4()612T πππ=+=,2ω∴=,()2sin(2)f x x ϕ=+()2sin()2126f ππϕ-=-=-,sin(16πϕ∴-=- ||2πϕ<,3πϕ∴=-()2sin(23f x x π∴=-()f π∴=7.解析:1CM B N =,111112BCMN MC B N BCC B S S S ∴==111111113A BCMN A BCC B A BCB B ABC ABC V V V V S BB ----∆∴====⋅==. ,2AC AE ⋅=,则8.解析:在正五边形ABCDE 中,CA CE =,22AC AE AE ∴⋅= 2AB AE ∴==9.解析:类比可知点000(,,)P x y z 到平面2220(0)Ax By Cz D A B C +++=++≠的距离d =,代入数据可知点(2,1,1)P 到平面341240x y z +++=的距离2d =.10.解析:24()44a ab b a a b b ++=++≥==当且仅当()4a a b b +=时,取“=”. 11.解析:依题意12,l l 的方程为22220x y a b-= 联立222201x y a b x y c b⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y得222112(10x x a c c -+-=,即2222210b x x a c c +-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则21222a c x x b+=- 线段AB 中点横坐标为c -,212222a c x x c b∴+=-=- 22a b ∴=,故双曲线Γ12.解析:依题意可知OP 中点在圆C 内,设00(,)P x y ,则2200()(122x y +< 220043()()124x x -∴+<,024013x ∴<< 0x ∴的取值范围为24(0,13.13.解析:33(2)()1|2|1||f x f x x x -=+=+-+ ()f x ∴关于1x =对称易画出函数()f x 的草图由图可知()3f t =有3个不同的解,记为123,,t t t ,则123(1,0),1,(2,3)t t t ∈-=∈1()f x t =无解,2()f x t =有2个不同的解,3()f x t =有2个不同的解综上,[()]3f f x =有4个不同的解,即函数3)]([)(-=x f f x g 有4个零点.14.解析:由20140S =知,2121007100711k k a a k k a a -===∑∑1(*),01n n a a n N a +≤∈<<,2121007100711k k a a k k aa -==∴≥∑∑ 212,{1,2,,1007}k k a a k -∴=∈⋅⋅⋅0,1(*)a a a a n N =≤≤+∈∴当20141k a k a =∑取最小值时,20141006a =.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．15.解析:在ABC ∆中,由正弦定理可知sin sin b c B C = sin sin b C c B ∴=222sin sin cos sin cos b B C c B c B c B c ∴+=+=73c b ∴= 25c b c b -∴=+ (2)由(1)知73c b =,令3b k =,则7c k =tan 11A =11cos 14A ∴= 由正弦定理可知2222cos b c bc A a +-=,5a k ∴= 由正弦定理可知2221cos 22a b c C ab +-==- (0,)C π∈,23C π∴=.16.(1)连结11,A B BC ,则1//EF BC1BC ⊂平面11BB C C ,EF ⊄平面11BB C C//EF ∴平面11BB C C(2)在矩形11BCC B 中,1BC11tan()tan()2CBC B MB ∠=∠=11tan()tan()1CBC B MB ∴∠⋅∠=112CBC B MB π∴∠+∠=11BC B M ∴⊥1//EF BC1EF B M ∴⊥在正三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC ⊥平面11BB C C M 为BC 的中点AM BC ∴⊥平面ABC 平面11BB C C BC =AM ∴⊥平面11BB C C1BC ⊂平面11BB C C1AM BC ∴⊥1//EF BCEF AM ∴⊥又1AM B M M =EF ∴⊥平面1ABM17.解析:(1)300sin ,cos PA AQ θθ==300sin PQ PA AQ θ∴=-=(2)令()300sin f θθ=-则'()300cos f θθ=2'()tan (1tan )]f θθθθ∴=+3'()(tan tan f θθθθ∴=-+-2'()(tan 3)f θθθθθ∴=-+令'()0f θ=,则tan θ=结合问题条件分析知,当tan θ=,max ()f θ=综上,PQ 的最大值为)m .18.解析:(1)11'()1(0)e e x f x x x x---=-=> 当01x e <<-时,'()0f x >当1x e >-时,'()0f x <()f x ∴的单调递增区间为(0,1)e -,递增区间为(1,)e -+∞.(2)易知()(1)f e f a e ==-①(i)当1a e <≤时,min ()(1)f x f a e ==-②当a e >时,min ()()(1)ln f x f a e a ==-,1()(1)ln ,a e a e g a e a a e -<≤⎧∴=⎨->⎩(ii)易知()g a 在[1,)+∞上单调递增44()()(1)g a g a a a a∴=⇔=> 2a ∴=∴满足4()()g a g a=的实数a 的取值集合为{2}.19.解析:(1)依题意2222164112a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 222a b c =+2224,12a b ∴==∴椭圆Γ的方程为2212412x y +=. (2)(i)当直线,OP OQ 的斜率均存在时,不妨设直线1:OP y k x =,2:OQ y k x ==化简得222010010(8)280x k x y k y --+-= 同理222020020(8)280x k x y k y --+-=12,k k ∴是方程2220000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根 20122088y k k x -∴=- 220012412x y +=,22001122y x ∴=- 201220141282x k k x -∴==-- 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212y y x x ⋅=-,2222121214y y x x ∴= 221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩ 22221212111(12)(12)224x x x x ∴--= 221224x x ∴+=221212y y ∴+=2236OP OQ ∴+=(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ += 综上:2236OP OQ +=(定值)20.解析:(1)令1,2m n ==,则323S a =,323S a ∴= (2)分别令1m =,则11(1)(1)()n n n S n S S +-=+-211(2)()n n nS n S S ++∴=+-21111(1)(2)()(1)()n n n n nS n S n S S n S S +++∴--=+--+- 211(1)n n na n a S ++∴=+-321(1)(2)n n n a n a S ++∴+=+-3221(1)(2)(1)n n n n n a na n a n a ++++∴+-=+-+3221n n n n a a a a ++++∴-=-又322S a =2132a a a a ∴-=-211n n n n a a a a +++∴-=-∴数列{}n a 为等差数列(3)12a a ≠,∴数列{}n a 的公差不为零,,,p q r s a a a a 成等比数列,qs r p q ra a a a a a ∴==11 记公比为x ,则1x ≠,且q p r q s r x x x ---== 0q p r q s r ∴-=-=-≠,,q p r q s r ∴---成等比数列,且公比为1.。