八年级数学全等三角形4
人教版数学八年级上册第四课时 三角形全等的判定(HL)课件
第十二章 全等三角形
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能力提升
7 ． 在 Rt△ABC 中 ， ∠ACB ＝ 90° ， E 是 AB 上 一 点 ， 且 BE ＝ BC ， 过 点 E 作
DE⊥AB交AC于点D，如果AC＝5 cm，则AD＋DE等于
(C)
A．3 cm
B．4 cm
△ACD(AAS)，∴AE＝AD．在 Rt△ADO 和 Rt△AEO 中，AAOD＝ ＝AAEO，，∴Rt△ADO ≌Rt△AEO(HL)，∴∠DAO＝∠EAO，即 AO 恰好平分∠BAC．
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思维训练
13．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过点B、C向过点A 的直线作垂线，垂足分别为点E、F.
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9．如图，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E.若∠B＝40°，则∠EAC＝ ________. 25°
第十二章 全等三角形
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10．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.若∠ABC＝35°， 求∠CAO的度数．
第十二章 全等三角形
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5．如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD．求证：∠ABE＝
∠BAE.
证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB 和△BDA 是直角三角形．在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，AABC＝ ＝BBAD，， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，∴∠ABE＝∠BAE.
八年级第5讲 全等三角形的判定四(全等的综合)
第5讲 全等三角形的判定四（全等的综合）【课前热身】1、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，则下列结论中，错误的是（ ） A ．PD ＝PEB ．OD ＝OEC ．∠DPO ＝∠EPOD ．PD ＝OD2、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为（ ） A ．40 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm3、如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠C ＝70°，求∠DAC 和∠BOA 的度数4、（本题10分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE ＝21BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD ＝DF【本讲说明】本讲重难点：全等三角形的综合，手拉手模型与半角模型这讲内容，是全等三角形这章的大综合，全等是中考常考知识点并且是几何的基础，奠定了后续所有几何的学习。
综合的难度提高，是对前面的简单复习，更是提高，其中，我们已经学习了三垂直模型，四大金刚模型，今天我们继续学习手拉手模型和半角模型。
这些模型是初二全等几何非常重要的模型，其证明过程巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。
【课程引入】提问式引入（顾及班上所有学生）老师：同学们，全等三角形这一章已经全部学完了，大家还记得这一章都学了哪些知识点呢？生：SSS，SAS，ASA， AAS，HL，四大金刚模型，三垂直模型……(学生七嘴八舌)师：很好，大家都说出了自己心里印象最深的一节，那我们一起回顾下本章内容。
这一章我们主要学习了全等三角形的概念，是什么？生：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
师：全等三角形有哪些性质？生：全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应中线、角平分线、高线分别相等。
八年级上册数学第十二章 全等三角形 检测题 (4)(含答案解析)
八年级上册数学第十二章 全等三角形 检测题 (4)一、单选题1．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BECD 相交于点O ，AE ＝AD ，要使△ABE ≌△ACD 需要添加一个条件是（ ）A ．AB ＝ACB ．∠A ＝∠OC ．OB ＝OCD ．BE ＝CD 2．如图，平分，点为上一点，交于点．若，则的度数为（ ）A ．25°B ．70°C ．35°D ．17.5°3．如图，在△ABC 中，AB 边上的中垂线DE 分别交AB 、BC 于点E 、D ，连接AD ，若△ADC 的周长为7cm ，AC=2cm ，则BC 的长为（）cm ．A ．4B ．5C ．3D ．以上答案都不对4．如图，已知将ABE 沿AD 所在直线翻折，点B 恰好与BE 上的点C 重合，对折边AE ，折痕也经过点C ，则下列说法正确的是（ ）①90ADC ∠=；②AB AC CE ==；③AB BD DE +=；④::ACD ACE S S CD CE =；⑤若30E ∠=，则ABC 是等边三角形．A ．只有①②正确B ．①②③C ．①②③④D ．①②③④⑤5．已知图7中的两个三角形全等，则∠α的度数为( )A ．105°B ．75°C ．60°D ．45°6．下列说法错误的是（ ）A ．能完全重合的两个三角形是全等三角形B ．全等三角形的对应角相等C ．面积相等的两个三角形一定是全等三角形D ．全等三角形的对应边相等7．下列命题：①一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等；②腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等；③腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等；④腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；⑤两个等边三角形全等.其中正确的命题的个数有（ ）.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ）.A ．BD =DC ，AB =ACB ．∠ADB =∠ADC ，BD =DC C ．∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD D ．∠B =∠C ，BD =DC9．如图，是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个10．若ABC ∆≌DEF ∆，则根据图中提供的信息，可得出x 的值为（ ）A ．30B ．27C ．35D ．4011．如图，BD 平分∠ABC ，S △ABC ＝8，AB ＝4，E 为BC 上一动点，在BD 上找一点F ，使EF+FC 的值最小，则这个最小值为( )A ．4B ．3C ．5D ．612．如图，AC=BC ，DC=EC ，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB=（ ）A ．52°B ．90°C ．128°D ．38°二、填空题13．如图，已知AB//CF ，E 为DF 的中点，若AB ＝8 cm ，BD ＝3 cm ，则CF ＝_______cm ．14．如图，在ABC 中，AB BC ＜，BP 平分ABC ∠，AP BP ⊥于P 点，连接PC ，若ABC 的面积为4，则BPC △的面积为____．15．如图，BA ⊥AC ，CD ∥AB ．BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2，CD ＝6，则AE ＝_______．16．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④CO 平分∠AOE ；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有__．（把你认为正确的序号都填上）17．如图，AB AD =，AC AE =，要使ABC ADE △≌△，需添加一个条件是____________（只要写一个条件）．18．在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，PR ＝PS ，AQ ＝PQ ，则下面三个结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ．其中正确的是_____．三、解答题19．如图，AB ∥DC ，AD ∥BC ，E 为BC 延长线上一点，连结AE 与CD 相交于点F ，若∠CFE =∠E ． 试说明AE 平分∠BAD ．20．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC ，OB=OD ．求证：△AOB≌△COD ．21．（1）如图1，已知锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连结BE 、CD ，则线段BE 与线段CD 的数量关系是______．（2）如图2，已知锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向△ABC 外作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE ，连结BE 、CD ，猜想线段BE 与线段CD 的有什么位置关系？并证明你的猜想． （3）如图3，已知锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向△ABC 外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE 、BG ，请写出线段CE 与线段BG 有什么关系？不需证明．图1 图2 图322．如图：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。
八年级数学人教版(上册)第4课时用“HL”判定直角三角形全等
BD＝AC， AB＝BA， ∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). ∴DA＝CB．
3.如图，点 C，E，B，F 在同一条直线上，AB⊥CF 于点 B， DE⊥CF 于点 E，AC＝DF，AB＝DE.求证：AC∥DF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AC＝DF， AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∴∠C＝∠F. ∴AC∥DF.
知识点 2 选择适当的方法判定两个直角三角形全等 4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( C ) A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
∴∠APE＝∠BPF. ∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠BPF＋∠BPE＝∠EPF＝90°. ∴PA⊥PB．
(2)若点 A 的坐标为(8，0)，则点 B 的坐标为 (0，－4) . (3)OA－OB 的值为 4 .
(4)如图 2，当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，求 OA＋OB 的值. 解：过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PF⊥y 轴于点 F， 同(1)可得，Rt△APE≌Rt△BPF， ∴AE＝BF. ∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OF－OB＝2－OB， ∴OA－2＝2－OB． ∴OA＋OB＝4.
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴∠BCD－∠ACF＝∠EDC－∠ADF， 即∠BCA＝∠EDA．
BC＝ED， 在△ABC 和△AED 中，∠BCA＝∠EDA，
AC＝AD，
1-4 全等三角形概念及性质 讲义 2021-2022学年浙教版八年级数学上册
1.4全等三角形概念及性质知识点梳理1、全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．2、全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．题型梳理题型一全等图形辨析及性质1．下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等②全等三角形的对应边相等、对应角相等③面积相等的两个三角形全等④全等三角形的周长相等其中正确的说法为（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④2．小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．43．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积相等D．所有等边三角形是全等三角形4．下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．两个等边三角形是全等图形C．两个全等图形的面积一定相等D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形5．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④6．下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．7．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是．8．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′（1）其中，符合要求的条件是．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．题型二全等三角形对应角相等1．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°2．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′＝30°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）5．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°7．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．40°C．70°D．90°8．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（）9．已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．50°B．58°C．60°D．72°10．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝．11．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为．12．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝度．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝度．14．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝度．15．如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN＝．16．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为．18．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为．19．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．20．如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数．题型三全等三角形对应边相等1．如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．52．已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，△DEF 的三边长分别为3，3x ﹣2，2x +1，若这两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．2B ．2或73C ．73或32D ．2或73或323．如图，△ABC ≌△DEF ，BC ＝7，EC ＝4，则CF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．74．如图，已知△ABC ≌△ADE ，若AB ＝7，AC ＝3，则BE 的值为 ．5．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y ＝ ．6．已知△ABC 三边长分别为3，5，7，△DEF 三边长分别为3，3x ﹣2，2x ﹣1，若这两个三角形全等，则x 为 ．7．一个三角形的三边为3、5、x ，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝．8．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．题型五全等三角形性质综合运用1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE2．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）①AC＝AF，②∠F AB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，A．①②B．①③④C．①②③④D．①③4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E 为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 6．如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（）A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E7．如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED ＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF的度数．8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，（1）求DE的长．（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？10．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．答案与解析题型一全等图形辨析及性质1．下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等②全等三角形的对应边相等、对应角相等③面积相等的两个三角形全等④全等三角形的周长相等其中正确的说法为（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④【分析】根据全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形可得答案．【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，说法正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确；③面积相等的两个三角形全等，说法错误；④全等三角形的周长相等，说法正确；故选：D．2．小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用全等三角形的性质分别分析得出答案．【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；③面积相等的两个三角形是全等图形，错误；④全等三角形的周长相等，正确．故选：C．3．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积相等D．所有等边三角形是全等三角形【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．做题时严格按定义逐个验证．全等形的面积和周长相等．【解答】解：A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，则C正确．D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．故选：C．4．下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．两个等边三角形是全等图形C．两个全等图形的面积一定相等D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．故选：C．5．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④【分析】根据全等形和全等三角形的概念知进行做题，对选项逐一进行验证，符合性质的是正确的，与性质、定义相矛盾的是错误的．【解答】解：由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的．故选：D．6．下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】解：A、两个图形能够完全重合，故本选项正确．B、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；故选：A．7．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是乙、丙．【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．【解答】解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得，乙丙正确．故答案为：乙、丙．8．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′（1）其中，符合要求的条件是 ①②④ ．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形A ′B ′C ′D ′．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）连接AC 、A ′C ′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）符合要求的条件是①②④，故答案为：①②④；（2）选④，证明：连接AC 、A ′C ′，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，{AB =A′B′∠B =∠B′BC =B′C′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SAS ），∴AC ＝A ′C ′，∠ACB ＝∠A ′C ′B ′，∵∠BCD ＝∠B ′C ′D ′，∴∠BCD ﹣∠ACB ＝∠B ′C ′D ′﹣∠A ′C ′B ′，∴∠ACD ＝∠A ′C ′D ′，在△ACD 和△A ′C ′D 中，{AC =A′C′∠ACD =∠A′C′D′CD =C′D′，∴△ACD ≌△A ′C ′D ′（SAS ），∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，即∠BAD＝∠B′A′D′，∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．题型二全等三角形对应角相等1．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°【分析】根据三角形内角和定理求得∠2＝58°；然后由全等三角形是性质得到∠1＝∠2＝58°．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．∵图中的两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故选：D．2．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【分析】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项．【解答】解：∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE＝∠B，故选：A．3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′＝30°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠A′CB′，根据角的和差计算得到答案．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，即∠BCB′＝∠ACA′，又∠ACA′＝30°，∴∠BCB′＝30°，故选：B．4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，＝70°﹣35°，＝35°．故选：B．5．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO ＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+12（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．故选：B．6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB＝∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′＝∠B′CB，又∠B′CB＝30°∴∠ACA′＝30°．故选：B．7．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．40°C．70°D．90°【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠BCB′＝∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．故选：C．8．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．85°【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝40°，∠C＝75°，∴∠B＝∠D＝40°，∠E＝∠C＝75°，∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝65°，故选：A．9．已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．50°B．58°C．60°D．72°【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴α＝50°．故选：A．10．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，故答案为：120°．11．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为70°．【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠EAC＝40°，∴∠BAD＝40°，∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB=12（180°﹣∠BAD）＝70°，故答案为：70°．12．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝120度．【分析】结合已知运用两三角形全等及一个角的外角等于另外两个内角的和，就可以得到∠CAE，然后又可以得到∠AEB．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠D＝∠C＝25°，∴∠CAE＝∠O+∠D＝95°，∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝25°+95°＝120°．故填12013．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝30度．【分析】因为三个三角形为全等三角形，则对应边相等，从而得到∠C＝∠CBD＝∠DBA，再利用这三角之和为90°，求得∠C的度数．【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠ADB＝∠EDB＝∠EDC，∠DEC＝∠DEB∠＝A，又∵∠ADB+∠EDB+∠EDC＝180°，∠DEB+∠DEC＝180°∴∠EDC＝60°，∠DEC＝90°，在△DEC中，∠EDC＝60°，∠DEC＝90°∴∠C＝30°．故答案为：30．14．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝95度．【分析】运用全等求出∠D＝∠C，再用三角形内角和即可求．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD＝∠OBC；在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；∴∠OAD＝∠OBC＝95°．故答案为：95．15．如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN＝1：4．【分析】根据三角形内角和定理分别求出∠A、∠ABC、∠ACB，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，∵△MNC≌△ABC，∴∠N＝∠ABC＝50°，∠M＝∠A＝30°，∴∠MCA＝∠M+∠N＝80°，∴∠BCM＝20°，∠BCN＝80°，∴∠BCM：∠BCN＝1：4，故答案为：1：4．16．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于58度．【分析】利用三角形的内角和等于180°求出边b所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等解答．【解答】解：如图，∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故答案为：58．17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为25°．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根据AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度数，从而可以得到∠BAC的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝130°，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．18．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为100°．【分析】根据全等三角形的对应角相等求出∠D，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B＝40°，∴∠BED＝∠A+∠D＝60°+40°＝100°，故答案为：100°．19．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC=12（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．20．如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数．【分析】利用全等三角形的性质可得AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，然后分别计算出∠ACD 和∠ADC的度数，进而可得答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，∴∠A＝∠ADC，∵∠A＝75°，∴∠ADC＝75°，∴∠ACD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠ACB ＝30°， ∵AB ∥CE ，∴∠DCE ＝∠ADC ＝75°， ∴∠ACB ＝75°，∴∠DCB ＝75°﹣30°＝45°． 题型三 全等三角形对应边相等1．如图：若△ABE ≌△ACF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．5【分析】根据全等三角形性质求出AC ，即可求出答案． 【解答】解：∵△ABE ≌△ACF ，AB ＝5， ∴AC ＝AB ＝5， ∵AE ＝2，∴EC ＝AC ﹣AE ＝5﹣2＝3， 故选：C ．2．已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，△DEF 的三边长分别为3，3x ﹣2，2x +1，若这两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．2B ．2或73C ．73或32D ．2或73或32【分析】首先根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，∴3+4+5＝3+3x﹣2+2x+1，解得：x＝2，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（）A．2B．3C．5D．7【分析】利用全等三角形的性质可得EF＝BC＝7，再解即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝7，∵EC＝4，∴CF＝3，故选：B．4．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为4．【分析】根据△ABC≌△ADE，得到AE＝AC，由AB＝7，AC＝3，根据BE＝AB﹣AE即可解答．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵AB＝7，AC＝3，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝7﹣3＝4．故答案为：4．5．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝11．【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．【解答】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5∴x+y＝11．故答案为：11．6．已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为3．【分析】直接利用全等三角形的性质周长相等，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，这两个三角形全等，∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，解得：x＝3．故答案为：3．7．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝1．【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴x＝6，y＝5，∴x﹣y＝6﹣5＝1，故答案为：1．8．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．【分析】直接利用全等三角形的性质得出AC＝AD，进而得出答案．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，∴AC＝AD＝12，AE＝AF＝5，∴DF＝12﹣5＝7．题型五全等三角形性质综合运用1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．2．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）①AC＝AF，②∠F AB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，A．①②B．①③④C．①②③④D．①③【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，再利用等式的性质可得∠EAB＝∠F AC．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，∴∠EAB＝∠F AC，正确的是①③④，故选：B．4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；故选：C．5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E 为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BE＝CD，B成立，不符合题意；∠ADB＝∠AEC，∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意；∠BAD＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意；AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，故选：A．6．如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（）A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E【分析】因为AB∥ED，所以∠B＝∠D，又因为CD＝BF，则添加AB＝DE后可根据SAS 判定△ABC≌△DEF．【解答】解：∵AB∥ED，∵∠B＝∠D，∵CD＝BF，CF＝FC，∴BC＝DF．在△ABC和△DEF中BC＝DF，∠B＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF．故选：C．7．如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED ＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF的度数30°．【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝25°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝25°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．【解答】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣105°＝25°．又∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD＝∠CAB＝25°．又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝5°，∴∠EAB＝25°+5°+25°＝55°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣55°﹣50°＝75°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝105°﹣75°＝30°．故答案为：30°8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为3；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，即可求出答案；（2）①根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，即可得出答案；②根据三角形外角性质求出∠AEF，根据三角形外角性质求出∠AFD即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，故答案为：3；（2）①∵△ABC≌△DEB∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°；②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°．9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，（1）求DE的长．（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？【分析】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD＝BC＝6cm，BE＝AB＝3cm，然后根据DE＝BD﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC＝180°，所以∠ABD＝∠EBC＝90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD＝BC＝6cm，BE＝AB＝3cm，∴DE＝BD﹣BE＝3cm；（2）DB⊥AC．理由如下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC＝180°，∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴DB⊥AC．10．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，∴AE＝AB﹣BE＝6；（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．。
2022年秋八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 第4课时 直角三角形全
易错点：将“HL”与“AAS”混淆．
自我诊断 3. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂 足分别为 E、F，∠B＝∠C，则△BDE 与△CDF 全等的依据是( C )
A．HL C．AAS
B．SAS D．SSS
1．如图，可直接用“HL”判断 Rt△ABC 和 Rt△DEF 全等的条件是( C )
12．如图①，E、F 分别为线段 BC 上两个动点，AB＝CD，AE⊥BC 于点 E， DF⊥BC 于点 F，CE＝BF，AD 交 EF 于点 O. (1)猜想 O 是哪些线段的中点，选择一个结论给出证明； (2)当 E、F 两点移动至如图②所示的位置时，其余条件不变，(1)中的猜想 是否成立？直接写出结论，不需证明．
2018秋季
数学 八年级 上册•R
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定 第4课时 直角三角形全等的判定
用“HL”证明三角形全等 斜边 和 一直角边 对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、 直角边”或“HL”)． 自我诊断 1. 如图所示，BD、CE 是△ABC 的高，且 BD＝CE，则可以判定 Rt△BCD≌Rt△CBE 的依据是 HL .
A．AC＝DF，BC＝EF
B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE
D．∠B＝∠E，BC＝EF
2．如图所示，已知 AB＝CD，AE⊥CD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，AE＝CF，
则图中全等三角形有( C )
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
3．如图所示，AB⊥BC 于 B，AD⊥CD 于 D，若 CB＝CD，且∠BAC＝35°， 则∠BAD＝ 70° . 4．如图，AD⊥BC 于点 D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”来判定，还 需要加条件 AB＝AC ，若加条件∠B＝∠C，则可用 AAS 判定．
第04讲 全等三角形2021-2022学年八年级数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教版)解析版
第04讲全等三角形考点定位精讲讲练一全等图形概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.全等图形特征：①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。
二全等三角形1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角；2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.记作: ∆ABC ≌∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’对应元素的规律:(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；考点一：全等图形的概念理解典例1．（2019·阜宁县期中）全等图形是指两个图形（）A．能够重合B．形状相同C．大小相同D．相等【答案】A【详解】解：根据全等图形的定义：能够重合的两个图形叫做全等图形，故选：A．变式1-1．（2018·无为县期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等形B．两个长方形是全等图形C．两个全等图形形状一定相同D．两个正方形一定是全等图形【答案】C【详解】A、面积相等，但图形不一定完全重合，故错误，B、两个长方形，图形不一定完全重合，故错误；C、全等图形因为完全重合，所以形状一定相同，故正确，D、两个正方形，面积不相等，也不是全等图形，故答案选C.变式1-2．（2018·福州市期中）下列选项中表示两个全等图形的是（）A．形状相同的两个图形 B．能够完全重合的两个图形C．面积相等的两个图形 D．周长相等的两个图形【答案】B【详解】A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；B、能够完全重合的两个图形，一定是全等图形，故此选项正确；C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；D、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；故选：B．考点二：全等图形的识别典例2．（2020·唐山市期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是A．B．C．D．【答案】D【详解】A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．故选D．变式2-1．（2019·九江市期中）下列图形是全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B试题解析：A、两个图形相似，错误；B、两个图形全等，正确；C、两个图形相似，错误；D、两个图形不全等，错误；故选B.变式2-2．（2018·山亭区期末）下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是( )A．③和④B．②和③C．②和④D．①②④【答案】D【详解】①、②和④都可通过平移或旋转完全重合．故选D．考点三：将已知图形分割为几个全等图形典例3．（2019·石家庄市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选：B．变式3-1．（2020·台州市期末）如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）．【详解】解：如图所示：．考点四：全等三角形的概念典例4．（2018·无棣县期中）下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．周长相等的三角形是全等三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】A【解析】根据全等三角形的定义，能够完全重合的三角形是全等三角形，故选A变式4-1．（2020·普洱市期中）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等腰三角形都全等【答案】C【详解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确，本选项符合题意；D、所有的等腰三角形都全等，说法错误，本选项不符合题意．故选：C．变式4-2．（2019·赣州市期中）下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（）.A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】D【解析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．解答：解：①全等三角形的对应边相等，正确；②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形．故该选项错误；④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故正确；故正确的是①④．故选D．变式4-3．（2020·安顺市期末）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.考点五：全等三角形的性质典例5．（2020·沧州市期中）如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（）A．30 B．45 C．50 D．85【答案】A【详解】解：∠A＝180°﹣105°﹣45°＝30°，∵两个三角形是全等三角形，∴∠D＝∠A＝30°，即x＝30，故选：A．变式5-1．（2020·泰安市期中）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】试题分析：根据三角形全等可以得出BD=AC=7，则DE=BD-BE=7-5=2.变式5-2．（2019呼伦贝尔市期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（）A．45°B．30 °C．15°D．60°【答案】C【详解】解：∵ABCD是长方形，∴∠BAD=90°，∵∠BAF=60°，∴∠DAF=30°，∵长方形ABCD沿AE折叠，∴△ADE≌△AFE，∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF=15°．故选C．变式5-3．（2019·株洲市期中）若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A．5 B．8 C．7 D．5或8【答案】C【详解】∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，∴AC＝20−5−8＝7，∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝7，故选：C．变式5-4．（2020·揭阳市期末）如图，已知△ABC≌△CDE，下列结论中不正确的是( )A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D【答案】C【详解】解：由全等三角形的性质可知A、B、D均正确，而∠ACB＝∠CED，故C错误.故选择C.变式5-5．（2020·绵竹市期中）如图，△ABC与△DEF是全等三角形，则图中的相等线段有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF.故共有四组相等线段.故选D.变式5-6．（2019·济宁市期中）如图，△ABO≌△DCO，∠D=80°，∠DOC=70°，则∠B=( )．A．35°B．30°C．25°D．20°【答案】B【详解】因为△ABO≌△DCO，∠D=80°，所以∠D=∠A=80°，由于∠DOC=70°，∠DOC是∠AOB的对顶角，所以∠DOC=∠AOB =70°，由于三角形内角和为180°.则∠B=180°-∠AOB-∠A=30°.故选择B项.一、单选题1．（2020·东平县期末）下列说法正确的是A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．两个等边三角形是全等三角形D．全等三角形是指两个能完全重合的三角形【答案】D【详解】A、全等三角形是指形状相同、大小相等的两个三角形,故本选项错误;B、全等三角形的面积相等,但是面积相等的两个三角形不一定全等,故本选项错误;C、边长相等的两个等边三角形是全等三角形,故本选项错误;D、全等三角形是指两个能完全重合的三角形,故本选项正确.故选D.2．（2018·徐州市期末）下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积相等D．所有等边三角形是全等三角形【答案】C【详解】A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，正确．D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．故选：C．3．（2019·莎车县期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．45°C．35°D．25°【答案】B试题解析：∵∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD=∠BAC=80°，∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=80°-35°=45°，故选B．4．（2020·晋城市期末）如图，沿边BC所在直线向右平移得到，则下列结论错误的是（）A．B．AC＝DF C．BE＝CF D．EC＝FC【答案】D【详解】A、△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确；B、因为△ABC≌△DEF，所以AC＝DF成立，故正确；C、因为△ABC≌△DEF，则BC＝EF，BC－EC＝EF－EC，即：BE＝CF，故正确；D、EC＝CF不能成立，故错误．故选：D．5．（2019·安平县期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°【答案】A【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠α的度数是72°．故选：A．6．（2019·无锡市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°【答案】D【详解】左边三角形中b所对的角=180°-50°-72°=58°，∵相等的边所对的角是对应角，全等三角形对应角相等∴∠1=58°故选D.7．（2020·平川区期末）如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( )A．∠1＝∠2 B．CA＝AC C．∠D＝∠B D．AC＝BC【答案】D【解析】解：∵△ABC≌△CDA，AB=CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角，∴∠1=∠2，∠D=∠B，∴AC和CA是对应边，而不是BC，∴A、B、C正确，D、AC=B C错误．故选D．8．（2020·海淀区期中）如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，点B，C，D 在同一条直线上，则图中∠B的度数是( )A．38°B．48°C．62°D．70°【答案】D【详解】∵△ABC≌△ECD，∠A=48°，∠D=62°，∴∠ACB=∠D=62°，∴∠B=180°－∠ACB－∠A=180°－62°－48°=70°．故选D．9．（2020·长春市期末）如图，≌，，，则的长为（）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】B【详解】解：≌，．,故选B．10．（2019·常州市期中）如图，已知△ABC≌△ABD，若，则CAD的度数是（）A．115°B．110°C．105°D．100°【答案】B【详解】∵△ABC≌△ABD，且∠BAC=55°，∴∠BAC=∠BAD=55°，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=110°，故选B.11．（2019·上饶市期中）一个三角形的三边长分别为2，5，x，另一个三角形的三边长分别为y，2，6，若这两个三角形全等，则x+y=（）A．11 B．7 C．8 D．13【答案】A【详解】已知这两个三角形全等，则三组对应边应分别为2、5、6，所以x＝6，y＝5，则x＋y＝6＋5＝11，故本题正确答案为A.12．（2020·西青区期末）如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100 cm，A，B分别与D，E 对应，AB＝30 cm，DF＝25 cm，则BC的长为( )A．45 cm B．55 cm C．30 cm D．25 cm【答案】A【详解】解：∵△ABC≌△DEF，A，B分别与D，E对应，∴AC=DF=25cm，又△ABC的周长是100cm，AB=30cm，∴BC=100-AB-AC=100-30-25=45cm，∴BC的长等于45cm．故选：A．二、填空题13．（2020·梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【答案】②③【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合故答案为：②③．14．（2020·昆明市期末）一个三角形的三边为3、5、，另一个三角形的三边为、3、6，若这两个三角形全等，则__________．【答案】1【详解】解：∵两个三角形全等，∴x=6，y=5，∴x-y=6-5=1，故答案为：1．15．（2020·临汾市期末）如图，，如果，那么的长是______．【答案】，【详解】ABC ADE，，，故答案为：．16．（2020·丹东市期末）已知，，的面积是，那么中边上的高是______________．【答案】8【详解】解：ABC的面积是16cm2，，即h=8则ΔDEF中EF边上的高是8cm,故答案为：8.17．（2019·赣州市期中）已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3、5、7，另一个三角形三边的长分别为3、3a﹣2b、a+2b，则a+b＝_____．【答案】5或4【详解】解：∵两个三角形全等，∴3a﹣2b＝5，a+2b＝7或3a﹣2b＝7，a+2b＝5，∴a＝3，b＝2或a＝3，b＝1，∴a+b＝5或4，故答案为：5或4．三、解答题18．（2019·济宁市期中）如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC各内角的度数．【答案】∠E＝30°，∠ACE＝85°，∠EAC=65°．【详解】解：∵△ABC≌△AEC，∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠ACE＝85°，∴∠EAC＝65°．19．（2020·普洱市期中）如图，已知△≌△NMH，∠F与∠M是对应角．若EF=2.1 cm，FH=1.1 cm，HM=3.3 cm，求MN和HG的长度．【答案】，【详解】∵△≌△NMH，∠F与∠M是对应角，EF=2.1 cm， HM=3.3 cm∴∵FH=1.1 cm∴20．（2020·长春市期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上. （1）若BE⊥AD，∠F=62°，求∠A的大小.（2）若AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.【答案】（1）∠A=28°；（2）AB =2 cm．【详解】（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD=90°．∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA=∠EBD=90°．∴∠F+∠A=90°∵∠F =62°，∴∠A=28°．（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA=BD．∴CA-CB=BD-CB．即AB=CD．∵AD=9 cm, BC=5 cm，∴AB+CD=9-5=4 cm．∴AB=CD=2 cm．21．（2019·丽水市期中）如图，△ABC≌△DEF，∠A=33°，∠E=57°，CE=5cm．（1）求线段BF的长；（2）试判断DF与BE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)5cm;(2)见解析.【详解】≌，，，即；≌，，，，，，．。
人教版数学八年级上册第12章课时4 三角形全等的判定方法-HL(18页)
B
D
C
课堂小结
内容
“斜边、
直角边”
前
提
条
件
使用方法
斜边和一条直角边对应相
等的两个直角三角形全等.
在直角三角形中
只须找除直角外的两个条件即
可（两个条件中至少有一个条
件是一对对应边相等）
BE＝CF.求证：AE＝DF.
证明：∵BE＝CF
∴BE＋EF＝CF＋EF
即BF＝CE
∵AE⊥BC，DF⊥BC
∴∠AEC＝∠DFB＝90°
在Rt△AEC和Rt△DFB中，
∴Rt△AEC ≌ Rt△DFB (HL)
=
=
∴AE＝DF
当堂检测
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ D ）
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL)
先斜边，
后直角边
典例分析
例1
如图2，AC⊥BD，DE交AC于点E，AB＝DE，AC＝DC.
求证：△ABC≌△DEC.
证明：∵AC⊥BD
∴∠ACB＝∠DCE＝90°
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
=
=
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEC (HL)
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，
AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH的长为
（ A ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
苏科版数学八年级上册数学期末几何专题复习——三角形综合(全等与勾股定理)(四)
八年级上册数学期末几何专题复习——三角形综合（全等与勾股定理）（四）1．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE＝∠CBF；（2）证明：AE＝BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC 和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC＝S△ABG，求∠ACB的取值范围．2．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．4．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠BAD＝90°，BD、AC交于点F，且AF＝AD，作DE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBF＝∠ABF；（2）若AB﹣BC＝4，AC＝8，求BC的长；（3）求证：AE＝CF．5．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，∠DAB＝∠ABD，BE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2AE．小明探究发现，可以通过构造全等三角形来解决，在BC上截取BF＝AE，连接AF，可证△ABF≌△BAE（如图2），从而使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）；参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC是等边三角形，点P在BQ上，且∠APB＝120°，CP＝CQ，探究线段AP，BQ的数量关系，并证明你的结论．6．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．请补充完整证明“BE＝DC，且BE⊥DC”的推理过程；证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形（已知）∴AB＝AD，AE＝AC（等腰直角三角形定义）又∵∠BAD＝∠CAE＝90°（已知）∴∠BAD+∠BAC＝（等式性质）即：∴△ABE≌△ADC（）∴BE＝DC（全等三角形的对应边相等）∠ABE＝∠ADC（全等三角形的对应角相等）又∵∠BFO＝∠DFA（）∠ADF+∠DFA＝90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ABE+∠BFO＝90°（等量代换）∴即BE⊥DC（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD 相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？7．如图，在△ABC中，AB＝AC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝∠BAC．（1）求证：∠APC＝∠APD；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．8．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．9．阅读探索题：（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM 于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．（2）请你参考以上方法，解答下列问题：如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD 之间的数量关系并证明．10．阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．（1）AB、AD、DC之间的等量关系为；（2）完成（1）的证明．问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．参考答案1．（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP．又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP．∴∠CAP＝∠CBP，即∠CAE＝∠CBF．（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF．（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，∴S△ABC ＝S△ABG．∴AE＝AC．①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；②当∠ACB为锐角时，∠CAH＝90°﹣∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE＝AC，只需使∠ACB＝∠CEA，此时，∠CAE＝180°﹣2∠ACB，只须180°﹣2∠ACB＜90°﹣∠ACB，解得：60°＜∠ACB＜90°．2．【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．3．解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．∵BC＝BD+CD，∴BC＝CE+CD．（2）BC+CD＝CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD；4．（1）证明：∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠AFD＝∠BFC，∴∠ADF＝∠BFC，在Rt△CBF和Rt△ABD中，∴Rt△CBF～Rt△ABD，∴∠CBF＝∠ABF．（2）解：设BC＝x，∵AB﹣BC＝4，∴AB＝x+4，在Rt△ABC中，∵AC＝8，∴（x+4）2﹣x2＝64，整理，可得8x+16＝64，解得x＝6，∴BC的长是6．（3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，，∵∠CBF＝∠ABF，∴FG＝CF，∵∠FAG+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAG＝∠ADE，∵∠AFG＝90°﹣∠FAG，∠DAE＝90°﹣∠ADE，∴∠AFG＝∠DAE，在Rt△AFG和Rt△DAE中，∴Rt△AFG≌Rt△DAE，∴AE＝FG，∵FG＝CF，∴AE＝CF．5．解：（1）在BC上截取BF＝AE，连接AF，如图2所示：∵∠DAB＝∠ABD，∴∠BAE＝∠ABF，在△ABF和△BAE中，，∴△ABF≌△BAE（SAS），故答案为：SAS；（2）BQ＝2AP，理由如下：在BP上截取点M，使BM＝AP，连接CM，在QB上取点N，使QN＝PM，连接CN，如图3所示：∵∠APB＝120°，∴∠APQ＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，∴∠APQ＝∠ABC，即∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBM，∴∠BAP＝∠CBM，在△ABP和△BCM中，，∴△ABP≌△BCM（SAS），∴BP＝CM，∠APB＝∠BMC＝120°，∴∠CMN＝180°﹣120°＝60°，∵CP＝CQ，∴∠CPM＝∠Q，在△PCM和△QCN中，，∴△PCM≌△QCN（SAS），∴CM＝CN，∴△CMN是等边三角形∴CM＝MN，∵BQ＝BP+PM+MN+QN，∴BQ＝2BM＝2AP．6．（1）解：∠CAE+∠BAC，∠DAC＝∠BAE，SAS，对顶角相等，∠BOF＝∠DAF＝90°；（2）证明：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，∠BEA＝∠ACD，∴∠BOC＝∠ECO+∠OEC＝∠DCA+∠ACE+∠OEC＝∠BEA+∠ACE+∠OEC＝∠ACE+∠AEC＝60°+60°＝120°．∴∠BOC＝60°．7．解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BPC＝∠BAC，∴A、P、B、C四点共圆，∴∠APC＝∠ABC，∠APB+∠ACB＝180°∴∠APC＝∠ACB，∵∠APB+∠APD＝180°∴∠ACB＝∠APD（2）证明：如图，在射线PD上截取PE＝PC，连接AE，在△PAE和△PAC中∴△PAE≌△PAC（SAS）∴AE＝AC∵在△ABE中，AB+AE＞BE∴AB+AC＞PB+PC．8．解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG；∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．9．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．（2）在CB上截取CE＝CA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠CAD＝∠CED＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠EDB＝30°，即∠EDB＝∠B，∴DE＝EB，∵BC＝CE+BE，∴BC＝AC+DE，∴BC＝AC+AD．10．解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，在△AEB和△FEC中，∵，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD，∴AD＝DC+CF＝DC+AB，故答案为：AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF．。
12.2 《三角形全等的判定(四)(HL)》教案-河南省漯河市舞阳县人教版八年级数学上册
12.2 《三角形全等的判定（四）（HL）》【课标内容】1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度.4.掌握基本事实：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.【教材分析】本节课的主要内容是探索两个直角三角形全等的条件和如何利用“直角边斜边”的条件证明三角形全等，是在学生学习了线段、角、相交线、平行线和三角形的有关知识之后展开的.“HL”是证明两个三角形全等的重要方法之一，也是证明线段相等、角相等的重要依据.在【教学过程】中，我让学生充分体验到动手操作、剪拼、翻折平移、推理证明的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.整节课让学生从画几何图形，剪拼，翻折平移，起到了较好的作用，学生更加清楚直观，以及学习推理证明的方法.【学情分析】本节是人教版八年级上册第十二章第二节的第四课时，全等三角形的判定（HL）是学生学习了图形的全等的概念及特征后的一节内容，它不仅是后面学习平行四边形性质与判定的基础，而且也是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用.【教学目标】1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2.掌握直角三角形全等的判定，并能运用其解决一些实际问题．3.在探索直角三角形全等的判定及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】三角板、多媒体【课时设置】一课时【教学过程】一、预学自检互助点拨（阅读教材P41-43，完成以下问题）1.判定三角形全等：、、、 .2.如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 .（【设计意图】复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件.）二、合作互学探究新知（动手操作）：1.已知线段a，c ，和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB= a.2.与同桌重叠比较，是否重合？3.从中你发现了什么？（【设计意图】比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件.激发学生挑战新问题的积极性，培养学生的分析、作图能力.画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.）三、自我检测成果展示1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）∴∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）在Rt△和Rt△中⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ （ ）∴∠ = ∠ （ ）∴ （内错角相等，两直线平行）【设计意图】 让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件，自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心.2.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等3.如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对4.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，求DE 的长.四、应用提升挑战自我在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.（【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.）五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来【设计意图】充分利用多媒体资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，关键是区别两种情况，判断哪一种情况可以判断两个三角形全等，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.【板书设计】全等三角形判定HL【备课反思】本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS、）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”.纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会.这些我在今后的教学中会争取改进.。
沪科版八年级数学上册第14章-全等三角形知识例题讲解与练习
第14章 全等三角形【知识剖析】一、全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形. 二、全等三角形的有关概念1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2、全等三角形的对应元素：全等三角形中，互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角；互相重合的顶点叫做对应顶点.3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.注：用全等符号“≌”表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.[例1] 如图，将△ABC 绕其顶点B 顺时针旋转一定角度后得到△DBE ，请说出图中两个全等三角形的对应边和对应角.[例2] （1）如图，△ABE 与△CED 是全等三角形，可表示为△ABE ≌_______，其中∠A=30°，∠B=70°，AB=3cm ，则∠D=_____，∠DEC =_____，CD=_____.（2）如图，△ABC ≌△DCB ，若CD=4cm ，∠A=28°，∠DBC=35°，则AB=_____，∠D=_____，∠ABC=_______.（3）如图，△AOB ≌△COD ，若CD=2cm ，∠B=45°，则AB=_____，∠D=______.[例3] 如图，△ACB ≌△A /CB /，∠A /CB=30°，∠ACB/=110°，则∠ACA/=______.[例4] 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，且AC=BC=4cm ，已知△BCD ≌△ACE ，则四边形AECD 的面积是_________.[例5] 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为_______.[例6] 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C /处，折痕为EF ，若∠EFC /=125°，那么∠ABE 的度数为________.三、全等三角形的判定 1、“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS ）ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC ≌△DEF 2、.（ASA ） 在△ABC 和△DEF 中，∵ B EBC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF 3、“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS ） 在△ABC 和△DEF 中，∵B EC F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF4、“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）在△ABC和△DEF中，∵AB DE BC EF AC DF=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC≌△DEF另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法.：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB DEAC DF=⎧⎨=⎩∴ Rt△ABC≌Rt△DEF四、全等三角形的证明思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS[例7]如图，已知AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求证：BC=ED.[例8]如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC.求证：∠ACE=∠DBF.[例9]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.[例10] 如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF.求证：AC∥DF.[例11]如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：1()2AD AB AC<+[例12]如图，AB∥CD，EC、EB分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.[例13]如图，已知△ABC中，AC=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角形的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N.①证明DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的.若不发生变化，求出其面积. （2）继续旋转至图（2）的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）继续旋转至图（3）的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.【综合练习】一、选择题1、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等.其中真命题的个数有( )A、3个B、2个C、1个D、0个2、下列说法正确的是（）A.周长相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.面积相等的两个三角形全等D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等3、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等4、已知△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠C=30°，则∠E等于（）A. 30°B. 50°C.60°D.100°5、已知△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，若要△ABC≌△DEF，只要满足下列条件中的（）A. AB=DFB.BC=DFC. AC=DED.BC=EF6、如图，AB=AC，EB=EC，那么图中的全等三角形共有（）A. 1对B. 2对C.3对D.4对7、某同学不小心把一块三角形玻璃打碎，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么应带（）去，才能配好.A. ①B.②C.③D.任意一块8、已知：的三边分别为，的三边分别为，且有，则与（）.A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．无法确定9、如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有( )A、△ABD≌△AFDB、△AFE≌△ADCC、△AEF≌△DFCD、△ABC≌△ADE（第9题）（第10题）（第11题）10、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个11、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为( )A、18B、32C、28D、2412、如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形二、填空题13、已知：△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=70°，AB=15cm ，则∠C ′=_________，A ′B ′=__________.14、如图，在△ABC 和△FED ，AD=FC ，AB=FE ，当添加条件__________时，就可得到△ABC ≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)（第14题） （第15题） （第16题）15、如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是 ． 16、如图，在△ABC 中，AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=_____.17、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于点F ，交DE 于点G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，则∠DGB=_________.18、如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF.如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，那么图中阴影部分面积为_______cm 2. 三、解答题19、如图，在△ABC 中，F 为AC 的中点，E 为AB 上一点，D 为EF 延长线上一点，∠A=∠ACD.求证：//CD AE .20、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，求CH 的长.21、如图，已知AD为△ABC的中线，试比较AB+AC与2AD的大小.22、如图，∠ABC=90°，AB=AC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F.求证：EF=CF-AE.23、（1）如图（1），A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD. 求证：BD平分EF；（2）若将图形变为图（2），其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.24、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C 在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E.（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图（2）的位置（BD<CE）时，其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请给予证明；（3）若直线AE绕点A旋转到图（3）的位置（BD>CE）时，其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需证明.。
人教版八年级数学上册《三角形全等的判定HL(第4课时)》课件
（2） AC = BD（ H）L；
（3） ∠DAB = ∠CB（A AA）S；
D
Байду номын сангаас
C
（4） ∠DBA = ∠CA（B AA）S．
A
B
“HL”判定方法的运用
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的 高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯 的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， D
C
∴ ∠C 和∠D 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB =BA，
AC =BD，
A
B
∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）．
“HL”判定方法的运用
变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． （1） AD = BC（ H）L；
• 学习重点： 理解并运用“HL”判定方法．
创设情境引出“HL”判定方法
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个 问题吗？
课堂练习
练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时
出发，以相同的速度分别沿
D
两条直线行走，并同时到达
D，E 两地．DA⊥AB，EB⊥ A AB． D，E 与路段AB的距离
相等吗？为什么？
解：相等，由题可知，DE=DC， C
E
且C为中点，所以AC=BC，那么在
人教版八年级数学上册第12章第5课时 三角形全等的判定——HL
小结：在一线三直角模型中，推出对应角相等，进而判定全 等，得到相关线段相等，最后判断数量关系.
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★12.(1)如图(1)，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE， 试说明 BC⊥CE 的理由； (2)如图(2)，若△ABC 向右平移，使得点 C 移到点 D，AB⊥ AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索 BD⊥CE 的结论是 否成立，并说明理由．
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10.如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是 ( C) A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE 与△CBE 不一定全等 D．∠1＝∠2
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7.【例 3】如图，BD，CE 分别是△ABC 的高，且 BE＝CD， 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 证明：∵BD，CE 分别是△ABC 的高，
第十二章 全等三角形
第5课时 三角形全等的判定(4)——HL
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
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学习目标
1.掌握用 HL 证明两个三角形全等． 2．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角 相等的问题． 3．通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探 索、归纳、证明两个三角形全等的条件，提高运 用知识的能力.
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，BBCE＝＝CCBD ，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
小结：根据高的定义求出∠BEC＝ ∠CDB＝90°，再根据 HL 证明.
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11.如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延 长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF.求证：Rt△ABE≌ Rt△CBF.
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)全等三角形基本模型(4大模型)(解析版)
全等三角形基本模型（4大模型）模型一：平移型模型二：翻折型模型三：旋转型模型四：一线三垂直型【类型一：平移型】【典例1】如图已知点E、C在线段BF上BE=CF AB∥DE∠ACB=∠F.求证：.【解答】证明：∵AB∥DE∴∠B=∠DEF∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF.∴在△ABC和△DEF中{∠B=∠DEF BC=EF ∠ACB=∠F∴△ABC≅△DEF(ASA).【变式1-1】如图已知Rt△ABC与Rt△DEF中△A＝△D＝90° 点B、F、C、E在同一直线上且AB＝DE BF＝CE 求证：△B＝△E．【解答】证明：∵BF=CE BF+FC=BC CE+CF=EF∴BC=EF在Rt△ABC和Rt△DEF中∵{BC=EFAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∴∠B=∠E．【变式1-2】如图点A、B、C、D在一条直线上EA//FB EC//FD EA=FB．求证：AB=CD．【解答】证明：∵EA∥FB∴∠A=∠FBD∵EC∥FD∴∠D=∠ECA 在△EAC和△FBD中{∠ECA=∠D∠A=∠FBDAE=BF∴△EAC≌△FBD(AAS)∴AC=BD∴AB+BC=BC+CD∴AB=CD．【变式1-3】如图点B C E F在同一直线上BE=CF AC⊥BC DF⊥EF垂足分别为C F AB=DE．求证：AC=DF．【解答】证明：∵BE=CF∴BE−CE=CF−CE即BC=EF在Rt△ABC和Rt△DEF中{BC=EFAB=DE∴Rt△ABC△Rt△DEF（HL）∴AC=DF．【类型二：翻折型】【典例2】已知△A＝△D BC平分△ABD 求证：AC＝DC．【解答】解：∵BC平分△ABD ∴△ABC＝△DBC在△BAC和△BDC中{∠A=∠D ∠ABC=∠DBC BC=BC∴△BAC△△BDC∴AC＝DC．【变式2-1】如图已知BD是∠ABC的角平分线AB=CB．求证：△ABD≌△CBD．【解答】证明：∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义）在△ABC与△CBD中∵{AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已证)BD=BD(公共边)∴△ABD≌△CBD(SAS)．【变式2-2】已知：如图线段BE、DC交于点O 点D在线段AB上点E在线段AC 上AB＝AC AD＝AE．求证：△B＝△C．【解答】解：在△AEB和△ADC中{AB=AC ∠A=∠A AE=AD∴△AEB△△ADC（SAS）∴△B=△C．【变式2-3】已知：如图△ABC＝△DCB △1＝△2.求证AB＝DC.【解答】证明：如图记AC BD的交点为O∵△ABC＝△DCB △1＝△2又∵△OBC＝△ABC−△1 △OCB＝△DCB−△2∴△OBC＝△OCB∴OB＝OC在△ABO和△DCO中{∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC∴△ABO△△DCO（ASA）∴AB＝DC.【类型三：旋转型】【典例3】已知：如图AD BE相交于点O AB△BE DE△AD 垂足分别为B D OA=OE．求证：△ABO△△EDO．【解答】证明：∵AB△BE DE△AD∴△B=△D=90°．在△ABO和△EDO中{∠B=∠D ∠AOB=∠EOD OA=OE∴△ABO△△EDO．【变式3】如图已知线段AC BD相交于点E AE＝DE BE＝CE求证：△ABE△△DCE．【解答】证明：在△ABE和△DCE中{AE=DE ∠AEB=∠DEC BE=CE∴△ABE△△DCE（SAS）【典例4】如图CA=CD ∠1=∠2 BC=EC求证：∠B=∠E.【解答】证明：∵△1＝△2∴△1＋△ECA＝△2＋△ECA 即△ACB＝△DCE 在△ABC和△DEC中{CA＝CD∠ACB＝∠DCEBC＝EC∴△ABC△△DEC（SAS）∴∠B=∠E.【变式4】如图△ABC中点E在BC边上AE＝AB 将线段AC绕A点旋转到AF 的位置使得△CAF＝△BAE 连接EF EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若△ABC＝65° △ACB＝28° 求△FGC的度数.【解答】（1）证明：∵△CAF＝△BAE∴△CAF+△CAE＝△BAE+△CAE 即△EAF=△BAC∵AE＝AB AC=AF∴△EAF△△BAC∴EF＝BC；（2）解：∵△EAF△△BAC∴△AEF=△ABC＝65°∵AB=AE∴△AEB=△ABC＝65°∴△FEC=180°-△AEB-△AEF＝50°∴△FGC=△FEC+△ACB=78°.【类型四：一线三垂直型】【典例5】如图AB＝AC直线l经过点A BM△l CN△l垂足分别为M、N BM＝AN．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）求证：△BAC＝90°．【解答】（1）证明：∵BM△直线l CN△直线l ∴△AMB＝△CNA＝90°在Rt△AMB和Rt△CNA中{AB=CABM=AN∴Rt△AMB△Rt△CNA（HL）∴BM＝AN CN＝AM∴MN＝AM+AN＝BM+CN；（2）由（1）得：Rt△AMB△Rt△CNA∴△BAM＝△ACN∵△CAN+△ACN＝90°∴△CAN+△BAM＝90°∴△BAC＝180°﹣90°＝90°．【变式5-1】课间小明拿着老师的等腰三角板玩不小心掉在两墙之间如图所示：（1）求证：△ADC△△CEB；（2）已知DE=35cm 请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC △ACB＝90° AD△DE BE△DE∴△ADC＝△CEB＝90°∴△ACD＋△BCE＝90° △ACD＋△DAC＝90°∴△BCE＝△DAC在△ADC和△CEB中{∠ADC＝∠CEB ∠DAC＝∠BCE AC＝BC∴△ADC△△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a∴AD＝4a BE＝3a由（1）得：△ADC△△CEB∴DC＝BE＝3a AD＝CE＝4a∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35∴a＝5答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【变式5-2】在△ABC中∠ACB=90°AC=BC直线MN经过点C且AD⊥MN于D BE⊥MN于E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①求证：△ADC△ △CEB；②求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时（1）中的结论②还成立吗？若成立请给出证明；若不成立说明理由.【解答】（1）证明：①∵AD△MN BE△MN∴△ADC=△BEC=90°∵△ACB=90°∴△ACD+△BCE=90° △DAC+△ACD=90°∴△DAC=△BCE又∵AC=BC∴△ADC△ △CEB；②∵△ADC△ △CEB∴CD=BE AD=CE∵DE=CE+CD∴DE=AD+BE；（2）解：DE=AD+BE不成立此时应有DE=AD－BE 理由如下：∵BE△MN AD△MN∴△ADC=△BEC=90°∴△EBC+△ECB=90°∵△ACB=90°∴△ECB+△ACE=90°∴△ACD=△EBC又∵AC=BC∴△ADC△ △CEB∴AD=CE CD=BE∵DE=CE－CD∴DE=AD－BE.1．如图在△ABC和△CDE中点B、D、C在同一直线上已知△ACB=△E AC=CE AB∥DE 求证：△ABC△△CDE．【解答】证明：∵AB∥DE ∴∠B=∠EDC在△ABC和△CDE中{∠B=∠EDC ∠ACB=∠E AC=CE∴△ABC≌△CDE(AAS)．2．如图AC和BD相交于点O OA=OC DC△AB．求证DC=AB．【解答】证明：∵DC△AB∴△D=△B在△COD与△AOB中{∠D=∠B ∠DOC=∠BOA OC=OA∴△COD△△AOB（AAS）∴DC=AB．3．如图点B、F、C、E在同一条直线上△B＝△E AB＝DE BF＝CE．求证：AC ＝DF．【解答】证明：∵BF＝CE∴BＦ＋FC＝CE＋FC 即BC＝EF在△ABC和△DEF中{AB=DE ∠B=∠E BC=EF∴△ABC△△DEF（SAS）∴AC＝DF．4．如图等边△ABC的内部有一点D 连接BD 以BD为边作等边△BDE连接AD CE 求证：AD=CE．【解答】证明：∵△ABC和△DBE为等边三角形∴△ABC =△DBE=60°AB=BC DB=EB∴△ABC−△DBC=△DBE−△DBC即△ABD=△CBE在△ABD和△CBE中{AB=BC∠ABD=∠CBE BD=EB∴△ABD≌△CBE(SAS)∴AD=CE5．如图点E F在BC上BE＝CF △A＝△D △B＝△C 求证：AB＝DC.【解答】证明：∵点E F在BC上BE＝CF ∴BE+EF＝CF+EF 即BF＝CE；在△ABF和△DCE中{∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE∴△ABF△△DCE（AAS）∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.6．如图点B、C、E、F在一条直线上AB=CD AE=DF BF=CE求证：∠A=∠D.【解答】证明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF即BE=CF在△ABE和△DCF中{AB=DCBE=CFAE=DF∴△ABE△△DCF．∴∠A=∠D7．如图已知AB、CD相交于点O 且AD=CB AB=CD．求证：△A=△C．【解答】证明：连接BD 如图在△ABD和△CDB中∵AD=CB AB=CD BD=DB∴△ABD△△CDB（SSS）∴△A=△C．8．已知：如图A、C、F、D在同一条直线上且AB//DE AF＝DC AB＝DE求证：△ABC△△DEF．【解答】证明：∵AB△DE∴△A＝△D∵AF＝CD∴AD+CF＝CF+DF∴AC＝DF在△ABC和△DEF中{AC=DF ∠A=∠D AB=DE∴△ABC△△DEF（SAS）．9．如图：点E、F在BC上BE=CF AB=DC∠B=∠C AF与DE交于点G.过点G作GH⊥BC垂足为H.（1）求证：△ABF≌△DCE（2）求证：∠EGH=∠FGH【解答】（1）证明：∵BE=CF∴BF=CE在△ABF和△DCE中{AB=DC ∠B=∠C BF=CE∴△ABF△△DCE（SAS）.（2）证明：∵△ABF△△DCE∴△AFE=△DEC∴EG=GF∵GH△BC∴△EGH=△FGH.10．如图AD平分∠BAC ∠ADB=∠ADC.（1）求证：△ABD⊆△ACD：（2）若∠B=25° ∠BAC=40°求∠BDC的度数.【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD.又∵AD=DA ∠ADB=∠ADC ∴△ABD≅△ACD(ASA)（2）解：∵∠BAD=∠CAD ∠BAC=40°∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=20°.又∵∠B=25°∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=135°.又∵△ABD≅△ACD ∴∠ADC=∠ADB=135°.又∵∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°∴∠BDC=90°.11．如图在四边形ABCD中E是CB上一点分别延长AE DC相交于点F AB= CF ∠CEA=∠B+∠F．（1）求证：∠EAB=∠F；（2）若BC=10求BE的长．【解答】（1）证明：∵∠CEA是△ABE的外角∴∠CEA=∠B+∠EAB．又∵∠CEA=∠B+∠F∴∠EAB=∠F．（2）解：在△ABE和△FCE中{AB=FC ∠EAB=∠F ∠AEB=∠FEC∴△ABE△△FCE．∴BE=CE．∵BC=10∴BE=5．12．如图AB⊥BE DE⊥BE垂足分别为点B E且AB=DE BF=CE点B F C E在同一条直线上AC DF相交于点G．求证：（1）ΔABC≌ΔDEF；（2）AG=DG．【解答】（1）解：∵AB⊥BE DE⊥BE∴∠B=∠E=90°∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC即BC=EF在ΔABC和ΔDEF中{AB=DE∠B=∠EBC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)（2）解：由（1）全等可知：AC=DF ∠ACB=∠DFE∴CG=FG13．如图已知△A＝△D AB＝DB 点E在AC边上△AED＝△CBE AB和DE相交于点F．（1）求证：△ABC△△DBE．（2）若△CBE＝50° 求△BED的度数．【解答】（1）证明：∵△A＝△D △AFE＝△BFD∴△ABD＝△AED又∵△AED＝△CBE∴∠ABD=∠CBE∴△ABD+△ABE＝△CBE+△ABE即△ABC＝△DBE在△ABC和△DBE中{∠A=∠DAB=DB ∠ABC=∠DBE∴△ABC△△DBE（ASA）；（2）解：∵△ABC△△DBE∴BE＝BC∴△BEC＝△C∵△CBE＝50°∴△BEC＝△C＝65°．∴AG=DG14．已知：如图点A D C B在同一条直线上AD=BC AE=BF CE=DF求证：（1）AE△FB（1）DE=CF.【解答】（1）证明：在△ADE和△BCF中{AE＝BF∠A＝∠BAD＝BC∴△ADE△△BCF（SAS）∴DE=CF．15．如图在△ABC中AB＝BC BE平分△ABC AD为BC边上的高且AD＝BD．（1）求证：△ABE=△CAD（2）试判断线段AB与BD DH之间有何数量关系并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝BC BE平分△ABC∴BE△AC∴△BEA＝90°＝△ADB∵△CAD+△BEA+△AHE＝180° △HBD+△ADB+△BHD＝180° △AHE＝△BHD∴△HBD＝△CAD∵△HBD＝△ABE∴△ABE=△CAD（2）解：AB＝BD+DH理由是：∵在△BDH和△ADC中{∠2=∠3 BD=AD∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH△△ADC（ASA）∴DH＝DC∴BC＝BD+DC＝BD+DH∵AB＝BC∴AB＝BD+DH．16．如图1 AC=BC CD=CE △ACB=△DCE=α AD、BE相交于点M.（1）求证：BE=AD；（2）直接用含α的式子表示△AMB的度数为（3）当α=90°时取AD BE的中点分别为点P、Q 连接CP CQ PQ 如图2 判断△CPQ的形状并加以证明.【解答】（1）证明：如图1∵△ACB=△DCE=α∴△ACD=△BCE在△ACD和△BCE中{CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE∴△ACD△△BCE（SAS）∴BE=AD；（2）α（3）解：△CPQ为等腰直角三角形证明：如图2 由（1）可得BE=AD∵AD BE的中点分别为点P、Q∴AP=BQ∵△ACD△△BCE∴△CAP=△CBQ在△ACP和△BCQ中{CA=CB ∠CAP=∠CBQ AP=BQ∴△ACP△△BCQ（SAS）∴CP=CQ 且△ACP=△BCQ 又∵△ACP+△PCB=90°∴△BCQ+△PCB=90°∴△PCQ=90°∴△CPQ为等腰直角三角形.。
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.2三角形全等的判定(第4课时图文详解)
判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形 特殊的判定方法：HL.
八年级数学上册第12章全等三角形
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE
B
A
E
F
C
D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵ AE=CF
∴AF=CE 又∵ AB=CD
A
E
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴ BF=DE
D
B
八年级数学上册第12章全等三角形
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 1、边边边(SSS) 2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
八年级数学上册第12章全等三角形
A 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若A= D，AB=DE，
F
E
B
C
则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全
等”）根据 ASA （用简写法）.
D
八年级数学上册第12章全等三角形
（2）若A=D，BC=EF，则 △ABC与△ DEF 全等 （填
“全等”或“不全等”）根据 AAS .（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△ DEF 全等 （填“全 等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法）
八年级数学上册第12章全等三角形
第12章全等三角形
八年级上册
八年级数学上册第12章全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时
八年级数学上册第12章全等三角形
八级数学上册13.3全等三角形的判定(第4课时)课件(新版)冀教版
D.添加∠ACB=∠DEB，可根据“AAS”
C 判定△ ABC≌ △ DBE，故D正确.故选B.
2.如图所示，平面上有△ACD与△BCE，其中AD
与BE相交于P点，若AC=BC，AD=BE，CD=CE，
∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为(提
示：四边形内角和为360°) ( C ) A.110° B.125° C.130° D.155°
问题1：观察图形中哪两个三角形
A
具有特殊的位置关系.
D
E F 问题2：要证明DE=FE，需要先
证什么？
在三角形全等证明的过程中，要找到图
B
C
形中具有平移、旋转这两种位置关系的 三角形，找出题目中的条件，然后再进
行证明.
课堂小结
1.全等三角形是几何图形全等中的一种，根 据全等变换，两个全等三角形有时可以看成 是一个三角形由另一个三角形经过平移或旋 转得到。当两个三角形存在这种位置关系时， 这两个三角形就全等.
AC BC，
解析:在△ACD和△BCE中， CD CE，
A
P
E
AD BE，
∴△ACD≌△BCE(SSS)∴∠A=∠B,∠BCE=
∠ACD,∴∠BCA=∠ECD,∵∠ACE=55°,
B
D∠∴B∠CBDC=A1=5∠5°E,C∴D=∠50B°CA,+∴∠∠EACCDD==101005°°,,
2.三角形全等的证明，要从图形的各种变换 中发现图形全等的特征，善于将复杂的图形 拆分成简单的图形来识别全等三角形，要结 合题目的已知条件和结论选择合适的条件证 明两个三角形全等.在证明的过程中要做到 步步有据，注意步骤的规范.
检测反馈
1.如图所示，AB=DB，∠1=∠2，添加一个适当的条件，
八年级数学上册第十二章全等三角形专题训练(四)全等三角形的基本模型课件新版新人教版
2．如图，点B，E，C，F四点在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE. 老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF.下面是课堂上三个 同学的发言，甲说：添加AC＝DF；乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE ＝CF. (1)甲、乙、丙三个同学说法正确的是__乙__、__丙_____． (2)请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
∠ADB＝∠AEC， 在△ADB 和△AEC 中，AD＝AE，
∠A＝∠A，
∴△ADB≌△AEC(ASA)，∴AB＝AC.又∵AD＝AE， ∴AB－AE＝AC－AD，即 BE＝CD
模型三 旋转模型
5．如图，∠DAB＝∠CAE，AD＝AB，AC＝AE. (1)求证：△ABE≌△ADC； (2)设BE与CD交于点O，∠DAB＝30°，求∠BOC的度数．
＝∠B，∴∠D＝∠B.在△ABC 和△CDE 中，∠∠BA＝CB∠＝D∠，E， AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE(AAS).∴CB＝DE (2)∵△ABC≌△CDE，∴∠A＝∠DCE＝40°. ∴∠BCD＝180°－40°＝，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E，求 证：DE＝BD＋CE.
解：(1)证明：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，
AB＝AD， ∴∠DAC＝∠BAE，在△ABE 和△ADC 中，∠BAE＝∠DAC， ∴△ABE
AE＝AC，
≌△ADC(SAS) (2)∵△ABE≌△ADC，∴∠ABE＝∠ADC，由三角形内角和定理得∠
BOD＝∠DAB＝30°，∴∠BOC＝180°－30°＝150°
∠ABD＝∠CAE， ∠BDA＝∠CEA， ∴△ADB≌△CEA(AAS)， AB＝AC，
八年级数学上册3005.三角形全等的判定(四)(HL)
高效课堂自主学习型数学日导学稿班级80 姓名编号 3005 日期: 9-11 审批：比一比，看谁表现最好！拼一拼，力争人人过关！课题：三角形全等的判定（四）（HL）设计者: 八年级数学组自研课（时段：晚自习时间：10 分钟）1、旧知链接：SSS定理： SAS定理：ASA定理： AAS定理：2、新知自研：自研教材P13的“HL”定理。
展示课（时段：正课时间： 60 分钟）学习目标（1min）：1.通过作图、观察比较等方法得出“HL”定理；2.会用“HL”定理解决实际问题。
必做题：完成教材P14练习于规范作业本上。
训练课（时段：晚自习，时间：30分钟）“日日清巩固达标训练题”自评：师评：基础题：1.如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，AC交BD于点O，若AC=DB，则下列结论不正确的是（）A.∠A=∠DB.∠ABC≌∠DCBC.OB=ODD.OA=OD(1) A DOB C2.在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/=90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A/B/C/的个数有（）(1)AC=A/C/ ,∠A=∠A/；（2）AC=A/C/ ，AB=A/B/；（3）AC=A/C/，BC=B/C/；（4）AB=A/B/ ,∠A=∠A/3.已知，如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB，求证：△ABD≌△CDB。
A CB D4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证：AE=DF。
发展题：5.如图，从C地看A、B两地的视角∠C是锐角，从C地到A、B两地的距离相等。
A到路段BC的距离AD与B到路段AC的距离BE相等吗？为什么？CE DA B提高题：6.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F。
求证：AF+EF=DE。
DBEC AF培辅课（时段：大自习附培辅单）1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）2、效果描述：反思课1、病题诊所：2、精题入库：【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。
八年级数学 《全等三角形》专题训练 (4)
八年级数学《全等三角形》专题训练1.下列各组条件中，可保证△ABC与△A'B'C'全等的是（）A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'B．AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'C．AB＝C'B'，∠A＝∠B'，∠C＝∠C'D．CB＝A'B'，AC＝A'C'，BA＝B'C'2.能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E3.如图，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．4.已知：如图，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BC C．CD D．AD5.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．6.已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.7.已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．求证：OB＝OC.8.已知：如图，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．9.如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．10.如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40° B．35° C．30° D．25°11.AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF12.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙13.如图，若AB＝CD，DE＝AF，CF＝BE，∠AFB＝80°，∠D＝60°，则∠B的度数是（）A．80° B．60° C．40° D．20°14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．15.下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等16.已知：如图所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．17.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝DC：（2）AD∥BC．18.已知：如图，△AB C．求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．作法：19.已知：如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．20.如图，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．21.下列命题中正确的有（）个①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和一边分别相等的两个三角形全等；④等底等高的两个三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．422.如图，AB＝CD，AD＝CB，AC、BD交于O，图中有（）对全等三角形．A．2 B．3 C．4 D．523.已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长．24.已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE ＝OF.25.完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．（1）如果一个点在角的平分线上，那么_____；（2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么_____；（3）综上所述，角的平分线是_____的集合．26.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．27.已知：如图，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.28.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．29.如图，已知AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B，E，AB＝DE．请添加一个适当条件，使ΔABC≌ΔDEF，并说明理由添加条件：______________________________________________________，理由是：_____________________________________________________．30.角的平分线的性质是___________________________．它的题设是_________，结论是_____．31.如图，△ABC中，若∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，则∠EDF＝（）A ．90°－∠AB ．A ∠-2190oC ．180°－2∠AD ．A ∠-2145o32.直角三角形全等的判定方法有_____ （用简写）．33.已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF .求证：AB ∥DC .34.已知：如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ．（1）求证：AM 平分∠DAB ；（2）猜想AM 与DM 的位置关系如何？并证明你的结论．35.用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON （如图），再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB ，请你说出其中的道理．36.已知：如图，在ΔABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别是AB 、AC 上一点，并且有∠EDF ＋∠EAF ＝180°．试判断DE 和DF的大小关系并说明理由．37.已知：如图，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ．分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______． 证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______．在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠∠=∠),______(______),______(),______(C AOC ∴______≌______ （ ）．∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （ ）．38.如图0，△ABC 的三个顶点分别在2×3方格的3个格点上，请你试着再在格点上找出三个点D 、E 、F ，使得△DEF ≌△ABC ，这样的三角形你能找到几个？请一一画出来．39.已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．40.在一池塘边有A、B两棵树，如图．试设计两种方案，测量A、B两棵树之间的距离．41.已知：如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：∠B＝∠C．42.如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35 cm，B点与O点的铅直距离AB长是20 cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35 cm，画CD⊥OC，使CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．43.已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．44.如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．45.如图，AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．646.如图，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC47.如图，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗？48.阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD≌△COB．证明：在△AOD和△COB中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A ∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？49.如图，要判定ΔABC ≌ΔADE ，除去公共角∠A 外，在下列横线上写出还需要的两个条件，并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据．（1）∠B ＝∠D ，AB ＝AD （ ）；（2）_____，_____（ ）；（3）_____，_____（ ）；（4）_____，_____（ ）；（5）_____，_____（ ）；（6）_____，_____（ ）；（7）_____，_____（ ）．50.已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．51.全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．52.如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）A ．mn 31 B ．mn 21 C ．mn D ．2mn53.已知：(1)如图，线段AC 、BD 交于O ，∠AOB 为钝角，AB ＝CD ，BF⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，AE ＝CF ．求证：BO ＝DO ．(2)若∠AOB为锐角，其他条件不变，请画出图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．54.已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．55.已知：如图，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．56.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．57.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？58.已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．59.如图所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____ （2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．60.利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗？61.一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形62.已知：如图，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ．分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______， 只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．∴PA ＝______ （ ）．∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．63.如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么BC 等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．无法确定64.如图，E 在AB 上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC 等于AD 吗？为什么？65.到角的两边距离相等的点，在_____.所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是_____．66.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏．如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是50 cm，当小敏从水平位置CD下降40 cm时，小明这时离地面的高度是多少？请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理．67.如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN68.下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．169.已知：如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF .求证：∠A ＝∠D ．分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______．证明：∵BE ＝CF （ ），∴BC ＝______．在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,AC BC AB∴______≌______（ ）．∴ ∠A ＝∠D （______）．70.已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在∠MON 的边上，AB ＝CD ，P 为∠MON 内一点，并且△PAB 的面积与△PCD 的面积相等．求证：射线OP 是∠MON 的平分线．71.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）72.已知：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．73.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．74.填空（1）三角形的三条角平分线_____它到_____________．（2）三角形内．．．．，到三边距离相等的点是______________．75.如图，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，求证：△ABC≌△BAD．证明：∵CE＝DE，EA＝EB，∴______＋______＝______＋______，即______＝______．在△ABC 和△BAD 中，＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知∴△ABC ≌△BAD （ ）．76.“三月三，放风筝”．图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．77.请分别按给出的条件画△ABC （标上小题号，不写作法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？ ①∠B ＝120°，AB ＝2cm ，AC ＝4cm ；②∠B ＝90°，AB ＝2cm ，AC ＝3cm ；③∠B ＝30°，AB ＝2cm ，AC ＝3cm ；④∠B ＝30°，AB ＝2cm ，AC ＝2cm ；⑤∠B ＝30°，AB ＝2cm ，AC ＝1cm ；⑥∠B ＝30°，AB ＝2cm ，AC ＝1.5cm ．78.已知：如图，AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ．求证：BD＝CE．79.已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．80.已知：如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．81.下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并作图举出反例．（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）82.在ΔABC和ΔDEF中，若∠B＝∠E＝90°，∠A＝34°，∠D＝56°，AC ＝DF ，贝ΔABC 和ΔDEF 是否全等？答：______，理由是______．83.已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠______＝∠______ （ ），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______∴ Δ______≌Δ______ （ ）．∴ ∠______＝∠______ （ ）．∴ ______∥______（ ）．84.已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；85.判定两直角三角形全等的“HL ”这种特殊方法指的是_____．86.如图，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是 （ ）A ．PC ＝PDB ．OC ＝ODC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝PC87.已知：如图，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）．∴ ∠D ＝∠B （______）．88.如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____．89.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .求证：DE ＝DF ．90.已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．91.已知：如图，直线AB及其上一点P．求作：直线MN，使得MN⊥AB于P．92.画一画．已知：如图，线段a、b、c．求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．93.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）。
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BD=FH DC=HG BC=FG
∠B=∠F ∠D=∠H ∠C=∠G AO=BO OC=OD AC=BD
∠A=∠B ∠O=∠O ∠C=∠D
2. Δ AOC ≌ Δ BOD
请小心：在具体图形中，有时角不能用一个 大写字母表示。
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试1： 和对应角
D F
C
E
A B
≌
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试6： 和对应角
D
C
A
B
≌
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试7： 和对应角
C
A
B
D
≌
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试8： 和对应角
C
D
A
B
≌
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试9： 和对应角
C
D
A
B
先写出全等式，再指出它们的对应边 试一试9： 和对应角
A D
这两个三角形能够完全重合
B
C
E
F
ABC ≌ DEF
A
ABC ≌ DEF
D
B
A D
C
B
E
E C F
F
互相重合的顶点叫做对应顶点
互相重合的边叫做对应边 AB与DE BC与EF AC与DF
互相重合的角叫做对应角 ∠C与∠F ∠B与∠E ∠A与∠D
A
ABC ≌ DEF
D
B
C
E
F
全等三角形的 全等三角形的性质: 对应边相等, 对应角相等. ∵ ABC ≌ DEF （已知） ∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形 的对应边相等） ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （全等三角形 的对应角相等）
A
E
B
D
C
≌
课 堂 小 结
1.能够重合的两个图形叫做
全等形 。
其中
互相重合的顶点叫做 对应顶点 。 互相重合的边叫做 对应边 。 互相重合的角叫做 对应角 。 全等于 ”来表示，读作“
2.能够重合的两个三角形 叫做全等三角形。 3.“全等”用符号“ ≌
”
4.全等三角形的 对应边 和 对应角 相等 5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上
请观察，并说出你看到的现象
请观察，并说出你看到的现象
结论：这两个图形完全重合
能够重合的图形叫做全等形 全等形定义：
这两个五角星就是全等五角星
请观察，并说出你看到的现象
请观察，并说出你看到的现象
结论：这两个三角形重合
这两个三角形就是全等三角形 “全等”用符号“ ≌ ”来表示 读作“全等于”
； / 轰趴馆；
玖;≈111;≈10玖;想几乎都有啊,比壹般の站要稳定很多更新还快,全文字の没有广告.]"根汉说."太好了,谢谢您叶神翼."男子没想到,根汉这么容易就答应他了,让他有些喜出望外."不用这么客气,你叫什么名字?"根汉笑着问他.这个家伙有壹颗赤子之心,虽然从小被迫害,便是依旧没 有丢失自己善良の本心,这是壹个难得の好苗子.而且黑煞之火,也选择他の元灵共生,也有可能是这壹点.壹般の黑煞之火可都是有灵‘性’の,也不会随便选择什么人就‘乱’共生,必定是这人の什么东西.男子笑了笑说："咱叫黑子,没有名字.""黑子?"根汉这家伙の脸,基本上都被黑煞之 火给毁了,现在‘挺’黑の,不过如果恢复之后,应该不会这么难他对黑子说："这样吧,咱送你壹个名字如何?""那太好了,请叶神翼赐名."黑子很兴奋,他终于是要有名字了吗?根汉微笑着说："你咱既然是在南沙城相遇,相遇就是缘份,不如就叫南缘吧.""南缘?""南缘."黑子喃喃自语,念叨 了好几遍,兴奋の说："真好听,谢谢神翼,以后咱就有名字了,咱就叫南缘了."南缘,取意难得の缘份,南沙の缘份,根汉也没多想,也就随口这么壹取了."你也不要叫咱神翼了,以后叫咱叶哥吧."根汉说."那,那怎么好."南缘连忙说："不如咱给您当个外‘门’弟子吧,您收咱为徒吧.""收你为 徒?"根汉想了想,这可是自己头壹回收徒,想了想后说："罢了,从今天起,你就是咱根汉の徒尔了,以后跟着师父好好‘混’."认徒の过程,当真是没有半点麻烦の,根汉也没有什么讲究.只是把单雄给叫了出来,三人壹起在院里吃喝了壹顿,就当是收徒成功了.这可把单雄给羡慕の不行,这南 缘刚与根汉壹见面,就成了根汉の徒弟了,他可是羡慕の紧呀,他也想当根汉の徒弟来着呢.可是根汉不收他呀,不收他这个老家伙了.收了徒弟了,根汉仿佛也多了壹件事情了.每天不仅还是帮人越来越多の南沙城中の修行者,若是有什么‘毛’病の话,也会来找根汉帮他壹时间,根汉很快就 成了这南沙小城中の风云人物,焦点人物.时间过得飞快,转眼就又是半年时间过去了.这壹天晚上,根汉还在指导南缘教他炼‘药’の基本方法,同时在亲自教导他炼制壹味简单の丹‘药’,全骨丹.顾名思议,这是壹味可以令骨骼正位の丹‘药’.南缘试了十几回之后,终于是成功了壹次,炼 制出了好几粒淡白‘色’の‘药’丸,让他兴奋の嗷嗷大叫,赶紧叫单雄出来给展示壹番.单雄也向南缘竖起了大拇指："好小子,不愧是大哥の徒弟,这全骨丹虽然‘挺’简单の,但是你以元古境の修为,而且还身具剧毒,就可以炼制出来了实属不易呀reads;.""谢谢单大叔,咱还会继续努力 の."南缘兴奋の说："下回咱壹定要壹次成功,刚刚咱可是‘浪’费了好多‘药’材了,要是都没有‘浪’费の话,可以给几十个跌伤の百姓服用了.""恩,努力."单雄の心境,也有些被南缘感染了.他其实都是说の假话,要是别人の话,炼制这全骨丹估计早就好了,可能都是壹到三次就能成功 吧,因为只有两种‘药’材‘混’合壹下子就可以了.不过他觉得南缘の善良感染了他,或许这也正是根汉收他为徒の原因吧,这个南缘心系常人,是壹个很善良の苗子.这半年来,与南缘呆在壹起の时间长了,单雄都觉得自己已经不适合再修行吞噬之法了.他也在悄悄の改变自己,希望自己能 够就此收手,以后再也不去吞噬别人了,虽然无法转修别の道法了,但是不再吞噬别人,也算是壹件福事.那样就能慢慢の驱除元灵中の戾气,让自己以前积攒下来の那些副作用,慢慢の驱除,让自己也变得正常起来.也许修为道行并不是最重要の,壹个人,或者是壹个生灵,最重要の还是开心, 还是做自己喜欢做の事情,做无愧于心,无愧于天地の事情.天道并不是要你去打破,而是让你维护,让天下变得更美好,让万物生灵都能有好の生存环境,破坏只能让大家都过得不好.所以单雄也很欣赏南缘,欣赏这个修为不高,但是心怀苍生の年轻人.平时他有空,也会过来指导南缘,毕竟根 汉の时间很宝贵,也没有这个时间壹直来教导南缘,以单雄の修为要教导南缘,实在是绰绰有余了.(..)（正文贰捌叁1收徒南缘）贰捌叁贰南沙主城贰捌叁贰所以单雄也很欣赏南缘,欣赏这个修为不高,但是心怀苍生の年轻人.新.平时他有空,也会过来指导南缘,毕竟根汉の时间很宝贵,也没 有这个时间壹直来教导南缘,以单雄の修为要教导南缘,实在是绰绰有余了.南缘在翼药,炼药方面の进步,也是很明显の.本来他就是元古境の修士,比普通人要强出成千上万倍,自然学习起来也是可以の,只是和那些圣境之类の修士,当然是没办法可比の.不过南缘已经很可以了,壹些普通人 の小病小灾,他可以轻易の治好了.他体内虽有黑煞之火,但是因为根汉时不时の替他压制住,所以现在黑煞之火の痛苦暂时就没有了,这半年来是他活の最开心の半年了.这壹天晚上,根汉他们の院子外面,又来了两个不速之客.只不过这两人,明显の要强大了太多了,这是两位高阶圣境の强 者,同样是两个黑袍人,脸上戴着鬼面具."沙卫拜见叶神翼."人の气势,好像并不是衍无玄天の执法长老.根汉和单雄,以及南缘都出来了."两位是?"根汉皱眉问道.这两人の气息有些古怪,像是冥冥中の远古时代の气息,仿佛隔了相当の久了,存在太远了."在下沙六,在下沙九."两人介绍了壹 下："咱们是南沙城の十大守卫.""奉咱主之命,前来邀请叶神翼,前往南沙城作客."两人说."南沙城作客?"根汉皱了皱眉问道："这里不是南沙城吗?你们主人是谁?"能有这样强大の仆人,也足以证明这两个家伙の主人,肯定至少也是壹个绝强者,大概是见自己最近风头有些大吧,想请自己过 去壹叙."这里是南沙小城."沙六介绍了壹下,"并不是南沙主城,南沙主城不在这里,比这里要大上百倍.""南沙主城?"不仅是根汉,壹旁の单雄和南缘,也觉得很奇怪.不过仔细壹想,似乎这里の确全名叫南沙小城,确是有壹个南沙主城了.根汉也想到了,这两个人,应该是南沙小城背后の人の 仆人了,而且极有可能与南沙小城中间,那座小沙丘有关系,诡异の存在.他对两人说："好吧,那就叨扰了.""大哥,这."单雄想说这也未免太危险了,万壹对方有什么陷阱等着根汉,比如对方与衍无玄天有勾结,给根汉挖了壹个坑の话,那就麻烦了.根汉杀了衍无玄天の执法长老,这事情可不是 小事情,执法长老代表の是玄天の无上威严,可不是能随便乱杀の."无妨,你们二人进咱乾坤世界呆着吧,也不用在这里住了."根汉想了想,还是要将他们二人给带上,免得这壹去比较久の话,到时留他们二人在这里の话,到时居住时限到了,又是壹件麻烦事.单雄二人也没什么好劝の,进了根 汉の乾坤世界,两位沙卫立即将他给请走了.他们也没有让根汉蒙面,或者是怎么样の,直接就领着根汉来到了那座小沙丘の上空."叶神翼,这里便是南沙主城の入口了,壹般外面の人都只能住在这南沙小城中."沙六给根汉介绍了壹下.根汉点了点头,这座小沙丘の外面有封印,二人直接领着 根汉走进了沙丘中,倒也没有出什么门,或者是通道之类の,直接就可